第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
5.1 引言
5.2 用信号流图表示网络结构
5.3 无奶长脉冲响应基本网络结构
5.4 有限长脉冲响应基本网络结构
5.5 状态变量分析法第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
5.1 引言一般时域离散系统或网络可以用差分方程,单位脉冲响应以及系统函数进行描述 。 如果系统输入输出服从 N阶差分方程
01
0
1
( ) ( ) ( )
()
()
()
1
MN
ii
ii
M
i
i
i
N
i
i
i
y n b x n i a y n i
bz
Yz
Hz
Xz
az
其系统函数 H(z)为第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法给定一个差分方程，不同的算法有很多种，例如,1
12
2 11
3 11
1
()
1 0.8 0.1 5
1.5 2.5
()
1 0.3 1 0.5
11
()
1 0.3 1 0.5
Hz
zz
Hz
zz
Hz
zz
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
5.2 用信号流图表示网络结构观察 (5.1.1)式,数字信号处理中有三种基本算法,
即乘法,加法和单位延迟,三种基本运算用流图表示如图 5.2.1所示 。
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.2.1 三种基本运算的流图表示
z
－ 1
x ( n ) x ( n － 1 )
x ( n ) ax ( n )
a
x
1
( n )
x
2
( n )
x
1
( n ) ＋ x
2
( n )
x ( n ) x ( n － 1 )z
－ 1
x ( n ) ax ( n )a
x
1
( n )
x
2
( n )
x
1
( n ) ＋ x
2
( n )
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法和每个节点连接的有输入支路和输出支路,节点变量等于所有输入支路的输出之和 。 在图 5.2.2中,
12
22
2 1 2 2 1
2 1 1 2 0 2
( ) ( 1 )
( ) ( 1 )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
nn
nn
n x n a n a n
y n b n b n b n
(5.2.1)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.2.2 信号流图
(a)基本信号流图； (b)非基本信号流图第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法不同的信号流图代表不同的运算方法,而对于同一个系统函数可以有很多种信号流图相对应 。 从基本运算考虑,满足 以下 条件,称为基 本信号 流图
(Primitive Signal Flow Graghs)。
(1) 信号流图中所有支路都是基本的,即支路增益是常数或者是 z-1；
(2) 流图环路中必须存在延时支路；
(3) 节点和支路的数目是有限的。
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.2.1 求图 5.2.2(a)信号流图决定的系统函数 H(z)。
解 将 5.2.1式进行 z变换，得到
1
12
1
22
2 1 2 2 1
2 1 1 2 0 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
W z W z z
W z W z z
W z X z a W z a W z
Y z b W z b W z b W z
经过联立求解得到：
12
0 1 2
12
12
()()
( ) 1
Y z b b z b zHz
X z a z a z
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路,因此差分方程用下式描述：
0
( ) ( )
M
i
i
y n b x n i
其单位脉冲响应 h(n)是有限长的，按照 (5.2.2)式，
h(n)表示为
,0()
0,
nb n Mhn
其它 n
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法另一类 IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路,
也就是说,信号流图中存在环路 。 这类网络的单位脉冲响应是无限长的 。 例如一个简单的一阶 IIR网络差分方程为
y(n)=ay(n-1)+x(n)
其单位脉冲响应 h(n)=anu(n)。 这两类不同的网络结构各有不同的特点,下面分类叙述 。
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
5.3 无奶长脉冲响应基本网络结构
1.直接型对 N阶差分方程重写如下：
01
( ) ( ) ( )
MN
ii
ii
y n b x n i a y n i
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.3.1 IIR网络直接型结构
b
0
b
1
b
2
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
a
1
a
2
x ( n )
x ( n － 1 )
x ( n － 2 )
y ( n )
y ( n － 1 )
y ( n － 2 )
x ( n ) y ( n )b
0
b
1
b
2
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
a
1
a
2
w
2
w
1
H
1
( z ) H
2
( z )
H
2
( z ) H
1
( z )
x ( n ) y ( n )
a
1
a
2
b
0
b
1
b
2
z
－ 1
z
－ 1
（ a ）
（ b ）
（ c ）
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.3.1 IIR数字滤波器的系统函数 H(z)为
1 2 3
1 2 3
8 4 1 1 2()
5 3 11
4 4 8
z z zHz
z z z
画出该滤波器的直接型结构 。
解 由 H(z)写出差分方程如下：
5 3 1( ) ( 1 ) ( 2) ( 3 ) 8 ( ) 4 ( 1 )
4 4 8
1 1 ( 2) 2 ( 3 )
y n y n y n y n x n x n
x n x n
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.3.2 例 5.3.1图
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
－ 4
8
11
－ 2
45
43?
81
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
2,级联型在 (5.1.2)式表示的系统函数 H(z)中,公子分母均为多项式,且多项式的系数一般为实数,现将分子分母多项式分别进行因式分解,得到
1
1
1
1
( 1 )
()
( 1 )
M
r
r
N
r
r
Cz
H z A
dz
(5.3.1)
形成一个二阶网络 Hj(z)； Hj(z)如下式：
12
0 1 2
12
12
() 1 j j jj
jj
zzHz
a z a z
(5.3.2)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法式中,β0j,β1j,β2j,α1j和 α2j均为实数 。 这 H(z)就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式,如下式：
H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z) (5.3.3)
式中 Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数,每个 Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构,如图 5.3.3所示 。
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.3.3 一阶和二阶直接型网络结构
(a)直接型一阶网络结构； (b)直接型二阶网络结构
x ( n ) y ( n )
z － 1
x ( n ) y ( n )
z － 1
z － 1
( a )
( b )
j0?
j1?
j2?
j1?
j2?
j1? j1?
j0?
