第 6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
6.1 数字滤波器的基本概念
6.2 模拟滤波器的设计
6.3 用脉冲响应不变法设计 IIR数字低通滤波器
6.4 用双线性变换法设计 IIR数字低通滤波器
6.5 数字高通,带通和带阻滤波器的设计
6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法
6.1 数字滤波器的基本概念
1,数字滤波器的分类数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类,可以分成无限脉冲响应 (IIR)滤波器和有限脉冲响应 (FIR)滤波器 。 它们的系统函数分别为：
0
1
1
0
()
1
( ) ( )
M
r
r
r
N
k
k
k
N
n
n
bz
Hz
az
H z h n z
(6.1.1)
(6.1.2)
图 6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性
)(e
j?
H
)(e
j?
H
)(e
j?
H
)(e
j?
H
0
低通
0
高通
0
带通
0
带阻
π2?
π2?
π2?
π2?
π?
π?
π?
π?
π
π
π
π
π2
π2
π2
π2
2 数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器 。
假设数字滤波器的传输函数 H(e jω)用下式表示：
()( ) ( )j j jH e H e e
图 6.1.2 低通滤波器的技术要求通带内和阻带内允许的衰减一般用 dB数表示,通带内允许的最大衰减用 αp表示,阻带内允许的最小衰减用 αs表示,αp和 αs分别定义为,0
0
()
2 0 l g
()
()
2 0 l g
()
p
s
j
p j
j
s j
He
dB
He
He
dB
He
(6.1.3)
(6.1.4)
如将 |H(ej0)|归一化为 1,(6.1.3)和 (6.1.4)式则表示成：
2 0 l g ( )
2 0 l g ( )
p
s
j
p
j
s
H e d B
H e d B
(6.1.5)
(6.1.6)
3,数字滤波器设计方法概述
IIR滤波器和 FIR滤波器的设计方法是很不相同的 。
IIR滤波器设计方法有两类,经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的 。 其设计步骤是：
先设计模拟滤波器得到传输函数 Ha(s),然后将 Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数 H(z)。
6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟,
且有若干典型的模拟滤波器供我们选择,如巴特沃斯
(Butterworth)滤波器,切比雪夫 (Chebyshev)滤波器,椭圆 (Cauer)滤波器,贝塞尔 (Bessel)滤波器等,这些滤波器都有严格的设计公式,现成的曲线和图表供设计人员使用 。
图 6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性
)(j
a
ΩH
Ω
Ω
Ω
Ω
低通带通 带阻高通
)(j
a
ΩH
)(j
a
ΩH
)(j
a
ΩH
0 0
0c
1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有 αp,Ωp,αs和 Ωs。 其中
Ωp和 Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率,αp是通带 Ω(=0~Ωp)中的最大衰减系数,αs是阻带 Ω≥Ωs的最小衰减系数,αp和 αs一般用 dB数表示 。 对于单调下降的幅度特性,可表示成,2
2
2
2
()
1 0 l g
()
()
1 0 l g
()
a
p
ap
a
s
as
Hj
Hj
Hj
Hj
(6.2.1)
(6.2.2)
如果 Ω=0处幅度已归一化到 1,即 |Ha(j0)|=1,αp和 αs
表示为以上技术指标用图 6.2.2表示 。 图中 Ωc称为 3dB截止频率,因
2
2
1 0 l g ( )
1 0 l g ( )
p a p
s a s
Hj
Hj
(6.2.3)
(6.2.4)
( ) 1 / 2,2 0 l g ( ) 3a c a cH j H j d B
图 6.2.2 低通滤波器的幅度特性滤波器的技术指标给定后,需要设计一个传输函数 Ha(s),希望其幅度平方函数满足给定的指标 αp和 αs，
一般滤波器的单位冲激响应为实数,因此
2( ) ( ) ( )
( ) ( )
a a s j
aa
H j H s G s
H j H j
(6.2.5)
2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数 |Ha(jΩ)|2用下式表示：
2
2
1()
1 ( )
a
N
c
Hj
(6.2.6)
图 6.2.3 巴特沃斯幅度特性和 N的关系将幅度平方函数 |Ha(jΩ)|2写成 s的函数：
2
1( ) ( )
1 ( )
aa
N
c
H s H s s
j
(6.2.7)
此式表明幅度平方函数有 2N个极点,极点 sk用下式表示：
1 1 2 1()
2 2 2( 1 ) ( )
kj
NNk c cs j e?
(6.2.8)
图 6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布为形成稳定的滤波器,2N个极点中只取 s平面左半平面的 N个极点构成 Ha(s),而右半平面的 N个极点构成
Ha(s)。 Ha(s)的表示式为
1
0
()
()
N
c
a N
k
k
Hs
ss
设 N=3,极点有 6个,它们分别为
2
3
0
1
2
3
2
1
3
3
4
1
3
5
j
c
c
j
c
j
c
c
j
c
se
s
se
se
s
se
取 s平面左半平面的极点 s0,s1,s2组成 Ha(s)：
3
22
33
()
( ) ( ) ( )
a
a jj
c c c
Hs
s s s
由于各滤波器的幅频特性不同,为使设计统一,
将所有的频率归一化 。 这里采用对 3dB截止频率 Ωc归一化,归一化后的 Ha(s)表示为式中,s/Ωc=jΩ/Ωc。
令 λ=Ω/Ωc,λ称为归一化频率；令 p=jλ,p称为归一化复变量,这样归一化巴特沃斯的传输函数为
1
0
1()
()
a N
k
k cc
Hs
ss?
(6.2.10)
1
0
1()
()
a N
k
k
Hp
pp
(6.2.11)
式中,pk为归一化极点，用下式表示：
将极点表示式 (6.2.12)代入 (6.2.11)式,得到的 Ha(p)
的分母是 p的 N阶多项式,用下式表示：
1 2 1()
22,0,1,,1
kj
Nkp e k N?
(6.2.12)
/ 1 0
/ 1 0
2
2
1 ( ) 1 0
1 ( ) 1 0
p
s
ap N
c
aNs
c
将 Ω=Ωs代入 (6.2.6)式中,再将 |Ha(jΩs)|2代入
(6.2.4)式中,得到：
(6.2.14)
(6.2.15)
由 (6.2.14)和 (6.2.15)式得到：
/ 10
/ 10
1 0 1()
1 0 1
p
s
a
p N
a
s
令 10
10
1 0 1/,
1 0 1
p
s
a
s p s p s p ak?
,则 N由下式表示：
lg
lg
sp
sp
kN
(6.2.16)
用上式求出的 N可能有小数部分,应取大于等于 N
的最小整数 。 关于 3dB截止频率 Ωc,如果技术指标中没有给出,可以按照 (6.2.14) 式或 (6.2.15) 式求出,由
(6.2.14)式得到,1
0,1
2
1
0,1 2
( 1 0 1 )
( 1 0 1 )
p
s
a
N
cp
a N
cs
由 (6.2.15)式得到：
(6.2.17)
(6.2.18)
总结以上,低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：
(1)根据技术指标 Ωp,αp,Ωs和 αs,用 (6.2.16)式求出滤波器的阶数 N。
(2)按照 (6.2.12)式,求出归一化极点 pk,将 pk代入
(6.2.11)式,得到归一化传输函数 Ha(p)。
(3)将 Ha(p)去归一化 。 将 p=s/Ωc代入 Ha(p),得到实际的滤波器传输函数 Ha(s)。
表 6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数例 6.2.1 已知通带截止频率 fp=5kHz,通带最大衰减
αp=2dB,阻 带 截 止频 率 fs=12kHz,阻 带最 小 衰 减
αs=30dB,按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器 。
解 (1) 确定阶数 N。
0,1
0,1
1 0 1
0,0 2 4 2
1 0 1
2
2,4
2
lg 0,0 2 4 2
4,2 5,5
lg 2,4
p
s
a
sp a
s
sp
p
k
f
f
NN
(2) 按照 (6.2.12)式,其极点为34
55
01
6
5
23
7
5
4
,
,
jj
j
j
j
s e s e
s e s e
se
按照 (6.2.11)式,归一化传输函数为
4
0
1()
()
a
k
k
Hp
pp
上式分母可以展开成为五阶多项式,或者将共轭极点放在一起,形成因式分解形式 。 这里不如直接查表 6.2.1简单,由 N=5,直接查表得到：
极点,-0.3090± j0.9511,-0.8090± j0.5878;
-1.0000
5 4 3 2
4 3 2 1 0
1()
aHp p b p b p b p b p b
式
b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361
(3) 为将 Ha(p)去归一化,先求 3dB截止频率 Ωc。
按照 (6.2.17)式,得到：
1
0,1 2
1
0,1 2
( 10 1 ) 2 5.2755 /
( 10 1 ) 2 10.525 /
p
s
a N
cp
a N
sc
k rad s
k rad s
将 Ωc代入 (6.2.18)式,得到：
将 p=s/Ωc代入 Ha(p)中得到：
5
5 4 2 3 3 2 4 5
4 3 2
() 10ca
c c c c c
Hs s b s b s b s b s b
我们这里仅介绍切比雪夫 Ⅰ 型滤波器的设计方法 。
图 6.2.5分别画出阶数 N为奇数与偶数时的切比雪夫 Ⅰ 型滤波器幅频特性 。 其幅度平方函数用 A2(Ω)表示：
22
22
1
( ) ( )
1 ( )
a
N
p
A H j
C?
(6.2.19)
图 6.2.5 切比雪夫 Ⅰ 型滤波器幅频特性式中,ε为小于 1的正数,表示通带内幅度波动的程度,ε愈大,波动幅度也愈大 。 Ωp称为通带截止频率 。
令 λ=Ω/Ωp,称为对 Ωp的归一化频率 。 CN(x)称为 N阶切比雪夫多项式,定义为
c o s ( a rc c o s ),1
()
( ),1N
N x x
Cx
c h N A r c h x x
当 N=0时,C0(x)=1；
当 N=1时,C1(x)=x；
当 N=2时,C2(x)=2x 21；
当 N=3时,C3(x)=4x 33x。
由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为
C N+1 (x)=2xCN(x)C N-1 (x) (6.2.20)
图 6.2.6示出了阶数 N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性 。
由图可见：
(1)切比雪夫多项式的过零点在 |x|≤1的范围内；
(2)当 |x|<1时,|CN(x)|≤1,在 |x|<1范围内具有等波纹性；
(3)当 |x|>1时,CN(x)是双曲线函数,随 x单调上升 。
图 6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线按照 (6.2.19)式,平方幅度函数与三个参数即 ε,Ωp
和 N有关 。 其中 ε与通带内允许的波动大小有关,定义允许的通带波纹 δ用下式表示：
2
m a x
2
m i n
2
m a x m i n 2
()
10 l g
()
1
( ) 1,( )
1
A
A
A
(6.2.21)
因此
2
2 0,1
1 0 l g ( 1 )
1 0 1?
(6.2.22)
图 6.2.7 切比雪夫 Ⅰ 型与巴特沃斯低通的 A2(Ω)曲线设阻带的起始点频率 (阻带截止频率 )用 Ωs表示,在
Ωs处的 A2(Ωs)用 (6.2.19)式确定：
2
22
1
()
1 ( )
s
s
N
P
A
C?
