第 4章 组合逻辑设计原理
逻辑代数基础
组合电路分析
组合电路综合数字逻辑设计及应用基本概念逻辑电路分为两大类：
组合逻辑电路 （ combinational logic circuit）
时序逻辑电路 （ sequential logic circuit）
任何时刻的输出仅取决与当时的输入任一时刻的输出不仅取决与当时的输入，
还取决于过去的输入序列电路特点：无反馈回路、无记忆元件第 4章 组合逻辑设计原理第一部分逻辑代数基础数字逻辑设计及应用一、逻辑代数中的公理与定理
1,公 理
若 X? 1,则 X = 0 若 X? 0,则 X = 1
0’ = 1 1’ = 0
0·0 = 0 1+1 = 1
1·1 = 1 0+0 = 0
0·1 = 1·0 = 0 1+0 = 0+1 = 1
F = 0 + 1 · ( 0 + 1 · 0’ )’
= 0 + 1 · 1’ = 0
2、单变量开关代数定理
自等律,X + 0 = X X ·1 = X
0-1 律,X + 1 = 1 X ·0 = 0
还原律,( X’)’ = X
同一律,X + X = X X ·X = X
互补律,X + X’ = 1 X ·X’= 0
变量和常量的关系变量和其自身的关系
3、二变量或三变量开关代数定理与普通代数相似的关系
交换律
A ·B = B ·A A + B = B + A
结合律
A·(B·C) = (A·B)·C A+(B+C) = (A+B)+C
分配律
A·(B+C) = A·B+B·C A+B·C = (A+B)·(A+C)
可以利用真值表证明公式和定理几点注意
不存在变量的指数 A·A·A? A3
允许提取公因子 AB+AC = A(B+C)
没有定义除法
if AB=BC? A=C
没有定义减法
if A+B=A+C?B=C
A=1,B=0,C=0
AB=AC=0,A?C
A=1,B=0,C=1
错！
错！
一些特殊的关系
吸收律
X + X·Y = X X·(X+Y) = X
组合律
X·Y + X·Y’ = X (X+Y)·(X+Y’) = X
添加律（一致性定理）
X·Y + X’·Z + Y·Z = X·Y + X’·Z
(X+Y)·(X’+Z)·(Y+Z) = (X+Y)·(X’+Z)[对偶性 ]
对上述的公式、定理要熟记，做到举一反三
(X+Y) + (X+Y)’ = 1A + A’ = 1
X·Y + X·Y’ = X
(A’+B)·(A·(B’+C))+ (A’+B)·(A·(B’+C))’= (A’+B)
代入定理：
在含有变量 X 的逻辑等式中，如果将式中所有出现 X 的地方都用另一个函数 F 来代替，
则等式仍然成立。
证明,X·Y + X’·Z + Y·Z = X·Y + X’·Z
Y·Z = 1·Y·Z
= (X+X’)·Y·Z
X·Y + X’·Z + (X+X’)·Y·Z
= X·Y + X’·Z + X·Y·Z +X’·Y·Z
= X·Y·(1+Z) + X’·Z·(1+Y)
= X·Y + X’·Z
4,n变量定理
广义同一律
X + X + … + X = X X · X · … · X = X
香农展开定理
),,,0(),,,1(
),,,(F
2
'
121
21
XnXFXXnXFX
XnXX
)],,,1([)],,,0([
),,,(F
2
'
121
21
XnXFXXnXFX
XnXX
证明,
A·D + A’·C + C·D + A·B’·C·D = A·D + A’·C
= A · ( 1·D + 1’·C + C·D + 1·B’·C·D ) +
A’ · ( 0·D + 0’·C + C·D + 0·B’·C·D )
= A · ( D + C·D + B’·C·D ) +
A’ · ( C + C·D )
= A·D·( 1 + C + B’·C ) + A’·C·( 1 + D )
= A·D + A’·C
4,n变量定理
摩根定理
''2'121 )'( nn XXXXXX
''2'121 )'( nn XXXXXX ＋＋＋
),,,,,()]',,,,,([ ''2'121 ＋ nn XXXFXXXF
—— 反演定理
(A ·B)’ = A’ + B’
(A + B)’ = A’ ·B’
反演规则：
与?或,0? 1，变量取反
遵循原来的运算优先次序
不属于单个变量上的反号应保留不变例 1：写出下面函数的反函数
F1 = A · (B + C) + C · D
F2 = (A ·B)’ + C · D ·E’
合理地运用反演定理能够将一些问题简化例 2：证明 (A·B + A’·C)’ = A·B’ + A’·C’
合理地运用反演定理能够将一些问题简化证明,AB + AC = AB + AC
AB + AC + BC = AB + AC
(A+B)(A+C)
AA +AC + AB + BC
AC + AB
