2009-7-27 1
第七章 关于优化设计中的几个问题二,多目标问题的评价函数 ;
一,数学模型的改进处理 ;
2009-7-27 2
一,数学模型的改进处理目的,改善性态 ; 加快收敛速度 ; 提高计算稳定性,
(1)设计变量应取相同的数量级设计变量常存在量级差异,
模 数,1-10 毫米 ;
齿轮齿数,12-100多 ;
杆 长,几百 — 几千毫米,
这在一维方法中选取初始进退距产生了困难,
改进办法,将设计变量全部无量纲化和规格化,
2009-7-27 3
① 用初始点的各分量进行标度若初始点 为优化问题的近似解,可改用 作设计变量,
TnxxxX )0()0(2)0(1)0(,,,?
niiii xxx,.,,,2,1)0(,/
新问题的初始点应为,TX 1.,,11)0(
求出最优解后再转换成原设计变量,
niiii xxx,.,,,2,1)0(,
② 通过设计变量的变化范围进行标度当有
nigiidi xxx,.,,,2,1,
作变换
nid
i
g
i
d
ii
i xx
xxx
,.,,,2,1,
这样可使 的值在 (0--1)变化,
ix?
其反变换公式为
nididigiii xxxxx,.,,,2,1,)(
* 也可通过调整单位来达到目的,
2009-7-27 4
(2)各约束函数值应取相同的数量级利用罚函数法解题时,灵敏度高的先满足,灵敏度低的则很难满足,
① 利用系数来调整约束的数量级
0)(?Xg u 0)(?Xgk uu 为正数uk
② 将约束条件规格化例 1
例 2
1)0( bxbabbxa ii
01)(1 bxXg i
0)(2 babxXg i
0][1)(][ Xg
2009-7-27 5
(3) 尽量降低维数和减少约束条件
① 尽可能消去等式约束
② 去掉消极约束
③ 通过变换减少约束如 )0,(, babxa
可消去上述两约束,
作代换 yabax 2s in)(
可自动满足,
因为
1s i n,
0s i n,
2
2
ybx
yax
时当时当
2009-7-27 6
(4)目标函数的尺度变换对于二次函数,若 Hession矩阵的主对角线元素的大小很悬殊,则其等值线是一族扁平的椭圆,利用梯度法和共轭方向法求解时有困难 — 稍有计算误差,搜索方向便有较大的偏离,
办法,通过变换,使 Hession矩阵的主对角线元素变为相同值,
2009-7-27 7
Hession矩阵的主对角线元素
* 因要用到二阶导数,较麻烦,
假定 fexdxcxxbxaxXF
21222121)(
,2)(2
1
2
ax XF cx XF 2)(2
2
2
作变换,?
2
2
1
2
11
1
x
F
x
a
x
x
2
2
2
22
2
2
x
F
x
c
x
x
可将 Hession矩阵的主对角线元素全部化为 1.
2009-7-27 8
二,多目标问题的评价函数常要求实现,成本、重量、体积利润、产量、承载能力若兼顾多方面的要求，则成为 多目标问题 。
(1)主要目标法
① 线性加权和法在 m个目标中选一个最主要的目标做目标函数,其余全部转化为约束条件,
(2)统一目标法
m
i
ii XfwXF
1
)()(
----权系数式中,
21 iii www?
----校正权系数 (反映量级差异 )
----本征权系数 (反映相对重要程度 )
2009-7-27 9
② 分数法 (乘除法 )
先将单目标分成两类,
a,越小越好的单目标 ---成本、重量、体积等 ;
b,越大越好的单目标 ---利润、产量、承载能力等 ;
然后如下建立目标函数,
2
1
1
2
1
1
)(
)(
)(
m
j
j
m
i
i
Xfw
Xfw
XF
越小越好越大越好
2009-7-27 10
③ 平方加权和法若已知各单目标相应有理想的希望值,,通常如下建立误差函数,
00201,...,,mfff
2
1
0 ])([)(?
m
i
iii fXfwXF
][0 iii fff权系数由各单目标允许的宽容值 决定,][ if?
][ if?显然,大,不重要,反之则重要,因而可将权系数取为,
2
][
1
ii fw
故有 2
1
0 )
][
)(()(?
m
i i
ii
f
fXfXF
④ 极大极小法对于误差问题,可使最大误差达到最小,因而可如下建立目标函数,
miii fXfXF,.,,,2,10,)(m a x)(
2009-7-27 11
(3)功效函数法对各单目标引入功效函数,
① 功效函数
miiii fDd,...,2,1),(
* 很满意时,;不能接受时,;其余
if 1?id 10id0?id
② 建立功效函数的方法有指数法、折线法、直线法等，仅介绍直线法。
满意不能接受
1
不能接受满意
1
③ 评价函数
m mdddD,..21?
