分部积分法前面我们在复合函数微分法的基础上，得到了换元积分法。换元积分法是积分的一种基本方法。本节我们将介绍另一种基本积分方法 —— 分部积分法，它是两个函数乘积的微分法则的逆转。
问题dxxe x
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则,
设函数 )( xuu? 和 )( xvv? 具有连续导数,
,vuvuuv,vuuvv
,dxvuuvdxvu,duvuvu d v
分部积分公式一、基本内容注 分部积分公式的特点：等式两边 u,v 互换位置分部积分公式的作用：当左边的积分?udv
不易求得，而右边的积分?vdu 容易求得利用分部积分公式 —— 化难为易例 1 求积分,co s? xdxx
解（一） 令,c o s xu? dvdxxdx 221
x d xx c o s xdxxxx s i n2c o s2
22
显然,选择不当,积分更难进行,vu?,
解（二） 令,xu? dvxdx d x s i nc o s
x d xx c o s xxd s i n x d xxx s i ns i n
.c o ss i n Cxxx
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择 u,v
一般来说,u,v 选取的原则是：
（ 1）积分容易者选为 v
（ 2）求导简单者选为 u
分部积分法的 实质 是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。 实际上是两次积分。
例 2 求积分,2? dxex x
解,2xu?,dvdedxe xx
dxex x2 dxxeex xx 22
.)(22 Cexeex xxx
（再次使用分部积分法）,xu? dvdxe x?
总结 若被积函数是幂函数和正 (余 )弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次 (假定幂指数是正整数 )u
例 3 求积分,a rct a n? x d xx
解 令,a r c t a n xu? dvxdx d x 2
2
xdxx a r c t a n )( a r c t a n2a r c t a n2
22
xdxxx
dxxxxx 2
22
1
1
2a r c t a n2
dxxxx )1 11(21a r c t a n2 2
2
.)a r c t a n(21a r c t a n2
2
Cxxxx
若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为,这样使用一次分部积分公式就可使被积函数降次、简化、代数化、
有理化。目的、宗旨只有一个：容易积分。
u
例 4 求积分,ln3? xdxx
解,ln xu?,4
4
3 dvxddxx
xdxx ln3 dxxxx 34 41ln41
.161ln41 44 Cxxx
总结例 5 求积分,)s i n ( l n? dxx
解? dxx )s i n ( l n )][ s i n ( l n)s i n ( l n xxdxx
dxxxxxx 1)co s (l n)s i n(l n
)][ c o s ( l n)c o s ( l n)s i n ( l n xxdxxxx
dxxxxx )s i n ( l n)]c o s ( l n)[ s i n ( l n
dxx )s i n ( l n,)]co s (l n)[s i n(l n2 Cxxx
注,本题也可令 xt ln?
分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一定要加上积分常数 C
例 6 求积分,s i n? xdxe x
解? xdxe x s i n xx d es i n
)( s i ns i n xdexe xx
x d xexe xx c o ss i n xx xdexe c o ss i n
)c o sc o s(s i n xdexexe xxx
x d xexxe xx s i n)c o s( s i n
x d xe x s i n,)c o s( s i n2 Cxxe
x
注意循环形式例 7 dxx? 3s e c
解 dxx? 3se c xxd t a ns ec
dxxxxx s e ct a nt a ns e c 2
x d xx d xxx 3s ecs ect a ns ec
x d xxxxx 3s ec)t a nl n ( s ect a ns ec
Cxxxxxdx )t a nl n ( s ec21t a ns ec21s ec 3
例 8 )(s i n Nnxdxn
解 xdxxdx nn co ss i ns i n 1
x d xnxxx nn 221 s i n)1(co sco ss i n
xdxnxx nn 21 s i n)1(co ss i n
xdxn ns i n)1(
x d xnnxxnx d x nnn 21 s i n1co ss i n1s i n
若设 xdxI nn s i n则上述计算公式可表为
2
1 1co ss in1
n
n
n In
nxx
nI
—— 递推公式反复使用递推公式，最后归结为求 xsin
的一次幂或零次幂的不定积分例 9 dxe
e
x
x
a r c t a n
解一 令 xeu?
dxe ex
x
a r c t a n duuu u 1a rct a n
)1(a rct a n uud
duuuuu 21 11a rc t a n1
duuuuuu ]11[a rc t a n1 2
Cuuuu )1ln (21lna rc t a n1 2
Cexee xxx )1l n (21a rct a n 2
解二 直接分部积分
dxe ex
x
a r c t a n xx deea rc t a n
dxeeeee x
x
xxx
21a r c t a n
dxeee xxx 21 1a rc t a n
对 dxe x21 1 分子分母同乘以 xe
dxe x21 1 dxee e xx
x
)1( 2令 xeu?
