汽车优化设计汽车工程学院汽车系任课教师：杜小芳 杨波
2
参考文献
孙靖民,机械优化设计,机械工业出版社
刘惟信，孟嗣宗,机械最优化设计,清华大学出版社
张宝生，李杰，林明芳,汽车优化设计理论与方法,机械工业出版社
3
绪 论一,机械的设计方法二,优化设计方法简介三,最优化方法的发展概况
4
一,机械的设计方法二 )机械的现代优化设计方法
---基于手工劳动或简易计算工具设计过程 ---
特 点 ---
---基于计算机的应用低效,一般只能获得一个可行的设计方案,
① 从实际问题中抽象出数学模型 ;
② 选择合适的优化方法求解数学模型,
以人机配合或自动搜索方式进行,能从
,所有的,可行方案中找出,最优的,设计方案,
一 )机械的传统设计方法三）传统设计与优化设计的对比调查分析方案拟定技术设计试验验证产品制造零件试制经验或直观判断传统设计方法估算、经验类比或试验分析计算性能检验参数修改被动的重复分析方案数量有限计算机辅助设计的最优化设计方法建立数学模型选择优化算法优化结果评价主动设计大量可行方案
6
二,优化设计方法简介
1)古典方法,
2)现代方法,
有线性规划、非线性规划、几何规划、动态规划和混合离散规划等。
微分法 ; 变分法,
---仅能解决简单的极值问题数学规划方法
---可求解包含等式约束和不等式约束的复杂的优化问题,
7
三,最优化方法的发展概况
---是适于生产建设、计划管理、科学实验和战争的需要发展起来的。
1） 二十世纪三十年代,前苏联 Канторович
根据生产组织和计划管理的需要提出线性规划问题,在第二次世界大战期间出于战争运输需要,提出 线性规划问题的解法；
2） 二十世纪五十年代末,H.W.Kuhn & A.W.Tucker提出非线性规划 的基本定理,奠定了非线性规划的理论基础,
其求解方法在六十年代获得飞速发展 ;
8
3)二十世纪六十年代,美数学家 R.J.Duffin 提出了 几何规划,可把高度非线性的问题转化为具有线性约束的问题来求解,使计算大为简化 ;
4) 动态规划 由 R.Bellman 创立,可解与时间有关的最优化问题 ;
5) 混合离散规划 是二十世纪八十年代提出的,目前仍在发展过程中,
* 最优化方法用于机械设计是从二十世纪六十年代开始的,
较早的成果主要反映在机构的优化设计方面,现已广泛用于机械零部件设计和机械系统的优化设计,
9
优化设计的主要内容一）优化设计概论二）优化设计的数学基础三）一维搜索方法四）无约束优化方法五）线性规划方法六）约束优化方法七）多目标优化方法八）优化设计实例
10
第一章 最优化设计概论一,引例二,设计变量三,目标函数和等值线四,约束条件五,最优化设计的数学模型六,优化计算的迭代方法
11
9 2 4 7 7.13
0 7 7 2 1 4.1,1 5 4 5 2 5.2,1 5 4 3 5 1.2 321
f
xxx
其解为,
321,,xxx
321,,xxx
)(2),,( 313221321 xxxxxxxxxf
5
0
0
0
04
3211
34
23
12
11
xxxh
xg
xg
xg
xg
解,设货箱的长、宽、高分别为,该问题可表示为,
求使 达到最小满足于
3m
一,引例
1,要用薄钢板制造一体积为 5 的长方形汽车货箱 (无上盖 ),
其长度要求不超过 4m.问如何设计可使耗用的钢板表面积最小?
1x
2x
3x
12
0
m in
4
2
1
0 2 3 0 5.44
3 6 9 6 9.95
0 1 1 8 1.65
5 3 3 7 7.25
:
l
l
l
求解结果
min?421,,lll
32
2142322
m i n 2
)(c o sm i n
ll
llll
0c o s
)2/(s i n2
0
180)(2
)(
a r c c o s
)(2
)(
a r c c o s
0
0
0
0
2
1
2
2
22
3
2
2
2
1
412
2
3
2
4
2
12
412
2
3
2
4
2
12
101
4321
4321
4321
ll
lll
lll
llll
lll
llll
ll
llll
llll
llll
该问题可表示为求使满足于
,25.1?k
00 20111 8 0 kk?
