2009-7-27 1
第八章 应用实例例 1.连杆机构的优化设计例 2.弹簧的优化设计例 3.标准单级直齿圆柱齿轮减速器的优化设计
2009-7-27 2
例 1,连杆机构的优化设计连杆机构运动学设计的基本问题，可以归结为实现已知运动规律和已知运动轨迹两大类。目前，对连杆机构的运动综合问题采用优化方法已经很普遍。
本节通过一个铰链四杆机构实现主，从动构件给定函数关系的设计问题，来说明最优化方法在连杆机构运动学综合方面的应用。
2009-7-27 3
设,分别为对应于摇杆在右极限位置时曲柄和摇杆的位置角，见下图。他们是以机杆架 AD为基线逆时针度量的角度。
要求设计以曲柄摇杆机构，当曲柄由 转至 度时，
实现摇杆的输出角 与曲柄转角 之间的如下函数关系并要求在给定的范围内，
机构最小传动角不得小于许用值,取求此问题最优解，做法如下。
2009-7-27 4
一,建立优化问题的数学模型
1,确定设计变量铰链四杆机构按主从动连架杆给定的角度对应关系进行设计时，各杆长度按同一比例缩放并不影响主，从动杆转角的对应关系。因此可把曲柄长度作为单位长度，即令
L1=1，其余三杆表示为曲柄长度的倍数，用其相对长度 l2，
L3,l4作为变量。一般考虑，本问题与初始角,也有关系，所以变量本应为 l2,l3,l4,和 五个。但是两转角变量并不是独立变量，而是杆长的函数。写出如下式
2009-7-27 5
可见,和 已由机构的相对杆长所决定，独立变量只有
l2,l3,l4三个为了进一步缩减设计变量，还可以在这三个独立变量中预先选定一个。根据机构在机器中的许可空间，可以适当预选机架的长度，本题取 l4=5。
最后确定该优化问题的设计变量
2009-7-27 6
2,建立目标函数机构学理论已经证明，用铰链四杆机构实现两链架杆对应转角的函数关系，由于机构独立的参数的数目最多为五个，因此近似的实现预期的运动要求。在本题中，
从动摇杆欲实现输出角的函数关系，而机构实际上只能实现下图虚线所示的近似关系。
输出角函数图
2009-7-27 7
对于该机构设计问题，可以取机构输出角的平方偏差最小为原则建立目标函数。为此，将曲柄转角为的区间分成 n等分，从动摇杆输出角也有相对应的分点。若各分点标号记作 i，以各分点输出角的偏差平方和作为目标函数，则有
2009-7-27 8
式中的有关参数按如下步骤及公式计算
① 曲柄各等分点的转角
i=0,1,2,……,n
② 期望输出角
i=0,1,2,……,n
③ 实际输出角按下页图计算
2009-7-27 9
其中，式中的角度右下图可得到
2009-7-27 10
由以上几个式子构成了一个目标函数的表达式。对应于每一个机构设计方案 x，即可算出输出角的偏差平方和 F(x)。
2009-7-27 11
3,确立约束条件本题的设计受到两个方面的限制，其一是保证铰链四杆机构满足曲柄存在的条件，其二是在传递运动过程中的最小传动角大于 45度。
⑴ 按传动角要求建立约束条件由余弦定理 a图
2009-7-27 12
整理得约束条件同理由上页 b图传动角最小位置写出整理得约束条件
2009-7-27 13
⑵ 按曲柄存在条件建立约束条件写成约束条件有
2009-7-27 14
用全部约束条件画成次下图所示的平面曲线，则可见，
g3(x)~g7(x)均是消极约束。而可行域 D实际上只是由 g1(x)
与 g2(x)两个约束条件围成的。综合上述分析，本题的优化数学模型如下
D：
2009-7-27 15
二,选择优化方法及结果分析该题维数较低，用哪一种优化方法都适宜。这里选用约束坐标轮换法。
计算时，曾用若干组不同的初始数据进行计算，从中选出其中三组。见课本表 8.1
