不定积分的概念和性质前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学技术领域中，还会遇到与此相反的问题：即寻求一个可导函数，使其导数等于一个已知函数。从而产生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定积分两部分。
本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。
重点原函数与不定积分的概念基本积分公式换元积分法 分部积分法有理函数积分难点换元积分 分部积分 有理函数积分基本要求
① 正确理解原函数和不定积分概念
② 熟记基本积分公式
③ 熟练地运用换元积分法和分部积分法
④ 会用待定系数法求有理函数积分
⑤ 会用万能代换和三角代换求三角有理式积分
⑥ 会求简单无理函数的积分例 xx c o ss i n s i n 是 xc os 的原函数,
)0(1ln xxx
xln 是 x1 在区间 ),0( 内的原函数,
如果在区间 I 内，定义,可导函数 )( xF 的即 Ix,都有 )()( xfxF
或 dxxfxdF )()(?,那么函数 )( xF 就称为 )( xf
导函数为 )( xf,
或 dxxf )( 在区间 I 内 原函数,
一、原函数与不定积分的概念对原函数的研究须讨论解决以下两个 问题
(1) 是否任何一个函数都存在原函数？
考察如下的例子
01
00)(
x
xxf
若存在可导函数 )()()( xfxFxF使
)(xf则由 的定义时当 0?x 0)()( xfxF 1)( CF
时当 0?x 0)()( xfxF 2)( CF
处连续在可导由 0)()( xxFxF
关于原函数的说明：
21 CC （左、右极限存在且相等）
CxF )( 0)0( F
而已知 1)0()0( fF 矛盾这说明 )(xf 没有原函数既然不是每一个函数都有原函数，那么我们自然要问：具备什么条件的函数才有原函数？对此我们给出如下的结论：
原函数存在定理：
如果函数 )( xf 在区间 I 内连续，
那么在区间 I 内存在可导函数 )( xF,
使 Ix,都有 )()( xfxF,
简言之：连续函数一定有原函数,
（证明待下章给出）
（ 2）原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有什么联系？
① 若,则对于任意常数,)()( xfxF C
CxF?)( 都是 )( xf 的原函数,
② 若 和 都是 的原函数，)(xF )(xG )(xf
则 CxGxF )()( （ 为任意常数）C
证 )()()()( xGxFxGxF
0)()( xfxf
CxGxF )()( （ 为任意常数）C
任意常数积分号被积函数不定积分的定义：
在区间 I 内，
CxFdxxf )()(
被积表达式积分变量函数 )( xf 的带有任意常数项的原函数 称为 )( xf 在区间 I 内的不定积分,记为? dxxf )(,
为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可例 1 求,5dxx?
解,6
5
6
xx?
.6
6
5 Cxdxx
解例 2 求,1
1
2 dxx
,1 1a rcta n 2xx
.a rcta n1 1 2 Cxdxx
例 3 设曲线通过点（ 1,2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程,
解 设曲线方程为 ),( xfy?
根据题意知,2 xdxdy?
即 )( xf 是 x2 的一个原函数,
,2 2 Cxx d x?,)( 2 Cxf
由曲线通过点（ 1,2）,1 C
所求曲线方程为,12 xy
函数 )( xf 的原函数的图形称为 )( xf 的 积分曲线,
显然，求不定积分得到一积分曲线族,
由不定积分的定义，可知
),()( xfdxxfdxd,)(])([ dxxfdxxfd
,)()( CxFdxxF,)()( CxFxdF
结论,微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的,
实例
xx?
1
1
.1
1
Cxdxx
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式,
)1(
二,基本积分表基本积分表
kCkxk d x ()1( 是常数 ); );1(
1)2(
1
Cxdxx;ln)3( Cxxdx
说明,,0x,ln Cxxdx
])[l n (,0 xx,1)(1 xxx
,)l n( Cxxdx,||ln Cxxdx
简写为,ln Cxxdx
dxx 21 1)4( ;a r c t a n Cx?
dxx 21 1)5( ;a r c s i n Cx?
xdxc o s)6( ;s i n Cx?
x d xs i n)7( ;c o s Cx
xdx 2co s)8(xdx2s e c ;t a n Cx?
xdx 2s i n)9(xdx2c s c ;c o t Cx
xdxx t a ns e c)10( ;s e c Cx?
xdxx c o tc s c)11( ;c s c Cx
dxe x)12( ;Ce x?
dxa x)13( ;ln Caa
x
xdxs i n h)14( ;c o s h Cx?
xdxc o s h)15( ;s i n h Cx?
