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本章共 3讲第六篇 多粒子体系的热运动第 19章 近独立粒子体系的统计规律
§ 19.3 M-B统计在理想气体中的应用（续）
理想气体分子的各种平均能量按自由度均分三,能均分定律 理想气体内能一,麦克斯韦分子速率分布定律二,玻尔兹曼粒子按势能分布规律
1.模型的改进推导 压强 公式,理想气体分子 ——质点讨论 能量 问题,能否不考虑分子内部结构，
仍采用质点模型,为什么？
讨论能量问题：要包含转动和振动能量，
从而将分子视为 ——质点组各个分子无规运动，能量不断变化。
平衡态下，大量分子系统：
分子各种运动形式的能量分布及平均总能量均遵守统计规律 --各种平均能量按自由度均分,
分子热运动平动转动分子内原子间振动
2,自由度,确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数
srti
总自由度数 =平动自由度 +转动自由度 +振动自由度
3 ti
1） 质点,只有平动，最多三个自由度 ),,( zyx
受限制时自由度减少飞机（ 视为质点 ）
t =3
轮船
t =2
火车
t =1
2） 刚体决定质心位置 )z,y,x(
过质心转轴方位 之二）,,(
刚体相对于轴的方位 )(
xz
o
y
zyxc,,
1co sco sco s 222
t =3
r =3
最多 6个自由度,i = t +r = 6
定轴刚体,i = r = 1 )(?
平动自由度：
转动自由度：
3）气体分子质心位置 t = 3
2,21?rmm 连线方位
1,21?smm 相对于质心的位置双原子分子 —轻弹簧联系的两个质点
6 srti
单原子分子 —自由质点 i = t =3
多原子分子（原子数 n )
最多可能自由度 i=3n
平动 t =3
转动 r =3
振动 s =3n-6
刚性多原子分子 t = 3
r = 3
s = 0
i = 6
刚性双原子分子 t = 3
r = 2
s = 0
i =5
分子的平均总动能,kTi
2k
3,能均分定律由 M-B统计得：
在温度 T 的平衡态下，物质（固，液，气）分子的每一个可能的自由度都有相同的平均动能
kT21
定性说明,由于分子频繁碰撞，动能在各运动形式、各自由度之间转移，平衡时，各种平均动能按自由度均分。
由能均分定律，其它各自由度上平均动能均为 kT
21
由温度公式
kT)vvv(mvm zyxt 232121 2222
kTvmvmvm zyx 21212121 222每个自由度上的平均平动动能：
广义,系统内所有粒子各种能量总和平动、转动、振动能量、化学能、原子能、核能,..
不包括系统整体机械能
4,理想气体的内能
1）内能 E 概念不同于相对论中总能的概念。
狭义,所有分子热运动能量和分子间相互作用势能热学中采用狭义概念
2）实际气体 的内能,（分子数 N）
所有分子的动能：
kTiNkTsrtN 2)(21
实际气体 的内能与 T,V 有关
Ep
Ek
E
AA
分子内原子振动～微振动，
采用谐振动模型：
pk EE?
所有分子内原子振动势能,kTsN
2?
分子间相互作用势能,与体积 V 有关
3） 理想气体内能：（分子数 N）
模型,分子间无相互作用 ~无分子相互作用势能分子动能,kTiN
2?
原子振动势能：
kTsN 2?
kT)srt(N 221
分子数为 N 的理想气体的内能为
kTiNNE 2k
模型,刚性分子 ~无振动自由度 rti
对 1mol 刚性分子理想气体 RTikTiNE
A 22
刚性分子理想气体对 m o l?M RT
iME
2
单原子分子 RTME 23
RTME 25刚性双原子分子刚性多原子分子 RTME 3
理想气体内能是温度 T 的单值函数练习,指出下列各式的物理意义
:kT21
:kT23
:kTi2
:RTi2
:RTiM 2?
