?
本章共 3讲第五篇 量子现象和量子规律第 17章 量子力学的基本原理第十七章 量子力学基本原理结构框图物质波假设及其实验验证 不确定关系波函数（概率幅） 薛定谔方程 薛定谔方程的简单应用
*量子力学解释理论的发展这把人们引导到一个不可分割的整体性的新观念 … 这个新观念把世界的独立的
“基元部分”是最基本的实在这个通常观念颠倒过来了。与之相反，我们说，整个宇宙的相互连接性才是最基本的实在，它的各个“部分”仅仅是这个整体内的特殊的、偶然的形式。
－－玻姆（英,1917－ 1992）
D.J.Bohm
重点：
德布罗意公式不确定关系物质波波函数及其统计解释薛定谔方程及其在一维无限深势阱中的应用学时,6
难点：
实物粒子的波粒二象性概率波窗口,扫描隧道显微镜、纳米技术旧量子论,在经典理论框架中引入量子假设,通过革新基本观念，解决各局部领域的问题。
量子力学,从基本属性上认识微观粒子的运动规律
§ 17.1 物质波假设及其实验验证一,德布罗意物质波假设
1.基本思想,自然界是对称统一的，光与实物粒子应该有共同的本性。
整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研究方法来，是过于忽视了粒子的研究方法；在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关于粒子图象想得太多，而过分地忽略了波的图象呢？
－－－ 德布罗意L.V.de Broglie
1892 —— 1987
回顾,光的本性的两个不同侧面波动性,表现在传播过程中 （干涉、衍射）
粒子性,表现在与物质相互作用中
（光电效应、康普顿效应、电子偶效应）
无法用经典语言（波动或粒子）准确建立光的模型。
光的量子理论模型－光子
c
h
c
E
m
h
mcp
mc
hc
hE
2
2
借用经典“波”和“粒子”术语，
但既不是经典波，又不是经典粒子具有“波粒二象性”
人类对光的本性的认识过程启发了 德布罗意。
,辐射 —— 波与量子,
,光学 —— 光量子、衍射和干涉,
,量子气体运动理论及费马原理,
1923年 9-10月,法国科学院通报,,
1924年博士论文：,量子理论研究,
提出实物粒子“波粒二象性”概念及实验验证思路，
并获得 1929年诺贝尔物理奖。
对称性,实物粒子与光类比物质波实物粒子
)0( 0?m
光
)0( 0?m 物理光学 —— 波动说几何光学 —— 粒子说传统力学 —— 粒子性波动力学 —— 波动性量子力学
,波粒二象性”
光子说对当时最有生命力的理论的把握：
普朗克能量子理论,
爱因斯坦光量子理论 ……
为什么 德布罗意能够提出如此具有独创性的见解？
先进的科学观念 —— 自然界的对称性自然界是对称统一的，光与实物粒子应该有共同的本性。
创造性思维模式：
非逻辑思维（ 联想,想象,类比,灵感 … ）
2,对物质波的描述
h
mvp
hmcE
2德布罗意公式简洁地把对粒子描述手段和对波的描述手段
pE,
,
联系到一起德布罗意波长
1) 与光子比较光子?hmcE 2
hmcp
实物粒子?hmcE
2?hmvp
cv?
练习,设光子与电子的德布罗意波长均为 λ,
试比较其动量和能量大小是否相同。
hp?
光?
hp
e?
epp?光
2mcE e?
v
m vc2?
v
pc2?
hc
v
c?
光Ev
c
光EE e?
hchE
光又
u
h
mc
mv
h 2
cvc
2
注意,电子物质波波速 u? 电子运动速率 v
波的相速度（对物质波而言没有物理意义）
与 c 是自然界的极限速率不矛盾思考：
光Ec
uhc
c
uhuhE
e
是否与 c 是自然界的极限速率矛盾
cuEE e 光
2) 物质波数量级概念子弹,kg01.0?m 1sm3 0 0v
( m )1021.2 34 mvh?
地球,kg1098.5 24m 1skm8.29公转v
mv
h
( m )1072.31098.21098.5 1063.6 63424 34
宏观物质 λ 均太小，难以觉察其波动特性两种特例：
)A(25.122 o
0 UeUm
h
0k EE VMe51.0eU（ 1）
V100?U oA225.1 光X~例：
电子,22202 pcEE
2
0
2
0
2
0
2 )(11 EEE
cEEcp k
2
kk02
1 EEE
c
eUE?k
eUeUcm
hc
p
h
)2( 20?