*特点,(1)越大越好 ;
(2)有一个单目标不能接受,则总方案不能接受,
满意不能接受
1
不能接受
2009-7-27 12
(4)分层序列法先将各单目标按重要性进行排队,然后依次对各单目标求最优解,
* 后者的可行域是在前者最优点附近给出的宽容带与 D的交集,
1f
2f
x
f
o
D
1f?
1D
1f
2f
x
第七章 关于优化设计中的几个问题二,多目标问题的评价函数 ;
一,数学模型的改进处理 ;
2009-7-27 2
一,数学模型的改进处理目的,改善性态 ; 加快收敛速度 ; 提高计算稳定性,
(1)设计变量应取相同的数量级设计变量常存在量级差异,
模 数,1-10 毫米 ;
齿轮齿数,12-100多 ;
杆 长,几百 — 几千毫米,
这在一维方法中选取初始进退距产生了困难,
改进办法,将设计变量全部无量纲化和规格化,
2009-7-27 3
① 用初始点的各分量进行标度若初始点 为优化问题的近似解,可改用 作设计变量,
TnxxxX )0()0(2)0(1)0(,,,?
niiii xxx,.,,,2,1)0(,/
新问题的初始点应为,TX 1.,,11)0(
求出最优解后再转换成原设计变量,
niiii xxx,.,,,2,1)0(,
② 通过设计变量的变化范围进行标度当有
nigiidi xxx,.,,,2,1,
作变换
nid
i
g
i
d
ii
i xx
xxx
,.,,,2,1,
这样可使 的值在 (0--1)变化,
ix?
其反变换公式为
nididigiii xxxxx,.,,,2,1,)(
* 也可通过调整单位来达到目的,
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(2)各约束函数值应取相同的数量级利用罚函数法解题时,灵敏度高的先满足,灵敏度低的则很难满足,
① 利用系数来调整约束的数量级
0)(?Xg u 0)(?Xgk uu 为正数uk
② 将约束条件规格化例 1
例 2
1)0( bxbabbxa ii
01)(1 bxXg i
0)(2 babxXg i
0][1)(][ Xg
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(3) 尽量降低维数和减少约束条件
① 尽可能消去等式约束
② 去掉消极约束
③ 通过变换减少约束如 )0,(, babxa
可消去上述两约束,
作代换 yabax 2s in)(
可自动满足,
因为
1s i n,
0s i n,
2
2
ybx
yax
时当时当
2009-7-27 6
(4)目标函数的尺度变换对于二次函数,若 Hession矩阵的主对角线元素的大小很悬殊,则其等值线是一族扁平的椭圆,利用梯度法和共轭方向法求解时有困难 — 稍有计算误差,搜索方向便有较大的偏离,
办法,通过变换,使 Hession矩阵的主对角线元素变为相同值,
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Hession矩阵的主对角线元素
* 因要用到二阶导数,较麻烦,
假定 fexdxcxxbxaxXF
21222121)(
,2)(2
1
2
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2
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11
1
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可将 Hession矩阵的主对角线元素全部化为 1.
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二,多目标问题的评价函数常要求实现,成本、重量、体积利润、产量、承载能力若兼顾多方面的要求，则成为 多目标问题 。
(1)主要目标法
① 线性加权和法在 m个目标中选一个最主要的目标做目标函数,其余全部转化为约束条件,
(2)统一目标法
m
i
ii XfwXF
1
)()(
----权系数式中,
21 iii www?
----校正权系数 (反映量级差异 )
----本征权系数 (反映相对重要程度 )
2009-7-27 9
② 分数法 (乘除法 )
先将单目标分成两类,
a,越小越好的单目标 ---成本、重量、体积等 ;
b,越大越好的单目标 ---利润、产量、承载能力等 ;
然后如下建立目标函数,
2
1
1
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1
1
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越小越好越大越好
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③ 平方加权和法若已知各单目标相应有理想的希望值,,通常如下建立误差函数,
00201,...,,mfff
2
1
0 ])([)(?
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④ 极大极小法对于误差问题,可使最大误差达到最小,因而可如下建立目标函数,
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2009-7-27 11
(3)功效函数法对各单目标引入功效函数,
① 功效函数
miiii fDd,...,2,1),(
* 很满意时,;不能接受时,;其余
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② 建立功效函数的方法有指数法、折线法、直线法等，仅介绍直线法。
满意不能接受
1
不能接受满意
1
③ 评价函数
m mdddD,..21?
*特点,(1)越大越好 ;
(2)有一个单目标不能接受,则总方案不能接受,
满意不能接受
1
不能接受
2009-7-27 12
(4)分层序列法先将各单目标按重要性进行排队,然后依次对各单目标求最优解,
* 后者的可行域是在前者最优点附近给出的宽容带与 D的交集,
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