以上 15个公式是求不定积分的基础，
称为基本积分表，必须熟练掌握。
例 4 求积分,2 dxxx?
解 dxxx? 2 dxx 2
5
C
x
1
2
5
1
2
5
.72 2
7
Cx
根据积分公式（ 2） C
xdxx?
1
1
dxxgxf )]()([)1( ;)()( dxxgdxx
证 dxxgdxxf )()(?
dxxgdxxf )()( ).()( xgxf
等式成立,
此性质可推广到有限多个函数之和的情况三,不定积分的性质
dxxfxf n )]()([ 1?
dxxfdxxf n )()(1?
dxxkf )()2(,)? dxxfk （ k 是常数,)0?k
证明只须验证右端的导数等于左端的被积函数
（ 1） +（ 2）?
dxxfkdxxfk i
n
i
i
n
i
ii )(])([
11
即线性组合的不定积分等于不定积分的线性组合这说明不定积分具有线性运算性质注意到上式中有 n个积分号，形式上含有 n个任意常数,但由于任意常数的线性组合仍是任意常数，故实际上只含有 一个任意常数
—— 分项积分法例 5 求积分解
.)
1
2
1
3(
22 dxxx
dxxx )1 21 3( 22
dxxdxx 22 1 121 13
xa r c t a n3? xa r c s i n2? C?
注意检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看其导数是否等于被积函数例 6 求积分
.
)1(
1
2
2
dx
xx
xx?
解 dxxx
xx?
)1(
1
2
2
dxxx xx )1( )1( 2
2
dxxx 11 1 2 dxxdxx 11 1 2
.lna r c t a n Cxx
例 7 求积分
.
)1(
21
22
2
dx
xx
x?
解 dxxx
x?
)1(
21
22
2 dx
xx
xx?
)1(
1
22
22
dxxdxx 22 1 11
.a rct a n1 Cxx
例 8 求积分,2c o s1
1?
dxx
解 dxx2co s1 1 dxx 1c o s21
1
2
dxx2co s121,ta n21 Cx
例 9 dxx
x?
2
4
1
解 dxxx 2
4
1
dxxx 2
4
1
1)1(
dxxx ]1 11[ 22
Cxxx 331a rc t a n
例 10 dxxx? 22 c o ss i n
1
解 dxxx? 22 co ss i n 1 dxxx
xx
22
22
c o ss i n
c o ss i n
dxxx ]s i n1co s1[ 22 Cxx c o tt a n
例 11
dxxx?
2
c o s
2
s i n
1
22
解
dxxx?
2
co s
2
s i n
1
22
dxxx
2
c o s
2
s i n4
4
22
dxx 2s i n14 Cx c o t4
说明,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表,
例 12 已知一曲线 )( xfy? 在点 ))(,( xfx 处的切线斜率为 xx s i ns e c
2
,且此曲线与 y 轴的交点为 )5,0(,求此曲线的方程,
解,s i ns ec 2 xxdxdy
dxxxy s i ns e c 2
,c o st a n Cxx
,5)0(?y?,6 C
所求曲线方程为,6co sta n xxy
例 13 求 dxxxI },,1m ax{ 32
解
1||1
1
1
},,1m a x { 2
3
32
x
xx
xx
xx
故 时当 1?x 143 41 CxdxxI
时当 1x 232 31 CxdxxI
时当 1||?x 3CxdxI
因被积函数连续，故原函数可导，进而原函数连续于是有 )4(lim)(lim 1
4
131
CxCx
xx
13 4
11 CC 31 43 CC
)(lim)31(lim 3
12
3
1
CxCx
xx
32 13
1 CC 332 CC
I
13231 3 xCx
11 xCx
14341 4 xCx
说明
① 求不定积分时一定要加上积分常数，它表明一个函数的原函数有无穷多个，即要求的是全体原函 数，若不加积分常数则表示只求出了一个原函数
② 写成分项积分后，积分常数可以只写一个
③ 积分的结果在形式上可能有所不同，但实质上只相差一个常数基本积分表 (1)
不定积分的性质原函数的概念,)()( xfxF
不定积分的概念, CxFdxxf )()(
求微分与求积分的互逆关系四,小结思考题符号函数?
0,1
0,0
0,1
s g n)(
x
x
x
xxf
在 内是否存在原函数？为什么？ ),(
思考题解答不存在,
假设有原函数 )(xF?