由其中的计算结果可以看出，第二次计算结果应为最优解。
2009-7-27 16
,为相对杆长。最后，根据机构的结构设计需要按一定的比例尺求出机构实际杆长 L1,L2,L3,L4。
下面对表中第一，三次结果进行分析。
第一次计算：
初始步长,输出结果为,
离实际最优点甚远。产生这种情况的原因是 取得太大。当迭代点到达上述位置时，由于此处目标函数等值线是下凹的，
在该点四周的迭代点均失败，因此就误作为最优输出。此解称为为最优解。消除此故障的办法是，规定足够小的正数,当步长 时，即使四周迭代点均失败也不终止迭代，而是将减半，直至达到 为止。
2009-7-27 17
第三次计算，,步长虽然很小，但所得结果仍很差，原因是在给定 及 的条件下迭代点达到了邻近约束边界的死点。在它四周的迭代点或是函数值增大，或是落入非可行域，于是终止迭代，输出了伪最优解。这就是在约束坐标轮换法中曾阐明的退化现象。克服这一弊病的办法是采取不同的初始点和步长，进行多次运算后则其最优的方案作为问题的最优解，迭代路线见下页图。
2009-7-27 18
2009-7-27 19
例 2,弹簧的优化设计本节只介绍普通圆柱压缩螺旋弹簧的优化设计。
实例：
有一气门弹簧。已知：安装高度 h1=50.8mm，初载荷
F1=272N，最大工作载荷 F2=680N，工作行程 h=10.16mm
弹簧工作频率 fr=50Hz，弹簧丝材料为 50CrVA，油淬回火，
喷丸处理；弹簧工作温度为 126oC，弹簧中径范围：
20mm≤D2≤50mm，总圈数,4≤n1≤50，支撑圈数 n2=1.75
旋绕比 C≥6，安全系数取 1.2，弹簧刚度相对误差不超过 0.01
试按重量最轻原则选出弹簧的参数方案。
2009-7-27 20
一,确立弹簧优化模型
⑴ 确定设计变量影响弹簧重量的参数有弹簧钢丝直径 d，弹簧中径 D2，
弹簧总圈数 n1。他们都是独立的参数。故取这三个参数为设计变量。
先按连续变量处理。
2009-7-27 21
⑵ 建立目标函数该问题是追求弹簧重量最轻为目标，因此，以弹簧重量作为目标函数其中,为钢丝材料的密度，
将 具体数值代入，并用 x1,x2,x3代表设计变量，可写出目标函数
2009-7-27 22
⑶ 确立约束条件按照弹簧的使用要求，依据对圆柱形压缩螺旋弹簧的设计与计算公式，可列出如下各项设计约束
① 疲劳强度条件按题目要求，疲劳强度安全系数 S不小于许用的安全系数 Smin，即满足取
2009-7-27 23
式中,为弹簧材料的剪切屈服极限，可取为抗拉强度极限为弹簧材料的脉动循环疲劳极限，考虑到弹簧的材料，工作温度，可靠度，热处理等因素，确定为为剪应力幅
2009-7-27 24
为平均剪应力其中：
K为曲度系数，按近似式计算有为应力修正系数，按下式确定
2009-7-27 25
为载荷幅，
为平均载荷将,,,带入,中，得
2009-7-27 26
经整理得约束条件
② 稳定性条件防止失稳的条件是最大工作载荷 F2不大于压缩弹簧稳定性的临界载荷 FC，即
F2≤FC
2009-7-27 27
临界载荷按下式计算式中,H0为弹簧自由高度，它等于压并高度 Hb与压并变形量 之和，即其中取 为弹簧的最大变形量
2009-7-27 28
K为弹簧要求具有的刚度为弹簧的最大变形量为长度折算系数，按一端固定，一段铰支考虑，取
D2位弹簧中径。
2009-7-27 29
于是有约束条件
③ 无共振条件弹簧在高频率变载荷的作用之下，为避免发生共振现象，
应进行共振条件的验算，设弹簧工作频率为 fr，一阶自振频率为 f，无共振的条件为
2009-7-27 30
已知，,两端固定钢制弹簧自振频率为于是得约束条件为