解：由 有
.25.1,32,100 03 kmml?
,20101 mmll min?
2,设计一曲柄摇杆机构,已知,
要求,使 达到最大,
1O
2O
1A
2A
1B 2B
1
2 3
4
3.平面四连杆机构的优化设计
设计目的,根据运动学的要求，确定其几何尺寸，
以实现给定的运动规律。
设计时，可在给定最大和最小传动角的前提下，当曲柄从?0位置转到?0+90时，要求摇杆的输出角最优地实现一个给定的运动规律。例如，
要求
A
C
B′
C′
φ0
ψ
ψ0
x2
x3
x4
摇杆
φ
x1 B
机架
2
0 0 0
2( ) ( )
3f
1 2 3 4,,,x x x x
目标函数：可以取机构的期望输出角和实际输出角的平方误差积分准则作为目标函数，即
A
C
B′
C′
φ0
ψ
ψ0
x2
x3
x4
摇杆
φ
x1 B
机架
2
34
0
( ) (,) [ ] m i ns i ji
i
f x f x x
0
0
22( ) [ ] d m i n
ifx
数值化
约束条件：
– 曲柄与机架共线时的传动角
– 曲柄存在的条件
A
C
B′
C′
φ0
ψ
ψ0
x2
x3
x4
摇杆
φ
x1 B
机架
2 1 3 1 4 1
2 3 1 4
4 1 2 3
4 1 3 2
,,x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
4
2
22
2 3 1
m a x m a x
23
222
2 3 4 1
m in m in
23
a r c c os
2
a r c c os
2
xx x x x
xx
x x x x
xx
4.汽车悬挂系统的优化
设计目标：通过调整汽车悬挂系统的刚度和阻尼，使得司机座位的最大加速度为最小，同时还必须满足一系列的动态响应和设计变量的 约束
系统运动方程
目标函数：使司机座位的最大绝对加速度达到最小
s
m
u
m
s
k sc
s
z
r
z
u
z
t
k
3
m
3
z
3
k 3c
,sukc
( ) ( ) ( ) ( )t t t t+ + =M c K&& &z z z f
1m a x ( ) m i nf z t= &&
约束条件
– 动挠度的限制
– 设计变量还存在一个变化范围该问题的数学模型
s
m
u
m
s
k sc
s
z
r
z
u
z
t
k
3
m
3
z
3
k 3c
1 3 2sa z z a
m i n m a xi i ix x x＃
1m a x ( ) m i nf z t= &&
34sua z z a
1 3 2sa z z a
m i n m a xi i ix x x＃
34sua z z a
目标函数约束条件
18
二,设计变量
1.设计变量
— 在设计中需进行优选的独立的待求参数；
*ⅰ) 设计常量 — 预先已给定的参数；
ⅱ) 设计方案 — 由设计常量和设计变量组成。
ⅲ) 维 数 — 设计变量的个数 n.
大型问题中型问题小型问题
50
5011
10
n
n
n
,?n通常,设计自由度,越能获得理想的结果,但求解难度,
19
ⅰ) 设计点 与 设计向量 — 每组设计变量值对应于以 n个设计变量为坐标轴的 n维空间上的一个点，该点称设计点,原点到该点的向量称设计向量,
TnxxxX ].,,[ 21?*可用数组表示：
1R 2R 3R
)4(?nR n
当设计点连续时,为直线 ; 为平面 ; 为立体空间 ;
为超越空间,
ⅱ) 设计空间 — 设计点的集合（ 维实欧氏空间 ）。n nRX?
2.设计空间
*设计点有连续与不连续之分 ;
20
三,目标函数和等值线
1x
2x
)1,2(
1?f
4?f
0?f
— 在无约束极小点处，等值线一般收缩一个点 。
2221 )1()2()( xxXf如,
2.等值线 （ 面 ） — 能使目标函数取某一定值的所有设计点的集合 ;
最好的性能 ; 最小的重量 ; 最紧凑的外形 ;
最小的生产成本 ; 最大的经济效益等,
---对极大化问题可取原函数的负值③ 常处理为极小化形式 ;
② 单目标和多目标 ；
① 常用指标,
),...,()( 21 nxxxfXf?
— 数学模型中用来评价设计方案优劣的函数式 (又称评价函数 ):
1.目标函数
21
四,约束条件
puu Xg,...,2,1,0)(
qvv Xh,.,,,2,1,0)( 为使问题有解，须使,qn?