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.3.2 设系统函数 H(z)如下式：
1 2 3
1 2 3
8 4 1 1 2()
1 1,2 5 0,7 5 0,1 2 5
z z zHz
z z z
试画出其级联型网络结构。
解 将 H(z)分子分母进行因式分解,得到
1 1 2
1 1 2
( 2 0,3 7 9 ) ( 4 1,2 4 5,2 6 4 )()
( 1 0,2 5 ) ( 1 0,5 )
z z zHz
z z z
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
3.并联型如果将级联形式的 H(z),展开部分分式形式,得到 IIR并联型结构 。
图 5.3.4 例 5.3.2图
x ( n )
z － 1
2 y ( n )
z － 1
4
z － 1
－ 0,3 7 90,2 5
－ 1,2 4
5,2 6 4－ 0,5
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法式中,Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络,网络系统均为实数 。 二阶网络的系统函数一般为
12( ) ( ) ( ) ( )kH z H z H z H z
(5.3.4)
1
01
12
12
() 1 iii
ii
zHz
a z a z
式中,β0i,β1i,α1i和 α2i都是实数 。 如果
a2i=0则构成一阶网络 。 由 (5.3.4)式,其输出 Y(z)表示为
Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.3.3 画出例题 5.3.2中的 H(z)的并联型结构 。
解 将例 5.3.2中 H(z)展成部分分式形式：
1
1 1 2
8 1 6 2 0( ) 1 6
1 0,5 1 0,5
zHz
z z z
将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图 5.3.5所示。
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.3.5 例 5.3.3图
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
16
8
0,5
20
－ 16
－ 0,5
z
－ 1
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
5.4 有限长脉冲响应基本网络结构
FIR网络结构特点是没有反馈支路,即没有环路,
其单位脉冲响应是有限长的 。 设单位脉冲响应 h(n)长度为 N,其系统函数 H(z)和差分方程为
1
0
1
0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
N
n
n
N
m
H z h n z
y n h m x n m
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
1.直接型按照 H(z)或者差分方程直接画出结构图如图 5.4.1
所示 。 这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构 。
图 5.4.1 FIR直接型网络结构
x ( n )
y ( n )
z － 1 z － 1 z － 1
h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( N － 2) h ( N － 1)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
2,级联型将 H(z)进行因式分解,并将共轭成对的零点放在一起,形成一个系数为实数的二阶形式,这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构,其中每一个因式都用直接型实现 。
例 5.4.1 设 FIR网络系统函数 H(z)如下式：
H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3
画出 H(z)的直接型结构和级联型结构。
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法解 将 H(z)进行因式分解,得到：
H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)
其直接型结构和级联型结构如图 5.4.2所示。
图 5.4.2 例 5.4.1图
z － 1 z － 1
z － 1
x ( n ) 0,6
0,5
1,6
2
3
y ( n )
y ( n )
x ( n ) z － 1 z － 1 z － 1
0,9 6 2 2,8 1,5
( a ) ( b )
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
3,频率采样结构频率域等间隔采样,相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓,如果在频率域采样点数 N大于等于原序列的长度 M,则不会引起信号失真,此时原序列的 z变换 H(z)与频域采样值 H(k)满足下面关系式：
设 FIR滤皮器单位脉冲响应 h(n)长度为 M,系统函数 H(z)=ZT［ h(n)］,(5.4.1)式中 H(k)用下式表示：
1
1
0
1 ( )( ) ( 1 )
1
N
N
k
k N
HkH z z
N W z
(5.4.1)
2( ) ( ),0,1,2,1jk
Nze
H k H z k N?
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法要求频率域采样点数 N≥M。 (5.4.1)式提供了一种称为频率采样的 FIR网络结构 。 请读者分析 IIR滤波网络,
为什么不采用频率采样结构 。 将 (5.4.1)式写成下式,1
0
1
1
( ) ( ) ( )
( ) 1
()
()
1
N
ck
k
N
c
k k
N
H z H z H z
N
H z z
Hk
Hz
Wz
(5.4.2)
式中
Hc(z)是一个梳状滤皮网络 (参考第八章 ),其零点为
2,0,1,2,1jk
kN
kNz e W k N
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.4.3 FIR滤波器频率采样结构
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
－ z
－ N
H ( 0 )
H ( 1 )
H ( N － 1 )
0
N
W
1?
N
W
1 N
N
W
z
－ 1
N
1
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
(1) 在频率采样点 ωk,H(ejωk)=H(k),只要调整
H(k)(即一阶网络 Hk(z)中乘法器的系数 H(k)),就可以有效地调整频响特性,使实际调整方便 。
(2)只要 h(n)长度 N相同,对于任何频响形状,其梳状滤波器部分和 N一阶网络部分结构完全相同,只是各支路增益 H(k)不同 。 这样,相同部分便于标准化,模块化 。
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法然而,上述频率采样结构亦有两个缺点：
(1)系统稳定是靠位于单位圆上的 N个零极点对消来保证的。
(2)结构中,H(k)和 W-kN一般为复数,要求乘法器完成复数乘法运算,这对硬件实现是不方便的 。
为了克服上述缺点,对频率采样结构作以下修正 。
首称将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点,收缩到半径为 r的圆上,取 r<1且 r≈1。 此时 H(z)为
1
1
0
1 ( )( ) ( 1 )
1
N
NN r
k
k N
HkH z r z
N r W z
(5.4.3)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法另外,由 DFT的共轭对称性知道,如果 h(n)是实数序列,则其离散傅里叶变换 H(k)关于 N/2点共轭对称,
即 H(k)=H*(N-k)。 而且 W-kN=W-(N-k)N,我们将 hk(z)和
H N-k(z)合并为一个二阶网络,并记为 Hk(z),则
1 ( ) 1
11
1
01
1 2 2
( ) ( )
()
11
( ) ( )
1 1 ( )
2
1 2 c o s( )
k k N k
NN
kk
NN
kk
H k H N k
Hz
rW z rW z
H k H k
rW z r W z
a a z
r k z r z
N
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法显然,二阶网络 Hk(z)的系数都为实数,其结构如图 5.4.4(a)所示 。 当 N为偶数时,h(z)可表示为式中
0
1
2 Re [ ( ) ]
2 Re [ ( ) ]
k
k
kN
a H k
a r H k W
1,2,3,,12
Nk
1 1
2
01
11
1 2 21
()1 ( 0 )
2( ) ( 1 ) [ ]
211
1 2 co s ( )
N
NN kk
k
N
HH a a z
H z r z
N r z r z k z r z
N
(5.4.4)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法式中,H(0)和 H(N/2)为实数 。 (5.4.4)式对应的频率采样修正结构由 N/2-1个二阶网络和两个一阶网络并联构成,如图 5.4.4(b)所示 。
图 5.4.4 频率采样修正结构
α
1 k
α
0 k
z
－ 1
z
－ 1
－ r
2)
2
c o s (2 k
N
r
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
H ( 0 )
z
－ N
－ r
Ｎ
r
1/ N
H
1
( z )
H
2
( z )
z
－ 1
－ r
H ( N / 2 )
( b )
( a )
)(
12
zH
N?