0,
0,
0,
)(
xCx
xC
xCx
xF
但 )( xF 在 0?x 处不可微，故假设错误所以 在 内不存在原函数,),()(xf
结论 每一个含有 第一类间断点 的函数都没有原函数,
本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。
重点原函数与不定积分的概念基本积分公式换元积分法 分部积分法有理函数积分难点换元积分 分部积分 有理函数积分基本要求
① 正确理解原函数和不定积分概念
② 熟记基本积分公式
③ 熟练地运用换元积分法和分部积分法
④ 会用待定系数法求有理函数积分
⑤ 会用万能代换和三角代换求三角有理式积分
⑥ 会求简单无理函数的积分例 xx c o ss i n s i n 是 xc os 的原函数,
)0(1ln xxx
xln 是 x1 在区间 ),0( 内的原函数,
如果在区间 I 内，定义,可导函数 )( xF 的即 Ix,都有 )()( xfxF
或 dxxfxdF )()(?,那么函数 )( xF 就称为 )( xf
导函数为 )( xf,
或 dxxf )( 在区间 I 内 原函数,
一、原函数与不定积分的概念对原函数的研究须讨论解决以下两个 问题
(1) 是否任何一个函数都存在原函数？
考察如下的例子
01
00)(
x
xxf
若存在可导函数 )()()( xfxFxF使
)(xf则由 的定义时当 0?x 0)()( xfxF 1)( CF
时当 0?x 0)()( xfxF 2)( CF
处连续在可导由 0)()( xxFxF
关于原函数的说明：
21 CC （左、右极限存在且相等）
CxF )( 0)0( F
而已知 1)0()0( fF 矛盾这说明 )(xf 没有原函数既然不是每一个函数都有原函数，那么我们自然要问：具备什么条件的函数才有原函数？对此我们给出如下的结论：
原函数存在定理：
如果函数 )( xf 在区间 I 内连续，
那么在区间 I 内存在可导函数 )( xF,
使 Ix,都有 )()( xfxF,
简言之：连续函数一定有原函数,
（证明待下章给出）
（ 2）原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有什么联系？
① 若,则对于任意常数,)()( xfxF C
CxF?)( 都是 )( xf 的原函数,
② 若 和 都是 的原函数，)(xF )(xG )(xf
则 CxGxF )()( （ 为任意常数）C
证 )()()()( xGxFxGxF
0)()( xfxf
CxGxF )()( （ 为任意常数）C
任意常数积分号被积函数不定积分的定义：
在区间 I 内，
CxFdxxf )()(
被积表达式积分变量函数 )( xf 的带有任意常数项的原函数 称为 )( xf 在区间 I 内的不定积分,记为? dxxf )(,
为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可例 1 求,5dxx?
解,6
5
6
xx?
.6
6
5 Cxdxx
解例 2 求,1
1
2 dxx
,1 1a rcta n 2xx
.a rcta n1 1 2 Cxdxx
例 3 设曲线通过点（ 1,2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程,
解 设曲线方程为 ),( xfy?
根据题意知,2 xdxdy?
即 )( xf 是 x2 的一个原函数,
,2 2 Cxx d x?,)( 2 Cxf
由曲线通过点（ 1,2）,1 C
所求曲线方程为,12 xy
函数 )( xf 的原函数的图形称为 )( xf 的 积分曲线,
显然，求不定积分得到一积分曲线族,
由不定积分的定义，可知
),()( xfdxxfdxd,)(])([ dxxfdxxfd
,)()( CxFdxxF,)()( CxFxdF
结论,微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的,
实例
xx?
1
1
.1
1
Cxdxx
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式,
)1(
二,基本积分表基本积分表
kCkxk d x ()1( 是常数 ); );1(
1)2(
1
Cxdxx;ln)3( Cxxdx
说明,,0x,ln Cxxdx
])[l n (,0 xx,1)(1 xxx
,)l n( Cxxdx,||ln Cxxdx
简写为,ln Cxxdx
dxx 21 1)4( ;a r c t a n Cx?
dxx 21 1)5( ;a r c s i n Cx?
xdxc o s)6( ;s i n Cx?
x d xs i n)7( ;c o s Cx
xdx 2co s)8(xdx2s e c ;t a n Cx?
xdx 2s i n)9(xdx2c s c ;c o t Cx
xdxx t a ns e c)10( ;s e c Cx?
xdxx c o tc s c)11( ;c s c Cx
dxe x)12( ;Ce x?
dxa x)13( ;ln Caa
x
xdxs i n h)14( ;c o s h Cx?
xdxc o s h)15( ;s i n h Cx?
以上 15个公式是求不定积分的基础，
称为基本积分表，必须熟练掌握。
例 4 求积分,2 dxxx?
