第十章 双线性函数与辛空间
§1 线性函数定义1 设是数域上的一个线性空间，是到的一个映射，如果满足
1）;
2）,
式中是中任意元素，是中任意数，则称为上的一个线性函数.
从定义可推出线性函数的以下简单性质：
1,设是上的线性函数，则.
2,如果是的线性组合：
那么
例1设是中任意数，是中的向量.函数
(1)
就是上的一个线性函数.当时，得,称为零函数，仍用0表示零函数.
实际上，上的任意一个线性函数都可以表成这种形式.
令
.
第个
中任一向量可表成
.
设是上一个线性函数，则
令
则
就是上述形式.
例2 是数域上一个级矩阵，设
,
则的迹
是上全体级矩阵构成的线性空间上的一个线性函数.
例3 设是中一个取定的数.定义上的函数为
,
即为在点的值，是上的线性函数.
如果是数域上一个维线性空间.取定的一组基.对上任意线性函数及中任意向量：
都有
,(2)
因此，由的值唯一确定.反之，任给中个数，用下式定义上一个函数：
.
这是一个线性函数，并且
因此有定理1 设是上一个维线性空间，是的一组基，是中任意个数，存在唯一的上线性函数使
.
§2 对偶空间设是数域上一个维线性空间,上全体线性函数组成的集合记作.可以用自然的方法在上定义加法和数量乘法.
设是的两个线性函数.定义函数如下：
.
也是线性函数：
.
称为与的和.
还可以定义数量乘法.设是上线性函数，对于中任意数，定义函数如下：
,
称为与的数量乘积，易证也是线性函数.
容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下，成为数域上的线性空间.
取定的一组基，作上个线性函数，使得
(1)
因为在基上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对中向量，有
,(2)
即是的第个坐标的值.
引理 对中任意向量，有
,(3)
而对中任意向量，有
,(4)
定理2 的维数等于的维数，而且是的一组基.
定义2 称为的对偶空间.由（1）决定的的基，称为的对偶基.
以后简单地把的对偶空间记作.
例 考虑实数域上的维线性空间，对任意取定的个不同实数，根据拉格朗日插值公式，得到个多项式
它们满足
是线性无关的，因为由
用代入，即得
.
又因是维的，所以是的一组基.
设是在点的取值函数：
则线性函数满足
因此，是的对偶基.
下面讨论的两组基的对偶基之间的关系.
设是数域上一个维线性空间.及是的两组基.它们的对偶基分别是及.再设
其中
,
由假设
,
.
因此
由矩阵乘法定义，即得
即
定理3 设及是线性空间的两组基，它们的对偶基分别为及.如果由到的过渡矩阵为，那么由到的过渡矩阵为.
设是上一个线性空间，是其对偶空间，取定中一个向量，定义的一个函数如下：
.
根据线性函数的定义，容易检验是上的一个线性函数，因此是的对偶空间中的一个元素.
定理4 是一个线性空间，是的对偶空间的对偶空间,到的映射
是一个同构映射.
这个定理说明，线性空间也可看成的线性函数空间，与实际上是互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的.
§3 双线性函数定义3 是数域上一个线性空间，是上一个二元函数，即对中任意两个向量，根据都唯一地对应于中一个数.如果有下列性质：
1）;
2）,
其中是中任意向量，是中任意数，则称为上的一个双线性函数.
这个定义实际上是说对于上双线性函数，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.
例1 欧氏空间的内积是上双线性函数.
例2 设都是线性空间上的线性函数，则
是上的一个双线性函数.
例3 设是数域上维列向量构成的线性空间.再设是上级方阵.令
,(1)
则是上的一个双线性函数.
如果设，并设
则
,(2)
（1）或（2）实际上是数域上任意维线性空间上的双线性函数的一般形式.可以如下地说明这一事实.取的一组基.设
,
,
则
,(3)
令
,
则（3）就成为（1）或（2）.
定义4 设是数域上维线性空间上的一个双线性函数,是的一组基，则矩阵
(4)
叫做在下的度量矩阵.
上面的讨论说明，取定的一组基后，每个双线性函数都对应于一个级矩阵，就是这个双线性函数在基下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的.
反之，任给数域上一个级矩阵
对中任意向量及，其中，用
定义的函数是上一个双线性函数.容易计算出在下的度量矩阵就是.
因此，在给定的基下，上全体双线性函数与上全体级矩阵之间的一个双射.
在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设及是线性空间的两组基：
是中两个向量
,
那么
如果双线性函数在及下的度量矩阵分别为，则有
.
又
.
因此
这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.