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法当 N=奇数时,只有一个采样值 H(0)为实数,H(z)
可表示为
1( 1 ) / 2
01
1
1 2 21
1 ( 0)( ) ( 1 ) [ ]
21 1 2 co s ( )
N
NN kk
k
H a a zH z r z
N r z k z r z
N
(5.4.5)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
5.5 状态变量分析法
1,状态方程和输出方程状态变量分析法有两个基本方程,即状态方程和输出方程 。 状态方程把系统内部一些称为状态变量的节点变量和输入联系起来；而输出方程则把输出信号和那些状态变量联系起来 。
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.5.1是二阶网络基本信号流图,有两个延时支路,
因此建立两个状态变量 w1(n)和 w2(n)。 下面建立流图中其它节点 w′2和输出 y(n)与状态变量之间的关系 。22
2 2 1 1 2
12
2 1 1 2 0 2
2 2 0 1 1 1 0 2 0
( 1 )
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
n a n a n x n
nn
y n b n b n b
b a b n b a b n b x n
(5.5.1)
(5.5.2)
(5.5.3)
将以上 w1(n+1),w2(n+1)和 y(n)写成矩阵形式：
11
22 21
01( 1 ) ( ) 0
()
( 1 ) ( ) 1
nn
xn
aa
(5.5.4)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.5.1 二阶网络基本信号流图
x ( n ) y ( n )z
－ 1
z
－ 1
b
0
b
1
b
2
w
1
w
2
w
2
′
－ a
1
－ a
2
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.5.2示出更为一般的二阶网络基本信号流图,
两个延时支路输出节点定为状态变量 w1(n)和 w2(n)。 按照信号流图写出以下方程：
11
1 11 1 12 2 1
22
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
( ) ( 1 )
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( ) ( 1 )
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
nn
n a n a n b x n
nn
n a n a n b x n
y n c n c n dx n
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.5.2 一般二阶网络基本信号流图
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
b
1
b
2
c
1
c
2
d
a
22
a
12
a
21
w
1
( n )
w
2
( n )
w
1
′
w
2
′
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法将以上 w1(n+1),w2(n+1)和 y(n)写成矩阵形式：
1 1 1 21 1 1
2 2 22 1 2 2
( 1 ) ( )
()
( 1 ) ( )
aan n b
xn
n n baa
(5.5.6)
1 2 1 2( ) [ ] [ ( ) ( ) ] ( )Ty n c c n n d x n
(5.5.7)
再用矩阵符号表示：
( 1 ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
W n A W n B x n
Y n C W n D x n
(5.5.8)
(5.5.9)
1 1 1 2
12
2 1 2 2
12
,
,
Taa
A B b b
aa
C c c D d
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法式 (5.5.8)和式 (5.5.9)分别称为图 5.5.2二阶网络的状态方程和输出方程 。
如果系统中有 N个单位延时支路,M个输入信号：
x1(n),x2(n),…,xM(n),L个输出信号 y1(n),y2(n),…,yL(n)，
则状态方程和输出方程分别为
( 1 ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
W n A W n B X n
Y n C W n D X n
(5.5.10)
(5.5.11)
式中
12
12
12
( ) [ ( ) ( ) ( ) ]
( ) [ ( ) ( ) ( ) ]
( ) [ ( ) ( ) ( ) ]
T
N
T
M
T
L
W n n n n
X n x n x n x n
Y n y n y n y n
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 1 2
,
,
NN
NN
N N N N N N N N
NN
NN
N N N N N N N N
a a a b b b
A a a a B b b b
a a a b b b
c c c d d d
C c c c D d d d
c c c d d d
图 5.5.3 状态变量分析法
y ( n )x ( n )
z － 1
W ( n ＋ 1) W ( n )
d
A
B C
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.5.1 建立图 5.5.4流图的状态方程和输出方程 。
图 5.5.4 例 5.5.1图
x ( n ) y ( n )
z － 1
a
1
b
0
z
－ 1
b
1
b
2
a
2
w
1
( n ＋ 1)
w
1
( n )
w
2
( n )
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法信号流图中有两个延时支路,分别建立两个状态变量 w1(n)和 w2(n)(如图 5.5.4所示 ),然后列出延时支路输入端节点方程如下：
1 1 1 2 2
21
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) ( )
n a n a n x n
nn
将上式写成矩阵方程：
1211
22
( 1 ) ( ) 1
()
( 1 ) ( ) 010
aann
xn
(5.5.12)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法输出信号 y(n)的方程推导如下：
y(n)=b0w1(n+1)+b1w1(n)+b2w2(n)
将上面 w1(n+1)的方程代入上式：
y(n) =a1b0w1(n)+b0a2w2(n)+b0x(n)+b1w1(n)+b2w2(n)
=(a1b0+b1)w1(n)+(a2b0+b2)w2(n)+b0x(n)
1
1 0 1 2 0 2 0
2
()
( ) [,] ( )
()
n
y n a b b a b b b x n
n
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.5.2直接写出图 5.5.4信号流图的 A,B,C和 D
参数矩阵 。
解
11 1 1 2
12
2 1 2 2 2
,,[,],baaA B C c c D daa b
要注意：从 wi(n)到输出节点可能不止一条通路，
要把所有通路增益加起来，即
1 1 1 0 2 2 0 0,c b a b c b a b
d表示从输入节点到输出节点的通路增益,这里 d=d0,最后得到四个参数矩阵为
12 1,
1 0 0
aaAB
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.5.3 已知系统函数 H(z)为
1 1 2
1 1 2
2 ( 1 ) ( 1 1,4 4 0,7 )()
( 1 0,5 ) ( 1 0,9 0,8 1 )
z z zHz
z z z
(1)画出 H(z)的级联型网络结构；
(2)根据已画出的流图写出其状态方程和输出方程。
1 1 2
1 1 2
( 1 ) 1 1,4 4 0,7( ) 2
1 0,5 1 0,9 0,8 1
z z zHz
z z z
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.5.5 例 5.5.3图
x ( n )
z － 1
2 y ( n )
z － 1
z － 1
－ 1,4 1 4
0,7
0,9w
1
( n )
w 2 ( n )
w
3
( n )
－ 0,5 － 1
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法在延时支路输出端建立状态变量 w1(n),w2(n)和
w3(n)(如图 5.5.5所示 )。 写出状态变量
w1(n+1) =-0.5w1(n)+2x(n)
w2(n+1)=w1(n+1)-w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)
=-1.5w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)+2x(n)
w3(n+1)=w2(n)
将以上三个方程写成矩阵方程：
11
22
33
( 1 ) ( )0.5 0 0 2
( 1 ) 1.5 0.9 0.81 ( ) 2 ( )
0 1 0 0( 1 ) ( )
nn
n n x n
nn
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法输出方程为
y(n)=w2(n+1)-1.414w2(n)+0.7w3(n)
将上面得到的 w2(n+1)方程代入上式,得到：
y(n)=-1.5w1(n)-0.514w2(n)-0.11w3(n)+2x(n)
将 y(n)写成矩阵方程,即是要求的输出方程 。
y(n)=［ -1.5-0.514-0.11］［ w1(n)w2(n)w3(n)］ T+2x(n)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.5.4 已知 FIR滤波网络系统函数 H(z)为解画出直接型结构如图 5.5.6所示,在延时支路输出端建立状态变量 w1(n),w2(n)和 w3(n)。 根据参数矩阵中各元素的意义,直接写出状态方程和输出方程如下：
3
0
() ii
i
H z a z?