(6.2.23)
令 λs=Ωs/Ωp,由 λs>1,有
2
2
2
11
( ) [ ( ) ] 1
()
11
[ 1 ]
()
()
1 1 1
[ 1 ]
()
N s s
s
s
s
sp
s
C c h N Ar c h
A
Ar c h
A
N
Ar c h
Ar c h
NA
(6.2.24)
(6.2.25)
可以解出
3dB截止频率用 Ωc表示,
2
22
2
1
()
2
( ) 1,
1
( ) [ ( ) ]
c
c
N c c
p
N c c
A
C
C c h N Ar c h
按照 (6.2.19)式,有通常取 λc>1,因此上式中仅取正号，得到 3dB截止频率计算公式：
11[ ( ) ]
cp c h ArchN
(6.2.26)
以上 Ωp,ε和 N确定后,可以求出滤波器的极点,并确定 Ha(p),p=s/Ωp。 求解的过程请参考有关资料 。 下面仅介绍一些有用的结果 。
设 Ha(s)的极点为 si=ζi+jΩi,可以证明：
2
22
1()
1 ( )
s
s
N
p
A
C?
(6.2.23)
令 λs=Ωs/Ωp,由 λs>1,有
2
2
11
[ 1 ]
()
()
1 1 1
[ 1 ]
()
s
s
sp
s
Ar c h
A
N
Ar c h
Ar c h
NA
(6.2.24)
(6.2.25)
上式中仅取正号,得到 3dB截止频率计算公式：
11[ ( ) ]
cp c h ArchN
(6.2.26)
设 Ha(s)的极点为 si=ζi+jΩi,可以证明：
21
si n( )
2
,1,2,3,,
21
c o s( )
2
ip
ip
i
ch
N
iN
i
ch
N
(6.2.27)
式中
22
2 2 2 2
11
()
1ii
pp
A r s h
N
s h s h
(6.2.28)
(6.2.28)式是一个椭圆方程,长半轴为 Ωpchξ(在虚轴上 ),短半轴为 Ωpshξ(在实轴上 )。 令 bΩp和 aΩp分别表示长半轴和短半轴,可推导出：
11
11
2
1
()
2
1
()
2
11
1
NN
NN
a
a
(6.2.29)
(6.2.30)
(6.2.31)
图 6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布设 N=3,平方幅度函数的极点分布如图 6.2.8所示
(极点用 X表示 )。 为稳定,用左半平面的极点构成 Ha(p)，
即
1
1()
()
a N
i
i
Hp
c p p
(6.2.32)
式中 c是待定系数 。 根据幅度平方函数 (6.2.19)式可导出,c=ε·2 N-1,代入 (6.2.32)式,得到归一化的传输函数为
1
1
1
()
2 ( )
a N
N
i
i
Hp
pp
(6.2.33a)
按照以上分析,下面介绍切比雪夫 Ⅰ 型滤波器设计步骤 。
1) 确定技术要求 αp,Ωp,αs和 Ωs
αp是 Ω=Ωp时的衰减系数,αs是 Ω=Ωs时的衰减系数，
它们为去归一化后的传输函数为
1
1
()
2 ( )
N
p
a N
N
ip
i
Hs
sp
(6.2.33b)
2
2
1
10 lg
()
1
10 lg
()
p
p
s
s
A
A
(6.2.34)
(6.2.35)
这里 αp就是前面定义的通带波纹 δ,见 (6.2.21)式 。
归一化频率
2) 求滤波器阶数 N和参数 ε
由 (6.2.19)式,得到：
1,sps
p
2
2
2
2
1
1 ( )
()
1
1 ( )
()
Np
p
Ns
s
C
A
C
A
将以上两式代入 (6.2.34)式和 (6.2.35)式，得到：
0,1 2 2 2 2
0,1 2 2 2
0,1
2
0,1
1 0 1 ( ) 1 c o s ( a r c c o s 1 ) 1
1 0 1 ( ) 1 ( )
1 0 1
()
1 0 1
p
s
s
p
Np
N s s
s
Cn
C c h N A r c h
c h N A r c h
令
0,1
1
1 0,1
1
1
1
1
10 1
10 1
[]
()
()
s
p
a
a
s
s
k
c h N Arch k
Arch k
N
Arch
(6.2.36)
(6.2.37)
这样,先由 (6.2.36)式求出 k-11,代入 (6.2.37)式,求出阶数 N,最后取大于等于 N的最小整数 。
按照 (6.2.22)式求 ε,这里 αp=δ。
ε+2=10 0.1δ1
3) 求归一化传输函数 Ha(p)
为求 Ha(p),先按照 (6.2.27) 式求出归一化极点
pk,k=1,2,:,N。
1
1
/
( 2 1 ) ( 2 1 )
si n[ ] c o s[ ]
22
1
()
2 ( )
( ) ( )
p
k
a N
N
i
i
a a p s
kk
p c h jch
NN
Hs
pp
H s H p
将极点 pk代入 (6.2.33)式，得到：
4) 将 Ha(p)去归一化，得到实际的 Ha(s)，即
(6.2.38)
(6.2.39)
例 6.2.2设计低通切比雪夫滤波器,要求通带截止频率 fp=3kHz,通带最大衰减 αp=0.1dB,阻带截止频率
fs=12kHz,阻带最小衰减 αs=60dB。
解
(1) 滤波器的技术要求：
0,1,2
6 0,2
1,4
p p p
p s s
s
ps
p
d B f
d B f
f
f
(2) 求阶数 N和 ε：
1
1
0,1
1
1 0,1
0,1 0,0 1
()
()
10 1
6553
10 1
( 65 53 ) 9,47
4,6,5
( 4 ) 2,06
10 1 10 1 0,15 26
s
p
p
s
a
a
a
Ar c h k
N
Ar c h
k
Ar c h
NN
Ar c h
(3) 求 Ha(p):
5
( 5 1)
1
1()
0.15 26 2 ( )
a
i
i
Hp
pp?
由 (6.2.38)式求出 N=5时的极点 pi,代入上式,得到：
22
11()
2,4 4 2 ( 0,5 3 8 9)( 0,3 3 3 1 1,1 9 4 9) 0,8 7 2 0 0,6 3 5 9aHp p p p p p
(4)将 Ha(p)去归一化,得到：
/ 7 2 6 1 4
2 7 1 4
1
( ) ( )
( 1,0 1 5 8 1 0 )( 6,2 7 8 8 1 0 4,2 4 5 9 1 0 )
1
1,6 4 3 7 1 0 2,2 5 9 5 1 0
pa a p s
H s H p
s s s
ss
4.模拟滤波器的频率变换 ——模拟高通,带通,带阻滤波器的设计为了防止符号混淆,先规定一些符号如下：
1) 低通到高通的频率变换
λ和 η之间的关系为上式即是低通到高通的频率变换公式,如果已知低通 G(jλ),高通 H(jη)则用下式转换：
1?
(6.2.41)
1( ) ( )H j G j?
(6.2.40)
图 6.2.9 低通与高通滤波器的幅度特性模拟高通滤波器的设计步骤如下：
(1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率 Ω′p，
阻带上限频率 Ω′s,通带最大衰减 αp,阻带最小衰减 αs。
(2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照 (6.2.40)
式,将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率,各项设计指标为：
① 低通滤波器通带截止频率 Ωp=1/Ω′p；
② 低通滤波器阻带截止频率 Ωs=1/Ω′s；
③ 通带最大衰减仍为 αp,阻带最小衰减仍为 αs。
(3)设计归一化低通滤波器 G(p)。
(4)求模拟高通的 H(s)。 将 G(p)按照 (6.2.40)式,转换成归一化高通 H(q),为去归一化,将 q=s/Ωc代入 H(q)
中,得例 6.2.3 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz,幅度特性单调下降,fp处最大衰减为 3dB,阻带最小衰减
αs=15dB。
( ) ( )
cp
s
H s G p?
(6.2.42)
解
① 高通技术要求：
fp=200Hz,αp=3dB;
fs=100Hz,αs=15dB
归一化频率
1,0,5p sps
cc
f f
ff
② 低通技术要求：
1
1,2
3,1 5
ps
s
psd B d B
③ 设计归一化低通 G(p)。 采用巴特沃斯滤波器,故
0.1
0.1
32
10 1
0.18
10 1
2
lg
2.47,3
lg
1
()
2 2 1
p
s
sp
s
sp
p
sp
sp
k
k
NN
Gp
p p p
④ 求模拟高通 H(s)：
2) 低通到带通的频率变换低通与带通滤波器的幅度特性如图 6.2.10所示 。
3
3 2 2 3( ) ( ) 22
2
cp
c c cs
cp
s
H s G p
s s s
f?
1 1 2 2
2
0
/,/
/,/
s s s s
l l u u
lu
BB
BB
图 6.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性表 6.2.2 η与 λ的对应关系由 η与 λ的对应关系,得到,22
0
22
0
1
u
p u l
由表 6.2.2知 λp对应 ηu,代入上式中,有
(6.2.43)式称为低通到带通的频率变换公式 。 利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率 。 下面推导由归一化低通到带通的转换公式 。 由于
pj
将 (6.2.43)式代入上式,得到：22
0
22
0
pj
q
p
q
将 q=jη代入上式,得到：
为去归一化,将 q=s/B代入上式,得到：
2
2
()
()
( ) ( )
lu
ul
lu
ul
s
p
s
s
p
s
H s G p
(6.2.44)
(6.2.45)
上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式 。
下面总结模拟带通的设计步骤 。
(1)确定模拟带通滤波器的技术指标,即：
带通上限频率 Ωu,带通下限频率 Ωl
下阻带上限频率 Ω s1,上阻带下限频率 Ωs2
通带中心频率 Ω20=ΩlΩu,通带宽度 B=ΩuΩl
与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：
12
12
2
0
,,
,
s s l
s s l
u
u l u
B B B
B
(2) 确定归一化低通技术要求：
λs与 -λs的绝对值可能不相等,一般取绝对值小的 λs，
这样保证在较大的 λs处更能满足要求 。
通带最大衰减仍为 αp,阻带最小衰减亦为 αs。
(3) 设计归一化低通 G(p)。
(4) 由 (6.2.45)式直接将 G(p)转换成带通 H(s)。
2 2 2 2
2 0 1 0
21
1,,ssp s s
ss
例 6.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽
B=2π× 200rad/s，中心频率 Ω0=2π× 1000rad/s，通带内最大衰减 αp=3dB，阻带
Ωs1=2π× 830rad/s,Ωs2=2π× 1200rad/s，阻带最小衰减
αs=15dB。
解 (1) 模拟带通的技术要求：
Ω0=2π× 1000rad/s,αp=3dB
Ω s1 =2π× 830rad/s,Ωs2=2π× 1200rad/s,αs=15dB
B=2π× 200rad/s;
η0=5,ηs1=4.15,ηs2=6
(2) 模拟归一化低通技术要求：
2 2 2 2
2 0 1 0
3
21
1,1,8 3 3,1,8 7 4ssps
ss
取 λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。
(3)设计模拟归一化低通滤波器 G(p)：
采用巴特沃斯型,有
0,1
0,1
1 0 1
0.18
1 0 1
1.833
lg
2.83
lg
p
s
sp
s
sp
p
sp
sp
k
k
N
取 N=3,查表 6.2.1,得
2
32
()
1
()
2 2 1
( ) ( )
lu
ul
s
p
s
Gp
p p p
H s G p
(4) 求模拟带通 H(s)：
2 3 6 5 2 2 4 2 3 3
00
4 2 2 2 4 6 1
0 0 0 0
( ) [ 2 ( 3 2 ) ( 4 )
( 3 2 ) 2 ]
SH s s B s B B s B B s
B s Bs?