*此外，也有将约束分成 显约束 和 隐约束 的。
---由需满足的某种性能条件而导出的约束 (如强度条件、刚度条件、曲柄存在条件等）。
041x---对某个设计变量直接给出取值范围,边界约束性能约束
(2)按约束的作用分
(1) 按约束的数学形式分不等式约束：
等式约束：
1.分类
— 对设计变量的取值范围加以限制的条件；
22
2.可行域与不可行域
D
X
1x
2x
O
0)( *?Xg u满足 的约束为起作用约束,否则为 不起作用的约束,(等式 约束一定是起作用约束 )
ⅲ )起作用的约束与不起作用的约束约束边界上的可行点为边界点,其余可行点为内点,
ⅱ) 边界点 与 内点
D内的设计点为可行点,否则为 不可行点,
*ⅰ )可行点与不可行点
D(2)不 可行域,
nRDX
— 满足约束条件的设计点的集合用 D表示,
(1)可行域
23
五,最优化设计的数学模型
TnxxxX ]...[ **2*1*?
)(mi n)( * XfXf? nRDX
0)(?Xg u pu,...,2,1?
0)(?Xh v qv,...,2,1?
求使满足于
1)按约束函数和目标函数的次数可分成 线性规划,非线性规划 。 二次规划 是非线性规划的一种特殊情况。
)(:
...:
:
21
Xff
xxxX
T
n
最优值最优点最优解包括两部分注意
2)按约束条件的数学形式可分成 IP型 问题 (Problem with
inequality constraint),EP型 问题 (Problem with equality
constraint)和 GP型 问题 (既含不等式约束也含等式约束的一般优化问题 )。
24
例,求解二维问题
05.0)( 12 xxXh
2221 )2()2()(m i n xxXf
0)( 11 xXg
0)( 22 xXg
04)( 22213 xxXg
s.t.
0
22
)1
1
1
f
X T
无约束最优解
6 8 6 2 9.0)22(2
22
)2
2
2
2
f
X
T
约束最优解
2669.1
54.058.0
)3
3
3
f
X
T
解加入等式约束时的最优
X2
X1f
1
2
3
25
六,优化计算的迭代方法
2.迭代过程
---利用计算机按某种逻辑方式反复运算,是 最基本的 方法,
1.求解数学模型的方法
1)解析法 ---对简单的无约束问题及等式约束问题 ;
2)图解法 ---对简单的低维问题 ;
3)数值迭代法
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
d(0)
d(1)
d(2)
d(k)
X(k)
X(k+1)
寻求极值点的搜索过程
( )( ) ( )( )10ff<XX
( ) ( ) ( )1 0 00ad=+XX
( ) ( ) ( )1k k kkad+ =+XX
26
ⅰ ）例：
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
( 1 )
12
,,3
11
1 2 7
3.
1 1 2
XS
X
)0(X
)(kS
)(k?
1,初始点,
2,搜索方向,
3,步长,
4,是否终止迭代,
ⅱ ） 需解决的问题,
1x
2x
o
--后三个问题是每次迭代都要解决的问题
27
3.算法的收敛性和收敛准则
.
,,lim
,.....2,1,0,
**)(
)(
收敛的则称该迭代算法是为精确解这里有极限到的近似解系列若由某迭代算法计算得
XXX
kX
k
k
k
一般根据算法对正定二次函数的求解能力来判断,能在有限步迭代中得到其极小点,称算法具有二次收敛性 。 具有 二次收敛性的 算法是 收敛速度较高的方法 。
2)算法的收敛速度
1)算法的收敛性
28
3）收敛准则
(1) 基于迭代信息的收敛准则
,531X 122X
17)51()32( 2212 XX
当相邻两个设计点的移动距离已达到充分小时。 若用向量模计算它的长度，则
当函数值的下降量已达到充分小时,即
当某次迭代点的目标函数梯度已达到充分小时,即
( ) ( )1 1kkXX e+ -
( ) ( ) ( )1 2 1,2,,kkiiX X i ne+ -? L
( )( ) ( )( )
( )( )
1
4
kk
k
f X f X
fX e
+ -
￡
( )( ) ( )( )1 3kkf X f X e+ -
( )( ) 5kfX e眩
29
（ 2）基于极值存在条件的收敛准则
T
nx
f
x
f
x
fXf?