平衡态下，物质分子每个自由度上的平均动能平衡态下，物质分子的平均平动动能平衡态下，物质分子的平均总动能平衡态下,1mol 理想气体内能理想气体内能平衡态下,m o l?M
P639 19-12练习：
一容积为 10cm3 的电子管，当温度为 300K时，将管内抽成压强为 5? 10-6 mmHg的高真空，求此时
1.管内空气分子数；
2.这些分子的平均平动动能的总和；
3.这些分子的平均转动动能的总和；
4.这些分子的平均动能的总和；
m m H g105K300cm10 63 pTV
空气 ——刚性双原子分子气体
1） N=?
1210611,
kT
pVNkT
V
Nnk Tp
).( Pa100131m m H g760a t m1 5
2) )(pVkTNN
t J102
3
2
3 8
3)
)(.pVkTNN r J1066622 9
4)
)(.pV)(NN rt J1067125 8
四,分子碰撞的统计规律分子速率分布平均动能按自由度分布都是依赖分子间频繁碰撞实现的只能求统计平均值，
寻求其统计规律。
每个分子 1秒内与其它分子相撞次数连续两次相撞间经过的时间间隔连续两次相撞间通过的路程均不确定
1,分子平均碰撞频率 z
单位时间内每个分子平均与其它分子相撞次数是否需要象计算 E 那样考虑内部结构？
思考,是否可以象求 p 那样视为质点？
1） 模型的改变：
分析分子碰撞的过程
分子间相互作用斥力00 Frr
00 Frr
引力00 Frr
00 Frr
匀速直线运动0rr
加速0rr?
m a x0 vvrr
减速0rr?
返回0 vdr
A B
d
A B
两分子相碰过程（经典模型）
分子间最小距离 d 与分子初动能有关，其统计平均值 —分子的有效直径 。 )m10( 10?一般
A B
d
分子相撞 ——视为直径为 d 的刚性小球的弹性碰撞
2) 推导公式：
“跟踪”一个分子 A，认为其它分子不动,A以平均相对速率 相对其它分子运动。u
时间 t 内,A通过的折线长以折线为轴的曲折圆柱体积圆柱内分子数
A球心轨迹：折线质心与折线距离 < d 的 分子将与 A相碰；
质心与折线距离 > d 的 分子将不与 A相碰
u
单位时间内平均碰撞次数 2dun
平均碰撞频率 vdnz 22
一般,1109 s10~10?
平均相对速率 vu 2?
A v
B
vu 2?
v?Av? Bv?
0?u
v?
v?
AB
vu 2?
u?
1） 定义分子在连续两次碰撞间通过的自由路程的平均值。
2）
ndz
v
22
1
pd
kT
22
nk Tp?
常温常压下,m1010
78 ~
为分子有效直径的数百倍注意,容器线度很小时，算出的很小，当np
容器线度这时
2.分子平均自由程?
练习,在气体放电管中，电子不断与气体分子碰撞。因为电子速率远大于气体分子的平均速率，所以可以认为气体分子不动。设气体分子的有效直径为 d,电子“有效直径”比起气体分子来可以忽略不计，求：
1.电子与气体分子的碰撞截面
2.电子与气体分子碰撞的平均自由程 （气体分子数密度 n ）
解：
222
4
1
2 d)
d()rR(s
e
1) 碰撞截面
2） 设气体分子不动，电子平均速率
ev
单位时间内与电子相碰的气体分子数：
evdnz
2
4
平均自由程：
2
4
dnz
v e
习题课,
第 19章重点：
M—B统计在理想气体中的应用两个基本概念,p,T
四个统计规律麦克斯韦分子速率分布玻尔兹曼粒子按势能分布能均分定律分子平均碰撞频率和平均自由程
kTtt 2
1,1
RTVMp
2,1
RTiME 2 3:1043:25?
10,3
解：
1,2克氢气与 2克氦气分别装在两容积相同的封闭空间，温度相同。则：
1） 氢分子与氦分子平均平动动能之比：
2） 氢气与氦气压强之比：
3） 氢气与氦气内能之比：
练习解：
2,一定量的理想气体，经等压过程从 V 2 V
则表述分子运动的下列各量与原来的量值之比是：
1） 平均自由程,___________
2） 平均速率,___________
3） 平均动能,___________
2,1
nd 22
1
22 nn,VV
RTv 8?
