习 题 课积分法原 函 数选择
u
有效方法基本积分表第一换元法 第二换元法直接积分法分部积分法不 定 积 分几种特殊类型函数的积分一、主要内容
1、原函数
2、不定积分
(1) 定义 CxFdxxf )()(
(2) 微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的,
(3) 不定积分的性质
3、积分法：三法一表基本积分表分项积分法换元积分法分部积分法
4、基本积分表（ 24个公式 ）
5、直接积分法（ 分项积分法 ）
6、第一类换元法（ 凑微分法 ）
凑微分法的主要思想：
将不同的部分 —— 中间变量与积分变量 ——
变成相同，使之能套用基本积分公式。
此时要求熟悉并牢记一些基本的微分公式，并善于从被积表达式中拼凑出合适的微分因子。
常见类型,;)(.1 1 dxxxf nn? ;)(.2 dxxxf;)( l n.3 dxx xf ;
)1(
.4 2 dx
x
x
f;c o s)( s i n.5 xdxxf ;)(.6 dxaaf xx;s e c)( t a n.7 2 xdxxf ;1 )( ar c t an.8 2 dxx xf?
7、第二类换元法引入适当的变量代换，变化被积表达式，使之化简并变成容易的积分。
常用代换,
.,)(.1 Rbatx
.si n,)(
.2
22 taxxaxf 令如三角函数代换
.s i n h,)(
.3
22 taxxaxf 令如双曲函数代换
.1.4 tx?令倒置代换
5.根式代换
n dcx bax被积式如含 n dcx baxt则令被积式如含 nm dcx baxdcx bax,
则令 k dcx baxt },{ nmLC Mk?
6.指数代换被积式如含 xa 通常可令 xat?
8、分部积分法
dxvuuvdxvu
duvuvu d v分部积分公式选择 u,v 的有效方法,ILAET选择法
I----反三角函数； L----对数函数；
A----代数函数； E----指数函数；
T----三角函数； 哪个在前哪个选作 u.
反、对、幂、指、三排序在后者优先进入积分号
9、几种特殊类型函数的积分
（ 1）有理函数的积分待定系数法 化有理真分式为部分分式四种类型最简分式的不定积分
dxax 1 dxax m )( 1
dxqpxx BAx2 dxqpxx BAx m )( 2
有递推公式
（ 2） 三角函数有理式的积分
dxxxR )co s,( s i n duuu
u
u
uR
22
2
2 1
2
1
1,
1
2
（ 3） 简单无理函数的积分讨论类型 ),( n baxxR? ),( n ecx baxxR
解决方法 作代换去掉根号．
注意 某些初等函数的原函数不是初等函数如 dxe x 2? dx
x
xs in? dx
xln
1?
dxx 41
1
俗称“积不出来”
二、典型例题例 1?
dx
x
x
1)
2
3
(
)
2
3
(
2
原式解
.49 32 dxxx
xx
求?
1)
2
3
(
)
2
3
(
2
3
ln
1
2 x
xd
1
2
3ln
1
2t
dt
dttt )1111(
2
3ln2
1
Ctt 11ln)2ln3(l n2 1
.23 23ln)2ln3(l n2 1 Cxx
xx
tx?)23(令例 2
解
.c o s1 )s i n1( dxx xe
x
求?
dx
x
xx
e x
2
c o s2
)
2
c o s
2
si n21(
2
原式
dxxexe xx )2ta n
2
c o s2
1(
2
]2ta n)2(ta n[( xx dexxde )2ta n( xed x
.2ta n Cxe x
例 3
解
.
1
5)1l n (
2
2
dxx xx求
]5)1[ln ( 2 xx?
,1 1 2x
]5)1[l n (5)1l n ( 22 xxdxx原式
.]5)1[l n (32 2
3
2 Cxx
)12 21(11 22 xxxx
例 4
解一
.1122 dxxx x求
,1tx?令
dt
t
tt
t )1(
1)
1
(
1
1
1
2
2
2
原式
dttt 211
222 12 )1(1 1 ttddtt Ctt 21a r c s i n
.1a r c s i n1
2
Cxxx
(倒代换 )
解二 令 tx sec?
dxxx x 1122 td ttttt t a ns ect a ns ec 1s ec 2
dttt s ec 1s ec dtt )c o s1(
Ctt s i n
Cxxx 1a r c c o s1
2
x
1
12?xt
例 5
解
.)1l n(ar c t an 2 dxxxx求
dxxx )1l n ( 2 )1()1l n (21 22 xdx
.21)1l n ()1(21 222 Cxxx
]21)1l n ()1(`21[ar c t an 222 xxxxd原式
xxxx ar c t an])1l n ()1[ ( `21 222
dxxxx ]1)1[ l n (21 2
2
2
.