可以用晶体对电子的衍射来显示其波动性，
检验德布罗意公式的正确性
（ 2）
0k EE
A
UeU
hc 41024.1
射线、硬?X~V10 6?U?A0 1 2 4.0例：
eUeUcm
hc
p
h
)2( 20?
二,实验验证
1.戴维孙 —— 革末实验
1923年,用电子散射实验研究镍原子结构
1925年,偶然事件后实验曲线反常，出现若干峰值，当时未和衍射联系起来。
1926年,了解德布罗意物质波假设
1927年,有意识寻求电子波实验依据,2~3个月出成果，观察到电子衍射现象。
50
5 10 2015 250
I
U
54
与德布罗意物质波假设相符用 X光衍射理论 （ P490 布喇格公式）
kd65s i n2
A65.1
1?k kd s i n2
A67.1
54
25.1225.12
U?
用德布罗意理论
2,汤姆生实验单晶的劳厄相 多晶的德拜相用高能电子束（ 10－ 40keV）直接穿过厚 10-8m
的单 /多晶膜，得到电子衍射照片大量随机取向的微小晶体用电子波衍射测出的晶格常数与用 X光衍射测定的相同戴维孙（美,1881－ 1958）和汤姆生（英,1892－
1975）共同获得 1937年诺贝尔物理奖发现电子的
J.J.汤姆孙之子小资料
3,其它实验
*中性微观粒子，
具有波粒二象性
1936年,中子束衍射
1929年,斯特恩氢分子衍射
-20 -10 0 10 20 方位角强度误差 < 2%
1961年,电子单缝、双缝、多缝衍射
1986年,证实固体中电子的波动性
*微观粒子的波粒二象性是得到实验证实的科学结论
1.波由粒子组成，波动性是粒子相互作用的次级效应实验否定,电子一个个通过单缝，长时间积累也出现衍射效应
...,.,
.,.
三,对实物粒子波粒二象性的理解历史上有代表性的观点,
2,粒子由波组成，是不同频率的波叠加而成的“波包”
实验否定单个电子不能形成衍射花样介质中频率不同的波 u 不同，波包应发散，
但未见电子“发胖”
不同介质界面波应反射，折射，但未见电子
“碎片”
波或粒子？
在经典框架内无法统一
,波和粒子”？
山重水复疑无路，柳暗花明又一村 。
一种崭新的观念和优美的数学方法 悄然而生
3.玻恩“概率波”说（ 1954年诺贝尔奖）
NNhIhE,
光 — 光子流回顾,光的衍射条纹明暗分布 —— 屏上光子数分布强度分布曲线 —— 光子堆积曲线设想,是如何运动的？光子一个个通过，光子光强,?I
通过光栅到达屏上某点通过哪个缝落到哪一点？
起点，终点，轨道均不确定,只能作概率性判断亮纹,光子到达概率大次亮纹,光子到达概率小暗纹,光子到达概率为零光强分布 —— 光子落点概率分布,
,光子波” —— 概率波类比,与实物粒子相联系的物质波 —— 概率波物质波的强度分布反映实物粒子出现在空间各处的概率
...,..
..,强度大,电子到达概率大强度小,电子到达概率小零强度,电子到达概率为零
4,微观粒子不同于经典粒子，也不同于经典波
子弹干涉实验子弹总是整颗到达，打开两孔的效应是单独打开每孔效应之和：
P12＝ P1＋ P2,不呈现干涉现象。
水波干涉实验打开两孔的效应不是单独打开每孔效应之和：
呈现干涉现象。
c o s2 212112 IIIII
2112 III
电子干涉实验电子总是像粒子一样以颗粒形式到达，但是其到达的概率分布像波的强度分布，打开两孔的效应不是单独打开每孔效应之和：
呈现干涉现象。2112 PPP
比较：
微观粒子的运动具有不确定性，不遵从经典力学方程，
只能用物质波的强度作概率性描述。
借用经典物理量来描述微观客体时，必须对经典物理量的相互关系和结合方式加以限制。其 定量表达
—— 海森伯不确定关系。
人们还在继续探索物质波的本质，但无论其物理实质是什么，物质波的强度代表着微观粒子在空间的概率分布已经是没有疑问的了。
德国理论物理学家。他在 1925年为量子力学的创立作出了最早的贡献，于 26岁时提出的不确定关系，与玻恩的波函数统计解释共同奠定了量子力学诠释的物理基础。为此，
他于 1932年获诺贝尔物理学奖。
海森伯（ W.K.Heisenberg） 1901--1976
§ 17.2 不确定关系一、位置与动量的不确定关系以电子束单缝衍射为例：
...,..