AC + AB + BC
5、对偶性
对偶规则
与?或； 0? 1
变换时不能破坏原来的运算顺序（优先级）
对偶原理
若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等例：写出下面函数的对偶函数
F1 = A + B · (C + D)
F2 = ( A’·(B+C’) + (C+D)’ )’
X + X · Y = X
X · X + Y = X[错 ]
X + Y = XX · ( ) = X
FD(X1,X2,…,X n,+,·,’ )
= F(X1,X2,…,X n,·,+,’ )
5、对偶性
对偶规则
与?或； 0? 1
变换时不能破坏原来的运算顺序
对偶原理
若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等证明公式,A+BC = (A+B)(A+C)
A(B+C) AB+AC
对偶和反演对偶,FD(X1,X2,…,X n,+,·,’ )
= F(X1,X2,…,X n,·,+,’ )
反演,[ F(X1,X2,…,X n,+,· ) ]’
= F(X1’,X2’,…,X n’,·,+ )
[ F(X1,X2,…,X n) ]’ = FD(X1’,X2’,…,X n’)
正逻辑约定和负逻辑约定互为对偶关系公理与定理小结
1、公理
2、单变量开关代数定理
3、二变量或三变量开关代数定理需要特别记忆：
A + B·C = (A+B)·(A+C)[吸收率 ]
A·B + A’·C + B·C = A·B + A’·C
补充：代入定理公理与定理小结
4,n变量定理
广义同一律
香农展开定理
摩根定理（反演）
对偶
X + X + … + X = X
X · X · … · X = X ),,,(F 21 nXXX?
),,,1( 21 nXXFX
),,,0( 2'1 nXXFX
公理与定理小结
4,n变量定理
广义同一律
香农展开定理
摩根定理（反演）
对偶与?或,0? 1
变量取反
[ F(X1,X2,…,X n) ]’ = FD(X1’,X2’,…,X n’)
与?或,0? 1
正逻辑约定和负逻辑约定互为对偶关系
G1AB F
A B F
L L L
L H L
H L L
H H H
电气功能表
A B F
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
正逻辑约定
A B F
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
负逻辑约定正逻辑：
F = A·B
负逻辑：
F = A+B
举重裁判电路
Y = F (A,B,C ) = A·(B+C)
A
B Y
C
&
≥1
A
B
C
Y
逻辑函数 逻辑图开关 ABC
1表闭合指示灯
1 表亮
0
0
0
0
0
1
1
1
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
A B C Y
真值表二、逻辑函数及其表示方法
1、逻辑表达式?真值表
Y = A + B’·C + A’·B·C’
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
A B C B’·C A’·B·C’ Y
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
,积之和,表达式
,与 -或,式
1、逻辑表达式?真值表
Y = (B’+C) · (A’+B+C’)
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
A B C B’+C A’+B+C’ Y
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
,和之积,表达式
,或 -与,式
2、真值表?逻辑表达式
A’·B·C
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
A B C F
真值表
A·B’·C
A·B·C’
F = A’·B·C + A·B’·C + A·B·C’
0?反变量
1?原变量乘积项：
,积之和,表达式
,与 -或,式
2、真值表?逻辑表达式
1
1
1
0
1
1
1
1
G
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
A B C F
真值表
(A’·B·C)’ = A+B’+C’
F = A’·B·C
G = (A+B’+C’)
0?原变量
1?反变量
2、真值表?逻辑表达式
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
A B C F
真值表
A+B’+C