11
22
33
( 1 ) ( )0 0 0 1
( 1 ) 1 0 0 ( ) 1 ( )
0 1 0 0( 1 ) ( )
nn
n n x n
nn
y(n)=［ a1 a2 a3］ ［ w1(n) w2(n) w3(n)］ T+a0x(n)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.5.6 例 5.5.4图
y ( n )
x ( n ) z － 1 z － 1 z － 1w 1 ( n ) w 2 ( n )
a
1
a
2
a
3
a
0
w 3 ( n )
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
2,由状态变量分析法转换到输入输出分析法把单输入单输出的状态方程和输出方程重写如下：
W(n+1)=AW(n)+Bx(n) (5.5.14)
y(n)=CW(n)+dx(n) (5.5.15)
将上面两式进行 Z变换
zW(z)=AW(z)+BX(z) (5.5.16)
Y(z)=CW(z)+dX(z) (5.5.17)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法式中 W(z)=［ W1(z)W2(z)…WN(z)］ T
Wi(z)=ZT［ wi(n)］
X(z)=ZT［ x(n)］
Y(z)=ZT［ y(n)］
由 (5.5.16)式得到：
W(z)=［ zI-A］ -1 BX(z) (5.5.18)
将上式代入 (5.5.17)式,得到：
1
1
( ) [ ] ( ) ( )
()
( ) [ ]
()
Y z C z I A B X z d X z
Yz
H z C z I A B d
Xz
(5.5.19)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.5.5 已知二阶网络的四个参数矩阵如下：
21
2 2 0 1 1 0 0
01 0
,
1
[ ],
AB
aa
C b a b b a b d b
求该网络的系统函数 。
解
21
11
212
2
12
1
1
[]
1 01
[]
1()
11
( ) [ ]
z
zI A
a z a
za
zI A B
azz z a a
zz a z a
H z C zI A B d
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法系统频响决定于 H(z) 的零,极 点 分 布 。 设
H(z)=B(z)/A(z),其极点为 A(z)=0的解 。 由 (5.5.19)式得到：
A(z)多项式称为 A 矩阵的特征多项式,其根为 A矩阵的特征值,因此 A矩阵的特征值就是 H(z)的极点 。 如果 A矩阵全部特征值的模均小于 1,系统因果稳定,否则系统因果不稳定 。
2 1 2
0 1 2 0 1 2
2 1 2
1 2 1 21
b z b z b b b z b z
z a z a a z a z
( ) d e t ( )A z z I A (5.5.20)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
z2-3z+2=0
特征值 λ1=1,λ2=2
极点 z1=１,z2=2
将状态方程重写如下：
W(n+1)=AW(n)+Bx(n)
32
10
3 2
d e t [ ] 0
1
A
z
z I A
z
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法方程式左端是 n+1时刻的状态变量矢量,右端是 n时刻的状态变量矢量和输入 x(n)的线性组合 。 由起始值
W(n0),用递推法求出 W(n)的时域解：
n=n0时,W(n0+1) =AW(n0)+Bx(n0)
n=n0+1时,W(n0+2)=AW(n0 +1)+Bx(n0 +1)
=A［ AW(n0)+Bx(n0)］ +Bx(n0 +1)
=A2W(n0)+ABx(n0)+B x(n0 +1)
…
n= n0 +k时 W(n0+k+1)=A k+1 W(n0)+AkBx(n0)+
A k-1 Bx(n0+1)+…+ABx(n0+k-1)+Bx(n0+k)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法令 n′=n0+k+1，则 00
0
0
1
0
1
1
0
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
nn
nn l
i
nn
nn l
i
W n A W n A B x n l
W n A W n A B x n l
将 n′换成 n,则
(5.5.21)
为求单位脉冲响应,将 (5.5.15)式中的 x(n)用 δ(n)
代替,W(n)用 (5.5.21))式中的零状态响应代替,且令
n0=0,此时 y(n)=h(n),得到：
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
1
1
1
( ) ( ) ( )
00
( ) 0
0
n
l
l
n
h n C A B n l d n
n
h n d n
CA B n
(5.5.22)
(5.5.23)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.5.6 求图 5.5.7所示的 N阶 FIR格形网络的系统函数以及单位脉冲响应 。
图 5.5.7 例 5.5.6图
z － 1z － 1
w
1
w
2
k
1
k
1
k
2
k
2
…
…
z － 1 z － 1
w
N － 1
k
N － 1
k
N － 1
w
N
k
N
x ( n ) y ( n )
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法解 首先建立状态变量 w1(n),w2(n),…,wN(n),如图所示 。 这种网络没有反馈支路,直接写出各参数矩阵：
1 2 1
1 2 3
1
[ 1 ]
[]
[ 1 ]
( ) ( )
T
N
N
B k k k
C k k k k
D
H z C z I A B D
设 N=2,则有
1
12
12
1
2
1 2 1
12
1 2 2
00
,[ 1 ]
10
[ ],[ 1 ]
0
[ ] [ 1 ] 1
1
[ ( 1 ) ] 1
1 ( 1 )
T
T
A B k
C k k D
z
zI A k z
z
k z k k z z
k k z k z
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法将上式进行Ｚ反变换,得单位取样响应：
h(n)=δ(n)+k1(1+k2)δ(n-1)+k2δ(n-2)
如果用 (5.5.22)式求 h(n),也得到同样的结果,但要求 A矩阵的 n-1次幂 。 关于求矩阵的幂,请参考本书附录 B。
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
3,线性变换下面研究在不改变系统传输函数的条件下,如何对状态变量进行线性变换 。 设 T是 N× N非奇异矩阵 。
系统中有 N个延时支路 。 令
G(k)=T-1W(k) (5.5.25)
G(k+1)=T-1W(k+1)
=T-1［ AW(k)+BX(k)］
=T-1 ATG(k)+T-1 BX(k) (5.5.26)
Y(k)=CW(k)+DX(k)=CTG (k)+DX(k) (5.5.27)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法按照 (5.5.26)式和 (5.5.27)式,原来的状态矢量 W(k)变成新的状态矢量 G(k),状态参数矩阵为 A′,B′,C′和 D′，
即
A′=T-1 AT
B′=T-1 B
C′=CT
D′=D
经过 (5.5.28)式线性变换后的状态方程和输出方程为
G(k+1)=A′G(k)+B′X(k) (5.5.29)
Y(k)=C′G(k)+D′X(k) (5.5.30)
(5.5.28)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
H′(z)=C′［ zI-A′］ -1 B′ +d′
=CT［ zI-T-1AT］ -1 T-1 B+d
=CT［ T-1(zI-A)T］ -1 T-1 B+d
=CTT-1(zI-A)-1 TT-1 B+d
=C(zI-A)-1 B+d′=H(z)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.5.7设系统函数 H(z)=z-2,画出信号流图如图
5.5.8(a)所示 。 要求在保证 H(z)不变的情况下,对状态变量进行线性变换 。 设 T矩阵如下式所示：
11
12T
解 根据图 5.5.8(a)写出 z-2的参数矩阵
0 1 0
,
1 0 1
[ 1 0 ],0
AB
Cd
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法按照 (5.5.28)式,先求出 T-1：
1
11
21
11
2 4 1
,
1 2 1
T
A T A T B T B
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.5.8 例 5.5.7图