2
)1ln (
2
]3)1ln ()1[(`a r c t a n
2
1
2
222
C
x
x
x
xxxx
例 6 )0()(
1?
adxaxx n
解一 分子拆项
dxaxx n )( 1 dxaxx xaxa n
nn
)(1
]1[1
1
dxax xdxxa n
n
Caxnxa n )]l n (1[ l n1
Cax xna n
n
ln1
解二 分子分母同乘以 1?nx
dxaxx n )( 1
dxaxx x nn
n
)(
1
n
nn dxaxxn )(
11 令 nxt?
dttatn )( 11
dtattna ]11[1 Cat tna ln1
Cax xna n
n
ln1
解三 倒代换 令 tx
1?
dxaxx n )( 1 dttatt n
n
2
1 1
1
dtatt n
n
1
1
Catna n )1l n (1
Cax xna n
n
ln1
解四 凑微分
dxaxx n )( 1 dxaxx nn )1(
1
1
Caxna n )1l n (1 Cax xna n
n
ln1
例 7,},1m a x {? dxx求解 },,1m a x {)( xxf?设
,
1,
11,1
1,
)(
xx
x
xx
xf则
,),()( 上连续在xf? ).( xF则必存在原函数须处处连续，有又 )( xF?
.
1,
2
1
11,
1,
2
1
)(
3
2
2
1
2
xCx
xCx
xCx
xF
)21(lim)(lim 12
121
CxCx
xx
,211 12 CC即
)(lim)21(lim 2
13
2
1
CxCx
xx
,121 23 CC即
.
1,1
2
1
11,
2
1
1,
2
1
},1m a x {
2
2
xCx
xCx
xCx
dxx故
.1,21 32 CCCC ＋可得
,1 CC?联立并令例 8
解
dx
xf
xfxfxfxf
)(
)()()()(
3
22
原式
.])( )()()( )([ 3
2
dxxf xfxfxf xf求
dxxf xfxfxfxf xf )( )()()()( )( 2
2
])( )([)( )( xf xfdxf xf
.])( )([21 2 Cxf xf
例 9 dxxx
22 )1l n(
解一 直接分部积分
dxxx 22 )1ln (
dxxxxxxxx 2222 1 1)1ln(2)1ln(
)1(
1
1
)1l n (
)1l n (
2
2
2
22
xd
x
xx
xxx
)1()1ln (2)1ln ( 2222 xdxxxxx
)1l n (12)1l n ( 2222 xxxxxx
dxxx 22 1 112
Cxxxxxxx 2)1l n (12)1l n ( 2222
解二 作双曲代换令 xarxxt s i nh)1l n( 2
dxxx 22 )1ln ( tdt s i n h2
td tttt s i n h2s i n h2
ttdtt co s h2s i n h2
t d ttttt c o s h2c o s h2s i n h2
Cttttt s i n h2co s h2s i n h2
)1l n (12)1l n ( 2222 xxxxxx
Cx 2
解三 用三角代换令 tx tan? 注意
ttt s e c])t a n[ ln( s e c计算过程稍繁例 10 dxxx? c o ss i n
1
3
解一 dx
xx? co ss i n
1
3
dxxx xx c o ss i n c o ss i n 3
22
dxxxdxxx 3s i nco sco ss i n 1
)( s ins in 1s inc o sc o ss in 3 xdxdxxxxx
Cxx 2s i n2 1t a nln
解二 dxxx? co ss i n 13 dx
xx
x
x 22 c o ss i n
c o s
s i n
1
)( t a nt a n11t a n1 2 xdxx
)( t a nt a n1)( t a nt a n1 3 xdxxdx
Cxx 2t a n2 1t a nln
解三 dxxx? co ss i n 13
dxxxx c o ss i ns i n 12
dxxx 2s in)2c o s1( 14
令 tx?ta n 21 22s i n ttx
2
2
1
12c o s
t
tx
dt
tdx 21
1
dt
t
t
t
t
t?
22
2
2
1
2
)
1
1
1(
1
1
4
dtt t 3
2
4
14
dttdtt 113 Ctt 22 1ln
Cxx 2t a n2 1t a nln
解四 万能代换不易得出正确结果例 11 dxxa
xa?