A’+B+C
F = (A+B’+C) · (A’+B+C)
0?原变量
1?反变量求和项
,和之积,表达式
,或 -与,式
3、逻辑函数的标准表示法
最小项
—— n变量最小项是具有 n
个因子的标准乘积项
n变量函数具有 2n个最小项
全体最小项之和为 1
任意两个最小项的 乘积 为 0
A’·B’·C’
A’·B’·C
A’·B·C’
A’·B·C
A·B’·C’
A·B’·C
A·B·C’
A·B·C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
A B C 乘积项
3、逻辑函数的标准表示法
最大项
—— n变量最大项是具有 n
个因子的标准乘积项
n变量函数具有 2n个最大项
全体最大项之积为 0
任意两个最大项的 和 为 1
A+B+C
A+B+C’
A+B’+C
A+B’+C’
A’+B+C
A’+B+C’
A’+B’+C
A’+B’+C’
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
A B C 求和项
A’·B’·C’
A’·B’·C
A’·B·C’
A’·B·C
A·B’·C’
A·B’·C
A·B·C’
A·B·C
最 小 项
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 2
0 1 1 3
1 0 0 4
1 0 1 5
1 1 0 6
1 1 1 7
A B C 编号
A+B+C
A+B+C’
A+B’+C
A+B’+C’
A’+B+C
A’+B+C’
A’+B’+C
A’+B’+C’
M0
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
最 大 项
4、最大项与最小项之间的关系
1
1
1
0
1
0
0
1
G
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
A B C F
(A’·B·C)’ = A+B’+C’
(A·B’·C)’ = A’+B+C’
(A·B·C’)’ = A’+B’+C
Mi = mi’
)6,5,3(,,CBAF
)7,4,2,1,0(,,CBAF
mi = Mi’
')6,5,3(,,FG CBA
标号互补
4、最大项与最小项之间的关系
①,Mi = mi’ ； mi = Mi’ ；
③、一个 n变量函数，既可用 最小项之和 表示，
也可用 最大项之积 表示。两者下标互补。
②、某逻辑函数 F,若用 P项最小项之和表示，
则其 反函数 F’ 可用 P 项最大项之积表示，
两者标号完全一致。
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
A B C F
课堂练习：分别写出下面逻辑函数的最小项之和最大项之积的表示。
)7,4,2(,,CBAF
)6,5,3,1,0(,,CBA
开集闭集
5、逻辑函数的标准表示法小结
真值表
乘积项、求和项
,积之和,表达式
,和之积,表达式
标准项（ normal term）
n 变量最小项
n 变量最大项
—— 最小项之和
—— 最大项之积标准和标准积用标准和的形式表示函数,F(A,B,C) = A·B +A’·C
利用基本公式 A + A’ = 1
F(A,B,C) = A·B + A’·C
= A·B·(C+C’) + A’·C·(B+B’)
= A·B·C + A·B·C’ + A’·B·C + A’·B’·C
1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1
=?A,B,C(1,3,6,7)
G(A,B,C) = (A+B) · (A’+C)
= (A+B+C·C’) · (A’+C+B·B’)
= (A+B+C)·(A+B+C’)·(A’+B+C)·(A’+B’+C)
0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0
=?A,B,C(0,1,4,6)
5、补充：同或、异或
异或
—— 当两个输入相异时，结果为 1。
同或
—— 当两个输入相同时，结果为 1。
F = A?B
=A’·B+A·B’
F = A⊙ B
=A·B+A’·B’
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
异 或 A B F
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
同 或
A?B = (A⊙ B)’
基本公式 —— 异或
交换律,A?B = B?A
结合律,A?(B?C) = (A?B)?C
分配律,A·(B?C) = (A·B)?(A·C)
因果互换关系
A?B=C? A?C=B? B?C=A