x ( n ) y ( n )z
－ 1
w
2
( n ＋ 1)
z
－ 1
w
1
( n ＋ 1) w
1
( n )w
2
( n )
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
2
w
1
( n )
w
2
( n )
－ 1
－ 1
－ 2
4
w
1
( n ＋ 1)
w
2
( n ＋ 1)
( a )
( b )
5.1 引言
5.2 用信号流图表示网络结构
5.3 无奶长脉冲响应基本网络结构
5.4 有限长脉冲响应基本网络结构
5.5 状态变量分析法第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
5.1 引言一般时域离散系统或网络可以用差分方程,单位脉冲响应以及系统函数进行描述 。 如果系统输入输出服从 N阶差分方程
01
0
1
( ) ( ) ( )
()
()
()
1
MN
ii
ii
M
i
i
i
N
i
i
i
y n b x n i a y n i
bz
Yz
Hz
Xz
az
其系统函数 H(z)为第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法给定一个差分方程，不同的算法有很多种，例如,1
12
2 11
3 11
1
()
1 0.8 0.1 5
1.5 2.5
()
1 0.3 1 0.5
11
()
1 0.3 1 0.5
Hz
zz
Hz
zz
Hz
zz
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
5.2 用信号流图表示网络结构观察 (5.1.1)式,数字信号处理中有三种基本算法,
即乘法,加法和单位延迟,三种基本运算用流图表示如图 5.2.1所示 。
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.2.1 三种基本运算的流图表示
z
－ 1
x ( n ) x ( n － 1 )
x ( n ) ax ( n )
a
x
1
( n )
x
2
( n )
x
1
( n ) ＋ x
2
( n )
x ( n ) x ( n － 1 )z
－ 1
x ( n ) ax ( n )a
x
1
( n )
x
2
( n )
x
1
( n ) ＋ x
2
( n )
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法和每个节点连接的有输入支路和输出支路,节点变量等于所有输入支路的输出之和 。 在图 5.2.2中,
12
22
2 1 2 2 1
2 1 1 2 0 2
( ) ( 1 )
( ) ( 1 )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
nn
nn
n x n a n a n
y n b n b n b n
(5.2.1)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.2.2 信号流图
(a)基本信号流图； (b)非基本信号流图第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法不同的信号流图代表不同的运算方法,而对于同一个系统函数可以有很多种信号流图相对应 。 从基本运算考虑,满足 以下 条件,称为基 本信号 流图
(Primitive Signal Flow Graghs)。
(1) 信号流图中所有支路都是基本的,即支路增益是常数或者是 z-1；
(2) 流图环路中必须存在延时支路；
(3) 节点和支路的数目是有限的。
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.2.1 求图 5.2.2(a)信号流图决定的系统函数 H(z)。
解 将 5.2.1式进行 z变换，得到
1
12
1
22
2 1 2 2 1
2 1 1 2 0 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
W z W z z
W z W z z
W z X z a W z a W z
Y z b W z b W z b W z
经过联立求解得到：
12
0 1 2
12
12
()()
( ) 1
Y z b b z b zHz
X z a z a z
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路,因此差分方程用下式描述：
0
( ) ( )
M
i
i
y n b x n i
其单位脉冲响应 h(n)是有限长的，按照 (5.2.2)式，
h(n)表示为
,0()
0,
nb n Mhn
其它 n
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法另一类 IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路,
也就是说,信号流图中存在环路 。 这类网络的单位脉冲响应是无限长的 。 例如一个简单的一阶 IIR网络差分方程为
y(n)=ay(n-1)+x(n)
其单位脉冲响应 h(n)=anu(n)。 这两类不同的网络结构各有不同的特点,下面分类叙述 。
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
5.3 无奶长脉冲响应基本网络结构
1.直接型对 N阶差分方程重写如下：
01
( ) ( ) ( )
MN
ii
ii
y n b x n i a y n i
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.3.1 IIR网络直接型结构
b
0
b
1
b
2
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
a
1
a
2
x ( n )
x ( n － 1 )
x ( n － 2 )
y ( n )
y ( n － 1 )
y ( n － 2 )
x ( n ) y ( n )b
0
b
1
b
2
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
a
1
a
2
w
2
w
1
H
1
( z ) H
2
( z )
H
2
( z ) H
1
( z )
x ( n ) y ( n )
a
1
a
2
b
0
b
1
b
2
z
－ 1
z
－ 1
（ a ）
（ b ）
（ c ）
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.3.1 IIR数字滤波器的系统函数 H(z)为
1 2 3
1 2 3
8 4 1 1 2()
5 3 11
4 4 8
z z zHz
z z z
画出该滤波器的直接型结构 。
解 由 H(z)写出差分方程如下：
5 3 1( ) ( 1 ) ( 2) ( 3 ) 8 ( ) 4 ( 1 )
4 4 8
1 1 ( 2) 2 ( 3 )
y n y n y n y n x n x n
x n x n
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.3.2 例 5.3.1图
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
－ 4
8
11
－ 2
45
43?
81
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
2,级联型在 (5.1.2)式表示的系统函数 H(z)中,公子分母均为多项式,且多项式的系数一般为实数,现将分子分母多项式分别进行因式分解,得到
1
1
1
1
( 1 )
()
( 1 )
M
r
r
N
r
r
Cz
H z A
dz
(5.3.1)
形成一个二阶网络 Hj(z)； Hj(z)如下式：
12
0 1 2
12
12
() 1 j j jj
jj
zzHz
a z a z
(5.3.2)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法式中,β0j,β1j,β2j,α1j和 α2j均为实数 。 这 H(z)就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式,如下式：
H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z) (5.3.3)
式中 Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数,每个 Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构,如图 5.3.3所示 。
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.3.3 一阶和二阶直接型网络结构
(a)直接型一阶网络结构； (b)直接型二阶网络结构
x ( n ) y ( n )
z － 1
x ( n ) y ( n )
z － 1
z － 1
( a )
( b )
j0?
j1?
j2?
j1?
j2?
j1? j1?
j0?