定义5 设是线性空间上一个双线性函数，如果
对任意，可推出，就叫做非退化的.
可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的.设双线性函数在基下的度量矩阵为，则对,，有
如果向量满足
,
那么对任意都有
因此
而有非零向量使上式成立的充要条件为是退化的，因此易证双线性函数是非退化的充要条件为其度量矩阵为非退化矩阵.
对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简.但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的.对于对称矩阵已有较完整的理论.
定义6 是线性空间上的一个双线性函数，如果对上任意两个向量都有
,
则称为对称双线性函数.如果对中任意两个向量都有
则称为反对称双线性函数.
设是线性空间上的一个对称双线性函数，对的任一组基，由于
故其度量矩阵是对称的，另一方面，如果双线性函数在下的度量矩阵是对称的，那么对中任意两个向量及都有
.
因此是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称的.
同样的，双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.
我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一基下的度量矩阵是正交矩阵.
定理5 设是数域上维线性空间，是上对称双线性函数，则存在的一组基，使在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.
如果在下的度量矩阵为对角矩阵，那么对,
有表示式
.
这个表示式也是在下的度量矩阵为对角形的充分条件.
推论1 设是复数上维线性空间，是上对称双线性函数，则存在的一组基，对中任意向量，有
.
推论2 设是实数上维线性空间，是上对称双线性函数，则存在的一组基，对中任意向量，有
.
对称双线性函数与二次齐次函数是1—1对应的.
定义7 设是数域上线性空间，是上双线性函数.当时，上函数称为与对应的二次齐次函数.
给定上一组基，设的度量矩阵为.对中任意向量有
,(5)
式中的系数为.因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为
及
只要
,
那么它们对应的二次齐次函数就相同，因此有很多双线性函数对应于同一个二次齐次函数，但是如果要求为对称矩阵，即要求双线性函数为对称的，那么一个二次齐次函数只对应一个对称双线性函数.从(1)式看出二次齐次函数的坐标表达式就是以前学过的二次型.它与对称矩阵是1—1对应的，而这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数.
定理6 设是维线性空间上的反对称双线性函数，则存在的一组基使
(6)
从定理5可知，上的对称双线性函数如果是非退化的则有的一组基满足
前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基叫做的对于的正交基.
而从定理6可知，上的反对称双线性函数如果是非退化的，则有的一组基使
由于非退化的条件，定理6中的不可能出现.因此具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的.
对于具有非退化对称、反对称双线性函数的线性空间，也可以将这些双线性函数看成上的一个“内积”，仿照欧氏空间来讨论它的度量性质，一般的长度，角度很难的进去，但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等.
定义8 设是数域上的线性空间，在上定义一个非退化线性函数，则称为一个双线性度量空间.当是非退化对称双线性函数时，称为上的正交空间；当是维实线性空间，是非退化对称双线性函数时，称为准欧氏空间；当是非退化反对称双线性函数时，称为辛空间.有着非退化双线性函数的双线性度量空间常记为.
§4 辛空间由前一节的讨论，已经得到下面的两点性质：
1,辛空间中一定能找到一组基满足
.
这样的基称为的辛正交基.还可看出辛空间一定是偶数维的.
2．任一级非退化反对称矩阵可把一个数域上维空间化成一个辛空间，且使为的某基下度量矩阵.又此辛空间在某辛正交基下的度量矩阵为
,(1)
故合同于.即任一级非退化反对称矩阵皆合同于.
两个辛空间及，若有到的作为线性空间的同构?，它满足
,
则称?是到的辛同构.
到的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把的一组辛正交基变成的辛正交基.
两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数.
辛空间到自身的，辛同构称为上的辛变换.取定的一组辛正交基，上的一个线性变换?，在该基下的矩阵为，
,
其中皆为方阵.则?是辛变换当且仅当，亦即当且仅当下列条件成立：
且易证，及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换.
设是辛空间，,满足，则称为辛正交的.
是的子空间，令
,(2)
显然是的子空间，称为的辛正交补空间.
定理7 是辛空间，是的子空间，则
.
定义9 为辛空间，为的子空间.若，则称为的迷向子空间；若，即是极大的（按包含关系）迷向子空单间，也称它为拉格朗日子空间；若，则称为的辛了空间.
例如，设是的辛正交基，则是迷向子空间,是极大迷向子空间，即拉格朗日子空间是辛子空间.
对辛空间的子空间.通过验证，并利用定理7，可得下列性质：
(1) ,
(2) ,
(3) 若是辛子空间，则
(4) 若是迷向子空间,则
(5) 若是拉格朗日子空间，则
定理8 设是辛空间的拉格朗日子空间，是的基，则它可扩充为的辛正交基.