A?B?C?D=0? 0?A?B?C=D
基本公式 —— 异或
变量和常量的关系
A?A=0 A?A’=1 A?0=A A?1=A’
多变量异或运算
—— 结果取决于变量为 1 的个数
A0? A1?…? An =
1 变量为 1的个数是奇数
0 变量为 1的个数是偶数基本公式 —— 同或
交换律,A⊙ B = B⊙ A
结合律,A⊙ (B⊙ C) = (A⊙ B)⊙ C
不满足分配律,A(B⊙ C) ≠ AB⊙ AC
因果互换关系
A⊙ B=C? A⊙ C=B? B⊙ C=A
基本公式 —— 同或
变量和常量的关系
A⊙ A=1 A⊙ A’=0 A⊙ 1=A A⊙ 0=A’
多变量同或运算
—— 结果取决于变量为 0的个数
A0⊙ A1⊙ … ⊙ An =
1 变量为 0的个数是偶数
0 变量为 0的个数是奇数异或和同或的关系
偶数个变量的同或和异或 ——互反
A?B = (A⊙ B)’
A?B?C?D = (A⊙ B⊙ C⊙ D)’
奇数个变量的同或和异或 ——相等
A?B?C = A⊙ B⊙ C
A?B’ = A⊙ B A?B = A⊙ B’
逻辑代数小结
基本公理、定理
对偶、反演
补充,同或,异或
A0? A1?…? An =
1 1的个数是奇数
0 1的个数是偶数
A0 ⊙ A1 ⊙ … ⊙ An =
1 0的个数是偶数
0 0的个数是奇数逻辑代数小结
基本公理、定理
对偶、反演
补充,同或,异或
A
B Y
=A
B Y
=1A
B Y
AB Y
逻辑函数及其表示方法真值表? 逻辑函数
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
A B C F
真值表
0
0
0
1
0
0
0
0
F1
= + +
0
0
0
0
0
0
1
0
F2
0
0
0
0
0
0
0
1
F3
为什么是最小项之和？
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
A B C F
真值表
0
1
1
1
1
1
1
1
F1
= · ·
1
1
1
0
1
1
1
1
F2
1
1
1
1
1
1
1
0
F3
为什么是最大项之积？
逻辑函数的基本运算
相加（或）
相乘（与）
反演
F1 =?(A,B,C) ( 1,5,7,9,13 )
F2 =?(A,B,C) ( 2,6,9,13,15 )
F = F1 + F2
=?(A,B,C)(1,2,5,6,7,9,13,15)
F = F1 · F2 =?(A,B,C) (9,13)
F1’ =?(A,B,C) ( 1,5,7,9,13 )
=?(A,B,C) ( 0,2,3,4,6,8,10,11,12,14,15 )
逻辑函数的标准表示法
真值表
乘积项、求和项
,积之和,表达式
,和之积,表达式
标准项（ normal term）
n 变量最小项
n 变量最大项
编号：原变量 1,反变量 0
编号：原变量 0,反变量 1
F =?A,B,C(1,3,6,7)
G =?A,B,C(0,2,4,5)
逻辑代数基础
组合电路分析
组合电路综合数字逻辑设计及应用基本概念逻辑电路分为两大类：
组合逻辑电路 （ combinational logic circuit）
时序逻辑电路 （ sequential logic circuit）
任何时刻的输出仅取决与当时的输入任一时刻的输出不仅取决与当时的输入，
还取决于过去的输入序列电路特点：无反馈回路、无记忆元件第 4章 组合逻辑设计原理第一部分逻辑代数基础数字逻辑设计及应用一、逻辑代数中的公理与定理
1,公 理
若 X? 1,则 X = 0 若 X? 0,则 X = 1
0’ = 1 1’ = 0
0·0 = 0 1+1 = 1
1·1 = 1 0+0 = 0
0·1 = 1·0 = 0 1+0 = 0+1 = 1
F = 0 + 1 · ( 0 + 1 · 0’ )’
= 0 + 1 · 1’ = 0
2、单变量开关代数定理
自等律,X + 0 = X X ·1 = X
0-1 律,X + 1 = 1 X ·0 = 0
还原律,( X’)’ = X
同一律,X + X = X X ·X = X
互补律,X + X’ = 1 X ·X’= 0
变量和常量的关系变量和其自身的关系
3、二变量或三变量开关代数定理与普通代数相似的关系
交换律
A ·B = B ·A A + B = B + A
结合律
A·(B·C) = (A·B)·C A+(B+C) = (A+B)+C
分配律
A·(B+C) = A·B+B·C A+B·C = (A+B)·(A+C)
可以利用真值表证明公式和定理几点注意
不存在变量的指数 A·A·A? A3
允许提取公因子 AB+AC = A(B+C)
没有定义除法
if AB=BC? A=C
没有定义减法
if A+B=A+C?B=C
A=1,B=0,C=0