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.3.2 设系统函数 H(z)如下式：
1 2 3
1 2 3
8 4 1 1 2()
1 1,2 5 0,7 5 0,1 2 5
z z zHz
z z z
试画出其级联型网络结构。
解 将 H(z)分子分母进行因式分解,得到
1 1 2
1 1 2
( 2 0,3 7 9 ) ( 4 1,2 4 5,2 6 4 )()
( 1 0,2 5 ) ( 1 0,5 )
z z zHz
z z z
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
3.并联型如果将级联形式的 H(z),展开部分分式形式,得到 IIR并联型结构 。
图 5.3.4 例 5.3.2图
x ( n )
z － 1
2 y ( n )
z － 1
4
z － 1
－ 0,3 7 90,2 5
－ 1,2 4
5,2 6 4－ 0,5
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法式中,Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络,网络系统均为实数 。 二阶网络的系统函数一般为
12( ) ( ) ( ) ( )kH z H z H z H z
(5.3.4)
1
01
12
12
() 1 iii
ii
zHz
a z a z
式中,β0i,β1i,α1i和 α2i都是实数 。 如果
a2i=0则构成一阶网络 。 由 (5.3.4)式,其输出 Y(z)表示为
Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.3.3 画出例题 5.3.2中的 H(z)的并联型结构 。
解 将例 5.3.2中 H(z)展成部分分式形式：
1
1 1 2
8 1 6 2 0( ) 1 6
1 0,5 1 0,5
zHz
z z z
将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图 5.3.5所示。
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.3.5 例 5.3.3图
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
16
8
0,5
20
－ 16
－ 0,5
z
－ 1
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
5.4 有限长脉冲响应基本网络结构
FIR网络结构特点是没有反馈支路,即没有环路,
其单位脉冲响应是有限长的 。 设单位脉冲响应 h(n)长度为 N,其系统函数 H(z)和差分方程为
1
0
1
0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
N
n
n
N
m
H z h n z
y n h m x n m
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
1.直接型按照 H(z)或者差分方程直接画出结构图如图 5.4.1
所示 。 这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构 。
图 5.4.1 FIR直接型网络结构
x ( n )
y ( n )
z － 1 z － 1 z － 1
h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( N － 2) h ( N － 1)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
2,级联型将 H(z)进行因式分解,并将共轭成对的零点放在一起,形成一个系数为实数的二阶形式,这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构,其中每一个因式都用直接型实现 。
例 5.4.1 设 FIR网络系统函数 H(z)如下式：
H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3
画出 H(z)的直接型结构和级联型结构。
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法解 将 H(z)进行因式分解,得到：
H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)
其直接型结构和级联型结构如图 5.4.2所示。
图 5.4.2 例 5.4.1图
z － 1 z － 1
z － 1
x ( n ) 0,6
0,5
1,6
2
3
y ( n )
y ( n )
x ( n ) z － 1 z － 1 z － 1
0,9 6 2 2,8 1,5
( a ) ( b )
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
3,频率采样结构频率域等间隔采样,相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓,如果在频率域采样点数 N大于等于原序列的长度 M,则不会引起信号失真,此时原序列的 z变换 H(z)与频域采样值 H(k)满足下面关系式：
设 FIR滤皮器单位脉冲响应 h(n)长度为 M,系统函数 H(z)=ZT［ h(n)］,(5.4.1)式中 H(k)用下式表示：
1
1
0
1 ( )( ) ( 1 )
1
N
N
k
k N
HkH z z
N W z
(5.4.1)
2( ) ( ),0,1,2,1jk
Nze
H k H z k N?
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法要求频率域采样点数 N≥M。 (5.4.1)式提供了一种称为频率采样的 FIR网络结构 。 请读者分析 IIR滤波网络,
为什么不采用频率采样结构 。 将 (5.4.1)式写成下式,1
0
1
1
( ) ( ) ( )
( ) 1
()
()
1
N
ck
k
N
c
k k
N
H z H z H z
N
H z z
Hk
Hz
Wz
(5.4.2)
式中
Hc(z)是一个梳状滤皮网络 (参考第八章 ),其零点为
2,0,1,2,1jk
kN
kNz e W k N
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.4.3 FIR滤波器频率采样结构
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
－ z
－ N
H ( 0 )
H ( 1 )
H ( N － 1 )
0
N
W
1?
N
W
1 N
N
W
z
－ 1
N
1
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
(1) 在频率采样点 ωk,H(ejωk)=H(k),只要调整
H(k)(即一阶网络 Hk(z)中乘法器的系数 H(k)),就可以有效地调整频响特性,使实际调整方便 。
(2)只要 h(n)长度 N相同,对于任何频响形状,其梳状滤波器部分和 N一阶网络部分结构完全相同,只是各支路增益 H(k)不同 。 这样,相同部分便于标准化,模块化 。
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法然而,上述频率采样结构亦有两个缺点：
(1)系统稳定是靠位于单位圆上的 N个零极点对消来保证的。
(2)结构中,H(k)和 W-kN一般为复数,要求乘法器完成复数乘法运算,这对硬件实现是不方便的 。
为了克服上述缺点,对频率采样结构作以下修正 。
首称将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点,收缩到半径为 r的圆上,取 r<1且 r≈1。 此时 H(z)为
1
1
0
1 ( )( ) ( 1 )
1
N
NN r
k
k N
HkH z r z
N r W z
(5.4.3)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法另外,由 DFT的共轭对称性知道,如果 h(n)是实数序列,则其离散傅里叶变换 H(k)关于 N/2点共轭对称,
即 H(k)=H*(N-k)。 而且 W-kN=W-(N-k)N,我们将 hk(z)和
H N-k(z)合并为一个二阶网络,并记为 Hk(z),则
1 ( ) 1
11
1
01
1 2 2
( ) ( )
()
11
( ) ( )
1 1 ( )
2
1 2 c o s( )
k k N k
NN
kk
NN
kk
H k H N k
Hz
rW z rW z
H k H k
rW z r W z
a a z
r k z r z
N
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法显然,二阶网络 Hk(z)的系数都为实数,其结构如图 5.4.4(a)所示 。 当 N为偶数时,h(z)可表示为式中
0
1
2 Re [ ( ) ]
2 Re [ ( ) ]
k
k
kN
a H k
a r H k W
1,2,3,,12
Nk
1 1
2
01
11
1 2 21
()1 ( 0 )
2( ) ( 1 ) [ ]
211
1 2 co s ( )
N
NN kk
k
N
HH a a z
H z r z
N r z r z k z r z
N
(5.4.4)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法式中,H(0)和 H(N/2)为实数 。 (5.4.4)式对应的频率采样修正结构由 N/2-1个二阶网络和两个一阶网络并联构成,如图 5.4.4(b)所示 。
图 5.4.4 频率采样修正结构
α
1 k
α
0 k
z
－ 1
z
－ 1
－ r
2)
2
c o s (2 k
N
r
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
H ( 0 )
z
－ N
－ r
Ｎ
r
1/ N
H
1
( z )
H
2
( z )
z
－ 1
－ r
H ( N / 2 )
( b )
( a )
)(
12
zH
N?