解一 dxxa xa 分子分母同乘 xa?
dxxa xa 22
dxxa xdxxaa 2222 1
Cxaaxa 22a rcs i n
解二 令 xa xat 1 )1( 2
2
t
tax
dttatdx 22 )1( 4
dxxa xa dttat 22
2
)1(
4
dttadtta 222 )1( 141 14
而 dtt 22 )1( 1 令 ut ta n?
u d uu 24 s ecs ec 1 u d u2c o s
duu ]2co s1[21
Cuu 2s i n4121
t
1
21 t?
u Cttt 2121a rct a n21
dxxa xa Cttata 212a rc t a n2
Cxaxa xaa 22a r c t a n2
例 12 )()s i n()s i n(
1?kbadx
bxax
解 dxbxax )s in ()s in ( 1
dxbxax baba )s i n()s i n( )s i n()s i n( 1
dxbxax bxaxba )s i n()s i n( )]()s i n[ ()s i n( 1
dxax axbx bxba ])s in ( )c o s ()s in ( )c o s ([)s in ( 1
Cax bxba )s in ( )s in (ln)s in ( 1
例 13
dx
xx
xx
)1(
)1l n(ln
解一 注意到 )1( 1])1ln ([ ln xxxx
dxxx xx )1( )1ln (ln
)]1l n ([ l n)]1l n ([ l n xxdxx
Cxx 2)]1l n ([ l n21
解二 111)1( 1 xxxx
dxxx xx )1( )1ln (ln
dxx xdxxxdxx xdxx x 1 )1l n ()1l n (1lnln
而 xdxdxxx ln)1l n ()1l n (
dxx xxx 1ln)1ln (ln
dxxx xx )1( )1ln (ln
Cxxxx )1(ln21)1l n (lnln21 22
例 14 dxxx 1 0 0)1(
解一 dxxx 1 0 0)1(
101)1(
101
1 xxd
dxxxx 101101 )1(1 0 11)1(1 0 11
Cxxx 1 0 21 0 1 )1(102101 1)1(101 1
Cxx 1 0 1)1(1 0 2)1(
101102
解二 dxxx 1 0 0)1( dxxx 1 0 0)1)(11(
dxxdxx 1 0 01 0 1 )1()1(
Cxx 1 0 1)1(1 0 2)1(
101102
例 15 dxxx 21
1
解 令 tx sin?
dxxx 211 dttt t co ss i n co s
对 dttt t co ss i n co s我们用多种解法来解
① 分子拆项
tttttt c o s)c o s( s in)s in( c o sc o s 再移项
dttt tco ss i n co s dttt ttdttt tt co ss i n co ss i n21co ss i n s i nco s21
Cttt )co sl n ( s i n2121
② 分母和差化积
dttt tco ss i n co s dttt
t
)
2
s i n (s i n
co s
dt
t
t
)
4
c o s (
4
s in2
)
44
c o s (
dtt )]4t a n (1[21?
Ctt )]4l n [ co s (2121?
③ 分子分母同乘 tt s inc o s?
dttt tco ss i n co s dtt ttt 2c o s c o ss inc o s 2
dtt tt 2co s 2s i n2co s121 )2(2co s 2s in14121 tdt tt
Ctttt 2co sln41)2t a n2l n ( s ec4121
Ctt )2s i n1l n (4121
Cttt )co sl n ( s i n2121
④ 分子分母同除以 tcos 再令 ut?tan
dttt tco ss i n co s dtt t a n1 1
duuu )1)(1( 1 2 duuuu ]1 11 1[21 2
Cuuu 211ln21a r c t a n21
⑤ 分子分母同除以 tsin 再令 ut?co t
解法与④完全类似
⑥ 万能代换 令 2ta n tu?