3) 低通到带阻的频率变换低通与带阻滤波器的幅频特性如图 6.2.11所示。
图 6.2.11 低通与带阻滤波器的幅频特性图中,Ωl和 Ωu分别是下通带截止频率和上通带截止频率,Ωs1和 Ωs2分别为阻带的下限频率和上限频率,
Ω0为阻带中心频率,Ω20=ΩuΩl,阻带带宽 B=ΩuΩl,B
作为归一化参考频率 。 相应的归一化边界频率为
ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B;
η20=ηuηl
表 6.2.3 η与 λ的对应关系根据 η与 λ的对应关系,可得到：
且 ηuηl=1,λp=1,(6.2.46)式称为低通到带阻的频率变换公式 。 将 (6.2.46)式代入 p=jλ,并去归一化,可得上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式 。
22
0
(6.2.46)
2 2 2
0
()ul
ul
s B sp
ss
(6.2.47)
22
0
( ) ( ) sB
p
s
H s G p
(6.2.48)
下面总结设计带阻滤波器的步骤：
(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求,即：
下通带截止频率 Ωl,上通带截止频率 Ωu
阻带下限频率 Ωs1,阻带上限频率 Ωs2
阻带中心频率 Ω+20=ΩuΩl,阻带宽度 B=ΩuΩl
它们相应的归一化边界频率为
ηl=Ωl/B,ηu=Ωu/B,ηs1=Ωs1/B;
ηs2=Ωs2/B,η20=ηuηl
以及通带最大衰减 αp和阻带最小衰减 αs。
(2) 确定归一化模拟低通技术要求,即：
取 λs和 λs的绝对值较小的 λs；通带最大衰减为 αp，
阻带最小衰减为 αs。
(3) 设计归一化模拟低通 G(p)。
(4) 按照 (6.2.48)式直接将 G(p)转换成带阻滤波器
H(s)。
12
2 2 2 2
1 0 2 0
1,,ssp s s
ss
例 6.2.5 设计模拟带阻滤波器,其技术要求为：
Ωl=2π× 905rad/s,Ωs1=2π× 980rad/s,
Ωs2= 2π× 1020rad/s,Ωu=2π× 1105rad/s,αp=3dB,
αs=25dB。 试设计巴特沃斯带阻滤波器 。
解
(1) 模拟带阻滤波器的技术要求：
Ωl=2π× 905,Ωu=2π× 1105;
Ωs1=2π× 980,Ωs2=2π× 1020;
Ω20=ΩlΩu=4π+2× 1000025,B=ΩuΩl=2π× 200;
ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;
ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1;
η20=ηlηu=25
(2) 归一化低通的技术要求：
2
22
10
1,4,9 5,4,9 5
3,2 5
s
p s s
s
ps d B d B
(3)设计归一化低通滤波器 G(p):
0.1
0.1
2
10 1
0.0562
10 1
4.95
lg
1,8,2
lg
1
()
21
p
s
sp
s
sp
p
sp
sp
k
k
NN
Gp
pp
(4) 带阻滤波器的 H(s)为
22
0
4 2 2 4
00
4 2 2 2 2 2 4
0 0 0
2( ) ( )
2 ( 2 ) 2sBp ss
ssH s G p
s B B s B s
6.3 用脉冲响应不变法设计 IIR
数字低通滤波器为了保证转换后的 H(z)稳定且满足技术要求,对转换关系提出两点要求：
(1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。
(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响,
s平面的虚轴映射 z平面的单位圆,相应的频率之间成线性关系 。
设模拟滤波器的传输函数为 Ha(s),相应的单位冲激响应是 ha(t)
( ) [ ( ) ]aaH s L T h t?
设模拟滤波器 Ha(s)只有单阶极点,且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次,将 Ha(s)用部分分式表示：
1
()
N
i
a
i i
AHs
ss
(6.3.1)
式中 si为 Ha(s)的单阶极点 。 将 Ha(s)进行逆拉氏变换得到 ha(t)：
1
( ) ( )i
N
s n t
ai
i
h t A e u t
(6.3.2)
式中 u(t)是单位阶跃函数。对 ha(t)进行等间隔采样，
采样间隔为 T，得到：
1
( ) ( ) ( )i
N
s n T
ai
i
h n h n T A e u n T
(6.3.3)
对上式进行 Z变换，得到数字滤波器的系统函数 H(z)：
1
1
() 1
i
N
i
sT
i
AHz
ez
(6.3.4)
设 ha(t)的采样信号用 ha(t)表示,
^
( ) ( ) ( )a a
n
h t h t t n T?
对 进行拉氏变换，得到,^ ()
aht
^^
( ) ( )
[ ( ) ]
()
st
a a
st
a
n
sn T
H s h t e dt
h t nT e dt
nT e
式中 ha(nT)是 ha(t)在采样点 t=nT时的幅度值,
它与序列 h(n)的幅度值相等,即 h(n)=ha(nT),因此得到,
^ ( ) ( ) ( ) ( )
s T s T
s n T na
z e z e
nn
H s h n e h n z H z
(6.3.5)
上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的 Z变换之间的映射关系可用下式表示：
我们知道模拟信号 ha(t)的傅里叶变换 Ha(jΩ)和其采样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足
(1.5.5)式，重写如下：
sTze? (6.3.6)
^ ()
aht
^ ()
aHj?
^
^
1
( ) ( )
1
( ) ( )
1
( ) ( )
sT
a
as
k
a
as
k
as
ze
k
H j H j jk
T
H s H s jk
T
H z H s jk
T
将 s=jΩ代入上式,得由 (6.3.5)式和 (6.3.8)式得到,
(6.3.7)
(6.3.8)
(6.3.9)
上式表明将模拟信号 ha(t)的拉氏变换在 s平面上沿虚轴按照周期 Ωs=2π/T延拓后,再按照 (6.3.6)式映射关系,映射到 z平面上,就得到 H(z)。 (6.3.6)式可称为标准映射关系 。 下面进一步分析这种映射关系 。 设
j
sj
z re?
按照 (6.3.6)式,得到,
j T j Tre e e
因此得到,
Tre
T
(6.3.10)
那么
ζ=0,r=1
ζ<0,r<1
ζ>0,r>1
另外,注意到 z=esT是一个周期函数,可写成
2(),j M T
s T T j T T Te e e e e M
为任意整数图 6.3.1 z=esT,s平面与 z平面之间的映射关系图 6.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象假设 没有频率混叠现象,即满足按照 (6.3.9)式,并将关系式 s=jΩ代入,ω=ΩT,代入得到：
令
^ ()
aHj?
( ) 0,/aH j T
1( ) ( ),j
aH e H jTT
1
1
( ) ( )
()
1
( ) ( / ),
i
a
N
i
sT
i
j
a
h n Th n T
TA
Hz
ez
H e H j T
一般 Ha(s)的极点 si是一个复数,且以共轭成对的形式出现,在 (6.3.1)式中将一对复数共轭极点放在一起,
形成一个二阶基本节 。 如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为
1
1122
11()
s j
s
极点为 (6.3.11)
可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节 (只有实数乘法 )的形式为
1
11
1
1
212
1
1 c o s
1 2 c o s
T
TT
z e T
z e T z e
(6.3.12)
如果模拟滤波器二阶基本节的形式为
1
11
1
1122
11
1
1
212
1
,
()
s in
1 2 c o s
T
TT
j
s
z e T
z e T z e
极点为 (6.3.13)
(6.3.14)
例 6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数 Ha(s)为用脉冲响应不变法将 Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数 H(z)。
解 首先将 Ha(s)写成部分分式：
2
0,5 0 1 2()
0,6 4 4 9 0,7 0 7 9aHs ss
0,3 2 2 4 0,3 2 2 4()
0,3 2 2 4 0,7 7 7 2 0,3 2 2 4 0,7 7 7 2a
jjHs
s j s j
极点为
12( 0,3 2 2 4 0,7 7 2 ),( 0,3 2 2 4 0,7 7 7 2 )s j s j
那么 H(z)的极点为
1212,s T s Tz e z e
按照 (6.3.4)式,并经过整理,得到设 T=1s时用 H1(z)表示,T=0.1s时用 H2(z)表示,则
1
1 12
1
2 12
0,3 2 7 6
()
1 1,0 3 2 8 0,2 4 7
0,0 4 8 5
()
1 1,9 3 0 7 0,9 3 7 5
z
Hz
zz
z
Hz
zz
转换时,也可以直接按照 (6.3.13),(6.3.14)式进行转换 。 首先将 Ha(s)写成 (6.3.13)式的形式,如极点
s1,2=ζ1± jΩ1,则
11
2 2 2 2
1 1 1 1 1
0,5 0 1 2( ) 0,6 4 4 9
( ) ( )aHs ss
再按照 (6.3.14)式,H(z)为
1
11
1
1
212
1
s i n( ) 0,6 4 4 9
1 2 c o s
T
TT
z e THz
z e T z e
图 6.3.3 例 6.3.1的幅度特性
6.4 用双线性变换法设计 IIR数字低通滤波器正切变换实现频率压缩：
1
21t an ( )
2 TT
(6.4.1)
式中 T仍是采样间隔,当 Ω1从 π/T经过 0变化到
π/T时,Ω则由 ∞经过 0变化到 +∞,实现了 s平面上整个虚轴完全压缩到 s1平面上虚轴的 ± π/T之间的转换 。
这样便有
1
11
2 1 2 1()
21
sT
sT
es th T
T T e
(6.4.2)
再通过 转换到 z平面上,得到：
1sTze?
1
1
21
1
2
2
z
s
Tz
s
T
z
s
T
(6.4.3)
(6.4.4)
下面分析模拟频率 Ω和数字频率 ω之间的关系。
图 6.4.1 双线性变换法的映射关系令 s=jΩ,z=e jω,并代入 (6.4.3)式中,有
21
1
21
t a n
2
j
j
e
j
Te
T
(6.4.5)
图 6.4.2 双线性变换法的频率变换关系图 6.4.3 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射设
1
1
2
0 1 2
2
0 1 2
1
1
12
0 1 2
12
12
()
2
( ) ( ),
()
1
k
k
a k
k
a z
s
z
k
k
k
k
A A s A s A s
Hs
B B s B s B s
H z H s C
T
a a z a z a z
Hz
b z b z b z
表 6.4.1 系数关系表例 6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图 6.4.4所示的 RC低通滤波器转换成数字滤波器 。
解 首先按照图 6.4.4写出该滤波器的传输函数 Ha(s)
为
1( ),
aHs s R C
利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数 H1(z)为
1 1() 1 THz ez?