,..)(
21
4)1( )(kXf
① 梯度准则
ⅰ ）梯度梯度是由函数各个一阶偏导数组成的矢量：
ⅱ ）梯度准则
* 对无约束问题，最优点处的各个一阶偏导数均为 0，
故函数梯度的模必为 0。
② K-T条件准则以上各准则单独使用时并非十分可靠，有时需几种准则联用。
优化设计的研究内容
优化设计,
– 就是在给定的载荷或环境条件下，在对机械产品的性能、几何尺寸关系或其他因素的限制（约束）范围内，选取设计变量，建立目标函数并使其获得最优值的一个新的设计方法。
– 建立优化设计问题的数学模型
– 选择恰当的优化方法与程序优化问题的一般流程
问题分析,根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果
结构分析,对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量
建立模型,根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数
模型调整,必要时对数学模型进行规范化，以消除各组成项之间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。
优化问题的几何解释
O x
1
x2
x﹡
g(x)＝ 0
O x
1
x2
x﹡
g(x)＝ 0
O x
1
x2
O x
1
x2
x﹡
g(x)＝ 0
x﹡
g(x)＝ 0
a) 极值点处于多角形的某一顶点上 b)极值点处于等值线的中心
c)极值点处于约束曲线与等值线的切点上 d)极值点处于两个约束曲线的交点上优化设计问题的基本解法
解析解法,把所研究的对象用数学方程（数学模型）描述出来，然后用数学解析方法（如微分法、变分方法等）求出最优解
数值解法,利用电子计算机，运用 迭代 的方法进行近似求解
– 是数值计算，而不是解析方法
– 具有简单的逻辑结构，而且要有足够的精度
– 不要求获得精确解，只要求获得足够精度的近似解局部最优和全局最优
全局最优点
局部最优点
判断方法：
– 同时取 若干个 相距甚远的点作为 初始点,考察它们最后迭代的最优解是否趋于同一解。若结果是同一解，则可以认为目标函数式单形态的，所得解为全局最优解。若结果并不相同，则可以认为它是多形态的目标函数，此时，从若干个极值点中选择其目标函数最小者作为全局最优解。
2
参考文献
孙靖民,机械优化设计,机械工业出版社
刘惟信，孟嗣宗,机械最优化设计,清华大学出版社
张宝生，李杰，林明芳,汽车优化设计理论与方法,机械工业出版社
3
绪 论一,机械的设计方法二,优化设计方法简介三,最优化方法的发展概况
4
一,机械的设计方法二 )机械的现代优化设计方法
---基于手工劳动或简易计算工具设计过程 ---
特 点 ---
---基于计算机的应用低效,一般只能获得一个可行的设计方案,
① 从实际问题中抽象出数学模型 ;
② 选择合适的优化方法求解数学模型,
以人机配合或自动搜索方式进行,能从
,所有的,可行方案中找出,最优的,设计方案,
一 )机械的传统设计方法三）传统设计与优化设计的对比调查分析方案拟定技术设计试验验证产品制造零件试制经验或直观判断传统设计方法估算、经验类比或试验分析计算性能检验参数修改被动的重复分析方案数量有限计算机辅助设计的最优化设计方法建立数学模型选择优化算法优化结果评价主动设计大量可行方案
6
二,优化设计方法简介
1)古典方法,
2)现代方法,
有线性规划、非线性规划、几何规划、动态规划和混合离散规划等。
微分法 ; 变分法,
---仅能解决简单的极值问题数学规划方法
---可求解包含等式约束和不等式约束的复杂的优化问题,
7
三,最优化方法的发展概况
---是适于生产建设、计划管理、科学实验和战争的需要发展起来的。
1） 二十世纪三十年代,前苏联 Канторович
根据生产组织和计划管理的需要提出线性规划问题,在第二次世界大战期间出于战争运输需要,提出 线性规划问题的解法；
2） 二十世纪五十年代末,H.W.Kuhn & A.W.Tucker提出非线性规划 的基本定理,奠定了非线性规划的理论基础,
其求解方法在六十年代获得飞速发展 ;
8
3)二十世纪六十年代,美数学家 R.J.Duffin 提出了 几何规划,可把高度非线性的问题转化为具有线性约束的问题来求解,使计算大为简化 ;
4) 动态规划 由 R.Bellman 创立,可解与时间有关的最优化问题 ;
5) 混合离散规划 是二十世纪八十年代提出的,目前仍在发展过程中,
* 最优化方法用于机械设计是从二十世纪六十年代开始的,
较早的成果主要反映在机构的优化设计方面,现已广泛用于机械零部件设计和机械系统的优化设计,
9