duuu )1( 1 2 )1l n (21ln 2uu
或 分子分母同乘以 xe2
dxe x21 1 dxee e xx
x
)1( 22
2
)()1( 121 222 xxx edee 令 xet 2?
dttt )1( 121 dttt ]1 11[21
)]1l n ([ l n21 tt
解三 彻底换元令 xet ar c t a n? 则 tx t a nln?
t d ttdx 2s ect a n1
dxe ex
x
a r c t a n t d ttt
t 2s e c
t a n
1
t a n
dttt 2s i n1 t d ttd co t
t d ttt co tco t
Cttt s i nlnc o t
Ceeee x
x
xx?
21lna rct a n
Cexee xxx )1l n (21a rct a n 2
例 10 dxxex
x
x
)1(
1
[分析 ] 需要将 xxe 作为整体来考虑解 分子分母同乘以 xe
dxxex x x )1( 1 dxxexe
ex
xx
x
)1( )1(令 xxet?
dttt )1( 1 Ctt )1ln (ln
Cxexx x )1l n (ln
例 11 求积分,1
arc t an
2 dxx
xx
解,11 22 xxx
dxx xx 21a r c t a n 21a r ct a n xxd
)(a r cta n1a r ct a n1 22 xdxxx
dxxxxx 222 1 11a rct a n1
dxxxx 22 1 1a r c t a n1
令 tx ta n?
dxx 21 1?
t d tt
2
2 s e ct a n1
1 td ts e c
Ctt )ta nl n( s ec Cxx )1l n( 2
dxx xx 21a r c t a n
xx a rct a n1 2,)1l n( 2 Cxx
例 12? xdxe x c o s
解? xdxe x co s
xxde
c o s
1
xdxexe xx s i nco s1
xx xdexe s i nco s1 2
x d xexexe xxx c o ss inc o s1 2
2
2
Cxxexdxe
x
x ]s i nc o s[c o s
22
类似地有
Cxxexdxe
x
x ]c o ss i n[s i n
22
例 13 已知 )( xf 的 一 个 原 函 数 是
2x
e?,求
dxxfx )(,
解 dxxfx )( )( xx d f,)()( dxxfxxf
,)( 2 Cedxxf x ),()( xfdxxf
两边同时对 求导,得x,2)( 2xxexf
dxxfx )( dxxfxxf )()(
222 xex,Ce
合理选择,正确使用分部积分公式
vu?,
dxvuuvdxvu
二、小结思考题在接连几次应用分部积分公式时，
应注意什么？
思考题解答注意前后几次所选的 应为同类型函数,u
例? x d xe x c o s
第一次时若选 xu c o s1?
x d xe x c o s dxxexe xx s i nc o s
第二次时仍应选 xu s in2?
问题dxxe x
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则,
设函数 )( xuu? 和 )( xvv? 具有连续导数,
,vuvuuv,vuuvv
,dxvuuvdxvu,duvuvu d v
分部积分公式一、基本内容注 分部积分公式的特点：等式两边 u,v 互换位置分部积分公式的作用：当左边的积分?udv
不易求得，而右边的积分?vdu 容易求得利用分部积分公式 —— 化难为易例 1 求积分,co s? xdxx
解（一） 令,c o s xu? dvdxxdx 221
x d xx c o s xdxxxx s i n2c o s2
22
显然,选择不当,积分更难进行,vu?,
解（二） 令,xu? dvxdx d x s i nc o s
x d xx c o s xxd s i n x d xxx s i ns i n
.c o ss i n Cxxx
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择 u,v
一般来说,u,v 选取的原则是：
（ 1）积分容易者选为 v
（ 2）求导简单者选为 u
分部积分法的 实质 是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。 实际上是两次积分。
例 2 求积分,2? dxex x
解,2xu?,dvdedxe xx
dxex x2 dxxeex xx 22
.)(22 Cexeex xxx
（再次使用分部积分法）,xu? dvdxe x?