利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数
H2(z)为
1
1
1
1
2 121
21
12
( 1 )
( ) ( )
1
2
,
22
a z
s
T z
z
H z H s
az
TT
TT
H1(z)和 H2(z)的网络结构分别如图 6.4.5(a),(b)所示 。
图 6.4.5 例 6.4.1图 ——H1(z)和 H2(z)的网络结构
(a)H1(z); (b)H2(z)
下面我们总结利用模拟滤波器设计 IIR数字低通滤波器的步骤 。
(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率 ωp,通带衰减 αp,阻带截止频率 ωs,阻带衰减 αs。
(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。
21
ta n ( )
2
T
T
如果采用双线性变换法,边界频率的转换关系为图 6.4.6例 6.4.1 图 —— 数字滤波器 H1(z)和 H2(z)的幅频特性
(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。
(4)将模拟滤波器 Ha(s)，从 s平面转换到 z平面，得到数字低通滤波器系统函数 H(z)。
例 6.4.2 设计低通数字滤波器,要求在通带内频率低于 0.2πrad时,容许幅度误差在 1dB以内；在频率 0.3π
到 π之间的阻带衰减大于 15dB。 指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器 。 试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器 。
解
(1) 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器 。
① 数字低通的技术指标为
ωp=0.2πrad,αp=1dB;
ωs=0.3πrad,αs=15dB
② 模拟低通的技术指标为
T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;
Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB
③ 设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数 N及 3dB
截止频率 Ωc。
0.1
0.1
lg
lg
0,3
1,5
0,2
1 0 1
0,0 9 2
1 0 1
l g 0,0 9 2
5,8 8 4
l g 1,5
p
s
sp
sp
s
sp
p
sp
k
N
k
N
取 N=6。 为求 3dB截止频率 Ωc,将 Ωp和 αp代入 (6.2.17)
式,得到 Ωc=0.7032rad/s,显然此值满足通带技术要求,
同时给阻带衰减留一定余量,这对防止频率混叠有一定好处 。
根据阶数 N=6,查表 6.2.1,得到归一化传输函数为
2 3 4 5 6
1()
1 3,8 6 3 7 7,4 6 4 1 9,1 4 1 6 7,4 6 4 1 3,8 6 3 7aHp p p p p p p
为去归一化，将 p=s/Ωc代入 Ha(p)中，得到实际的传输函数 Ha(s),
6
2
6 5 2 4 3 3 4 2 5 6
6 5 4 3 2
()
3,8 6 3 7 7,4 6 4 1 9,1 4 1 6 7,4 6 4 1 3,8 6 3 7
0,1 2 0 9
2,7 1 6 3,6 9 1 3,1 7 9 1,8 2 5 0,1 2 1 0,1 2 0 9
a
c c c c c c
Hs
s s s s s s
s s s s s s
④ 用脉冲响应不变法将 Ha(s)转换成 H(z)。 首先将
Ha(s)进行部分分式,并按照 (6.3.11)式,(6.3.12)式,或者 (6.3.13)式和 (6.3.14)式,得到：
11
1 2 1 2
1
12
0,2 8 7 1 0,4 4 6 6 2,1 4 2 8 1,1 4 5 4
()
1 0,1 2 9 7 0,6 9 4 9 1 1,0 6 9 1 0,3 6 9 9
1,8 5 5 8 0,6 3 0 4
1 0,9 9 7 2 0,2 5 7 0
zz
Hz
z z z z
z
zz
图 6.4.7 例 6.4.2图 ——用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性
(2) 用双线性变换法设计数字低通滤波器 。
① 数字低通技术指标仍为
ωp=0.2πrad,αp=1dB;
ωs=0.3πrad,αs=15dB
② 模拟低通的技术指标为
21
t an,1
2
2 t an 0,1 0,6 5 /,1
2 t an 0,1 5 1,0 1 9 /,1 5
pp
Pp
ss
T
T
r a d s d B
r a d s d B
③ 设计巴特沃斯低通滤波器 。 阶数 N计算如下：
lg
lg
1.019
1.568
0.65
0.092
l g 0,09 2
5.306
l g 1,56 8
sp
sp
s
sp
p
sp
k
N
k
N
取 N=6。 为求 Ωc,将 Ωs和 αs代入 (6.2.18)式中,得到 Ωc=0.7662rad/s。 这样阻带技术指标满足要求,通带指标已经超过 。
根据 N=6,查表 6.2.1得到的归一化传输函数 Ha(p)
与脉冲响应不变法得到的相同 。 为去归一化,将 p=s/Ωc
代入 Ha(p),得实际的 Ha(s)，
④ 用双线性变换法将 Ha(s)转换成数字滤波器 H(z)：
2 2 2
0,2 0 2 4()
( 0,3 9 6 0,5 8 7 1 ) ( 1,0 8 3 0,5 8 7 1 ) ( 1,4 8 0 0,5 8 7 1 )aHs s s s s s s
1
1
16
1 2 1 21
2
1
12
0,00 07 37 8 ( 1 )
( ) ( )
( 1 1,26 8 0,70 51 ) ( 1 1,01 0 0,35 8 )
1
1 0,90 44 0,21 55
a z
s
z
z
H z H s
z z z z
zz
图 6.4.8 例 6.4.2图 ——用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性
6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计例如高通数字滤波器等。具体设计步骤如下：
(1) 确定所需类型数字滤波器的技术指标 。
(2) 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标,转换公式为
21ta n
2T
(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标 (具体转换公式参考本章 6.2节 )。
(4)设计模拟低通滤波器 。
(5)将模拟低通通过频率变换,转换成所需类型的模拟滤波器 。
(6)采用双线性变换法,将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器 。
例 6.5.1 设计一个数字高通滤波器,要求通带截止频率 ωp=0.8πrad,通带衰减不大于 3 dB,阻带截止频率 ωs=0.44πrad,阻带衰减不小于 15dB。 希望采用巴特沃斯型滤波器 。
解
(1)数字高通的技术指标为
ωp=0.8πrad,αp=3dB;
ωs=0.44πrad,αs=15dB
(2) 模拟高通的技术指标计算如下：
令 T=1,则有
1
2 t a n 6,1 5 5 /,3
2
1
2 t a n 1,6 5 5 /,3
2
p p p
s s s
r a d s d B
r a d s d B
(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下：
1
0,16 3 /,3
6.155
1
0,60 4 /,15
1.655
pp
ss
rad s dB
rad s dB
将 Ωp和 Ωs对 3dB截止频率 Ωc归一化,这里 Ωc=Ωp,
(4)设计归一化模拟低通滤波器 G(p)。 模拟低通滤波器的阶数 N计算如下：
1,3,7 1sps
p
0,1
0,1
lg
lg
1 0 1
0,1 8 0 3
1 0 1
3,7 1
1,3 1,2
p
s
sp
sp
sp
s
sp
p
k
N
k
NN
查表 6.2.1,得到归一化模拟低通传输函数 G(p)为
2
2
22
1
()
21
()
2
c
cc
Gp
pp
Gs
ss
为去归一化,将 p=s/Ωc代入上式得到：
(5) 将模拟低通转换成模拟高通 。 将上式中 G(s)
的变量换成 1/s,得到模拟高通 Ha(s)：
22
22
1( ) ( )
21
c
a
cc
sH s G
s ss
(6)用双线性变换法将模拟高通 H (s)转换成数字高通 H(z)：
1
1
12
1
( ) ( )a z
s
z
H z H s?
实际上 (5),(6)两步可合并成一步,即
1
1
11
2 1
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( )
0,1 0 6 ( 1 ) 0,0 6 5 3 ( 1 )
()
1,6 2 4 1,9 4 7 0,5 6 6 1 1,1 9 9 0,3 4 9
z
s
z
H z G s
zz
Hz
z z z z
例 6.5.2设计一个数字带通滤波器,通带范围为
0.3πrad到 0.4πrad,通带内最大衰减为 3dB,0.2πrad以下和 0.5πrad以上为阻带,阻带内最小衰减为 18dB。 采用巴特沃斯型模拟低通滤波器 。
解
(1)数字带通滤波器技术指标为通带上截止频率
ωu=0.4πrad
通带下截止频率
ωl=0.3πrad
阻带上截止频率
ωs2=0.5πrad
阻带下截止频率
ωs1=0.2πrad
通带内最大衰减 αp=3dB，阻带内最小衰减 αs=18dB。
(2) 模拟带通滤波器技术指标如下：
设 T=1,则有
22
11
0
1
2 ta n 1.45 3 /
2
1
2 ta n 1.01 9 /
2
1
2 ta n 2 /
2
1
2 ta n 0.65 0 /
2
1.21 7 /
0.43 4 /
uu
ll
ss
ss
ul
ul
rad s
rad s
rad s
rad s
rad s
B rad s
(通带中心频率 )
(带宽 )
将以上边界频率对带宽 B归一化,得到
ηu=3.348,ηl=2.348;
ηs2=4.608,ηs1=1.498;
η0=2.804
(3) 模拟归一化低通滤波器技术指标：
归一化阻带截止频率
22
20
2
2,9 0 2ss
s
归一化通带截止频率
λp=1
αp=3dB,αs=18dB
(4) 设计模拟低通滤波器：
0,1
0,1
1 0 1
0,1 2 7
1 0 1
2,9 0 2
lg 0,1 2 7
1,9 4 0,2
lg 2,9 0 2
p
s
sp
s
sp
p
k
NN
查表 6.2.1,得到归一化低通传输函数 G(p),
2
1()
21Gp pp
(5) 将归一化模拟低通转换成模拟带通：
(6)通过双线性变换法将 Ha(s)转换成数字带通滤波器 H(z)。 下面将 (5),(6)两步合成一步计算：
22
0
()
( ) ( )
ul
a s
p
s
H s G p
1
1
12
1
zs
z
将上式代入 (5)中的转换公式,得
1
1
2 2 1 2 2 1 2
00
21
2
1
1 2 1 2
22
4( 1 ) ( 1 )
( ) 2( 1 )( )
5,4 8 4,5 7,4 8 1 6,3 1 3 5,1 8 8 0 6 1 9
0,8 6 8 ( 1 ) 1
z
s
u l u lz
s z z
p
sz
z z z z
zz
将上面的 p等式代入 G(p)中，得
24
1 2 3 4
0,0 2 1 ( 1 2 )()
1 1,4 9 1 2,8 4 8 1,6 8 1,2 7 3
zzHz
z z z z
例 6.5.3设计一个数字带阻滤波器,通带下限频率
ωl=0.19π,阻带下截止频率 ωs1=0.198π,阻带上截止频率
ωs2=0.202π,通带上限频率 ωu=0.21π,阻带最小衰减
αs=13dB,ωl和 ωu处衰减 αp=3dB。 采用巴特沃斯型 。
解
(1) 数字带阻滤波器技术指标：
ωl=0.19πrad,ωu=0.21πrad,αp=3dB;
ωs1=0.198πrad,ωs2=0.202πrad,αs=13dB
(2) 模拟带阻滤波器的技术指标：
设 T=1,则有
1 1 2 2
11
2 t a n 0,6 1 5 /,2 t a n 0,6 8 5 /
22
11
2 t a n 0,6 1 5 /,2 t a n 0,6 8 5 /
22
l l u u
s s s s
r a d s r a d s
r a d s r a d s
阻带中心频率平方为
Ω20=ΩlΩu=0.421
阻带带宽为
B=Ωu-Ωl=0.07rad/s
将以上边界频率对 B归一化：
ηl=8.786,ηu=9.786,
ηs1=9.186,ηs2=9.386;
η20=ηlηu=85.98
(3) 模拟归一化低通滤波器的技术指标：
按照 (6.2.48)式,有
λp=1,αp=3dB
2
22
20
4,4 3 4,1 3sss
s
dB
(4) 设计模拟低通滤波器：
0.1
0.1
10 1
0.229
10 1
4.434
lg 0.22 9
0.99,1
lg 4.43 4
p
s
sp
s
sp
p
k
NN
22
0
22
0
( ) ( )
a sB
p
s
sB
p
s
H s G p
(5) 将 G(p)转换成模拟阻带滤波器 Ha(s)：
(6) 将 Ha(s)通过双线性变换,得到数字阻带滤波器
H(z)。
1
1
2
1 2 2 1 2
0
2
2 2 1 2 2 1 21
2
001
12
122 (1 )
4 (1 ) (1 )
2 ( 1 )
4 ( 1 ) ( 1 )
0.9 69 ( 1 61 9 )
( ) ( )
1 1.5 69 0.9 39
z
s
z
zB
p
zz
sB z B
p
s z z
zz
H z G p
zz
6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法
1,零极点累试法称为零极点累试法 。 在确定零极点位置时要注意：
(1)极点必须位于 z平面单位圆内,保证数字滤波器因果稳定；
(2)复数零极点必须共轭成对,保证系统函数有理式的系数是实的 。
图 6.6.1 例 6.6.1图
(a)零极点分布； (b)幅度特性
2.在频域利用幅度平方误差最小法直接设计 IIR数字滤波器设 IIR滤波器由 K个二阶网络级联而成，系统函数用
H(z)表示，
12
12
1
1()
1
K
ii
i ii
a z b zH z A
c z d z
(6.6.1)
式中,A是常数； ai,bi,ci,di是待求的系数； Hd(e jω)
是希望设计的滤波器频响 。 如果在 (0,π)区间取 N点数字频率 ωi,i=1,2,:,N,在这 N点频率上,比较 |Hd(e jω)|和
|H(e jω)|,写出两者的幅度平方误差 E为
2
1
[ ( ) ( ) ]ii
N
jj
d
i
E H e H e
(6.6.2)
而在 (6.6.1)式中共有 (4K+1)个待定的系数,求它们的原则是使 E最小 。 下面我们研究采用 (6.6.1)式网络结构,如何求出 (4K+1)系数 。
按照 (6.6.2)式,E是 (4K+1)个未知数的函数，用下式表示：
1 1 1 1 2
(,)
[] TK K K K
E E A
a b c d a a b c d
上式 θ表示 4K个系数组成的系数向量 。 为推导公式方便,令
2
1
()
,( )
(,) [ ]
i
i
j
j
i d d
N
id
i
He
H H H e
A
E A A H H
(6.6.3)
为选择 A使 E最小,令
1
2
1
N
id d e f
i
gN
i
i
HH
AA
H
(6.6.4)
设 θk是 θ的第 k个分量 (ak或 bk或 ck或 dk)，
1
[,] 2 ( ),1,2,,4Ng i
g g i d
ikk
EA HA A A H k K?