...
2度只计中央明纹区，角宽s i na
电子如何进入中央明纹区的？
s i na
位置不确定量,ax
不确定量动量 xp
p?
yp
xp?
0?xp正中
s i npp x?边沿
hpx x
a
h
a
hpp
x
s i n
考虑次级明纹
hpx x
更一般的推导
2/4hpx x
)sJ1005.12( 34h?
xpx
ypy
zpz
pq
位置与动量间的不确定关系：推广得坐标的不确定量该方向上动量分量的不确定量
0;,
x
px x位置完全确定
xp 动量分量完全不确定粒子如何运动？,轨道”概念失去意义
0;,
x
x
p
xp 动量完全确定
x 位置完全不确定粒子在何处？
物理意义：
1）微观粒子运动过程中，其坐标的不确定量与该方向上动量分量的不确定量相互制约
xpx
与经典描述比较（以一维运动为例）
经典描述量子描述状态参量 轨迹 相空间状态 变化 图形
xp
x
完全确定
xpx
确定失去意义点相格
)( xpx
线带物理意义：
2） 微观粒子永远不可能静止 —— 存在 零点能,
否则,x 和 xp 均有完全确定的值，违反不确定关系。
（热运动不可能完全停止,0 K 不能实现）
xpx
海森伯的原理只是发出警告的路牌：,普通的语言只能应用到这里为止,,当你走到原子领域时，
就会遇到麻烦。
－－－维斯科夫解,设光子沿 x 方向运动由
hp
x? 2|| hp x
又
xpx
22
22
h
h
px x
m0 4 8.0102 1032 67
练习
610,A3 0 0 0
o光子求,光子位置的不确定量已知：
本章共 3讲第五篇 量子现象和量子规律第 17章 量子力学的基本原理第十七章 量子力学基本原理结构框图物质波假设及其实验验证 不确定关系波函数（概率幅） 薛定谔方程 薛定谔方程的简单应用
*量子力学解释理论的发展这把人们引导到一个不可分割的整体性的新观念 … 这个新观念把世界的独立的
“基元部分”是最基本的实在这个通常观念颠倒过来了。与之相反，我们说，整个宇宙的相互连接性才是最基本的实在，它的各个“部分”仅仅是这个整体内的特殊的、偶然的形式。
－－玻姆（英,1917－ 1992）
D.J.Bohm
重点：
德布罗意公式不确定关系物质波波函数及其统计解释薛定谔方程及其在一维无限深势阱中的应用学时,6
难点：
实物粒子的波粒二象性概率波窗口,扫描隧道显微镜、纳米技术旧量子论,在经典理论框架中引入量子假设,通过革新基本观念，解决各局部领域的问题。
量子力学,从基本属性上认识微观粒子的运动规律
§ 17.1 物质波假设及其实验验证一,德布罗意物质波假设
1.基本思想,自然界是对称统一的，光与实物粒子应该有共同的本性。
整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研究方法来，是过于忽视了粒子的研究方法；在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关于粒子图象想得太多，而过分地忽略了波的图象呢？
－－－ 德布罗意L.V.de Broglie
1892 —— 1987
回顾,光的本性的两个不同侧面波动性,表现在传播过程中 （干涉、衍射）
粒子性,表现在与物质相互作用中
（光电效应、康普顿效应、电子偶效应）
无法用经典语言（波动或粒子）准确建立光的模型。
光的量子理论模型－光子
c
h
c
E
m
h
mcp
mc
hc
hE
2
2
借用经典“波”和“粒子”术语，
但既不是经典波，又不是经典粒子具有“波粒二象性”
人类对光的本性的认识过程启发了 德布罗意。
,辐射 —— 波与量子,
,光学 —— 光量子、衍射和干涉,
,量子气体运动理论及费马原理,
1923年 9-10月,法国科学院通报,,
1924年博士论文：,量子理论研究,
提出实物粒子“波粒二象性”概念及实验验证思路，
并获得 1929年诺贝尔物理奖。
对称性,实物粒子与光类比物质波实物粒子
)0( 0?m
光
)0( 0?m 物理光学 —— 波动说几何光学 —— 粒子说传统力学 —— 粒子性波动力学 —— 波动性量子力学
,波粒二象性”
光子说对当时最有生命力的理论的把握：
普朗克能量子理论,
爱因斯坦光量子理论 ……
为什么 德布罗意能够提出如此具有独创性的见解？
先进的科学观念 —— 自然界的对称性自然界是对称统一的，光与实物粒子应该有共同的本性。
创造性思维模式：
非逻辑思维（ 联想,想象,类比,灵感 … ）
2,对物质波的描述
h
mvp
hmcE
2德布罗意公式简洁地把对粒子描述手段和对波的描述手段
pE,
,
联系到一起德布罗意波长
1) 与光子比较光子?hmcE 2
hmcp
实物粒子?hmcE
2?hmvp
cv?