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法当 N=奇数时,只有一个采样值 H(0)为实数,H(z)
可表示为
1( 1 ) / 2
01
1
1 2 21
1 ( 0)( ) ( 1 ) [ ]
21 1 2 co s ( )
N
NN kk
k
H a a zH z r z
N r z k z r z
N
(5.4.5)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
5.5 状态变量分析法
1,状态方程和输出方程状态变量分析法有两个基本方程,即状态方程和输出方程 。 状态方程把系统内部一些称为状态变量的节点变量和输入联系起来；而输出方程则把输出信号和那些状态变量联系起来 。
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.5.1是二阶网络基本信号流图,有两个延时支路,
因此建立两个状态变量 w1(n)和 w2(n)。 下面建立流图中其它节点 w′2和输出 y(n)与状态变量之间的关系 。22
2 2 1 1 2
12
2 1 1 2 0 2
2 2 0 1 1 1 0 2 0
( 1 )
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
n a n a n x n
nn
y n b n b n b
b a b n b a b n b x n
(5.5.1)
(5.5.2)
(5.5.3)
将以上 w1(n+1),w2(n+1)和 y(n)写成矩阵形式：
11
22 21
01( 1 ) ( ) 0
()
( 1 ) ( ) 1
nn
xn
aa
(5.5.4)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.5.1 二阶网络基本信号流图
x ( n ) y ( n )z
－ 1
z
－ 1
b
0
b
1
b
2
w
1
w
2
w
2
′
－ a
1
－ a
2
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.5.2示出更为一般的二阶网络基本信号流图,
两个延时支路输出节点定为状态变量 w1(n)和 w2(n)。 按照信号流图写出以下方程：
11
1 11 1 12 2 1
22
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
( ) ( 1 )
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( ) ( 1 )
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
nn
n a n a n b x n
nn
n a n a n b x n
y n c n c n dx n
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.5.2 一般二阶网络基本信号流图
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
b
1
b
2
c
1
c
2
d
a
22
a
12
a
21
w
1
( n )
w
2
( n )
w
1
′
w
2
′
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法将以上 w1(n+1),w2(n+1)和 y(n)写成矩阵形式：
1 1 1 21 1 1
2 2 22 1 2 2
( 1 ) ( )
()
( 1 ) ( )
aan n b
xn
n n baa
(5.5.6)
1 2 1 2( ) [ ] [ ( ) ( ) ] ( )Ty n c c n n d x n
(5.5.7)
再用矩阵符号表示：
( 1 ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
W n A W n B x n
Y n C W n D x n
(5.5.8)
(5.5.9)
1 1 1 2
12
2 1 2 2
12
,
,
Taa
A B b b
aa
C c c D d
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法式 (5.5.8)和式 (5.5.9)分别称为图 5.5.2二阶网络的状态方程和输出方程 。
如果系统中有 N个单位延时支路,M个输入信号：
x1(n),x2(n),…,xM(n),L个输出信号 y1(n),y2(n),…,yL(n)，
则状态方程和输出方程分别为
( 1 ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
W n A W n B X n
Y n C W n D X n
(5.5.10)
(5.5.11)
式中
12
12
12
( ) [ ( ) ( ) ( ) ]
( ) [ ( ) ( ) ( ) ]
( ) [ ( ) ( ) ( ) ]
T
N
T
M
T
L
W n n n n
X n x n x n x n
Y n y n y n y n
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 1 2
,
,
NN
NN
N N N N N N N N
NN
NN
N N N N N N N N
a a a b b b
A a a a B b b b
a a a b b b
c c c d d d
C c c c D d d d
c c c d d d
图 5.5.3 状态变量分析法
y ( n )x ( n )
z － 1
W ( n ＋ 1) W ( n )
d
A
B C
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.5.1 建立图 5.5.4流图的状态方程和输出方程 。
图 5.5.4 例 5.5.1图
x ( n ) y ( n )
z － 1
a
1
b
0
z
－ 1
b
1
b
2
a
2
w
1
( n ＋ 1)
w
1
( n )
w
2
( n )
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法信号流图中有两个延时支路,分别建立两个状态变量 w1(n)和 w2(n)(如图 5.5.4所示 ),然后列出延时支路输入端节点方程如下：
1 1 1 2 2
21
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) ( )
n a n a n x n
nn
将上式写成矩阵方程：
1211
22
( 1 ) ( ) 1
()
( 1 ) ( ) 010
aann
xn
(5.5.12)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法输出信号 y(n)的方程推导如下：
y(n)=b0w1(n+1)+b1w1(n)+b2w2(n)
将上面 w1(n+1)的方程代入上式：
y(n) =a1b0w1(n)+b0a2w2(n)+b0x(n)+b1w1(n)+b2w2(n)
=(a1b0+b1)w1(n)+(a2b0+b2)w2(n)+b0x(n)
1
1 0 1 2 0 2 0
2
()
( ) [,] ( )
()
n
y n a b b a b b b x n
n
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.5.2直接写出图 5.5.4信号流图的 A,B,C和 D
参数矩阵 。
解
11 1 1 2
12
2 1 2 2 2
,,[,],baaA B C c c D daa b
要注意：从 wi(n)到输出节点可能不止一条通路，
要把所有通路增益加起来，即
1 1 1 0 2 2 0 0,c b a b c b a b
d表示从输入节点到输出节点的通路增益,这里 d=d0,最后得到四个参数矩阵为
12 1,
1 0 0
aaAB
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.5.3 已知系统函数 H(z)为
1 1 2
1 1 2
2 ( 1 ) ( 1 1,4 4 0,7 )()
( 1 0,5 ) ( 1 0,9 0,8 1 )
z z zHz
z z z
(1)画出 H(z)的级联型网络结构；
(2)根据已画出的流图写出其状态方程和输出方程。
1 1 2
1 1 2
( 1 ) 1 1,4 4 0,7( ) 2
1 0,5 1 0,9 0,8 1
z z zHz
z z z
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.5.5 例 5.5.3图
x ( n )
z － 1
2 y ( n )
z － 1
z － 1
－ 1,4 1 4
0,7
0,9w
1
( n )
w 2 ( n )
w
3
( n )
－ 0,5 － 1
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法在延时支路输出端建立状态变量 w1(n),w2(n)和
w3(n)(如图 5.5.5所示 )。 写出状态变量
w1(n+1) =-0.5w1(n)+2x(n)
w2(n+1)=w1(n+1)-w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)
=-1.5w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)+2x(n)
w3(n+1)=w2(n)
将以上三个方程写成矩阵方程：
11
22
33
( 1 ) ( )0.5 0 0 2
( 1 ) 1.5 0.9 0.81 ( ) 2 ( )
0 1 0 0( 1 ) ( )
nn
n n x n
nn
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法输出方程为
y(n)=w2(n+1)-1.414w2(n)+0.7w3(n)
将上面得到的 w2(n+1)方程代入上式,得到：
y(n)=-1.5w1(n)-0.514w2(n)-0.11w3(n)+2x(n)
将 y(n)写成矩阵方程,即是要求的输出方程 。
y(n)=［ -1.5-0.514-0.11］［ w1(n)w2(n)w3(n)］ T+2x(n)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.5.4 已知 FIR滤波网络系统函数 H(z)为解画出直接型结构如图 5.5.6所示,在延时支路输出端建立状态变量 w1(n),w2(n)和 w3(n)。 根据参数矩阵中各元素的意义,直接写出状态方程和输出方程如下：
3
0
() ii
i
H z a z?