推论 设是的迷向子空间，是的基，则它可扩充成的辛正交基.
对于辛子空间，也是非退化的.同样也非退化.由定理7还有.
定理9 辛空间的辛子空间的一组辛正交基可扩充成的辛正交基..
定理10 令为辛空间，和是两个拉格朗日子空间或两个同维数的辛子空间，则有的辛变换把变成.
辛空间的两个子空间及之间的（线性）同构?若满足
则称?为与间的等距.
Witt定理 辛空间的两个子空间,之间若有等距，则此等距可扩充成的一个辛变换.
下面是辛变换的特征值的一些性质.
是辛空间上的辛变换，则?的行列式为1.
取定的辛正交基.设?在基下矩阵为，这时有.
定理11 设?是维辛空间中的辛变换，是?在某辛正交基下的矩阵.则它的特征多项式满足.若设
,
则.
由定理11可知，辛变换?的特征多项式的（复）根与是同时出现的，且具有相同的重数.它在中的特征值也如此.又等于的所有（复）根的积，而.故特征值的重数为偶数.又不等于的复根的重数的和及空间的维数皆为偶数，因此特征值为的重数也为偶数.
定理12 设是数域上辛空间上辛变换?在中的特征值，且.设,分别是中对应于特征值及的特征子空间.则，有，即与是辛正交的.特别地，当时是迷向子空间.
第十章 双线性函数与辛空间(小结)
一、基本概念线性函数；对偶空间。对偶基；双线性函数及其在基下的度量矩阵；非退化的双线性函数，对称与反对称双线性函数，正交基；辛空间，辛正交基.
二、主要结论
1,设是上一个维线性空间，是的一组基，是中任意个数，存在唯一的上线性函数使
.
2,设及是线性空间的两组基，它们的对偶基分别为及.如果由到的过渡矩阵为，那么由到的过渡矩阵为.
3,的维数等于的维数，而且是的一组基.
4,是一个线性空间，是的对偶空间的对偶空间,到的映射
是一个同构映射.
5,在给定的基下，上全体双线性函数与上全体级矩阵之间的一个双射.
6,同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.
7,设是数域上维线性空间，是上对称双线性函数，则存在的一组基，使在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.
8,两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数.
9,是辛空间，是的子空间，则
§1 线性函数定义1 设是数域上的一个线性空间，是到的一个映射，如果满足
1）;
2）,
式中是中任意元素，是中任意数，则称为上的一个线性函数.
从定义可推出线性函数的以下简单性质：
1,设是上的线性函数，则.
2,如果是的线性组合：
那么
例1设是中任意数，是中的向量.函数
(1)
就是上的一个线性函数.当时，得,称为零函数，仍用0表示零函数.
实际上，上的任意一个线性函数都可以表成这种形式.
令
.
第个
中任一向量可表成
.
设是上一个线性函数，则
令
则
就是上述形式.
例2 是数域上一个级矩阵，设
,
则的迹
是上全体级矩阵构成的线性空间上的一个线性函数.
例3 设是中一个取定的数.定义上的函数为
,
即为在点的值，是上的线性函数.
如果是数域上一个维线性空间.取定的一组基.对上任意线性函数及中任意向量：
都有
,(2)
因此，由的值唯一确定.反之，任给中个数，用下式定义上一个函数：
.
这是一个线性函数，并且
因此有定理1 设是上一个维线性空间，是的一组基，是中任意个数，存在唯一的上线性函数使
.
§2 对偶空间设是数域上一个维线性空间,上全体线性函数组成的集合记作.可以用自然的方法在上定义加法和数量乘法.
设是的两个线性函数.定义函数如下：
.
也是线性函数：
.
称为与的和.
还可以定义数量乘法.设是上线性函数，对于中任意数，定义函数如下：
,
称为与的数量乘积，易证也是线性函数.
容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下，成为数域上的线性空间.
取定的一组基，作上个线性函数，使得
(1)
因为在基上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对中向量，有
,(2)
即是的第个坐标的值.
引理 对中任意向量，有
,(3)
而对中任意向量，有
,(4)
定理2 的维数等于的维数，而且是的一组基.
定义2 称为的对偶空间.由（1）决定的的基，称为的对偶基.
以后简单地把的对偶空间记作.
例 考虑实数域上的维线性空间，对任意取定的个不同实数，根据拉格朗日插值公式，得到个多项式
它们满足
是线性无关的，因为由
用代入，即得
.
又因是维的，所以是的一组基.
设是在点的取值函数：
则线性函数满足
因此，是的对偶基.