练习,设光子与电子的德布罗意波长均为 λ,
试比较其动量和能量大小是否相同。
hp?
光?
hp
e?
epp?光
2mcE e?
v
m vc2?
v
pc2?
hc
v
c?
光Ev
c
光EE e?
hchE
光又
u
h
mc
mv
h 2
cvc
2
注意,电子物质波波速 u? 电子运动速率 v
波的相速度（对物质波而言没有物理意义）
与 c 是自然界的极限速率不矛盾思考：
光Ec
uhc
c
uhuhE
e
是否与 c 是自然界的极限速率矛盾
cuEE e 光
2) 物质波数量级概念子弹,kg01.0?m 1sm3 0 0v
( m )1021.2 34 mvh?
地球,kg1098.5 24m 1skm8.29公转v
mv
h
( m )1072.31098.21098.5 1063.6 63424 34
宏观物质 λ 均太小，难以觉察其波动特性两种特例：
)A(25.122 o
0 UeUm
h
0k EE VMe51.0eU（ 1）
V100?U oA225.1 光X~例：
电子,22202 pcEE
2
0
2
0
2
0
2 )(11 EEE
cEEcp k
2
kk02
1 EEE
c
eUE?k
eUeUcm
hc
p
h
)2( 20?
可以用晶体对电子的衍射来显示其波动性，
检验德布罗意公式的正确性
（ 2）
0k EE
A
UeU
hc 41024.1
射线、硬?X~V10 6?U?A0 1 2 4.0例：
eUeUcm
hc
p
h
)2( 20?
二,实验验证
1.戴维孙 —— 革末实验
1923年,用电子散射实验研究镍原子结构
1925年,偶然事件后实验曲线反常，出现若干峰值，当时未和衍射联系起来。
1926年,了解德布罗意物质波假设
1927年,有意识寻求电子波实验依据,2~3个月出成果，观察到电子衍射现象。
50
5 10 2015 250
I
U
54
与德布罗意物质波假设相符用 X光衍射理论 （ P490 布喇格公式）
kd65s i n2
A65.1
1?k kd s i n2
A67.1
54
25.1225.12
U?
用德布罗意理论
2,汤姆生实验单晶的劳厄相 多晶的德拜相用高能电子束（ 10－ 40keV）直接穿过厚 10-8m
的单 /多晶膜，得到电子衍射照片大量随机取向的微小晶体用电子波衍射测出的晶格常数与用 X光衍射测定的相同戴维孙（美,1881－ 1958）和汤姆生（英,1892－
1975）共同获得 1937年诺贝尔物理奖发现电子的
J.J.汤姆孙之子小资料
3,其它实验
*中性微观粒子，
具有波粒二象性
1936年,中子束衍射
1929年,斯特恩氢分子衍射
-20 -10 0 10 20 方位角强度误差 < 2%
1961年,电子单缝、双缝、多缝衍射
1986年,证实固体中电子的波动性
*微观粒子的波粒二象性是得到实验证实的科学结论
1.波由粒子组成，波动性是粒子相互作用的次级效应实验否定,电子一个个通过单缝，长时间积累也出现衍射效应
...,.,
.,.
