习题八
8-1 电量都是的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
解,如题8-1图示
(1) 以处点电荷为研究对象，由力平衡知：为负电荷
解得
(2)与三角形边长无关．
题8-1图 题8-2图
8-2 两小球的质量都是，都用长为的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2 ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量．
解,如题8-2图示
解得
8-3 根据点电荷场强公式，当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?
解,仅对点电荷成立，当时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．
8-4 在真空中有，两平行板，相对距离为，板面积为，其带电量分别为+和-．则这两板之间有相互作用力，有人说=,又有人说，因为=,，所以=．试问这两种说法对吗?为什么? 到底应等于多少?
解,题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为，另一板受它的作用力，这是两板间相互作用的电场力．
8-5 一电偶极子的电矩为，场点到偶极子中心O点的距离为,矢量与的夹角为,(见题8-5图)，且．试证P点的场强在方向上的分量和垂直于的分量分别为
=,=
证,如题8-5所示，将分解为与平行的分量和垂直于的分量．
∵
∴ 场点在方向场强分量
垂直于方向，即方向场强分量
题8-5图 题8-6图
8-6 长=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度=5.0x10-9C·m-1的正电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B端相距=5.0cm处点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距=5.0cm 处点的场强．
解,如题8-6图所示
(1)在带电直线上取线元，其上电量在点产生场强为
用，,代入得
方向水平向右
(2)同理 方向如题8-6图所示由于对称性，即只有分量，
∵
以,,代入得
，方向沿轴正向
8-7 一个半径为的均匀带电半圆环，电荷线密度为,求环心处点的场强．
解,如8-7图在圆上取
题8-7图
，它在点产生场强大小为
方向沿半径向外则
积分
∴ ，方向沿轴正向．
8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为，总电量为．(1)求这正方形轴线上离中心为处的场强；(2)证明：在处，它相当于点电荷产生的场强．
解,如8-8图示，正方形一条边上电荷在点产生物强方向如图，大小为
∵
∴
在垂直于平面上的分量
∴
题8-8图由于对称性，点场强沿方向，大小为
∵
∴ 方向沿
8-9 (1)点电荷位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷的电场中取半径为R的圆平面．在该平面轴线上的点处，求：通过圆平面的电通量．()
解,(1)由高斯定理
立方体六个面，当在立方体中心时，每个面上电通量相等
∴ 各面电通量．
(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长的立方体，使处于边长的立方体中心，则边长的正方形上电通量
对于边长的正方形，如果它不包含所在的顶点，则，
如果它包含所在顶点则．
如题8-9(a)图所示．题8-9(3)图
题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图
(3)∵通过半径为的圆平面的电通量等于通过半径为的球冠面的电通量，球冠面积*
∴ []
*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图
8-10 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×C·m-3求距球心5cm，8cm,12cm 各点的场强．
解,高斯定理,
当时，,
时，
∴ ,方向沿半径向外．
cm时,
∴ 沿半径向外.
8-11 半径为和( ＞)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量和-,试求:(1)＜；(2) ＜＜；(3) ＞处各点的场强．
解,高斯定理
取同轴圆柱形高斯面，侧面积
则
对(1)
(2)
∴ 沿径向向外
(3)
∴
题8-12图
8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为和，试求空间各处场强．
解,如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为与，
两面间,
面外,
面外,
：垂直于两平面由面指为面．
8-13 半径为的均匀带电球体内的电荷体密度为,若在球内挖去一块半径为＜的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心与点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．
解,将此带电体看作带正电的均匀球与带电的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．
(1) 球在点产生电场，
球在点产生电场
∴ 点电场；
(2) 在产生电场
球在产生电场
∴ 点电场
题8-13图(a) 题8-13图(b)
(3)设空腔任一点相对的位矢为，相对点位矢为 (如题8-13(b)图)
则 ，
,
∴
∴腔内场强是均匀的．
8-14 一电偶极子由=1.0×10-6C的两个异号点电荷组成，两电荷距离d=0.2cm，把这电偶极子放在1.0×105N·C-1的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩．
解,∵ 电偶极子在外场中受力矩
∴ 代入数字
8-15 两点电荷=1.5×10-8C，=3.0×10-8C，相距=42cm，要把它们之间的距离变为=25cm，需作多少功?