(6.6.5)
因为,式中 H*i表示对 Hi函数共轭 。12[]
i i iH H H
1
2
1
11
[ ] [ 2 R e[ ]]
2
2 [ ]
R e[ ]
i i i i
ii
k k k i k
ii
i
ii
k
H H H H
H H H
H
HH
H
HH
(6.6.6)
将上式具体写成对 ak,bk,ck,dk的偏导,得到：
2
11
1
12
R e[ ] R e[
1
R e[ ] R e[ ]
1
j j
i
ii i ii
i i i
k k i k
ii
ii ze
i k k i k i
HH H H
H H H
a H a
Hz
HH
H a a z b z
(6.6.7)
式中,k=1,2,3,:,K； i=1,2,3,:,N。
同理求得
2
12
1
12
2
12
R e [ ]
1
R e [ ]
1
R e [ ]
1
j i
i
j i
i
j i
i
i i
i ze
k k i k i
i i
i ze
k k i k i
i i
i ze
k k i k i
H z
H
b a z b z
H z
H
c c z d z
H z
H
d c z d z
(6.6.8)
(6.6.9)
(6.6.10)
由于系统函数是一个有理函数,极,零点均以共轭成对的形式存在,对于极点 z1,一定有下面关系：
1 1 1 1
11
11
11
2
1
11
( ) ( )
11
( ) ( )
11
j j j j
jj
j j j j
jj
e z e z e z e z
e z e z
z e e z e e
zz
z e e
zz
(6.6.11)
图 6.6.2 例 6.6.2图
(a)要求的幅度特性； (b)k=1,2时的幅度特性例 6.6.2 设计低通数字滤波器,其幅度特性如图
6.6.2(a)所示 。 截止频率 ωs=0.1πrad。
解 考虑到通带和过渡带的重要,在 0~0.2π区间,
每隔 0.01π取一点 ωi值,在 0.2π~π区间每隔 0.1π取一点 ωi
值,并增加一点过渡带,在 ω=0.1π处
|Hd(e jω)|=0.5。
1.0,ω=0,0.01π,0.02π,:,0.09π
0.5,ω=0.1π
0.0,ω=0.11π,0.12π,:,0.19π
0.0,ω=0.2π,0.3π,:,π
()jdHe?
N=29,取 k=1,系统函数为
12
11
12
11
1()
1
a z b zH z A
c z d z
待求的参数是 A,a1,b1,c1,d1。设初始值
θ=(0000.25)T经过 90
次迭代,求得 E=1.2611,系统函数零,极点位置为零点 0.67834430± j0.73474418;
极点 0.75677793± j1.3213916
为使滤波器因果稳定,将极点按其倒数搬入单位圆内,再进行 62次优化迭代,求得结果为零点 0.82191163± j0.56961501;
极点 0.89176390± j0.19181084;
Ag=0.11733978,E=0.56731
误差函数用下式表示：
1
( )( ( ) ( )i i i
N p
j j j
Pd
i
E W e H e H e
(6.6.12)
3,在时域直接设计 IIR数字滤波器设我们希望设计的 IIR数字滤波器的单位脉冲响应为
hd(n),要求设计一个单位脉冲响应 h(n)充分逼近 hd(n)。 下面我们介绍这种设计方法 。
设滤波器是因果性的,系统函数为
0
0
1
0
( ) ( )
M
i
i
ki
N
i k
i
bz
H z h k z
az
(6.6.13)
式中 a0=1,未知系数 ai和 bi共有 N+M+1个,取 h(n)
的一段,0≤n≤p-1,使其充分逼近 hd(n),用此原则求解
M+N+1个系数 。 将 (6.6.13)式改写为1
0 0 0
0 0 0
()
()
p NM
k i i
ii
k i i
M N N M
k i i
ii
k i i
h k z a z b z
h k z a z b z
令 p=M+N+1,则
(6.6.14)
令上面等式两边 z的同幂次项的系数相等,可得到 N+M+1个方程：
h(0)=b0
h(0)a1+h(1)=b1
h(0)a2+h(1)a1+h(2)=b2
上式表明 h(n)是系数 ai,bi的非线性函数,考虑到
i>M时,bi=0,一般表达式为：
0
0
( ),0
( ) 0,
k
jk
j
k
j
j
a h k j b k M
a h k j M k M N
(6.6.15)
(6.6.16)
设 x(n)为给定的输入信号,yd(n)是相应的希望的输出信号,x(n)和 yd(n)长度分别为 M和 N,实际滤波器的输出用 y(n)表示,下面我们按照 y(n)和 yd(n)的最小均方误差求解滤波器的最佳解,设均方误差用 E表示：
1
2
0
1
2
00
[ ( ) ( )]
[ ( ) ( ) ( )]
N
d
n
Nn
d
nm
E y n y n
h m x n m y n
(6.6.17)
(6.6.18)
上式中 x(n),0≤n≤M1； yd(n),0≤n≤N-1
为选择 h(n)使 E最小,令
0,0,1,2,,1()E iNhi
由 (6.6.18)式得到
1 1 1
2
0 0 0
1 1 1
2
0 0 0
1 1 1
0 0 0
( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 )
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
N N N
n n n
N N N
n n n
N N N
n n n
x n x n x n x n x n
x n x n x n x n N x n
x n x n x n x n N x n N
1
0
1
0
1
0
( ) ( )
( 0 )
( 1 ) ( ) ( 1 )
( 1 )
( ) ( 1 )
N
d
n
N
d
n
N
d
n
y n x n
h
h y n x n
hN
y n x n N
(6.6.20)
例 6.6.2设计数字滤波器,要求在给定输入 x(n)=3,1
的情况下,输出 yd(n)=1,0.25,0.1,0.01,0。
解 设 h(n)长度为 p=4,按照 (6.6.20)式,得
1 0 3 0 0 ( 0 ) 3,2 5
3 1 0 3 0 ( 1 ) 0,8 5
( 2 ) 0,3 10 3 1 0 3
( 3 ) 0,0 30 0 3 9
h
h
h
h
列出方程：
10h(0)+3h(1)=3.25
3h(0)+10h(1)+3h(2)=0.85
3h(1)+10h(2)+3h(3)=0.31
3h(2)+9h(3)=0.03
解联立方程,得
h(n)=0.3333,0.0278,0.0426,0.0109
将 h(n)以及 M=1,N=2代入 (6.6.15),(6.6.16)式中,得
a1=0.1824,a2=0.1126
b0=0.3333,b1=0.0330
滤波器的系统函数为
1
12
0,3 3 3 3 0,0 3 3 0()
1 0,1 8 2 4 0,1 1 2 6
zHz
zz
相应的差分方程为
y(n)=0.3333x(n)+0.0330x(n1)0.1824y(n1)+0.1126y(n2)
当 x(n)=3,1时,输出 y(n)为
y(n)=0.9999,0.2499,0.1,0.0099,0.0095,0.0006,0.0012:
将 y(n)与给定 yd(n)比较,y(n)的前五项与 yd(n)的前五项很相近,y(n)在五项以后幅度值很小 。
6.1 数字滤波器的基本概念
6.2 模拟滤波器的设计
6.3 用脉冲响应不变法设计 IIR数字低通滤波器
6.4 用双线性变换法设计 IIR数字低通滤波器
6.5 数字高通,带通和带阻滤波器的设计
6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法
6.1 数字滤波器的基本概念
1,数字滤波器的分类数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类,可以分成无限脉冲响应 (IIR)滤波器和有限脉冲响应 (FIR)滤波器 。 它们的系统函数分别为：
0
1
1
0
()
1
( ) ( )
M
r
r
r
N
k
k
k
N
n
n
bz
Hz
az
H z h n z
(6.1.1)
(6.1.2)
图 6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性
)(e
j?
H
)(e
j?
H
)(e
j?
H
)(e
j?
H
0
低通
0
高通
0
带通
0
带阻
π2?
π2?
π2?
π2?
π?
π?
π?
π?