总结 若被积函数是幂函数和正 (余 )弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次 (假定幂指数是正整数 )u
例 3 求积分,a rct a n? x d xx
解 令,a r c t a n xu? dvxdx d x 2
2
xdxx a r c t a n )( a r c t a n2a r c t a n2
22
xdxxx
dxxxxx 2
22
1
1
2a r c t a n2
dxxxx )1 11(21a r c t a n2 2
2
.)a r c t a n(21a r c t a n2
2
Cxxxx
若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为,这样使用一次分部积分公式就可使被积函数降次、简化、代数化、
有理化。目的、宗旨只有一个：容易积分。
u
例 4 求积分,ln3? xdxx
解,ln xu?,4
4
3 dvxddxx
xdxx ln3 dxxxx 34 41ln41
.161ln41 44 Cxxx
总结例 5 求积分,)s i n ( l n? dxx
解? dxx )s i n ( l n )][ s i n ( l n)s i n ( l n xxdxx
dxxxxxx 1)co s (l n)s i n(l n
)][ c o s ( l n)c o s ( l n)s i n ( l n xxdxxxx
dxxxxx )s i n ( l n)]c o s ( l n)[ s i n ( l n
dxx )s i n ( l n,)]co s (l n)[s i n(l n2 Cxxx
注,本题也可令 xt ln?
分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一定要加上积分常数 C
例 6 求积分,s i n? xdxe x
解? xdxe x s i n xx d es i n
)( s i ns i n xdexe xx
x d xexe xx c o ss i n xx xdexe c o ss i n
)c o sc o s(s i n xdexexe xxx
x d xexxe xx s i n)c o s( s i n
x d xe x s i n,)c o s( s i n2 Cxxe
x
注意循环形式例 7 dxx? 3s e c
解 dxx? 3se c xxd t a ns ec
dxxxxx s e ct a nt a ns e c 2
x d xx d xxx 3s ecs ect a ns ec
x d xxxxx 3s ec)t a nl n ( s ect a ns ec
Cxxxxxdx )t a nl n ( s ec21t a ns ec21s ec 3
例 8 )(s i n Nnxdxn
解 xdxxdx nn co ss i ns i n 1
x d xnxxx nn 221 s i n)1(co sco ss i n
xdxnxx nn 21 s i n)1(co ss i n
xdxn ns i n)1(
x d xnnxxnx d x nnn 21 s i n1co ss i n1s i n
若设 xdxI nn s i n则上述计算公式可表为
2
1 1co ss in1
n
n
n In
nxx
nI
—— 递推公式反复使用递推公式，最后归结为求 xsin
的一次幂或零次幂的不定积分例 9 dxe
e
x
x
a r c t a n
解一 令 xeu?
dxe ex
x
a r c t a n duuu u 1a rct a n
)1(a rct a n uud
duuuuu 21 11a rc t a n1
duuuuuu ]11[a rc t a n1 2
Cuuuu )1ln (21lna rc t a n1 2
Cexee xxx )1l n (21a rct a n 2
解二 直接分部积分
dxe ex
x
a r c t a n xx deea rc t a n
dxeeeee x
x
xxx
21a r c t a n
dxeee xxx 21 1a rc t a n
对 dxe x21 1 分子分母同乘以 xe
dxe x21 1 dxee e xx
x
)1( 2令 xeu?
duuu )1( 1 2 )1l n (21ln 2uu
或 分子分母同乘以 xe2
dxe x21 1 dxee e xx
x
)1( 22
2
)()1( 121 222 xxx edee 令 xet 2?
dttt )1( 121 dttt ]1 11[21
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解三 彻底换元令 xet ar c t a n? 则 tx t a nln?
t d ttdx 2s ect a n1
dxe ex
x
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t 2s e c
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1
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例 10 dxxex
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[分析 ] 需要将 xxe 作为整体来考虑解 分子分母同乘以 xe
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Cxexx x )1l n (ln
例 11 求积分,1
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2 dxx
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解,11 22 xxx
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Ctt )ta nl n( s ec Cxx )1l n( 2
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例 12? xdxe x c o s
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xdxexe xx s i nco s1
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x d xexexe xxx c o ss inc o s1 2
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x ]s i nc o s[c o s
22
类似地有
Cxxexdxe
x
x ]c o ss i n[s i n
22
例 13 已知 )( xf 的 一 个 原 函 数 是
2x
e?,求
dxxfx )(,
解 dxxfx )( )( xx d f,)()( dxxfxxf
,)( 2 Cedxxf x ),()( xfdxxf
两边同时对 求导,得x,2)( 2xxexf
dxxfx )( dxxfxxf )()(
222 xex,Ce
合理选择,正确使用分部积分公式
vu?,
dxvuuvdxvu
二、小结思考题在接连几次应用分部积分公式时，
应注意什么？
思考题解答注意前后几次所选的 应为同类型函数,u
例? x d xe x c o s
第一次时若选 xu c o s1?
x d xe x c o s dxxexe xx s i nc o s
第二次时仍应选 xu s in2?