三,对实物粒子波粒二象性的理解历史上有代表性的观点,
2,粒子由波组成，是不同频率的波叠加而成的“波包”
实验否定单个电子不能形成衍射花样介质中频率不同的波 u 不同，波包应发散，
但未见电子“发胖”
不同介质界面波应反射，折射，但未见电子
“碎片”
波或粒子？
在经典框架内无法统一
,波和粒子”？
山重水复疑无路，柳暗花明又一村 。
一种崭新的观念和优美的数学方法 悄然而生
3.玻恩“概率波”说（ 1954年诺贝尔奖）
NNhIhE,
光 — 光子流回顾,光的衍射条纹明暗分布 —— 屏上光子数分布强度分布曲线 —— 光子堆积曲线设想,是如何运动的？光子一个个通过，光子光强,?I
通过光栅到达屏上某点通过哪个缝落到哪一点？
起点，终点，轨道均不确定,只能作概率性判断亮纹,光子到达概率大次亮纹,光子到达概率小暗纹,光子到达概率为零光强分布 —— 光子落点概率分布,
,光子波” —— 概率波类比,与实物粒子相联系的物质波 —— 概率波物质波的强度分布反映实物粒子出现在空间各处的概率
...,..
..,强度大,电子到达概率大强度小,电子到达概率小零强度,电子到达概率为零
4,微观粒子不同于经典粒子，也不同于经典波
子弹干涉实验子弹总是整颗到达，打开两孔的效应是单独打开每孔效应之和：
P12＝ P1＋ P2,不呈现干涉现象。
水波干涉实验打开两孔的效应不是单独打开每孔效应之和：
呈现干涉现象。
c o s2 212112 IIIII
2112 III
电子干涉实验电子总是像粒子一样以颗粒形式到达，但是其到达的概率分布像波的强度分布，打开两孔的效应不是单独打开每孔效应之和：
呈现干涉现象。2112 PPP
比较：
微观粒子的运动具有不确定性，不遵从经典力学方程，
只能用物质波的强度作概率性描述。
借用经典物理量来描述微观客体时，必须对经典物理量的相互关系和结合方式加以限制。其 定量表达
—— 海森伯不确定关系。
人们还在继续探索物质波的本质，但无论其物理实质是什么，物质波的强度代表着微观粒子在空间的概率分布已经是没有疑问的了。
德国理论物理学家。他在 1925年为量子力学的创立作出了最早的贡献，于 26岁时提出的不确定关系，与玻恩的波函数统计解释共同奠定了量子力学诠释的物理基础。为此，
他于 1932年获诺贝尔物理学奖。
海森伯（ W.K.Heisenberg） 1901--1976
§ 17.2 不确定关系一、位置与动量的不确定关系以电子束单缝衍射为例：
...,..
...
2度只计中央明纹区，角宽s i na
电子如何进入中央明纹区的？
s i na
位置不确定量,ax
不确定量动量 xp
p?
yp
xp?
0?xp正中
s i npp x?边沿
hpx x
a
h
a
hpp
x
s i n
考虑次级明纹
hpx x
更一般的推导
2/4hpx x
)sJ1005.12( 34h?
xpx
ypy
zpz
pq
位置与动量间的不确定关系：推广得坐标的不确定量该方向上动量分量的不确定量
0;,
x
px x位置完全确定
xp 动量分量完全不确定粒子如何运动？,轨道”概念失去意义
0;,
x
x
p
xp 动量完全确定
x 位置完全不确定粒子在何处？
物理意义：
1）微观粒子运动过程中，其坐标的不确定量与该方向上动量分量的不确定量相互制约
xpx
与经典描述比较（以一维运动为例）
经典描述量子描述状态参量 轨迹 相空间状态 变化 图形
xp
x
完全确定
xpx
确定失去意义点相格
)( xpx
线带物理意义：
2） 微观粒子永远不可能静止 —— 存在 零点能,
否则,x 和 xp 均有完全确定的值，违反不确定关系。
（热运动不可能完全停止,0 K 不能实现）
xpx
海森伯的原理只是发出警告的路牌：,普通的语言只能应用到这里为止,,当你走到原子领域时，
就会遇到麻烦。
－－－维斯科夫解,设光子沿 x 方向运动由
hp
x? 2|| hp x
又
xpx
22
22
h
h
px x
m0 4 8.0102 1032 67
练习
610,A3 0 0 0
o光子求,光子位置的不确定量已知：