π
π
π
π
π2
π2
π2
π2
2 数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器 。
假设数字滤波器的传输函数 H(e jω)用下式表示：
()( ) ( )j j jH e H e e
图 6.1.2 低通滤波器的技术要求通带内和阻带内允许的衰减一般用 dB数表示,通带内允许的最大衰减用 αp表示,阻带内允许的最小衰减用 αs表示,αp和 αs分别定义为,0
0
()
2 0 l g
()
()
2 0 l g
()
p
s
j
p j
j
s j
He
dB
He
He
dB
He
(6.1.3)
(6.1.4)
如将 |H(ej0)|归一化为 1,(6.1.3)和 (6.1.4)式则表示成：
2 0 l g ( )
2 0 l g ( )
p
s
j
p
j
s
H e d B
H e d B
(6.1.5)
(6.1.6)
3,数字滤波器设计方法概述
IIR滤波器和 FIR滤波器的设计方法是很不相同的 。
IIR滤波器设计方法有两类,经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的 。 其设计步骤是：
先设计模拟滤波器得到传输函数 Ha(s),然后将 Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数 H(z)。
6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟,
且有若干典型的模拟滤波器供我们选择,如巴特沃斯
(Butterworth)滤波器,切比雪夫 (Chebyshev)滤波器,椭圆 (Cauer)滤波器,贝塞尔 (Bessel)滤波器等,这些滤波器都有严格的设计公式,现成的曲线和图表供设计人员使用 。
图 6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性
)(j
a
ΩH
Ω
Ω
Ω
Ω
低通带通 带阻高通
)(j
a
ΩH
)(j
a
ΩH
)(j
a
ΩH
0 0
0c
1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有 αp,Ωp,αs和 Ωs。 其中
Ωp和 Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率,αp是通带 Ω(=0~Ωp)中的最大衰减系数,αs是阻带 Ω≥Ωs的最小衰减系数,αp和 αs一般用 dB数表示 。 对于单调下降的幅度特性,可表示成,2
2
2
2
()
1 0 l g
()
()
1 0 l g
()
a
p
ap
a
s
as
Hj
Hj
Hj
Hj
(6.2.1)
(6.2.2)
如果 Ω=0处幅度已归一化到 1,即 |Ha(j0)|=1,αp和 αs
表示为以上技术指标用图 6.2.2表示 。 图中 Ωc称为 3dB截止频率,因
2
2
1 0 l g ( )
1 0 l g ( )
p a p
s a s
Hj
Hj
(6.2.3)
(6.2.4)
( ) 1 / 2,2 0 l g ( ) 3a c a cH j H j d B
图 6.2.2 低通滤波器的幅度特性滤波器的技术指标给定后,需要设计一个传输函数 Ha(s),希望其幅度平方函数满足给定的指标 αp和 αs，
一般滤波器的单位冲激响应为实数,因此
2( ) ( ) ( )
( ) ( )
a a s j
aa
H j H s G s
H j H j
(6.2.5)
2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数 |Ha(jΩ)|2用下式表示：
2
2
1()
1 ( )
a
N
c
Hj
(6.2.6)
图 6.2.3 巴特沃斯幅度特性和 N的关系将幅度平方函数 |Ha(jΩ)|2写成 s的函数：
2
1( ) ( )
1 ( )
aa
N
c
H s H s s
j
(6.2.7)
此式表明幅度平方函数有 2N个极点,极点 sk用下式表示：
1 1 2 1()
2 2 2( 1 ) ( )
kj
NNk c cs j e?
(6.2.8)
图 6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布为形成稳定的滤波器,2N个极点中只取 s平面左半平面的 N个极点构成 Ha(s),而右半平面的 N个极点构成
Ha(s)。 Ha(s)的表示式为
1
0
()
()
N
c
a N
k
k
Hs
ss
设 N=3,极点有 6个,它们分别为
2
3
0
1
2
3
2
1
3
3
4
1
3
5
j
c
c
j
c
j
c
c
j
c
se
s
se
se
s
se
取 s平面左半平面的极点 s0,s1,s2组成 Ha(s)：
3
22
33
()
( ) ( ) ( )
a
a jj
c c c
Hs
s s s
由于各滤波器的幅频特性不同,为使设计统一,
将所有的频率归一化 。 这里采用对 3dB截止频率 Ωc归一化,归一化后的 Ha(s)表示为式中,s/Ωc=jΩ/Ωc。
令 λ=Ω/Ωc,λ称为归一化频率；令 p=jλ,p称为归一化复变量,这样归一化巴特沃斯的传输函数为
1
0
1()
()
a N
k
k cc
Hs
ss?
(6.2.10)
1
0
1()
()
a N
k
k
Hp
pp
(6.2.11)
式中,pk为归一化极点，用下式表示：
将极点表示式 (6.2.12)代入 (6.2.11)式,得到的 Ha(p)
的分母是 p的 N阶多项式,用下式表示：
1 2 1()
22,0,1,,1
kj
Nkp e k N?
(6.2.12)
/ 1 0
/ 1 0
2
2
1 ( ) 1 0
1 ( ) 1 0
p
s
ap N
c
aNs
c
将 Ω=Ωs代入 (6.2.6)式中,再将 |Ha(jΩs)|2代入
(6.2.4)式中,得到：
(6.2.14)
(6.2.15)
由 (6.2.14)和 (6.2.15)式得到：
/ 10
/ 10
1 0 1()
1 0 1
p
s
a
p N
a
s
令 10
10
1 0 1/,
1 0 1
p
s
a
s p s p s p ak?
,则 N由下式表示：
lg
lg
sp
sp
kN
(6.2.16)
用上式求出的 N可能有小数部分,应取大于等于 N
的最小整数 。 关于 3dB截止频率 Ωc,如果技术指标中没有给出,可以按照 (6.2.14) 式或 (6.2.15) 式求出,由
(6.2.14)式得到,1
0,1
2
1
0,1 2
( 1 0 1 )
( 1 0 1 )
p
s
a
N
cp
a N
cs
由 (6.2.15)式得到：
(6.2.17)
(6.2.18)
总结以上,低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：
(1)根据技术指标 Ωp,αp,Ωs和 αs,用 (6.2.16)式求出滤波器的阶数 N。
(2)按照 (6.2.12)式,求出归一化极点 pk,将 pk代入
(6.2.11)式,得到归一化传输函数 Ha(p)。
(3)将 Ha(p)去归一化 。 将 p=s/Ωc代入 Ha(p),得到实际的滤波器传输函数 Ha(s)。
表 6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数例 6.2.1 已知通带截止频率 fp=5kHz,通带最大衰减
αp=2dB,阻 带 截 止频 率 fs=12kHz,阻 带最 小 衰 减
αs=30dB,按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器 。
解 (1) 确定阶数 N。
0,1
0,1
1 0 1
0,0 2 4 2
1 0 1
2
2,4
2
lg 0,0 2 4 2
4,2 5,5
lg 2,4
p
s
a
sp a
s
sp
p
k
f
f
NN
(2) 按照 (6.2.12)式,其极点为34
55
01
6
5
23
7
5
4
,
,
jj
j
j
j
s e s e
s e s e
se
按照 (6.2.11)式,归一化传输函数为
4
0
1()
()
a
k
k
Hp
pp
上式分母可以展开成为五阶多项式,或者将共轭极点放在一起,形成因式分解形式 。 这里不如直接查表 6.2.1简单,由 N=5,直接查表得到：
极点,-0.3090± j0.9511,-0.8090± j0.5878;
-1.0000
5 4 3 2
4 3 2 1 0
1()
aHp p b p b p b p b p b
式
b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361
(3) 为将 Ha(p)去归一化,先求 3dB截止频率 Ωc。
按照 (6.2.17)式,得到：
1
0,1 2
1
0,1 2
( 10 1 ) 2 5.2755 /
( 10 1 ) 2 10.525 /
p
s
a N
cp
a N
sc
k rad s
k rad s
将 Ωc代入 (6.2.18)式,得到：
将 p=s/Ωc代入 Ha(p)中得到：
5
5 4 2 3 3 2 4 5
4 3 2
() 10ca
c c c c c
Hs s b s b s b s b s b
我们这里仅介绍切比雪夫 Ⅰ 型滤波器的设计方法 。
图 6.2.5分别画出阶数 N为奇数与偶数时的切比雪夫 Ⅰ 型滤波器幅频特性 。 其幅度平方函数用 A2(Ω)表示：
22
22
1
( ) ( )
1 ( )
a
N
p
A H j
C?
(6.2.19)
图 6.2.5 切比雪夫 Ⅰ 型滤波器幅频特性式中,ε为小于 1的正数,表示通带内幅度波动的程度,ε愈大,波动幅度也愈大 。 Ωp称为通带截止频率 。
令 λ=Ω/Ωp,称为对 Ωp的归一化频率 。 CN(x)称为 N阶切比雪夫多项式,定义为
c o s ( a rc c o s ),1
()
( ),1N
N x x
Cx
c h N A r c h x x
当 N=0时,C0(x)=1；
当 N=1时,C1(x)=x；
当 N=2时,C2(x)=2x 21；
当 N=3时,C3(x)=4x 33x。
由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为
C N+1 (x)=2xCN(x)C N-1 (x) (6.2.20)
图 6.2.6示出了阶数 N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性 。
由图可见：
(1)切比雪夫多项式的过零点在 |x|≤1的范围内；
(2)当 |x|<1时,|CN(x)|≤1,在 |x|<1范围内具有等波纹性；
(3)当 |x|>1时,CN(x)是双曲线函数,随 x单调上升 。
图 6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线按照 (6.2.19)式,平方幅度函数与三个参数即 ε,Ωp
和 N有关 。 其中 ε与通带内允许的波动大小有关,定义允许的通带波纹 δ用下式表示：
2
m a x
2
m i n
2
m a x m i n 2
()
10 l g
()
1
( ) 1,( )
1
A
A
A
(6.2.21)
因此
2
2 0,1
1 0 l g ( 1 )
1 0 1?
(6.2.22)
图 6.2.7 切比雪夫 Ⅰ 型与巴特沃斯低通的 A2(Ω)曲线设阻带的起始点频率 (阻带截止频率 )用 Ωs表示,在
Ωs处的 A2(Ωs)用 (6.2.19)式确定：
2
22
1
()
1 ( )
s
s
N
P
A
C?
(6.2.23)
令 λs=Ωs/Ωp,由 λs>1,有
2
2
2
11
( ) [ ( ) ] 1
()
11
[ 1 ]
()
()
1 1 1
[ 1 ]
()
N s s
s
s
s
sp
s
C c h N Ar c h
A
Ar c h
A
N
Ar c h
Ar c h
NA
(6.2.24)
(6.2.25)
可以解出
3dB截止频率用 Ωc表示,
2
22
2
1
()
2
( ) 1,
1
( ) [ ( ) ]
c
c
N c c
p
N c c
A
C
C c h N Ar c h
按照 (6.2.19)式,有通常取 λc>1,因此上式中仅取正号，得到 3dB截止频率计算公式：
11[ ( ) ]
cp c h ArchN
(6.2.26)
以上 Ωp,ε和 N确定后,可以求出滤波器的极点,并确定 Ha(p),p=s/Ωp。 求解的过程请参考有关资料 。 下面仅介绍一些有用的结果 。
设 Ha(s)的极点为 si=ζi+jΩi,可以证明：
2
22
1()
1 ( )
s
s
N
p
A
C?