优化设计的主要内容一）优化设计概论二）优化设计的数学基础三）一维搜索方法四）无约束优化方法五）线性规划方法六）约束优化方法七）多目标优化方法八）优化设计实例
10
第一章 最优化设计概论一,引例二,设计变量三,目标函数和等值线四,约束条件五,最优化设计的数学模型六,优化计算的迭代方法
11
9 2 4 7 7.13
0 7 7 2 1 4.1,1 5 4 5 2 5.2,1 5 4 3 5 1.2 321
f
xxx
其解为,
321,,xxx
321,,xxx
)(2),,( 313221321 xxxxxxxxxf
5
0
0
0
04
3211
34
23
12
11
xxxh
xg
xg
xg
xg
解,设货箱的长、宽、高分别为,该问题可表示为,
求使 达到最小满足于
3m
一,引例
1,要用薄钢板制造一体积为 5 的长方形汽车货箱 (无上盖 ),
其长度要求不超过 4m.问如何设计可使耗用的钢板表面积最小?
1x
2x
3x
12
0
m in
4
2
1
0 2 3 0 5.44
3 6 9 6 9.95
0 1 1 8 1.65
5 3 3 7 7.25
:
l
l
l
求解结果
min?421,,lll
32
2142322
m i n 2
)(c o sm i n
ll
llll
0c o s
)2/(s i n2
0
180)(2
)(
a r c c o s
)(2
)(
a r c c o s
0
0
0
0
2
1
2
2
22
3
2
2
2
1
412
2
3
2
4
2
12
412
2
3
2
4
2
12
101
4321
4321
4321
ll
lll
lll
llll
lll
llll
ll
llll
llll
llll
该问题可表示为求使满足于
,25.1?k
00 20111 8 0 kk?
解：由 有
.25.1,32,100 03 kmml?
,20101 mmll min?
2,设计一曲柄摇杆机构,已知,
要求,使 达到最大,
1O
2O
1A
2A
1B 2B
1
2 3
4
3.平面四连杆机构的优化设计
设计目的,根据运动学的要求，确定其几何尺寸，
以实现给定的运动规律。
设计时，可在给定最大和最小传动角的前提下，当曲柄从?0位置转到?0+90时，要求摇杆的输出角最优地实现一个给定的运动规律。例如，
要求
A
C
B′
C′
φ0
ψ
ψ0
x2
x3
x4
摇杆
φ
x1 B
机架
2
0 0 0
2( ) ( )
3f
1 2 3 4,,,x x x x
目标函数：可以取机构的期望输出角和实际输出角的平方误差积分准则作为目标函数，即
A
C
B′
C′
φ0
ψ
ψ0
x2
x3
x4
摇杆
φ
x1 B
机架
2
34
0
( ) (,) [ ] m i ns i ji
i
f x f x x
0
0
22( ) [ ] d m i n
ifx
数值化
约束条件：
– 曲柄与机架共线时的传动角
– 曲柄存在的条件
A
C
B′
C′
φ0
ψ
ψ0
x2
x3
x4
摇杆
φ
x1 B
机架
2 1 3 1 4 1
2 3 1 4
4 1 2 3
4 1 3 2
,,x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
4
2
22
2 3 1
m a x m a x
23
222
2 3 4 1
m in m in
23
a r c c os
2
a r c c os
2
xx x x x
xx
x x x x
xx
4.汽车悬挂系统的优化
设计目标：通过调整汽车悬挂系统的刚度和阻尼，使得司机座位的最大加速度为最小，同时还必须满足一系列的动态响应和设计变量的 约束
系统运动方程
目标函数：使司机座位的最大绝对加速度达到最小
s
m
u
m
s
k sc
s
z
r
z
u
z
t
k
3
m
3
z
3
k 3c
,sukc
( ) ( ) ( ) ( )t t t t+ + =M c K&& &z z z f
1m a x ( ) m i nf z t= &&
约束条件
– 动挠度的限制
– 设计变量还存在一个变化范围该问题的数学模型
s
m
u
m
s
k sc
s
z
r
z
u
z
t
k
3
m
3
z
3
k 3c
1 3 2sa z z a
m i n m a xi i ix x x＃
1m a x ( ) m i nf z t= &&
34sua z z a
1 3 2sa z z a
m i n m a xi i ix x x＃
34sua z z a
目标函数约束条件
18
二,设计变量
1.设计变量
— 在设计中需进行优选的独立的待求参数；
*ⅰ) 设计常量 — 预先已给定的参数；
ⅱ) 设计方案 — 由设计常量和设计变量组成。
ⅲ) 维 数 — 设计变量的个数 n.