dttt tco ss i n co s duuuu u 22
2
1
2
21
1
分母不易分解因式，直接用万能代换不妥
⑦ 按分子分母都是 tt c o s,s in 的一次式来解
dttt tco ss i n co s dttt ttNttM co ss i n )co s( s i n)co s( s i n
2
1 NM
dttt tco ss i n co s Cttt )co sl n ( s i n2121
⑧ 分母是两项之和，分子是两项中之一项令 dttt tI co ss i n co s dttt tJ co ss i n s i n
则 1CtdtJI
2)co sl n ( s i nco ss i n s i nco s Cttdttt ttJI
解得 CtttI )co sl n ( s i n2121
CtttJ )co sl n ( s i n2121
u
有效方法基本积分表第一换元法 第二换元法直接积分法分部积分法不 定 积 分几种特殊类型函数的积分一、主要内容
1、原函数
2、不定积分
(1) 定义 CxFdxxf )()(
(2) 微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的,
(3) 不定积分的性质
3、积分法：三法一表基本积分表分项积分法换元积分法分部积分法
4、基本积分表（ 24个公式 ）
5、直接积分法（ 分项积分法 ）
6、第一类换元法（ 凑微分法 ）
凑微分法的主要思想：
将不同的部分 —— 中间变量与积分变量 ——
变成相同，使之能套用基本积分公式。
此时要求熟悉并牢记一些基本的微分公式，并善于从被积表达式中拼凑出合适的微分因子。
常见类型,;)(.1 1 dxxxf nn? ;)(.2 dxxxf;)( l n.3 dxx xf ;
)1(
.4 2 dx
x
x
f;c o s)( s i n.5 xdxxf ;)(.6 dxaaf xx;s e c)( t a n.7 2 xdxxf ;1 )( ar c t an.8 2 dxx xf?
7、第二类换元法引入适当的变量代换，变化被积表达式，使之化简并变成容易的积分。
常用代换,
.,)(.1 Rbatx
.si n,)(
.2
22 taxxaxf 令如三角函数代换
.s i n h,)(
.3
22 taxxaxf 令如双曲函数代换
.1.4 tx?令倒置代换
5.根式代换
n dcx bax被积式如含 n dcx baxt则令被积式如含 nm dcx baxdcx bax,
则令 k dcx baxt },{ nmLC Mk?
6.指数代换被积式如含 xa 通常可令 xat?
8、分部积分法
dxvuuvdxvu
duvuvu d v分部积分公式选择 u,v 的有效方法,ILAET选择法
I----反三角函数； L----对数函数；
A----代数函数； E----指数函数；
T----三角函数； 哪个在前哪个选作 u.
反、对、幂、指、三排序在后者优先进入积分号
9、几种特殊类型函数的积分
（ 1）有理函数的积分待定系数法 化有理真分式为部分分式四种类型最简分式的不定积分
dxax 1 dxax m )( 1
dxqpxx BAx2 dxqpxx BAx m )( 2
有递推公式
（ 2） 三角函数有理式的积分
dxxxR )co s,( s i n duuu
u
u
uR
22
2
2 1
2
1
1,
1
2
（ 3） 简单无理函数的积分讨论类型 ),( n baxxR? ),( n ecx baxxR
解决方法 作代换去掉根号．
注意 某些初等函数的原函数不是初等函数如 dxe x 2? dx
x
xs in? dx
xln
1?
dxx 41
1
俗称“积不出来”
二、典型例题例 1?
dx
x
x
1)
2
3
(
)
2
3
(
2
原式解
.49 32 dxxx
xx
求?
1)
2
3
(
)
2
3
(
2
3
ln
1
2 x
xd
1
2
3ln
1
2t
dt
dttt )1111(
2
3ln2
1
Ctt 11ln)2ln3(l n2 1
.23 23ln)2ln3(l n2 1 Cxx
xx
tx?)23(令例 2
解
.c o s1 )s i n1( dxx xe
x
求?
dx
x
xx
e x
2
c o s2
)
2
c o s
2
si n21(
2
原式
dxxexe xx )2ta n
2
c o s2
1(
2
]2ta n)2(ta n[( xx dexxde )2ta n( xed x
.2ta n Cxe x
例 3
解
.
1
5)1l n (
2
2
dxx xx求
]5)1[ln ( 2 xx?
,1 1 2x
]5)1[l n (5)1l n ( 22 xxdxx原式
.]5)1[l n (32 2
3
2 Cxx
)12 21(11 22 xxxx
例 4
解一
.1122 dxxx x求
,1tx?令
dt
t
tt
t )1(
1)
1
(
1
1
1
2
2
2
原式
dttt 211
222 12 )1(1 1 ttddtt Ctt 21a r c s i n
.1a r c s i n1
2
Cxxx
(倒代换 )
解二 令 tx sec?
dxxx x 1122 td ttttt t a ns ect a ns ec 1s ec 2
dttt s ec 1s ec dtt )c o s1(
Ctt s i n
Cxxx 1a r c c o s1
2
x
1
12?xt
例 5
解
.)1l n(ar c t an 2 dxxxx求
dxxx )1l n ( 2 )1()1l n (21 22 xdx
.21)1l n ()1(21 222 Cxxx
]21)1l n ()1(`21[ar c t an 222 xxxxd原式
xxxx ar c t an])1l n ()1[ ( `21 222
dxxxx ]1)1[ l n (21 2
2
2
.