12,
TTnnn k Tp 2,2 不变，
kTik 2
2,1
练习
3..容器中储有一定量理想气体,温度为 T,分子质量为 m,则分子速度在 x 方向的分量的平均值为,
[ D ]
（ A）
（ C）
（ B）
（ D）
m
kTv
x?
8
3
1?
m
kTv
x?3
8?
m
kTv
x 2
3? 0?v x
练习
4.标准状态下,若氧气和氦气的体积比 V1/V2 = 1/2,
则其内能 E1/E2为,
（ A） 1/2 ; （ B） 5/6 ;
（ C） 3/2 ; （ D） 1/3,
6
5
2
1
3
5;
22 22
11
2
1
Vi
Vi
E
EpViRTiME
[ B ]
5,水蒸气分解为同温度 T 的氢气和氧气,即
H2O?H2+0.5O2 内能增加了多少？
（ A） 50% （ B） 25%
（ C） 66.7% （ D） 0.
练习
[ B ] 41;43
45:m o l5.0
25:m o l1
26:m o l1
2
2
2
EERTE
RTEO
RTEH
RTEOH
6.在恒定不变的压强下，气体分子的平均碰撞频率与气体的热力学温度 T 的关系为,
z
练习
[ C ] Tm
kT
kT
p
d
vndz
1
8
2
2
2
2
(A) 与 T 无关。z (B) 与 成正比。T
(C) 与 成反比。 (D) 与 T 成正比。
z
z zT
7.下列各式中哪一种表示气体分子的平均平动动能？
（式中 M 为气体的质量,m 为气体分子的质量,N 为气体分子总数目,n 为气体分子密度,N0 为阿伏加德罗常数,Mmol为摩尔质量。）
（ A）
（ C）
（ B）
（ D）;23 pVMm ;2
3
m o l
pVMM
.23 0m o l pVNMM;23 npV
练习
[ A ]
pVMmMM R TMmmMmMNRTkTt 23232323
m o l0
8.一瓶氦气 He 和一瓶氮气 N2 质量密度相同,分子平均平动动能相同,而且都处于平衡状态,则它们：
（ A）温度相同、压强相同。
（ B）温度、压强都不同。
（ C）温度相同,但氦气的压强大于氮气的压强。
（ D）温度相同,但氦气的压强小于氮气的压强。
练习
[ C ] mmkTn k Tpnm kTt 1,,23
9,有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边，如果其中的一边装有 0.1kg某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边应装入同一温度的氧气质量为：
k g,3,2 ( D )k g,1,6 ( C )
k g,0,8 ( B )k g,16/1 ( A )
练习
[ C ] 1:16
2222
2222
HOHO
HHOO
mmMM
mMmM
kT
V
mM
nk Tp
10.汽缸内盛有一定的理想气体,当温度不变,压强增大一倍时,该分子的平均碰撞频率和平均自由程的变化情况是：
练习
（ A） 和 都增大一倍；
（ B） 和 都减为原来的一半；
（ C） 增大一倍而 减为原来的一半；
（ D） 减为原来的一半而 增大一倍。
z?
z?
z?
z?
[ C ]
nd
vndz
nn k TpcT
2
2
2
1,2
,,
11,一定量理想气体,vP1,vP2 分别是分子在温度
T1,T2 时的最概然速率,相应的分子速率分布函数的最大值分别为 f（ vP1）和 f（ vP2）,当 T1> T2时,
（ A） vP1 > vP2 f（ vP1） < f（ vP2） ;
（ B） vP1 <vP2 f（ vP1） < f（ vP2） ;
（ C） vP1 > vP2 f（ vP1） > f（ vP2） ;
（ D） vP1 < vP2 f（ vP1） > f（ vP2）,
练习
[ A ]