④ 弹簧致并圈的条件为了保证弹簧在最大工作载荷作用下不发生并圈现象，则要求弹簧在最大载荷 F2作用下的高度 H2大于压并高度 Hb，
即
2009-7-27 31
于是有约束条件
⑤ 刚度误差要求设按弹簧的受力与变形要求，弹簧应有的刚度为 K，而按已选参数使计算得的弹簧实际刚度为 。题意规定其相对误差不超过 0.01。即
2009-7-27 32
弹簧实际刚度表示为式中,G为材料剪切弹性模量，合金钢
n为弹簧工作圈数，弹簧两端磨平，支撑圈数取 1.75，
则 n=n1-1.75
得约束条件为
2009-7-27 33
⑥ 旋绕比条件设计要求旋绕比 C≥6（ C=D2/d）,则有约束条件
⑦ 其他界限约束弹簧中径范围 20≤D2≤50，则有约束条件弹簧总圈数限制
2009-7-27 34
二,选择优化方法并进行计算该问题维数较低，可采用约束随机法。选取初始点给定初始步长三，计算结果最优点最优值上面的最优解是连续性的，需进一步离散化处理，从略。
2009-7-27 35
例 3.标准单级直齿圆柱齿轮减速器的优化设计（给定速比 u
和扭矩 T1）
一,目标函数和设计变量以两齿轮分度圆柱体积之和建立极小化目标函数
bddV )(4 2221 1
2
d
du?
bdu 212 )1(4
1
3
1
2 )1(
4 d
bdu
引入齿宽系数
1d
b
d
dmzu?
3
1
2 ))(1(
4
设计变量为,即
dzm?,,1TdT zmxxxX?1321
目标函数
33212 ))(1(4)( xxxuXF
b
1d
2d
2009-7-27 36
对称布置,软齿面时 4.18.0
d?
二,约束条件
1.边界约束
（ 1） 模数 )(2 根据实际情况mmm?
02)( 11 xXg
（ 2） 齿数限制
m a x11m i n1 zzz
0)( m i n122 zxXg 0)( 2m a x13 xzXg
（ 3） 齿宽系数限制
m a xm i n ddd
0)( m i n34 dxXg? 0)( 3m a x5 xXg d?
17— 35
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2.性能约束
（ 1）接触疲劳强度的限制
0][)(6 HHXg
式中，
3
1
12
d
kTzzz
d
EuHH
3
3
2
3
1
12
xxx
kTzzz
EuH?
-----载荷系数k
-----节点啮合系数Hz
-----齿数比系数
uz
-----材料系数
Ez
2009-7-27 38
-----载荷系数k
kkkk vA?
-----载荷分布系数?k
-----动载荷系数
vk
-----工作情况系数
Ak
取决于原动机和工作机,1--2.25
取决于齿轮的精度、硬度和速度,1--1.45
取决于齿轮的布置情况和齿面硬度,1--1.3
式中，
H?
3
3
2
3
1
12
xxx
kTzzz
EuH?
2009-7-27 39
-----节点啮合系数Hz
-----齿数比系数
uz
---材料系数Ez
't a n
2
c o s
1
Hz
对标准齿轮,=2.4945 5.2?
u
uz
u
1
钢对钢为 2/8.1 8 9 mmN
H?
3
3
2
3
1
12
xxx
kTzzz
EuH?
2009-7-27 40
（ 2） 弯曲强度的限制
0][)(7 FFXg
SF
d
F YYzm
kT
2
1
3
12?
式中,
-----齿形系数FY
（ 一般以曲线形式给出，为方便需拟合 ）
对标准齿轮传动
0 6 3.20 1 7 9 4.35 1 8 6.12
1
ZY F
6.34
7 0 4.2297.1
1?