AB=AC=0,A?C
A=1,B=0,C=1
错！
错！
一些特殊的关系
吸收律
X + X·Y = X X·(X+Y) = X
组合律
X·Y + X·Y’ = X (X+Y)·(X+Y’) = X
添加律（一致性定理）
X·Y + X’·Z + Y·Z = X·Y + X’·Z
(X+Y)·(X’+Z)·(Y+Z) = (X+Y)·(X’+Z)[对偶性 ]
对上述的公式、定理要熟记，做到举一反三
(X+Y) + (X+Y)’ = 1A + A’ = 1
X·Y + X·Y’ = X
(A’+B)·(A·(B’+C))+ (A’+B)·(A·(B’+C))’= (A’+B)
代入定理：
在含有变量 X 的逻辑等式中，如果将式中所有出现 X 的地方都用另一个函数 F 来代替，
则等式仍然成立。
证明,X·Y + X’·Z + Y·Z = X·Y + X’·Z
Y·Z = 1·Y·Z
= (X+X’)·Y·Z
X·Y + X’·Z + (X+X’)·Y·Z
= X·Y + X’·Z + X·Y·Z +X’·Y·Z
= X·Y·(1+Z) + X’·Z·(1+Y)
= X·Y + X’·Z
4,n变量定理
广义同一律
X + X + … + X = X X · X · … · X = X
香农展开定理
),,,0(),,,1(
),,,(F
2
'
121
21
XnXFXXnXFX
XnXX
)],,,1([)],,,0([
),,,(F
2
'
121
21
XnXFXXnXFX
XnXX
证明,
A·D + A’·C + C·D + A·B’·C·D = A·D + A’·C
= A · ( 1·D + 1’·C + C·D + 1·B’·C·D ) +
A’ · ( 0·D + 0’·C + C·D + 0·B’·C·D )
= A · ( D + C·D + B’·C·D ) +
A’ · ( C + C·D )
= A·D·( 1 + C + B’·C ) + A’·C·( 1 + D )
= A·D + A’·C
4,n变量定理
摩根定理
''2'121 )'( nn XXXXXX
''2'121 )'( nn XXXXXX ＋＋＋
),,,,,()]',,,,,([ ''2'121 ＋ nn XXXFXXXF
—— 反演定理
(A ·B)’ = A’ + B’
(A + B)’ = A’ ·B’
反演规则：
与?或,0? 1，变量取反
遵循原来的运算优先次序
不属于单个变量上的反号应保留不变例 1：写出下面函数的反函数
F1 = A · (B + C) + C · D
F2 = (A ·B)’ + C · D ·E’
合理地运用反演定理能够将一些问题简化例 2：证明 (A·B + A’·C)’ = A·B’ + A’·C’
合理地运用反演定理能够将一些问题简化证明,AB + AC = AB + AC
AB + AC + BC = AB + AC
(A+B)(A+C)
AA +AC + AB + BC
AC + AB
AC + AB + BC
5、对偶性
对偶规则
与?或； 0? 1
变换时不能破坏原来的运算顺序（优先级）
对偶原理
若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等例：写出下面函数的对偶函数
F1 = A + B · (C + D)
F2 = ( A’·(B+C’) + (C+D)’ )’
X + X · Y = X
X · X + Y = X[错 ]
X + Y = XX · ( ) = X
FD(X1,X2,…,X n,+,·,’ )
= F(X1,X2,…,X n,·,+,’ )
5、对偶性
对偶规则
与?或； 0? 1
变换时不能破坏原来的运算顺序
对偶原理
若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等证明公式,A+BC = (A+B)(A+C)
A(B+C) AB+AC
对偶和反演对偶,FD(X1,X2,…,X n,+,·,’ )
= F(X1,X2,…,X n,·,+,’ )
反演,[ F(X1,X2,…,X n,+,· ) ]’
= F(X1’,X2’,…,X n’,·,+ )
[ F(X1,X2,…,X n) ]’ = FD(X1’,X2’,…,X n’)
正逻辑约定和负逻辑约定互为对偶关系公理与定理小结
1、公理
2、单变量开关代数定理
3、二变量或三变量开关代数定理需要特别记忆：
A + B·C = (A+B)·(A+C)[吸收率 ]
A·B + A’·C + B·C = A·B + A’·C
补充：代入定理公理与定理小结
4,n变量定理
广义同一律
香农展开定理
摩根定理（反演）
对偶
X + X + … + X = X
X · X · … · X = X ),,,(F 21 nXXX?