o v
)v(f
1pv
1T
21 TT?
2pv
m一定
2T
[ D ]
12.已知氢气与氧气的温度相同，请判断下列说法哪个正确？
（ A）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的压强一定大于氢气的压强。
（ B）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气密度一定大于氢气的密度。
（ C）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子的速率大。
（ D）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的方均根速率一定比氧分子的方均根速率大。
练习
本章共 3讲第六篇 多粒子体系的热运动第 19章 近独立粒子体系的统计规律
§ 19.3 M-B统计在理想气体中的应用（续）
理想气体分子的各种平均能量按自由度均分三,能均分定律 理想气体内能一,麦克斯韦分子速率分布定律二,玻尔兹曼粒子按势能分布规律
1.模型的改进推导 压强 公式,理想气体分子 ——质点讨论 能量 问题,能否不考虑分子内部结构，
仍采用质点模型,为什么？
讨论能量问题：要包含转动和振动能量，
从而将分子视为 ——质点组各个分子无规运动，能量不断变化。
平衡态下，大量分子系统：
分子各种运动形式的能量分布及平均总能量均遵守统计规律 --各种平均能量按自由度均分,
分子热运动平动转动分子内原子间振动
2,自由度,确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数
srti
总自由度数 =平动自由度 +转动自由度 +振动自由度
3 ti
1） 质点,只有平动，最多三个自由度 ),,( zyx
受限制时自由度减少飞机（ 视为质点 ）
t =3
轮船
t =2
火车
t =1
2） 刚体决定质心位置 )z,y,x(
过质心转轴方位 之二）,,(
刚体相对于轴的方位 )(
xz
o
y
zyxc,,
1co sco sco s 222
t =3
r =3
最多 6个自由度,i = t +r = 6
定轴刚体,i = r = 1 )(?
平动自由度：
转动自由度：
3）气体分子质心位置 t = 3
2,21?rmm 连线方位
1,21?smm 相对于质心的位置双原子分子 —轻弹簧联系的两个质点
6 srti
单原子分子 —自由质点 i = t =3
多原子分子（原子数 n )
最多可能自由度 i=3n
平动 t =3
转动 r =3
振动 s =3n-6
刚性多原子分子 t = 3
r = 3
s = 0
i = 6
刚性双原子分子 t = 3
r = 2
s = 0
i =5
分子的平均总动能,kTi
2k
3,能均分定律由 M-B统计得：
在温度 T 的平衡态下，物质（固，液，气）分子的每一个可能的自由度都有相同的平均动能
kT21
定性说明,由于分子频繁碰撞，动能在各运动形式、各自由度之间转移，平衡时，各种平均动能按自由度均分。
由能均分定律，其它各自由度上平均动能均为 kT
21
由温度公式
kT)vvv(mvm zyxt 232121 2222
kTvmvmvm zyx 21212121 222每个自由度上的平均平动动能：
广义,系统内所有粒子各种能量总和平动、转动、振动能量、化学能、原子能、核能,..
不包括系统整体机械能
4,理想气体的内能
1）内能 E 概念不同于相对论中总能的概念。
狭义,所有分子热运动能量和分子间相互作用势能热学中采用狭义概念
2）实际气体 的内能,（分子数 N）
所有分子的动能：
kTiNkTsrtN 2)(21
实际气体 的内能与 T,V 有关
Ep
Ek
E
AA
分子内原子振动～微振动，
采用谐振动模型：
pk EE?
所有分子内原子振动势能,kTsN
2?
分子间相互作用势能,与体积 V 有关
3） 理想气体内能：（分子数 N）
模型,分子间无相互作用 ~无分子相互作用势能分子动能,kTiN
2?
原子振动势能：
kTsN 2?
kT)srt(N 221
分子数为 N 的理想气体的内能为
kTiNNE 2k
模型,刚性分子 ~无振动自由度 rti
对 1mol 刚性分子理想气体 RTikTiNE
A 22
刚性分子理想气体对 m o l?M RT
iME
2
单原子分子 RTME 23
RTME 25刚性双原子分子刚性多原子分子 RTME 3
理想气体内能是温度 T 的单值函数练习,指出下列各式的物理意义
:kT21
:kT23
:kTi2
:RTi2
:RTiM 2?