解,
外力需作的功
题8-16图
8-16 如题8-16图所示，在，两点处放有电量分别为+,-的点电荷，间距离为2，现将另一正试验点电荷从点经过半圆弧移到点，求移动过程中电场力作的功．
解,如题8-16图示
∴
8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于．试求环中心点处的场强和电势．
解,(1)由于电荷均匀分布与对称性，和段电荷在点产生的场强互相抵消，取
则产生点如图，由于对称性，点场强沿轴负方向
题8-17图
［］
(2) 电荷在点产生电势，以
同理产生
半圆环产生
∴
8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m·s-1的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量=9.1×10-31kg，电子电量=1.60×10-19C)
解,设均匀带电直线电荷密度为，在电子轨道处场强
电子受力大小
∴
得
8-19 空气可以承受的场强的最大值为=30kV·cm-1，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为=0.5cm，求此电容器可承受的最高电压．
解,平行板电容器内部近似为均匀电场
∴
8-20 根据场强与电势的关系，求下列电场的场强：(1)点电荷的电场；(2)总电量为，半径为的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子的处(见题8-20图)．
解,(1)点电荷 题 8-20 图
∴ 为方向单位矢量．
(2)总电量，半径为的均匀带电圆环轴上一点电势
∴
(3)偶极子在处的一点电势
∴
8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同．
证,如题8-21图所示，设两导体、的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为，，，
题8-21图
(1)则取与平面垂直且底面分别在、内部的闭合柱面为高斯面时，有
∴
说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；
(2)在内部任取一点，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即
又∵
∴
说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．
8-22 三个平行金属板，和的面积都是200cm2，和相距4.0mm，与相距2.0 mm．，都接地，如题8-22图所示．如果使板带正电3.0×10-7C，略去边缘效应，问板和板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则板的电势是多少?
解,如题8-22图示，令板左侧面电荷面密度为，右侧面电荷面密度为
题8-22图
(1)∵ ，即
∴
∴
且 +
得
而
(2)
8-23 两个半径分别为和（＜)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+，试计算：
(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；
(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；
*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量．
解,(1)内球带电；球壳内表面带电则为,外表面带电为，且均匀分布，其电势
题8-23图
(2)外壳接地时，外表面电荷入地，外表面不带电，内表面电荷仍为．所以球壳电势由内球与内表面产生：
(3)设此时内球壳带电量为；则外壳内表面带电量为，外壳外表面带电量为 (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且
得
外球壳上电势
8-24 半径为的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为处有一点电荷+，试求：金属球上的感应电荷的电量．
解,如题8-24图所示，设金属球感应电荷为，则球接地时电势
8-24图由电势叠加原理有：
得
8-25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为．试求：
(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力；
(2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力．
解,由题意知
(1)小球接触小球后，小球和小球均带电
,
小球再与小球接触后，小球与小球均带电
∴ 此时小球与小球间相互作用力
(2)小球依次交替接触小球、很多次后，每个小球带电量均为.
∴ 小球、间的作用力
*8-26 如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是S，相距为，分别维持电势=，=0不变．现把一块带有电量的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面积也是S，片的厚度略去不计．求导体薄片的电势．
解,依次设,,从上到下的个表面的面电荷密度分别为，，，,,如图所示．由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持可得以下个方程
题8-26图
解得
所以间电场
注意：因为片带电，所以，若片不带电，显然
8-27 在半径为的金属球之外包有一层外半径为的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为，金属球带电．试求：
(1)电介质内、外的场强；
(2)电介质层内、外的电势；
(3)金属球的电势．
解,利用有介质时的高斯定理
(1)介质内场强
;
介质外场强
(2)介质外电势
介质内电势
(3)金属球的电势
8-28 如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值．
解,如题8-28图所示，充满电介质部分场强为，真空部分场强为，自由电荷面密度分别为与
由得
，
而 ,
∴
题8-28图 题8-29图
8-29 两个同轴的圆柱面，长度均为，半径分别为和(＞)，且>>-，两柱面之间充有介电常数的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷和-时，求：
(1)在半径处(＜＜＝，厚度为dr，长为的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；
(2)电介质中的总电场能量；
(3)圆柱形电容器的电容．
解,取半径为的同轴圆柱面
则
当时，
∴
(1)电场能量密度
薄壳中
(2)电介质中总电场能量
(3)电容：∵
∴
*8-30 金属球壳和的中心相距为，和原来都不带电．现在的中心放一点电荷，在的中心放一点电荷，如题8-30图所示．试求：
(1) 对作用的库仑力，有无加速度；
(2)去掉金属壳，求作用在上的库仑力，此时有无加速度．
解,(1)作用在的库仑力仍满足库仑定律，即
但处于金属球壳中心，它受合力为零，没有加速度．
(2)去掉金属壳，作用在上的库仑力仍是，但此时受合力不为零，有加速度．
题8-30图 题8-31图
8-31 如题8-31图所示，=0.25F，=0.15F，=0.20F,上电压为50V．求：．
解,电容上电量
电容与并联
其上电荷
∴
8-32 和两电容器分别标明“200 pF、500 V”和“300 pF、900 V”，把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000 V的电压，是否会击穿?
解,(1) 与串联后电容
(2)串联后电压比
，而
∴ ,
即电容电压超过耐压值会击穿，然后也击穿．
8-33 将两个电容器和充电到相等的电压以后切断电源，再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极板相联．试求：
(1)每个电容器的最终电荷；
(2)电场能量的损失．
解,如题8-33图所示，设联接后两电容器带电分别为,
题8-33图则
解得 (1)
(2)电场能量损失
8-34 半径为=2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为=4.0cm和=5.0cm，当内球带电荷=3.0×10-8C时，求：
(1)整个电场储存的能量；
(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量；
(3)此电容器的电容值．
解,如图，内球带电，外球壳内表面带电，外表面带电
题8-34图
(1)在和区域
在时
时
∴在区域
在区域
∴ 总能量
(2)导体壳接地时，只有时,
∴
(3)电容器电容