),,,1( 21 nXXFX
),,,0( 2'1 nXXFX
公理与定理小结
4,n变量定理
广义同一律
香农展开定理
摩根定理（反演）
对偶与?或,0? 1
变量取反
[ F(X1,X2,…,X n) ]’ = FD(X1’,X2’,…,X n’)
与?或,0? 1
正逻辑约定和负逻辑约定互为对偶关系
G1AB F
A B F
L L L
L H L
H L L
H H H
电气功能表
A B F
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
正逻辑约定
A B F
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
负逻辑约定正逻辑：
F = A·B
负逻辑：
F = A+B
举重裁判电路
Y = F (A,B,C ) = A·(B+C)
A
B Y
C
&
≥1
A
B
C
Y
逻辑函数 逻辑图开关 ABC
1表闭合指示灯
1 表亮
0
0
0
0
0
1
1
1
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
A B C Y
真值表二、逻辑函数及其表示方法
1、逻辑表达式?真值表
Y = A + B’·C + A’·B·C’
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
A B C B’·C A’·B·C’ Y
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
,积之和,表达式
,与 -或,式
1、逻辑表达式?真值表
Y = (B’+C) · (A’+B+C’)
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
A B C B’+C A’+B+C’ Y
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
,和之积,表达式
,或 -与,式
2、真值表?逻辑表达式
A’·B·C
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
A B C F
真值表
A·B’·C
A·B·C’
F = A’·B·C + A·B’·C + A·B·C’
0?反变量
1?原变量乘积项：
,积之和,表达式
,与 -或,式
2、真值表?逻辑表达式
1
1
1
0
1
1
1
1
G
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
A B C F
真值表
(A’·B·C)’ = A+B’+C’
F = A’·B·C
G = (A+B’+C’)
0?原变量
1?反变量
2、真值表?逻辑表达式
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
A B C F
真值表
A+B’+C
A’+B+C
F = (A+B’+C) · (A’+B+C)
0?原变量
1?反变量求和项
,和之积,表达式
,或 -与,式
3、逻辑函数的标准表示法
最小项
—— n变量最小项是具有 n
个因子的标准乘积项
n变量函数具有 2n个最小项
全体最小项之和为 1
任意两个最小项的 乘积 为 0
A’·B’·C’
A’·B’·C
A’·B·C’
A’·B·C
A·B’·C’
A·B’·C
A·B·C’
A·B·C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
A B C 乘积项
3、逻辑函数的标准表示法
最大项
—— n变量最大项是具有 n
个因子的标准乘积项
n变量函数具有 2n个最大项
全体最大项之积为 0
任意两个最大项的 和 为 1
A+B+C
A+B+C’
A+B’+C
A+B’+C’
A’+B+C
A’+B+C’
A’+B’+C
A’+B’+C’
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
A B C 求和项
A’·B’·C’
A’·B’·C
A’·B·C’
A’·B·C
A·B’·C’
A·B’·C
A·B·C’
A·B·C
最 小 项
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 2
0 1 1 3
1 0 0 4
1 0 1 5
1 1 0 6
1 1 1 7
A B C 编号
A+B+C
A+B+C’
A+B’+C
A+B’+C’
A’+B+C
A’+B+C’
A’+B’+C
A’+B’+C’
M0
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
最 大 项
4、最大项与最小项之间的关系
1
1
1
0
1
0
0
1
G
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
A B C F
(A’·B·C)’ = A+B’+C’
(A·B’·C)’ = A’+B+C’
(A·B·C’)’ = A’+B’+C
Mi = mi’
)6,5,3(,,CBAF
)7,4,2,1,0(,,CBAF
mi = Mi’
')6,5,3(,,FG CBA
标号互补
4、最大项与最小项之间的关系
①,Mi = mi’ ； mi = Mi’ ；