平衡态下，物质分子每个自由度上的平均动能平衡态下，物质分子的平均平动动能平衡态下，物质分子的平均总动能平衡态下,1mol 理想气体内能理想气体内能平衡态下,m o l?M
P639 19-12练习：
一容积为 10cm3 的电子管，当温度为 300K时，将管内抽成压强为 5? 10-6 mmHg的高真空，求此时
1.管内空气分子数；
2.这些分子的平均平动动能的总和；
3.这些分子的平均转动动能的总和；
4.这些分子的平均动能的总和；
m m H g105K300cm10 63 pTV
空气 ——刚性双原子分子气体
1） N=?
1210611,
kT
pVNkT
V
Nnk Tp
).( Pa100131m m H g760a t m1 5
2) )(pVkTNN
t J102
3
2
3 8
3)
)(.pVkTNN r J1066622 9
4)
)(.pV)(NN rt J1067125 8
四,分子碰撞的统计规律分子速率分布平均动能按自由度分布都是依赖分子间频繁碰撞实现的只能求统计平均值，
寻求其统计规律。
每个分子 1秒内与其它分子相撞次数连续两次相撞间经过的时间间隔连续两次相撞间通过的路程均不确定
1,分子平均碰撞频率 z
单位时间内每个分子平均与其它分子相撞次数是否需要象计算 E 那样考虑内部结构？
思考,是否可以象求 p 那样视为质点？
1） 模型的改变：
分析分子碰撞的过程
分子间相互作用斥力00 Frr
00 Frr
引力00 Frr
00 Frr
匀速直线运动0rr
加速0rr?
m a x0 vvrr
减速0rr?
返回0 vdr
A B
d
A B
两分子相碰过程（经典模型）
分子间最小距离 d 与分子初动能有关，其统计平均值 —分子的有效直径 。 )m10( 10?一般
A B
d
分子相撞 ——视为直径为 d 的刚性小球的弹性碰撞
2) 推导公式：
“跟踪”一个分子 A，认为其它分子不动,A以平均相对速率 相对其它分子运动。u
时间 t 内,A通过的折线长以折线为轴的曲折圆柱体积圆柱内分子数
A球心轨迹：折线质心与折线距离 < d 的 分子将与 A相碰；
质心与折线距离 > d 的 分子将不与 A相碰
u
单位时间内平均碰撞次数 2dun
平均碰撞频率 vdnz 22
一般,1109 s10~10?
平均相对速率 vu 2?
A v
B
vu 2?
v?Av? Bv?
0?u
v?
v?
AB
vu 2?
u?
1） 定义分子在连续两次碰撞间通过的自由路程的平均值。
2）
ndz
v
22
1
pd
kT
22
nk Tp?
常温常压下,m1010
78 ~
为分子有效直径的数百倍注意,容器线度很小时，算出的很小，当np
容器线度这时
2.分子平均自由程?
练习,在气体放电管中，电子不断与气体分子碰撞。因为电子速率远大于气体分子的平均速率，所以可以认为气体分子不动。设气体分子的有效直径为 d,电子“有效直径”比起气体分子来可以忽略不计，求：
1.电子与气体分子的碰撞截面
2.电子与气体分子碰撞的平均自由程 （气体分子数密度 n ）
解：
222
4
1
2 d)
d()rR(s
e
1) 碰撞截面
2） 设气体分子不动，电子平均速率
ev
单位时间内与电子相碰的气体分子数：
evdnz
2
4
平均自由程：
2
4
dnz
v e
习题课,
第 19章重点：
M—B统计在理想气体中的应用两个基本概念,p,T
四个统计规律麦克斯韦分子速率分布玻尔兹曼粒子按势能分布能均分定律分子平均碰撞频率和平均自由程
kTtt 2
1,1
RTVMp
2,1
RTiME 2 3:1043:25?
10,3
解：
1,2克氢气与 2克氦气分别装在两容积相同的封闭空间，温度相同。则：
1） 氢分子与氦分子平均平动动能之比：
2） 氢气与氦气压强之比：
3） 氢气与氦气内能之比：
练习解：
2,一定量的理想气体，经等压过程从 V 2 V
则表述分子运动的下列各量与原来的量值之比是：
1） 平均自由程,___________
2） 平均速率,___________
3） 平均动能,___________
2,1
nd 22
1
22 nn,VV
RTv 8?