(6.2.23)
令 λs=Ωs/Ωp,由 λs>1,有
2
2
11
[ 1 ]
()
()
1 1 1
[ 1 ]
()
s
s
sp
s
Ar c h
A
N
Ar c h
Ar c h
NA
(6.2.24)
(6.2.25)
上式中仅取正号,得到 3dB截止频率计算公式：
11[ ( ) ]
cp c h ArchN
(6.2.26)
设 Ha(s)的极点为 si=ζi+jΩi,可以证明：
21
si n( )
2
,1,2,3,,
21
c o s( )
2
ip
ip
i
ch
N
iN
i
ch
N
(6.2.27)
式中
22
2 2 2 2
11
()
1ii
pp
A r s h
N
s h s h
(6.2.28)
(6.2.28)式是一个椭圆方程,长半轴为 Ωpchξ(在虚轴上 ),短半轴为 Ωpshξ(在实轴上 )。 令 bΩp和 aΩp分别表示长半轴和短半轴,可推导出：
11
11
2
1
()
2
1
()
2
11
1
NN
NN
a
a
(6.2.29)
(6.2.30)
(6.2.31)
图 6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布设 N=3,平方幅度函数的极点分布如图 6.2.8所示
(极点用 X表示 )。 为稳定,用左半平面的极点构成 Ha(p)，
即
1
1()
()
a N
i
i
Hp
c p p
(6.2.32)
式中 c是待定系数 。 根据幅度平方函数 (6.2.19)式可导出,c=ε·2 N-1,代入 (6.2.32)式,得到归一化的传输函数为
1
1
1
()
2 ( )
a N
N
i
i
Hp
pp
(6.2.33a)
按照以上分析,下面介绍切比雪夫 Ⅰ 型滤波器设计步骤 。
1) 确定技术要求 αp,Ωp,αs和 Ωs
αp是 Ω=Ωp时的衰减系数,αs是 Ω=Ωs时的衰减系数，
它们为去归一化后的传输函数为
1
1
()
2 ( )
N
p
a N
N
ip
i
Hs
sp
(6.2.33b)
2
2
1
10 lg
()
1
10 lg
()
p
p
s
s
A
A
(6.2.34)
(6.2.35)
这里 αp就是前面定义的通带波纹 δ,见 (6.2.21)式 。
归一化频率
2) 求滤波器阶数 N和参数 ε
由 (6.2.19)式,得到：
1,sps
p
2
2
2
2
1
1 ( )
()
1
1 ( )
()
Np
p
Ns
s
C
A
C
A
将以上两式代入 (6.2.34)式和 (6.2.35)式，得到：
0,1 2 2 2 2
0,1 2 2 2
0,1
2
0,1
1 0 1 ( ) 1 c o s ( a r c c o s 1 ) 1
1 0 1 ( ) 1 ( )
1 0 1
()
1 0 1
p
s
s
p
Np
N s s
s
Cn
C c h N A r c h
c h N A r c h
令
0,1
1
1 0,1
1
1
1
1
10 1
10 1
[]
()
()
s
p
a
a
s
s
k
c h N Arch k
Arch k
N
Arch
(6.2.36)
(6.2.37)
这样,先由 (6.2.36)式求出 k-11,代入 (6.2.37)式,求出阶数 N,最后取大于等于 N的最小整数 。
按照 (6.2.22)式求 ε,这里 αp=δ。
ε+2=10 0.1δ1
3) 求归一化传输函数 Ha(p)
为求 Ha(p),先按照 (6.2.27) 式求出归一化极点
pk,k=1,2,:,N。
1
1
/
( 2 1 ) ( 2 1 )
si n[ ] c o s[ ]
22
1
()
2 ( )
( ) ( )
p
k
a N
N
i
i
a a p s
kk
p c h jch
NN
Hs
pp
H s H p
将极点 pk代入 (6.2.33)式，得到：
4) 将 Ha(p)去归一化，得到实际的 Ha(s)，即
(6.2.38)
(6.2.39)
例 6.2.2设计低通切比雪夫滤波器,要求通带截止频率 fp=3kHz,通带最大衰减 αp=0.1dB,阻带截止频率
fs=12kHz,阻带最小衰减 αs=60dB。
解
(1) 滤波器的技术要求：
0,1,2
6 0,2
1,4
p p p
p s s
s
ps
p
d B f
d B f
f
f
(2) 求阶数 N和 ε：
1
1
0,1
1
1 0,1
0,1 0,0 1
()
()
10 1
6553
10 1
( 65 53 ) 9,47
4,6,5
( 4 ) 2,06
10 1 10 1 0,15 26
s
p
p
s
a
a
a
Ar c h k
N
Ar c h
k
Ar c h
NN
Ar c h
(3) 求 Ha(p):
5
( 5 1)
1
1()
0.15 26 2 ( )
a
i
i
Hp
pp?
由 (6.2.38)式求出 N=5时的极点 pi,代入上式,得到：
22
11()
2,4 4 2 ( 0,5 3 8 9)( 0,3 3 3 1 1,1 9 4 9) 0,8 7 2 0 0,6 3 5 9aHp p p p p p
(4)将 Ha(p)去归一化,得到：
/ 7 2 6 1 4
2 7 1 4
1
( ) ( )
( 1,0 1 5 8 1 0 )( 6,2 7 8 8 1 0 4,2 4 5 9 1 0 )
1
1,6 4 3 7 1 0 2,2 5 9 5 1 0
pa a p s
H s H p
s s s
ss
4.模拟滤波器的频率变换 ——模拟高通,带通,带阻滤波器的设计为了防止符号混淆,先规定一些符号如下：
1) 低通到高通的频率变换
λ和 η之间的关系为上式即是低通到高通的频率变换公式,如果已知低通 G(jλ),高通 H(jη)则用下式转换：
1?
(6.2.41)
1( ) ( )H j G j?
(6.2.40)
图 6.2.9 低通与高通滤波器的幅度特性模拟高通滤波器的设计步骤如下：
(1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率 Ω′p，
阻带上限频率 Ω′s,通带最大衰减 αp,阻带最小衰减 αs。
(2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照 (6.2.40)
式,将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率,各项设计指标为：
① 低通滤波器通带截止频率 Ωp=1/Ω′p；
② 低通滤波器阻带截止频率 Ωs=1/Ω′s；
③ 通带最大衰减仍为 αp,阻带最小衰减仍为 αs。
(3)设计归一化低通滤波器 G(p)。
(4)求模拟高通的 H(s)。 将 G(p)按照 (6.2.40)式,转换成归一化高通 H(q),为去归一化,将 q=s/Ωc代入 H(q)
中,得例 6.2.3 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz,幅度特性单调下降,fp处最大衰减为 3dB,阻带最小衰减
αs=15dB。
( ) ( )
cp
s
H s G p?
(6.2.42)
解
① 高通技术要求：
fp=200Hz,αp=3dB;
fs=100Hz,αs=15dB
归一化频率
1,0,5p sps
cc
f f
ff
② 低通技术要求：
1
1,2
3,1 5
ps
s
psd B d B
③ 设计归一化低通 G(p)。 采用巴特沃斯滤波器,故
0.1
0.1
32
10 1
0.18
10 1
2
lg
2.47,3
lg
1
()
2 2 1
p
s
sp
s
sp
p
sp
sp
k
k
NN
Gp
p p p
④ 求模拟高通 H(s)：
2) 低通到带通的频率变换低通与带通滤波器的幅度特性如图 6.2.10所示 。
3
3 2 2 3( ) ( ) 22
2
cp
c c cs
cp
s
H s G p
s s s
f?
1 1 2 2
2
0
/,/
/,/
s s s s
l l u u
lu
BB
BB
图 6.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性表 6.2.2 η与 λ的对应关系由 η与 λ的对应关系,得到,22
0
22
0
1
u
p u l
由表 6.2.2知 λp对应 ηu,代入上式中,有
(6.2.43)式称为低通到带通的频率变换公式 。 利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率 。 下面推导由归一化低通到带通的转换公式 。 由于
pj
将 (6.2.43)式代入上式,得到：22
0
22
0
pj
q
p
q
将 q=jη代入上式,得到：
为去归一化,将 q=s/B代入上式,得到：
2
2
()
()
( ) ( )
lu
ul
lu
ul
s
p
s
s
p
s
H s G p
(6.2.44)
(6.2.45)
上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式 。
下面总结模拟带通的设计步骤 。
(1)确定模拟带通滤波器的技术指标,即：
带通上限频率 Ωu,带通下限频率 Ωl
下阻带上限频率 Ω s1,上阻带下限频率 Ωs2
通带中心频率 Ω20=ΩlΩu,通带宽度 B=ΩuΩl
与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：
12
12
2
0
,,
,
s s l
s s l
u
u l u
B B B
B
(2) 确定归一化低通技术要求：
λs与 -λs的绝对值可能不相等,一般取绝对值小的 λs，
这样保证在较大的 λs处更能满足要求 。
通带最大衰减仍为 αp,阻带最小衰减亦为 αs。
(3) 设计归一化低通 G(p)。
(4) 由 (6.2.45)式直接将 G(p)转换成带通 H(s)。
2 2 2 2
2 0 1 0
21
1,,ssp s s
ss
例 6.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽
B=2π× 200rad/s，中心频率 Ω0=2π× 1000rad/s，通带内最大衰减 αp=3dB，阻带
Ωs1=2π× 830rad/s,Ωs2=2π× 1200rad/s，阻带最小衰减
αs=15dB。
解 (1) 模拟带通的技术要求：
Ω0=2π× 1000rad/s,αp=3dB
Ω s1 =2π× 830rad/s,Ωs2=2π× 1200rad/s,αs=15dB
B=2π× 200rad/s;
η0=5,ηs1=4.15,ηs2=6
(2) 模拟归一化低通技术要求：
2 2 2 2
2 0 1 0
3
21
1,1,8 3 3,1,8 7 4ssps
ss
取 λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。
(3)设计模拟归一化低通滤波器 G(p)：
采用巴特沃斯型,有
0,1
0,1
1 0 1
0.18
1 0 1
1.833
lg
2.83
lg
p
s
sp
s
sp
p
sp
sp
k
k
N
取 N=3,查表 6.2.1,得
2
32
()
1
()
2 2 1
( ) ( )
lu
ul
s
p
s
Gp
p p p
H s G p
(4) 求模拟带通 H(s)：
2 3 6 5 2 2 4 2 3 3
00
4 2 2 2 4 6 1
0 0 0 0
( ) [ 2 ( 3 2 ) ( 4 )
( 3 2 ) 2 ]
SH s s B s B B s B B s
B s Bs?