③、一个 n变量函数，既可用 最小项之和 表示，
也可用 最大项之积 表示。两者下标互补。
②、某逻辑函数 F,若用 P项最小项之和表示，
则其 反函数 F’ 可用 P 项最大项之积表示，
两者标号完全一致。
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
A B C F
课堂练习：分别写出下面逻辑函数的最小项之和最大项之积的表示。
)7,4,2(,,CBAF
)6,5,3,1,0(,,CBA
开集闭集
5、逻辑函数的标准表示法小结
真值表
乘积项、求和项
,积之和,表达式
,和之积,表达式
标准项（ normal term）
n 变量最小项
n 变量最大项
—— 最小项之和
—— 最大项之积标准和标准积用标准和的形式表示函数,F(A,B,C) = A·B +A’·C
利用基本公式 A + A’ = 1
F(A,B,C) = A·B + A’·C
= A·B·(C+C’) + A’·C·(B+B’)
= A·B·C + A·B·C’ + A’·B·C + A’·B’·C
1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1
=?A,B,C(1,3,6,7)
G(A,B,C) = (A+B) · (A’+C)
= (A+B+C·C’) · (A’+C+B·B’)
= (A+B+C)·(A+B+C’)·(A’+B+C)·(A’+B’+C)
0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0
=?A,B,C(0,1,4,6)
5、补充：同或、异或
异或
—— 当两个输入相异时，结果为 1。
同或
—— 当两个输入相同时，结果为 1。
F = A?B
=A’·B+A·B’
F = A⊙ B
=A·B+A’·B’
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
异 或 A B F
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
同 或
A?B = (A⊙ B)’
基本公式 —— 异或
交换律,A?B = B?A
结合律,A?(B?C) = (A?B)?C
分配律,A·(B?C) = (A·B)?(A·C)
因果互换关系
A?B=C? A?C=B? B?C=A
A?B?C?D=0? 0?A?B?C=D
基本公式 —— 异或
变量和常量的关系
A?A=0 A?A’=1 A?0=A A?1=A’
多变量异或运算
—— 结果取决于变量为 1 的个数
A0? A1?…? An =
1 变量为 1的个数是奇数
0 变量为 1的个数是偶数基本公式 —— 同或
交换律,A⊙ B = B⊙ A
结合律,A⊙ (B⊙ C) = (A⊙ B)⊙ C
不满足分配律,A(B⊙ C) ≠ AB⊙ AC
因果互换关系
A⊙ B=C? A⊙ C=B? B⊙ C=A
基本公式 —— 同或
变量和常量的关系
A⊙ A=1 A⊙ A’=0 A⊙ 1=A A⊙ 0=A’
多变量同或运算
—— 结果取决于变量为 0的个数
A0⊙ A1⊙ … ⊙ An =
1 变量为 0的个数是偶数
0 变量为 0的个数是奇数异或和同或的关系
偶数个变量的同或和异或 ——互反
A?B = (A⊙ B)’
A?B?C?D = (A⊙ B⊙ C⊙ D)’
奇数个变量的同或和异或 ——相等
A?B?C = A⊙ B⊙ C
A?B’ = A⊙ B A?B = A⊙ B’
逻辑代数小结
基本公理、定理
对偶、反演
补充,同或,异或
A0? A1?…? An =
1 1的个数是奇数
0 1的个数是偶数
A0 ⊙ A1 ⊙ … ⊙ An =
1 0的个数是偶数
0 0的个数是奇数逻辑代数小结
基本公理、定理
对偶、反演
补充,同或,异或
A
B Y
=A
B Y
=1A
B Y
AB Y
逻辑函数及其表示方法真值表? 逻辑函数
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
A B C F
真值表
0
0
0
1
0
0
0
0
F1
= + +
0
0
0
0
0
0
1
0
F2
0
0
0
0
0
0
0
1
F3
为什么是最小项之和？
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
A B C F
真值表
0
1
1
1
1
1
1
1
F1
= · ·
1
1
1
0
1
1
1
1
F2
1
1
1
1
1
1
1
0
F3
为什么是最大项之积？
逻辑函数的基本运算
相加（或）
相乘（与）
反演
F1 =?(A,B,C) ( 1,5,7,9,13 )
F2 =?(A,B,C) ( 2,6,9,13,15 )
F = F1 + F2
=?(A,B,C)(1,2,5,6,7,9,13,15)
F = F1 · F2 =?(A,B,C) (9,13)
F1’ =?(A,B,C) ( 1,5,7,9,13 )
=?(A,B,C) ( 0,2,3,4,6,8,10,11,12,14,15 )
逻辑函数的标准表示法
真值表
乘积项、求和项
,积之和,表达式
,和之积,表达式
标准项（ normal term）
n 变量最小项
n 变量最大项
编号：原变量 1,反变量 0
编号：原变量 0,反变量 1
F =?A,B,C(1,3,6,7)
G =?A,B,C(0,2,4,5)