ZY S
-----齿根应力集中系数
SY
第八章 应用实例例 1.连杆机构的优化设计例 2.弹簧的优化设计例 3.标准单级直齿圆柱齿轮减速器的优化设计
2009-7-27 2
例 1,连杆机构的优化设计连杆机构运动学设计的基本问题，可以归结为实现已知运动规律和已知运动轨迹两大类。目前，对连杆机构的运动综合问题采用优化方法已经很普遍。
本节通过一个铰链四杆机构实现主，从动构件给定函数关系的设计问题，来说明最优化方法在连杆机构运动学综合方面的应用。
2009-7-27 3
设,分别为对应于摇杆在右极限位置时曲柄和摇杆的位置角，见下图。他们是以机杆架 AD为基线逆时针度量的角度。
要求设计以曲柄摇杆机构，当曲柄由 转至 度时，
实现摇杆的输出角 与曲柄转角 之间的如下函数关系并要求在给定的范围内，
机构最小传动角不得小于许用值,取求此问题最优解，做法如下。
2009-7-27 4
一,建立优化问题的数学模型
1,确定设计变量铰链四杆机构按主从动连架杆给定的角度对应关系进行设计时，各杆长度按同一比例缩放并不影响主，从动杆转角的对应关系。因此可把曲柄长度作为单位长度，即令
L1=1，其余三杆表示为曲柄长度的倍数，用其相对长度 l2，
L3,l4作为变量。一般考虑，本问题与初始角,也有关系，所以变量本应为 l2,l3,l4,和 五个。但是两转角变量并不是独立变量，而是杆长的函数。写出如下式
2009-7-27 5
可见,和 已由机构的相对杆长所决定，独立变量只有
l2,l3,l4三个为了进一步缩减设计变量，还可以在这三个独立变量中预先选定一个。根据机构在机器中的许可空间，可以适当预选机架的长度，本题取 l4=5。
最后确定该优化问题的设计变量
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2,建立目标函数机构学理论已经证明，用铰链四杆机构实现两链架杆对应转角的函数关系，由于机构独立的参数的数目最多为五个，因此近似的实现预期的运动要求。在本题中，
从动摇杆欲实现输出角的函数关系，而机构实际上只能实现下图虚线所示的近似关系。
输出角函数图
2009-7-27 7
对于该机构设计问题，可以取机构输出角的平方偏差最小为原则建立目标函数。为此，将曲柄转角为的区间分成 n等分，从动摇杆输出角也有相对应的分点。若各分点标号记作 i，以各分点输出角的偏差平方和作为目标函数，则有
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式中的有关参数按如下步骤及公式计算
① 曲柄各等分点的转角
i=0,1,2,……,n
② 期望输出角
i=0,1,2,……,n
③ 实际输出角按下页图计算
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其中，式中的角度右下图可得到
2009-7-27 10
由以上几个式子构成了一个目标函数的表达式。对应于每一个机构设计方案 x，即可算出输出角的偏差平方和 F(x)。
2009-7-27 11
3,确立约束条件本题的设计受到两个方面的限制，其一是保证铰链四杆机构满足曲柄存在的条件，其二是在传递运动过程中的最小传动角大于 45度。
⑴ 按传动角要求建立约束条件由余弦定理 a图
2009-7-27 12
整理得约束条件同理由上页 b图传动角最小位置写出整理得约束条件
2009-7-27 13
⑵ 按曲柄存在条件建立约束条件写成约束条件有
2009-7-27 14
用全部约束条件画成次下图所示的平面曲线，则可见，
g3(x)~g7(x)均是消极约束。而可行域 D实际上只是由 g1(x)
与 g2(x)两个约束条件围成的。综合上述分析，本题的优化数学模型如下
D：
2009-7-27 15
二,选择优化方法及结果分析该题维数较低，用哪一种优化方法都适宜。这里选用约束坐标轮换法。
计算时，曾用若干组不同的初始数据进行计算，从中选出其中三组。见课本表 8.1
由其中的计算结果可以看出，第二次计算结果应为最优解。
2009-7-27 16
,为相对杆长。最后，根据机构的结构设计需要按一定的比例尺求出机构实际杆长 L1,L2,L3,L4。