2
)1ln (
2
]3)1ln ()1[(`a r c t a n
2
1
2
222
C
x
x
x
xxxx
例 6 )0()(
1?
adxaxx n
解一 分子拆项
dxaxx n )( 1 dxaxx xaxa n
nn
)(1
]1[1
1
dxax xdxxa n
n
Caxnxa n )]l n (1[ l n1
Cax xna n
n
ln1
解二 分子分母同乘以 1?nx
dxaxx n )( 1
dxaxx x nn
n
)(
1
n
nn dxaxxn )(
11 令 nxt?
dttatn )( 11
dtattna ]11[1 Cat tna ln1
Cax xna n
n
ln1
解三 倒代换 令 tx
1?
dxaxx n )( 1 dttatt n
n
2
1 1
1
dtatt n
n
1
1
Catna n )1l n (1
Cax xna n
n
ln1
解四 凑微分
dxaxx n )( 1 dxaxx nn )1(
1
1
Caxna n )1l n (1 Cax xna n
n
ln1
例 7,},1m a x {? dxx求解 },,1m a x {)( xxf?设
,
1,
11,1
1,
)(
xx
x
xx
xf则
,),()( 上连续在xf? ).( xF则必存在原函数须处处连续，有又 )( xF?
.
1,
2
1
11,
1,
2
1
)(
3
2
2
1
2
xCx
xCx
xCx
xF
)21(lim)(lim 12
121
CxCx
xx
,211 12 CC即
)(lim)21(lim 2
13
2
1
CxCx
xx
,121 23 CC即
.
1,1
2
1
11,
2
1
1,
2
1
},1m a x {
2
2
xCx
xCx
xCx
dxx故
.1,21 32 CCCC ＋可得
,1 CC?联立并令例 8
解
dx
xf
xfxfxfxf
)(
)()()()(
3
22
原式
.])( )()()( )([ 3
2
dxxf xfxfxf xf求
dxxf xfxfxfxf xf )( )()()()( )( 2
2
])( )([)( )( xf xfdxf xf
.])( )([21 2 Cxf xf
例 9 dxxx
22 )1l n(
解一 直接分部积分
dxxx 22 )1ln (
dxxxxxxxx 2222 1 1)1ln(2)1ln(
)1(
1
1
)1l n (
)1l n (
2
2
2
22
xd
x
xx
xxx
)1()1ln (2)1ln ( 2222 xdxxxxx
)1l n (12)1l n ( 2222 xxxxxx
dxxx 22 1 112
Cxxxxxxx 2)1l n (12)1l n ( 2222
解二 作双曲代换令 xarxxt s i nh)1l n( 2
dxxx 22 )1ln ( tdt s i n h2
td tttt s i n h2s i n h2
ttdtt co s h2s i n h2
t d ttttt c o s h2c o s h2s i n h2
Cttttt s i n h2co s h2s i n h2
)1l n (12)1l n ( 2222 xxxxxx
Cx 2
解三 用三角代换令 tx tan? 注意
ttt s e c])t a n[ ln( s e c计算过程稍繁例 10 dxxx? c o ss i n
1
3
解一 dx
xx? co ss i n
1
3
dxxx xx c o ss i n c o ss i n 3
22
dxxxdxxx 3s i nco sco ss i n 1
)( s ins in 1s inc o sc o ss in 3 xdxdxxxxx
Cxx 2s i n2 1t a nln
解二 dxxx? co ss i n 13 dx
xx
x
x 22 c o ss i n
c o s
s i n
1
)( t a nt a n11t a n1 2 xdxx
)( t a nt a n1)( t a nt a n1 3 xdxxdx
Cxx 2t a n2 1t a nln
解三 dxxx? co ss i n 13
dxxxx c o ss i ns i n 12
dxxx 2s in)2c o s1( 14
令 tx?ta n 21 22s i n ttx
2
2
1
12c o s
t
tx
dt
tdx 21
1
dt
t
t
t
t
t?
22
2
2
1
2
)
1
1
1(
1
1
4
dtt t 3
2
4
14
dttdtt 113 Ctt 22 1ln
Cxx 2t a n2 1t a nln
解四 万能代换不易得出正确结果例 11 dxxa
xa?