大型问题中型问题小型问题
50
5011
10
n
n
n
,?n通常,设计自由度,越能获得理想的结果,但求解难度,
19
ⅰ) 设计点 与 设计向量 — 每组设计变量值对应于以 n个设计变量为坐标轴的 n维空间上的一个点，该点称设计点,原点到该点的向量称设计向量,
TnxxxX ].,,[ 21?*可用数组表示：
1R 2R 3R
)4(?nR n
当设计点连续时,为直线 ; 为平面 ; 为立体空间 ;
为超越空间,
ⅱ) 设计空间 — 设计点的集合（ 维实欧氏空间 ）。n nRX?
2.设计空间
*设计点有连续与不连续之分 ;
20
三,目标函数和等值线
1x
2x
)1,2(
1?f
4?f
0?f
— 在无约束极小点处，等值线一般收缩一个点 。
2221 )1()2()( xxXf如,
2.等值线 （ 面 ） — 能使目标函数取某一定值的所有设计点的集合 ;
最好的性能 ; 最小的重量 ; 最紧凑的外形 ;
最小的生产成本 ; 最大的经济效益等,
---对极大化问题可取原函数的负值③ 常处理为极小化形式 ;
② 单目标和多目标 ；
① 常用指标,
),...,()( 21 nxxxfXf?
— 数学模型中用来评价设计方案优劣的函数式 (又称评价函数 ):
1.目标函数
21
四,约束条件
puu Xg,...,2,1,0)(
qvv Xh,.,,,2,1,0)( 为使问题有解，须使,qn?
*此外，也有将约束分成 显约束 和 隐约束 的。
---由需满足的某种性能条件而导出的约束 (如强度条件、刚度条件、曲柄存在条件等）。
041x---对某个设计变量直接给出取值范围,边界约束性能约束
(2)按约束的作用分
(1) 按约束的数学形式分不等式约束：
等式约束：
1.分类
— 对设计变量的取值范围加以限制的条件；
22
2.可行域与不可行域
D
X
1x
2x
O
0)( *?Xg u满足 的约束为起作用约束,否则为 不起作用的约束,(等式 约束一定是起作用约束 )
ⅲ )起作用的约束与不起作用的约束约束边界上的可行点为边界点,其余可行点为内点,
ⅱ) 边界点 与 内点
D内的设计点为可行点,否则为 不可行点,
*ⅰ )可行点与不可行点
D(2)不 可行域,
nRDX
— 满足约束条件的设计点的集合用 D表示,
(1)可行域
23
五,最优化设计的数学模型
TnxxxX ]...[ **2*1*?
)(mi n)( * XfXf? nRDX
0)(?Xg u pu,...,2,1?
0)(?Xh v qv,...,2,1?
求使满足于
1)按约束函数和目标函数的次数可分成 线性规划,非线性规划 。 二次规划 是非线性规划的一种特殊情况。
)(:
...:
:
21
Xff
xxxX
T
n
最优值最优点最优解包括两部分注意
2)按约束条件的数学形式可分成 IP型 问题 (Problem with
inequality constraint),EP型 问题 (Problem with equality
constraint)和 GP型 问题 (既含不等式约束也含等式约束的一般优化问题 )。
24
例,求解二维问题
05.0)( 12 xxXh
2221 )2()2()(m i n xxXf
0)( 11 xXg
0)( 22 xXg
04)( 22213 xxXg
s.t.