下面对表中第一，三次结果进行分析。
第一次计算：
初始步长,输出结果为,
离实际最优点甚远。产生这种情况的原因是 取得太大。当迭代点到达上述位置时，由于此处目标函数等值线是下凹的，
在该点四周的迭代点均失败，因此就误作为最优输出。此解称为为最优解。消除此故障的办法是，规定足够小的正数,当步长 时，即使四周迭代点均失败也不终止迭代，而是将减半，直至达到 为止。
2009-7-27 17
第三次计算，,步长虽然很小，但所得结果仍很差，原因是在给定 及 的条件下迭代点达到了邻近约束边界的死点。在它四周的迭代点或是函数值增大，或是落入非可行域，于是终止迭代，输出了伪最优解。这就是在约束坐标轮换法中曾阐明的退化现象。克服这一弊病的办法是采取不同的初始点和步长，进行多次运算后则其最优的方案作为问题的最优解，迭代路线见下页图。
2009-7-27 18
2009-7-27 19
例 2,弹簧的优化设计本节只介绍普通圆柱压缩螺旋弹簧的优化设计。
实例：
有一气门弹簧。已知：安装高度 h1=50.8mm，初载荷
F1=272N，最大工作载荷 F2=680N，工作行程 h=10.16mm
弹簧工作频率 fr=50Hz，弹簧丝材料为 50CrVA，油淬回火，
喷丸处理；弹簧工作温度为 126oC，弹簧中径范围：
20mm≤D2≤50mm，总圈数,4≤n1≤50，支撑圈数 n2=1.75
旋绕比 C≥6，安全系数取 1.2，弹簧刚度相对误差不超过 0.01
试按重量最轻原则选出弹簧的参数方案。
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一,确立弹簧优化模型
⑴ 确定设计变量影响弹簧重量的参数有弹簧钢丝直径 d，弹簧中径 D2，
弹簧总圈数 n1。他们都是独立的参数。故取这三个参数为设计变量。
先按连续变量处理。
2009-7-27 21
⑵ 建立目标函数该问题是追求弹簧重量最轻为目标，因此，以弹簧重量作为目标函数其中,为钢丝材料的密度，
将 具体数值代入，并用 x1,x2,x3代表设计变量，可写出目标函数
2009-7-27 22
⑶ 确立约束条件按照弹簧的使用要求，依据对圆柱形压缩螺旋弹簧的设计与计算公式，可列出如下各项设计约束
① 疲劳强度条件按题目要求，疲劳强度安全系数 S不小于许用的安全系数 Smin，即满足取
2009-7-27 23
式中,为弹簧材料的剪切屈服极限，可取为抗拉强度极限为弹簧材料的脉动循环疲劳极限，考虑到弹簧的材料，工作温度，可靠度，热处理等因素，确定为为剪应力幅
2009-7-27 24
为平均剪应力其中：
K为曲度系数，按近似式计算有为应力修正系数，按下式确定
2009-7-27 25
为载荷幅，
为平均载荷将,,,带入,中，得
2009-7-27 26
经整理得约束条件
② 稳定性条件防止失稳的条件是最大工作载荷 F2不大于压缩弹簧稳定性的临界载荷 FC，即
F2≤FC
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临界载荷按下式计算式中,H0为弹簧自由高度，它等于压并高度 Hb与压并变形量 之和，即其中取 为弹簧的最大变形量
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K为弹簧要求具有的刚度为弹簧的最大变形量为长度折算系数，按一端固定，一段铰支考虑，取
D2位弹簧中径。
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于是有约束条件
③ 无共振条件弹簧在高频率变载荷的作用之下，为避免发生共振现象，
应进行共振条件的验算，设弹簧工作频率为 fr，一阶自振频率为 f，无共振的条件为
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已知，,两端固定钢制弹簧自振频率为于是得约束条件为
④ 弹簧致并圈的条件为了保证弹簧在最大工作载荷作用下不发生并圈现象，则要求弹簧在最大载荷 F2作用下的高度 H2大于压并高度 Hb，
即
2009-7-27 31