下面讨论的两组基的对偶基之间的关系.
设是数域上一个维线性空间.及是的两组基.它们的对偶基分别是及.再设
其中
,
由假设
,
.
因此
由矩阵乘法定义，即得
即
定理3 设及是线性空间的两组基，它们的对偶基分别为及.如果由到的过渡矩阵为，那么由到的过渡矩阵为.
设是上一个线性空间，是其对偶空间，取定中一个向量，定义的一个函数如下：
.
根据线性函数的定义，容易检验是上的一个线性函数，因此是的对偶空间中的一个元素.
定理4 是一个线性空间，是的对偶空间的对偶空间,到的映射
是一个同构映射.
这个定理说明，线性空间也可看成的线性函数空间，与实际上是互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的.
§3 双线性函数定义3 是数域上一个线性空间，是上一个二元函数，即对中任意两个向量，根据都唯一地对应于中一个数.如果有下列性质：
1）;
2）,
其中是中任意向量，是中任意数，则称为上的一个双线性函数.
这个定义实际上是说对于上双线性函数，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.
例1 欧氏空间的内积是上双线性函数.
例2 设都是线性空间上的线性函数，则
是上的一个双线性函数.
例3 设是数域上维列向量构成的线性空间.再设是上级方阵.令
,(1)
则是上的一个双线性函数.
如果设，并设
则
,(2)
（1）或（2）实际上是数域上任意维线性空间上的双线性函数的一般形式.可以如下地说明这一事实.取的一组基.设
,
,
则
,(3)
令
,
则（3）就成为（1）或（2）.
定义4 设是数域上维线性空间上的一个双线性函数,是的一组基，则矩阵
(4)
叫做在下的度量矩阵.
上面的讨论说明，取定的一组基后，每个双线性函数都对应于一个级矩阵，就是这个双线性函数在基下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的.
反之，任给数域上一个级矩阵
对中任意向量及，其中，用
定义的函数是上一个双线性函数.容易计算出在下的度量矩阵就是.
因此，在给定的基下，上全体双线性函数与上全体级矩阵之间的一个双射.
在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设及是线性空间的两组基：
是中两个向量
,
那么
如果双线性函数在及下的度量矩阵分别为，则有
.
又
.
因此
这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.
定义5 设是线性空间上一个双线性函数，如果
对任意，可推出，就叫做非退化的.
可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的.设双线性函数在基下的度量矩阵为，则对,，有
如果向量满足
,
那么对任意都有
因此
而有非零向量使上式成立的充要条件为是退化的，因此易证双线性函数是非退化的充要条件为其度量矩阵为非退化矩阵.
对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简.但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的.对于对称矩阵已有较完整的理论.
定义6 是线性空间上的一个双线性函数，如果对上任意两个向量都有
,
则称为对称双线性函数.如果对中任意两个向量都有
则称为反对称双线性函数.
设是线性空间上的一个对称双线性函数，对的任一组基，由于
故其度量矩阵是对称的，另一方面，如果双线性函数在下的度量矩阵是对称的，那么对中任意两个向量及都有
.
因此是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称的.
同样的，双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.
我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一基下的度量矩阵是正交矩阵.
定理5 设是数域上维线性空间，是上对称双线性函数，则存在的一组基，使在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.
如果在下的度量矩阵为对角矩阵，那么对,
有表示式
.
这个表示式也是在下的度量矩阵为对角形的充分条件.
推论1 设是复数上维线性空间，是上对称双线性函数，则存在的一组基，对中任意向量，有
.
推论2 设是实数上维线性空间，是上对称双线性函数，则存在的一组基，对中任意向量，有
.
对称双线性函数与二次齐次函数是1—1对应的.
定义7 设是数域上线性空间，是上双线性函数.当时，上函数称为与对应的二次齐次函数.
给定上一组基，设的度量矩阵为.对中任意向量有
,(5)
式中的系数为.因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为
及
只要
,
那么它们对应的二次齐次函数就相同，因此有很多双线性函数对应于同一个二次齐次函数，但是如果要求为对称矩阵，即要求双线性函数为对称的，那么一个二次齐次函数只对应一个对称双线性函数.从(1)式看出二次齐次函数的坐标表达式就是以前学过的二次型.它与对称矩阵是1—1对应的，而这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数.
定理6 设是维线性空间上的反对称双线性函数，则存在的一组基使
(6)
从定理5可知，上的对称双线性函数如果是非退化的则有的一组基满足
前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基叫做的对于的正交基.
而从定理6可知，上的反对称双线性函数如果是非退化的，则有的一组基使
由于非退化的条件，定理6中的不可能出现.因此具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的.