解一 dxxa xa 分子分母同乘 xa?
dxxa xa 22
dxxa xdxxaa 2222 1
Cxaaxa 22a rcs i n
解二 令 xa xat 1 )1( 2
2
t
tax
dttatdx 22 )1( 4
dxxa xa dttat 22
2
)1(
4
dttadtta 222 )1( 141 14
而 dtt 22 )1( 1 令 ut ta n?
u d uu 24 s ecs ec 1 u d u2c o s
duu ]2co s1[21
Cuu 2s i n4121
t
1
21 t?
u Cttt 2121a rct a n21
dxxa xa Cttata 212a rc t a n2
Cxaxa xaa 22a r c t a n2
例 12 )()s i n()s i n(
1?kbadx
bxax
解 dxbxax )s in ()s in ( 1
dxbxax baba )s i n()s i n( )s i n()s i n( 1
dxbxax bxaxba )s i n()s i n( )]()s i n[ ()s i n( 1
dxax axbx bxba ])s in ( )c o s ()s in ( )c o s ([)s in ( 1
Cax bxba )s in ( )s in (ln)s in ( 1
例 13
dx
xx
xx
)1(
)1l n(ln
解一 注意到 )1( 1])1ln ([ ln xxxx
dxxx xx )1( )1ln (ln
)]1l n ([ l n)]1l n ([ l n xxdxx
Cxx 2)]1l n ([ l n21
解二 111)1( 1 xxxx
dxxx xx )1( )1ln (ln
dxx xdxxxdxx xdxx x 1 )1l n ()1l n (1lnln
而 xdxdxxx ln)1l n ()1l n (
dxx xxx 1ln)1ln (ln
dxxx xx )1( )1ln (ln
Cxxxx )1(ln21)1l n (lnln21 22
例 14 dxxx 1 0 0)1(
解一 dxxx 1 0 0)1(
101)1(
101
1 xxd
dxxxx 101101 )1(1 0 11)1(1 0 11
Cxxx 1 0 21 0 1 )1(102101 1)1(101 1
Cxx 1 0 1)1(1 0 2)1(
101102
解二 dxxx 1 0 0)1( dxxx 1 0 0)1)(11(
dxxdxx 1 0 01 0 1 )1()1(
Cxx 1 0 1)1(1 0 2)1(
101102
例 15 dxxx 21
1
解 令 tx sin?
dxxx 211 dttt t co ss i n co s
对 dttt t co ss i n co s我们用多种解法来解
① 分子拆项
tttttt c o s)c o s( s in)s in( c o sc o s 再移项
dttt tco ss i n co s dttt ttdttt tt co ss i n co ss i n21co ss i n s i nco s21
Cttt )co sl n ( s i n2121
② 分母和差化积
dttt tco ss i n co s dttt
t
)
2
s i n (s i n
co s
dt
t
t
)
4
c o s (
4
s in2
)
44
c o s (
dtt )]4t a n (1[21?
Ctt )]4l n [ co s (2121?
③ 分子分母同乘 tt s inc o s?
dttt tco ss i n co s dtt ttt 2c o s c o ss inc o s 2
dtt tt 2co s 2s i n2co s121 )2(2co s 2s in14121 tdt tt
Ctttt 2co sln41)2t a n2l n ( s ec4121
Ctt )2s i n1l n (4121
Cttt )co sl n ( s i n2121
④ 分子分母同除以 tcos 再令 ut?tan
dttt tco ss i n co s dtt t a n1 1
duuu )1)(1( 1 2 duuuu ]1 11 1[21 2
Cuuu 211ln21a r c t a n21
⑤ 分子分母同除以 tsin 再令 ut?co t
解法与④完全类似
⑥ 万能代换 令 2ta n tu?
dttt tco ss i n co s duuuu u 22
2
1
2
21
1
分母不易分解因式，直接用万能代换不妥
⑦ 按分子分母都是 tt c o s,s in 的一次式来解
dttt tco ss i n co s dttt ttNttM co ss i n )co s( s i n)co s( s i n
2
1 NM
dttt tco ss i n co s Cttt )co sl n ( s i n2121
⑧ 分母是两项之和，分子是两项中之一项令 dttt tI co ss i n co s dttt tJ co ss i n s i n
则 1CtdtJI
2)co sl n ( s i nco ss i n s i nco s Cttdttt ttJI
解得 CtttI )co sl n ( s i n2121
CtttJ )co sl n ( s i n2121