解 dxxx? 2 dxx 2
5
C
x
1
2
5
1
2
5
.72 2
7
Cx
根据积分公式（ 2） C
xdxx?
1
1
dxxgxf )]()([)1( ;)()( dxxgdxx
证 dxxgdxxf )()(?
dxxgdxxf )()( ).()( xgxf
等式成立,
此性质可推广到有限多个函数之和的情况三,不定积分的性质
dxxfxf n )]()([ 1?
dxxfdxxf n )()(1?
dxxkf )()2(,)? dxxfk （ k 是常数,)0?k
证明只须验证右端的导数等于左端的被积函数
（ 1） +（ 2）?
dxxfkdxxfk i
n
i
i
n
i
ii )(])([
11
即线性组合的不定积分等于不定积分的线性组合这说明不定积分具有线性运算性质注意到上式中有 n个积分号，形式上含有 n个任意常数,但由于任意常数的线性组合仍是任意常数，故实际上只含有 一个任意常数
—— 分项积分法例 5 求积分解
.)
1
2
1
3(
22 dxxx
dxxx )1 21 3( 22
dxxdxx 22 1 121 13
xa r c t a n3? xa r c s i n2? C?
注意检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看其导数是否等于被积函数例 6 求积分
.
)1(
1
2
2
dx
xx
xx?
解 dxxx
xx?
)1(
1
2
2
dxxx xx )1( )1( 2
2
dxxx 11 1 2 dxxdxx 11 1 2
.lna r c t a n Cxx
例 7 求积分
.
)1(
21
22
2
dx
xx
x?
解 dxxx
x?
)1(
21
22
2 dx
xx
xx?
)1(
1
22
22
dxxdxx 22 1 11
.a rct a n1 Cxx
例 8 求积分,2c o s1
1?
dxx
解 dxx2co s1 1 dxx 1c o s21
1
2
dxx2co s121,ta n21 Cx
例 9 dxx
x?
2
4
1
解 dxxx 2
4
1
dxxx 2
4
1
1)1(
dxxx ]1 11[ 22
Cxxx 331a rc t a n
例 10 dxxx? 22 c o ss i n
1
解 dxxx? 22 co ss i n 1 dxxx
xx
22
22
c o ss i n
c o ss i n
dxxx ]s i n1co s1[ 22 Cxx c o tt a n
例 11
dxxx?
2
c o s
2
s i n
1
22
解
dxxx?
2
co s
2
s i n
1
22
dxxx
2
c o s
2
s i n4
4
22
dxx 2s i n14 Cx c o t4
说明,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表,
例 12 已知一曲线 )( xfy? 在点 ))(,( xfx 处的切线斜率为 xx s i ns e c
2
,且此曲线与 y 轴的交点为 )5,0(,求此曲线的方程,
解,s i ns ec 2 xxdxdy
dxxxy s i ns e c 2
,c o st a n Cxx
,5)0(?y?,6 C
所求曲线方程为,6co sta n xxy
例 13 求 dxxxI },,1m ax{ 32
解
1||1
1
1
},,1m a x { 2
3
32
x
xx
xx
xx
故 时当 1?x 143 41 CxdxxI
时当 1x 232 31 CxdxxI
时当 1||?x 3CxdxI
因被积函数连续，故原函数可导，进而原函数连续于是有 )4(lim)(lim 1
4
131
CxCx
xx
13 4
11 CC 31 43 CC
)(lim)31(lim 3
12
3
1
CxCx
xx
32 13
1 CC 332 CC
I
13231 3 xCx
11 xCx
14341 4 xCx
说明
① 求不定积分时一定要加上积分常数，它表明一个函数的原函数有无穷多个，即要求的是全体原函 数，若不加积分常数则表示只求出了一个原函数
② 写成分项积分后，积分常数可以只写一个
③ 积分的结果在形式上可能有所不同，但实质上只相差一个常数基本积分表 (1)
不定积分的性质原函数的概念,)()( xfxF
不定积分的概念, CxFdxxf )()(
求微分与求积分的互逆关系四,小结思考题符号函数?
0,1
0,0
0,1
s g n)(
x
x
x
xxf
在 内是否存在原函数？为什么？ ),(
思考题解答不存在,
假设有原函数 )(xF?
0,
0,
0,
)(
xCx
xC
xCx
xF
但 )( xF 在 0?x 处不可微，故假设错误所以 在 内不存在原函数,),()(xf
结论 每一个含有 第一类间断点 的函数都没有原函数,