对于具有非退化对称、反对称双线性函数的线性空间，也可以将这些双线性函数看成上的一个“内积”，仿照欧氏空间来讨论它的度量性质，一般的长度，角度很难的进去，但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等.
定义8 设是数域上的线性空间，在上定义一个非退化线性函数，则称为一个双线性度量空间.当是非退化对称双线性函数时，称为上的正交空间；当是维实线性空间，是非退化对称双线性函数时，称为准欧氏空间；当是非退化反对称双线性函数时，称为辛空间.有着非退化双线性函数的双线性度量空间常记为.
§4 辛空间由前一节的讨论，已经得到下面的两点性质：
1,辛空间中一定能找到一组基满足
.
这样的基称为的辛正交基.还可看出辛空间一定是偶数维的.
2．任一级非退化反对称矩阵可把一个数域上维空间化成一个辛空间，且使为的某基下度量矩阵.又此辛空间在某辛正交基下的度量矩阵为
,(1)
故合同于.即任一级非退化反对称矩阵皆合同于.
两个辛空间及，若有到的作为线性空间的同构?，它满足
,
则称?是到的辛同构.
到的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把的一组辛正交基变成的辛正交基.
两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数.
辛空间到自身的，辛同构称为上的辛变换.取定的一组辛正交基，上的一个线性变换?，在该基下的矩阵为，
,
其中皆为方阵.则?是辛变换当且仅当，亦即当且仅当下列条件成立：
且易证，及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换.
设是辛空间，,满足，则称为辛正交的.
是的子空间，令
,(2)
显然是的子空间，称为的辛正交补空间.
定理7 是辛空间，是的子空间，则
.
定义9 为辛空间，为的子空间.若，则称为的迷向子空间；若，即是极大的（按包含关系）迷向子空单间，也称它为拉格朗日子空间；若，则称为的辛了空间.
例如，设是的辛正交基，则是迷向子空间,是极大迷向子空间，即拉格朗日子空间是辛子空间.
对辛空间的子空间.通过验证，并利用定理7，可得下列性质：
(1) ,
(2) ,
(3) 若是辛子空间，则
(4) 若是迷向子空间,则
(5) 若是拉格朗日子空间，则
定理8 设是辛空间的拉格朗日子空间，是的基，则它可扩充为的辛正交基.
推论 设是的迷向子空间，是的基，则它可扩充成的辛正交基.
对于辛子空间，也是非退化的.同样也非退化.由定理7还有.
定理9 辛空间的辛子空间的一组辛正交基可扩充成的辛正交基..
定理10 令为辛空间，和是两个拉格朗日子空间或两个同维数的辛子空间，则有的辛变换把变成.
辛空间的两个子空间及之间的（线性）同构?若满足
则称?为与间的等距.
Witt定理 辛空间的两个子空间,之间若有等距，则此等距可扩充成的一个辛变换.
下面是辛变换的特征值的一些性质.
是辛空间上的辛变换，则?的行列式为1.
取定的辛正交基.设?在基下矩阵为，这时有.
定理11 设?是维辛空间中的辛变换，是?在某辛正交基下的矩阵.则它的特征多项式满足.若设
,
则.
由定理11可知，辛变换?的特征多项式的（复）根与是同时出现的，且具有相同的重数.它在中的特征值也如此.又等于的所有（复）根的积，而.故特征值的重数为偶数.又不等于的复根的重数的和及空间的维数皆为偶数，因此特征值为的重数也为偶数.
定理12 设是数域上辛空间上辛变换?在中的特征值，且.设,分别是中对应于特征值及的特征子空间.则，有，即与是辛正交的.特别地，当时是迷向子空间.
第十章 双线性函数与辛空间(小结)
一、基本概念线性函数；对偶空间。对偶基；双线性函数及其在基下的度量矩阵；非退化的双线性函数，对称与反对称双线性函数，正交基；辛空间，辛正交基.
二、主要结论
1,设是上一个维线性空间，是的一组基，是中任意个数，存在唯一的上线性函数使
.
2,设及是线性空间的两组基，它们的对偶基分别为及.如果由到的过渡矩阵为，那么由到的过渡矩阵为.
3,的维数等于的维数，而且是的一组基.
4,是一个线性空间，是的对偶空间的对偶空间,到的映射
是一个同构映射.
5,在给定的基下，上全体双线性函数与上全体级矩阵之间的一个双射.
6,同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.
7,设是数域上维线性空间，是上对称双线性函数，则存在的一组基，使在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.
8,两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数.
9,是辛空间，是的子空间，则