0
22
)1
1
1
f
X T
无约束最优解
6 8 6 2 9.0)22(2
22
)2
2
2
2
f
X
T
约束最优解
2669.1
54.058.0
)3
3
3
f
X
T
解加入等式约束时的最优
X2
X1f
1
2
3
25
六,优化计算的迭代方法
2.迭代过程
---利用计算机按某种逻辑方式反复运算,是 最基本的 方法,
1.求解数学模型的方法
1)解析法 ---对简单的无约束问题及等式约束问题 ;
2)图解法 ---对简单的低维问题 ;
3)数值迭代法
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
d(0)
d(1)
d(2)
d(k)
X(k)
X(k+1)
寻求极值点的搜索过程
( )( ) ( )( )10ff<XX
( ) ( ) ( )1 0 00ad=+XX
( ) ( ) ( )1k k kkad+ =+XX
26
ⅰ ）例：
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
( 1 )
12
,,3
11
1 2 7
3.
1 1 2
XS
X
)0(X
)(kS
)(k?
1,初始点,
2,搜索方向,
3,步长,
4,是否终止迭代,
ⅱ ） 需解决的问题,
1x
2x
o
--后三个问题是每次迭代都要解决的问题
27
3.算法的收敛性和收敛准则
.
,,lim
,.....2,1,0,
**)(
)(
收敛的则称该迭代算法是为精确解这里有极限到的近似解系列若由某迭代算法计算得
XXX
kX
k
k
k
一般根据算法对正定二次函数的求解能力来判断,能在有限步迭代中得到其极小点,称算法具有二次收敛性 。 具有 二次收敛性的 算法是 收敛速度较高的方法 。
2)算法的收敛速度
1)算法的收敛性
28
3）收敛准则
(1) 基于迭代信息的收敛准则
,531X 122X
17)51()32( 2212 XX
当相邻两个设计点的移动距离已达到充分小时。 若用向量模计算它的长度，则
当函数值的下降量已达到充分小时,即
当某次迭代点的目标函数梯度已达到充分小时,即
( ) ( )1 1kkXX e+ -
( ) ( ) ( )1 2 1,2,,kkiiX X i ne+ -? L
( )( ) ( )( )
( )( )
1
4
kk
k
f X f X
fX e
+ -
￡
( )( ) ( )( )1 3kkf X f X e+ -
( )( ) 5kfX e眩
29
（ 2）基于极值存在条件的收敛准则
T
nx
f
x
f
x
fXf?
,..)(
21
4)1( )(kXf
① 梯度准则
ⅰ ）梯度梯度是由函数各个一阶偏导数组成的矢量：
ⅱ ）梯度准则
* 对无约束问题，最优点处的各个一阶偏导数均为 0，
故函数梯度的模必为 0。
② K-T条件准则以上各准则单独使用时并非十分可靠，有时需几种准则联用。
优化设计的研究内容
优化设计,
– 就是在给定的载荷或环境条件下，在对机械产品的性能、几何尺寸关系或其他因素的限制（约束）范围内，选取设计变量，建立目标函数并使其获得最优值的一个新的设计方法。
– 建立优化设计问题的数学模型
– 选择恰当的优化方法与程序优化问题的一般流程
问题分析,根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果
结构分析,对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量
建立模型,根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数
模型调整,必要时对数学模型进行规范化，以消除各组成项之间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。
优化问题的几何解释
O x
1
x2
x﹡
g(x)＝ 0
O x
1
x2
x﹡
g(x)＝ 0
O x
1
x2
O x
1
x2
x﹡
g(x)＝ 0
x﹡
g(x)＝ 0
a) 极值点处于多角形的某一顶点上 b)极值点处于等值线的中心
c)极值点处于约束曲线与等值线的切点上 d)极值点处于两个约束曲线的交点上优化设计问题的基本解法
解析解法,把所研究的对象用数学方程（数学模型）描述出来，然后用数学解析方法（如微分法、变分方法等）求出最优解
数值解法,利用电子计算机，运用 迭代 的方法进行近似求解
– 是数值计算，而不是解析方法
– 具有简单的逻辑结构，而且要有足够的精度
– 不要求获得精确解，只要求获得足够精度的近似解局部最优和全局最优
全局最优点
局部最优点
判断方法：
– 同时取 若干个 相距甚远的点作为 初始点,考察它们最后迭代的最优解是否趋于同一解。若结果是同一解，则可以认为目标函数式单形态的，所得解为全局最优解。若结果并不相同，则可以认为它是多形态的目标函数，此时，从若干个极值点中选择其目标函数最小者作为全局最优解。