12,
TTnnn k Tp 2,2 不变，
kTik 2
2,1
练习
3..容器中储有一定量理想气体,温度为 T,分子质量为 m,则分子速度在 x 方向的分量的平均值为,
[ D ]
（ A）
（ C）
（ B）
（ D）
m
kTv
x?
8
3
1?
m
kTv
x?3
8?
m
kTv
x 2
3? 0?v x
练习
4.标准状态下,若氧气和氦气的体积比 V1/V2 = 1/2,
则其内能 E1/E2为,
（ A） 1/2 ; （ B） 5/6 ;
（ C） 3/2 ; （ D） 1/3,
6
5
2
1
3
5;
22 22
11
2
1
Vi
Vi
E
EpViRTiME
[ B ]
5,水蒸气分解为同温度 T 的氢气和氧气,即
H2O?H2+0.5O2 内能增加了多少？
（ A） 50% （ B） 25%
（ C） 66.7% （ D） 0.
练习
[ B ] 41;43
45:m o l5.0
25:m o l1
26:m o l1
2
2
2
EERTE
RTEO
RTEH
RTEOH
6.在恒定不变的压强下，气体分子的平均碰撞频率与气体的热力学温度 T 的关系为,
z
练习
[ C ] Tm
kT
kT
p
d
vndz
1
8
2
2
2
2
(A) 与 T 无关。z (B) 与 成正比。T
(C) 与 成反比。 (D) 与 T 成正比。
z
z zT
7.下列各式中哪一种表示气体分子的平均平动动能？
（式中 M 为气体的质量,m 为气体分子的质量,N 为气体分子总数目,n 为气体分子密度,N0 为阿伏加德罗常数,Mmol为摩尔质量。）
（ A）
（ C）
（ B）
（ D）;23 pVMm ;2
3
m o l
pVMM
.23 0m o l pVNMM;23 npV
练习
[ A ]
pVMmMM R TMmmMmMNRTkTt 23232323
m o l0
8.一瓶氦气 He 和一瓶氮气 N2 质量密度相同,分子平均平动动能相同,而且都处于平衡状态,则它们：
（ A）温度相同、压强相同。
（ B）温度、压强都不同。
（ C）温度相同,但氦气的压强大于氮气的压强。
（ D）温度相同,但氦气的压强小于氮气的压强。
练习
[ C ] mmkTn k Tpnm kTt 1,,23
9,有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边，如果其中的一边装有 0.1kg某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边应装入同一温度的氧气质量为：
k g,3,2 ( D )k g,1,6 ( C )
k g,0,8 ( B )k g,16/1 ( A )
练习
[ C ] 1:16
2222
2222
HOHO
HHOO
mmMM
mMmM
kT
V
mM
nk Tp
10.汽缸内盛有一定的理想气体,当温度不变,压强增大一倍时,该分子的平均碰撞频率和平均自由程的变化情况是：
练习
（ A） 和 都增大一倍；
（ B） 和 都减为原来的一半；
（ C） 增大一倍而 减为原来的一半；
（ D） 减为原来的一半而 增大一倍。
z?
z?
z?
z?
[ C ]
nd
vndz
nn k TpcT
2
2
2
1,2
,,
11,一定量理想气体,vP1,vP2 分别是分子在温度
T1,T2 时的最概然速率,相应的分子速率分布函数的最大值分别为 f（ vP1）和 f（ vP2）,当 T1> T2时,
（ A） vP1 > vP2 f（ vP1） < f（ vP2） ;
（ B） vP1 <vP2 f（ vP1） < f（ vP2） ;
（ C） vP1 > vP2 f（ vP1） > f（ vP2） ;
（ D） vP1 < vP2 f（ vP1） > f（ vP2）,
练习
[ A ]
o v
)v(f
1pv
1T
21 TT?
2pv
m一定
2T
[ D ]
12.已知氢气与氧气的温度相同，请判断下列说法哪个正确？
（ A）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的压强一定大于氢气的压强。
（ B）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气密度一定大于氢气的密度。
（ C）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子的速率大。
（ D）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的方均根速率一定比氧分子的方均根速率大。
练习