11
22
33
( 1 ) ( )0 0 0 1
( 1 ) 1 0 0 ( ) 1 ( )
0 1 0 0( 1 ) ( )
nn
n n x n
nn
y(n)=［ a1 a2 a3］ ［ w1(n) w2(n) w3(n)］ T+a0x(n)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.5.6 例 5.5.4图
y ( n )
x ( n ) z － 1 z － 1 z － 1w 1 ( n ) w 2 ( n )
a
1
a
2
a
3
a
0
w 3 ( n )
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
2,由状态变量分析法转换到输入输出分析法把单输入单输出的状态方程和输出方程重写如下：
W(n+1)=AW(n)+Bx(n) (5.5.14)
y(n)=CW(n)+dx(n) (5.5.15)
将上面两式进行 Z变换
zW(z)=AW(z)+BX(z) (5.5.16)
Y(z)=CW(z)+dX(z) (5.5.17)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法式中 W(z)=［ W1(z)W2(z)…WN(z)］ T
Wi(z)=ZT［ wi(n)］
X(z)=ZT［ x(n)］
Y(z)=ZT［ y(n)］
由 (5.5.16)式得到：
W(z)=［ zI-A］ -1 BX(z) (5.5.18)
将上式代入 (5.5.17)式,得到：
1
1
( ) [ ] ( ) ( )
()
( ) [ ]
()
Y z C z I A B X z d X z
Yz
H z C z I A B d
Xz
(5.5.19)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.5.5 已知二阶网络的四个参数矩阵如下：
21
2 2 0 1 1 0 0
01 0
,
1
[ ],
AB
aa
C b a b b a b d b
求该网络的系统函数 。
解
21
11
212
2
12
1
1
[]
1 01
[]
1()
11
( ) [ ]
z
zI A
a z a
za
zI A B
azz z a a
zz a z a
H z C zI A B d
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法系统频响决定于 H(z) 的零,极 点 分 布 。 设
H(z)=B(z)/A(z),其极点为 A(z)=0的解 。 由 (5.5.19)式得到：
A(z)多项式称为 A 矩阵的特征多项式,其根为 A矩阵的特征值,因此 A矩阵的特征值就是 H(z)的极点 。 如果 A矩阵全部特征值的模均小于 1,系统因果稳定,否则系统因果不稳定 。
2 1 2
0 1 2 0 1 2
2 1 2
1 2 1 21
b z b z b b b z b z
z a z a a z a z
( ) d e t ( )A z z I A (5.5.20)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
z2-3z+2=0
特征值 λ1=1,λ2=2
极点 z1=１,z2=2
将状态方程重写如下：
W(n+1)=AW(n)+Bx(n)
32
10
3 2
d e t [ ] 0
1
A
z
z I A
z
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法方程式左端是 n+1时刻的状态变量矢量,右端是 n时刻的状态变量矢量和输入 x(n)的线性组合 。 由起始值
W(n0),用递推法求出 W(n)的时域解：
n=n0时,W(n0+1) =AW(n0)+Bx(n0)
n=n0+1时,W(n0+2)=AW(n0 +1)+Bx(n0 +1)
=A［ AW(n0)+Bx(n0)］ +Bx(n0 +1)
=A2W(n0)+ABx(n0)+B x(n0 +1)
…
n= n0 +k时 W(n0+k+1)=A k+1 W(n0)+AkBx(n0)+
A k-1 Bx(n0+1)+…+ABx(n0+k-1)+Bx(n0+k)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法令 n′=n0+k+1，则 00
0
0
1
0
1
1
0
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
nn
nn l
i
nn
nn l
i
W n A W n A B x n l
W n A W n A B x n l
将 n′换成 n,则
(5.5.21)
为求单位脉冲响应,将 (5.5.15)式中的 x(n)用 δ(n)
代替,W(n)用 (5.5.21))式中的零状态响应代替,且令
n0=0,此时 y(n)=h(n),得到：
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
1
1
1
( ) ( ) ( )
00
( ) 0
0
n
l
l
n
h n C A B n l d n
n
h n d n
CA B n
(5.5.22)
(5.5.23)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.5.6 求图 5.5.7所示的 N阶 FIR格形网络的系统函数以及单位脉冲响应 。
图 5.5.7 例 5.5.6图
z － 1z － 1
w
1
w
2
k
1
k
1
k
2
k
2
…
…
z － 1 z － 1
w
N － 1
k
N － 1
k
N － 1
w
N
k
N
x ( n ) y ( n )
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法解 首先建立状态变量 w1(n),w2(n),…,wN(n),如图所示 。 这种网络没有反馈支路,直接写出各参数矩阵：
1 2 1
1 2 3
1
[ 1 ]
[]
[ 1 ]
( ) ( )
T
N
N
B k k k
C k k k k
D
H z C z I A B D
设 N=2,则有
1
12
12
1
2
1 2 1
12
1 2 2
00
,[ 1 ]
10
[ ],[ 1 ]
0
[ ] [ 1 ] 1
1
[ ( 1 ) ] 1
1 ( 1 )
T
T
A B k
C k k D
z
zI A k z
z
k z k k z z
k k z k z
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法将上式进行Ｚ反变换,得单位取样响应：
h(n)=δ(n)+k1(1+k2)δ(n-1)+k2δ(n-2)
如果用 (5.5.22)式求 h(n),也得到同样的结果,但要求 A矩阵的 n-1次幂 。 关于求矩阵的幂,请参考本书附录 B。
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
3,线性变换下面研究在不改变系统传输函数的条件下,如何对状态变量进行线性变换 。 设 T是 N× N非奇异矩阵 。
系统中有 N个延时支路 。 令
G(k)=T-1W(k) (5.5.25)
G(k+1)=T-1W(k+1)
=T-1［ AW(k)+BX(k)］
=T-1 ATG(k)+T-1 BX(k) (5.5.26)
Y(k)=CW(k)+DX(k)=CTG (k)+DX(k) (5.5.27)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法按照 (5.5.26)式和 (5.5.27)式,原来的状态矢量 W(k)变成新的状态矢量 G(k),状态参数矩阵为 A′,B′,C′和 D′，
即
A′=T-1 AT
B′=T-1 B
C′=CT
D′=D
经过 (5.5.28)式线性变换后的状态方程和输出方程为
G(k+1)=A′G(k)+B′X(k) (5.5.29)
Y(k)=C′G(k)+D′X(k) (5.5.30)
(5.5.28)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
H′(z)=C′［ zI-A′］ -1 B′ +d′
=CT［ zI-T-1AT］ -1 T-1 B+d
=CT［ T-1(zI-A)T］ -1 T-1 B+d
=CTT-1(zI-A)-1 TT-1 B+d
=C(zI-A)-1 B+d′=H(z)
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例 5.5.7设系统函数 H(z)=z-2,画出信号流图如图
5.5.8(a)所示 。 要求在保证 H(z)不变的情况下,对状态变量进行线性变换 。 设 T矩阵如下式所示：
11
12T
解 根据图 5.5.8(a)写出 z-2的参数矩阵
0 1 0
,
1 0 1
[ 1 0 ],0
AB
Cd
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法按照 (5.5.28)式,先求出 T-1：
1
11
21
11
2 4 1
,
1 2 1
T
A T A T B T B
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图 5.5.8 例 5.5.7图
x ( n ) y ( n )z
－ 1
w
2
( n ＋ 1)
z
－ 1
w
1
( n ＋ 1) w
1
( n )w
2
( n )
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
2
w
1
( n )
w
2
( n )
－ 1
－ 1
－ 2
4
w
1
( n ＋ 1)
w
2
( n ＋ 1)
( a )
( b )