于是有约束条件
⑤ 刚度误差要求设按弹簧的受力与变形要求，弹簧应有的刚度为 K，而按已选参数使计算得的弹簧实际刚度为 。题意规定其相对误差不超过 0.01。即
2009-7-27 32
弹簧实际刚度表示为式中,G为材料剪切弹性模量，合金钢
n为弹簧工作圈数，弹簧两端磨平，支撑圈数取 1.75，
则 n=n1-1.75
得约束条件为
2009-7-27 33
⑥ 旋绕比条件设计要求旋绕比 C≥6（ C=D2/d）,则有约束条件
⑦ 其他界限约束弹簧中径范围 20≤D2≤50，则有约束条件弹簧总圈数限制
2009-7-27 34
二,选择优化方法并进行计算该问题维数较低，可采用约束随机法。选取初始点给定初始步长三，计算结果最优点最优值上面的最优解是连续性的，需进一步离散化处理，从略。
2009-7-27 35
例 3.标准单级直齿圆柱齿轮减速器的优化设计（给定速比 u
和扭矩 T1）
一,目标函数和设计变量以两齿轮分度圆柱体积之和建立极小化目标函数
bddV )(4 2221 1
2
d
du?
bdu 212 )1(4
1
3
1
2 )1(
4 d
bdu
引入齿宽系数
1d
b
d
dmzu?
3
1
2 ))(1(
4
设计变量为,即
dzm?,,1TdT zmxxxX?1321
目标函数
33212 ))(1(4)( xxxuXF
b
1d
2d
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对称布置,软齿面时 4.18.0
d?
二,约束条件
1.边界约束
（ 1） 模数 )(2 根据实际情况mmm?
02)( 11 xXg
（ 2） 齿数限制
m a x11m i n1 zzz
0)( m i n122 zxXg 0)( 2m a x13 xzXg
（ 3） 齿宽系数限制
m a xm i n ddd
0)( m i n34 dxXg? 0)( 3m a x5 xXg d?
17— 35
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2.性能约束
（ 1）接触疲劳强度的限制
0][)(6 HHXg
式中，
3
1
12
d
kTzzz
d
EuHH
3
3
2
3
1
12
xxx
kTzzz
EuH?
-----载荷系数k
-----节点啮合系数Hz
-----齿数比系数
uz
-----材料系数
Ez
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-----载荷系数k
kkkk vA?
-----载荷分布系数?k
-----动载荷系数
vk
-----工作情况系数
Ak
取决于原动机和工作机,1--2.25
取决于齿轮的精度、硬度和速度,1--1.45
取决于齿轮的布置情况和齿面硬度,1--1.3
式中，
H?
3
3
2
3
1
12
xxx
kTzzz
EuH?
2009-7-27 39
-----节点啮合系数Hz
-----齿数比系数
uz
---材料系数Ez
't a n
2
c o s
1
Hz
对标准齿轮,=2.4945 5.2?
u
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1
钢对钢为 2/8.1 8 9 mmN
H?
3
3
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1
12
xxx
kTzzz
EuH?
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（ 2） 弯曲强度的限制
0][)(7 FFXg
SF
d
F YYzm
kT
2
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式中,
-----齿形系数FY
（ 一般以曲线形式给出，为方便需拟合 ）
对标准齿轮传动
0 6 3.20 1 7 9 4.35 1 8 6.12
1
ZY F
6.34
7 0 4.2297.1
1?
ZY S
-----齿根应力集中系数
SY