3) 低通到带阻的频率变换低通与带阻滤波器的幅频特性如图 6.2.11所示。
图 6.2.11 低通与带阻滤波器的幅频特性图中,Ωl和 Ωu分别是下通带截止频率和上通带截止频率,Ωs1和 Ωs2分别为阻带的下限频率和上限频率,
Ω0为阻带中心频率,Ω20=ΩuΩl,阻带带宽 B=ΩuΩl,B
作为归一化参考频率 。 相应的归一化边界频率为
ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B;
η20=ηuηl
表 6.2.3 η与 λ的对应关系根据 η与 λ的对应关系,可得到：
且 ηuηl=1,λp=1,(6.2.46)式称为低通到带阻的频率变换公式 。 将 (6.2.46)式代入 p=jλ,并去归一化,可得上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式 。
22
0
(6.2.46)
2 2 2
0
()ul
ul
s B sp
ss
(6.2.47)
22
0
( ) ( ) sB
p
s
H s G p
(6.2.48)
下面总结设计带阻滤波器的步骤：
(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求,即：
下通带截止频率 Ωl,上通带截止频率 Ωu
阻带下限频率 Ωs1,阻带上限频率 Ωs2
阻带中心频率 Ω+20=ΩuΩl,阻带宽度 B=ΩuΩl
它们相应的归一化边界频率为
ηl=Ωl/B,ηu=Ωu/B,ηs1=Ωs1/B;
ηs2=Ωs2/B,η20=ηuηl
以及通带最大衰减 αp和阻带最小衰减 αs。
(2) 确定归一化模拟低通技术要求,即：
取 λs和 λs的绝对值较小的 λs；通带最大衰减为 αp，
阻带最小衰减为 αs。
(3) 设计归一化模拟低通 G(p)。
(4) 按照 (6.2.48)式直接将 G(p)转换成带阻滤波器
H(s)。
12
2 2 2 2
1 0 2 0
1,,ssp s s
ss
例 6.2.5 设计模拟带阻滤波器,其技术要求为：
Ωl=2π× 905rad/s,Ωs1=2π× 980rad/s,
Ωs2= 2π× 1020rad/s,Ωu=2π× 1105rad/s,αp=3dB,
αs=25dB。 试设计巴特沃斯带阻滤波器 。
解
(1) 模拟带阻滤波器的技术要求：
Ωl=2π× 905,Ωu=2π× 1105;
Ωs1=2π× 980,Ωs2=2π× 1020;
Ω20=ΩlΩu=4π+2× 1000025,B=ΩuΩl=2π× 200;
ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;
ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1;
η20=ηlηu=25
(2) 归一化低通的技术要求：
2
22
10
1,4,9 5,4,9 5
3,2 5
s
p s s
s
ps d B d B
(3)设计归一化低通滤波器 G(p):
0.1
0.1
2
10 1
0.0562
10 1
4.95
lg
1,8,2
lg
1
()
21
p
s
sp
s
sp
p
sp
sp
k
k
NN
Gp
pp
(4) 带阻滤波器的 H(s)为
22
0
4 2 2 4
00
4 2 2 2 2 2 4
0 0 0
2( ) ( )
2 ( 2 ) 2sBp ss
ssH s G p
s B B s B s
6.3 用脉冲响应不变法设计 IIR
数字低通滤波器为了保证转换后的 H(z)稳定且满足技术要求,对转换关系提出两点要求：
(1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。
(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响,
s平面的虚轴映射 z平面的单位圆,相应的频率之间成线性关系 。
设模拟滤波器的传输函数为 Ha(s),相应的单位冲激响应是 ha(t)
( ) [ ( ) ]aaH s L T h t?
设模拟滤波器 Ha(s)只有单阶极点,且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次,将 Ha(s)用部分分式表示：
1
()
N
i
a
i i
AHs
ss
(6.3.1)
式中 si为 Ha(s)的单阶极点 。 将 Ha(s)进行逆拉氏变换得到 ha(t)：
1
( ) ( )i
N
s n t
ai
i
h t A e u t
(6.3.2)
式中 u(t)是单位阶跃函数。对 ha(t)进行等间隔采样，
采样间隔为 T，得到：
1
( ) ( ) ( )i
N
s n T
ai
i
h n h n T A e u n T
(6.3.3)
对上式进行 Z变换，得到数字滤波器的系统函数 H(z)：
1
1
() 1
i
N
i
sT
i
AHz
ez
(6.3.4)
设 ha(t)的采样信号用 ha(t)表示,
^
( ) ( ) ( )a a
n
h t h t t n T?
对 进行拉氏变换，得到,^ ()
aht
^^
( ) ( )
[ ( ) ]
()
st
a a
st
a
n
sn T
H s h t e dt
h t nT e dt
nT e
式中 ha(nT)是 ha(t)在采样点 t=nT时的幅度值,
它与序列 h(n)的幅度值相等,即 h(n)=ha(nT),因此得到,
^ ( ) ( ) ( ) ( )
s T s T
s n T na
z e z e
nn
H s h n e h n z H z
(6.3.5)
上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的 Z变换之间的映射关系可用下式表示：
我们知道模拟信号 ha(t)的傅里叶变换 Ha(jΩ)和其采样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足
(1.5.5)式，重写如下：
sTze? (6.3.6)
^ ()
aht
^ ()
aHj?
^
^
1
( ) ( )
1
( ) ( )
1
( ) ( )
sT
a
as
k
a
as
k
as
ze
k
H j H j jk
T
H s H s jk
T
H z H s jk
T
将 s=jΩ代入上式,得由 (6.3.5)式和 (6.3.8)式得到,
(6.3.7)
(6.3.8)
(6.3.9)
上式表明将模拟信号 ha(t)的拉氏变换在 s平面上沿虚轴按照周期 Ωs=2π/T延拓后,再按照 (6.3.6)式映射关系,映射到 z平面上,就得到 H(z)。 (6.3.6)式可称为标准映射关系 。 下面进一步分析这种映射关系 。 设
j
sj
z re?
按照 (6.3.6)式,得到,
j T j Tre e e
因此得到,
Tre
T
(6.3.10)
那么
ζ=0,r=1
ζ<0,r<1
ζ>0,r>1
另外,注意到 z=esT是一个周期函数,可写成
2(),j M T
s T T j T T Te e e e e M
为任意整数图 6.3.1 z=esT,s平面与 z平面之间的映射关系图 6.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象假设 没有频率混叠现象,即满足按照 (6.3.9)式,并将关系式 s=jΩ代入,ω=ΩT,代入得到：
令
^ ()
aHj?
( ) 0,/aH j T
1( ) ( ),j
aH e H jTT
1
1
( ) ( )
()
1
( ) ( / ),
i
a
N
i
sT
i
j
a
h n Th n T
TA
Hz
ez
H e H j T
一般 Ha(s)的极点 si是一个复数,且以共轭成对的形式出现,在 (6.3.1)式中将一对复数共轭极点放在一起,
形成一个二阶基本节 。 如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为
1
1122
11()
s j
s
极点为 (6.3.11)
可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节 (只有实数乘法 )的形式为
1
11
1
1
212
1
1 c o s
1 2 c o s
T
TT
z e T
z e T z e
(6.3.12)
如果模拟滤波器二阶基本节的形式为
1
11
1
1122
11
1
1
212
1
,
()
s in
1 2 c o s
T
TT
j
s
z e T
z e T z e
极点为 (6.3.13)
(6.3.14)
例 6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数 Ha(s)为用脉冲响应不变法将 Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数 H(z)。
解 首先将 Ha(s)写成部分分式：
2
0,5 0 1 2()
0,6 4 4 9 0,7 0 7 9aHs ss
0,3 2 2 4 0,3 2 2 4()
0,3 2 2 4 0,7 7 7 2 0,3 2 2 4 0,7 7 7 2a
jjHs
s j s j
极点为
12( 0,3 2 2 4 0,7 7 2 ),( 0,3 2 2 4 0,7 7 7 2 )s j s j
那么 H(z)的极点为
1212,s T s Tz e z e
按照 (6.3.4)式,并经过整理,得到设 T=1s时用 H1(z)表示,T=0.1s时用 H2(z)表示,则
1
1 12
1
2 12
0,3 2 7 6
()
1 1,0 3 2 8 0,2 4 7
0,0 4 8 5
()
1 1,9 3 0 7 0,9 3 7 5
z
Hz
zz
z
Hz
zz
转换时,也可以直接按照 (6.3.13),(6.3.14)式进行转换 。 首先将 Ha(s)写成 (6.3.13)式的形式,如极点
s1,2=ζ1± jΩ1,则
11
2 2 2 2
1 1 1 1 1
0,5 0 1 2( ) 0,6 4 4 9
( ) ( )aHs ss
再按照 (6.3.14)式,H(z)为
1
11
1
1
212
1
s i n( ) 0,6 4 4 9
1 2 c o s
T
TT
z e THz
z e T z e
图 6.3.3 例 6.3.1的幅度特性
6.4 用双线性变换法设计 IIR数字低通滤波器正切变换实现频率压缩：
1
21t an ( )
2 TT
(6.4.1)
式中 T仍是采样间隔,当 Ω1从 π/T经过 0变化到
π/T时,Ω则由 ∞经过 0变化到 +∞,实现了 s平面上整个虚轴完全压缩到 s1平面上虚轴的 ± π/T之间的转换 。
这样便有
1
11
2 1 2 1()
21
sT
sT
es th T
T T e
(6.4.2)
再通过 转换到 z平面上,得到：
1sTze?
1
1
21
1
2
2
z
s
Tz
s
T
z
s
T
(6.4.3)
(6.4.4)
下面分析模拟频率 Ω和数字频率 ω之间的关系。
图 6.4.1 双线性变换法的映射关系令 s=jΩ,z=e jω,并代入 (6.4.3)式中,有
21
1
21
t a n
2
j
j
e
j
Te
T
(6.4.5)
图 6.4.2 双线性变换法的频率变换关系图 6.4.3 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射设
1
1
2
0 1 2
2
0 1 2
1
1
12
0 1 2
12
12
()
2
( ) ( ),
()
1
k
k
a k
k
a z
s
z
k
k
k
k
A A s A s A s
Hs
B B s B s B s
H z H s C
T
a a z a z a z
Hz
b z b z b z
表 6.4.1 系数关系表例 6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图 6.4.4所示的 RC低通滤波器转换成数字滤波器 。
解 首先按照图 6.4.4写出该滤波器的传输函数 Ha(s)
为
1( ),
aHs s R C
利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数 H1(z)为
1 1() 1 THz ez?
利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数
H2(z)为
1
1
1
1
2 121
21
12
( 1 )
( ) ( )
1
2
,
22
a z
s
T z
z
H z H s
az
TT
TT
H1(z)和 H2(z)的网络结构分别如图 6.4.5(a),(b)所示 。
图 6.4.5 例 6.4.1图 ——H1(z)和 H2(z)的网络结构
(a)H1(z); (b)H2(z)
下面我们总结利用模拟滤波器设计 IIR数字低通滤波器的步骤 。
(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率 ωp,通带衰减 αp,阻带截止频率 ωs,阻带衰减 αs。
(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。
21
ta n ( )
2
T
T
如果采用双线性变换法,边界频率的转换关系为图 6.4.6例 6.4.1 图 —— 数字滤波器 H1(z)和 H2(z)的幅频特性
(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。
(4)将模拟滤波器 Ha(s)，从 s平面转换到 z平面，得到数字低通滤波器系统函数 H(z)。
例 6.4.2 设计低通数字滤波器,要求在通带内频率低于 0.2πrad时,容许幅度误差在 1dB以内；在频率 0.3π
到 π之间的阻带衰减大于 15dB。 指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器 。 试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器 。
解
(1) 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器 。
① 数字低通的技术指标为
ωp=0.2πrad,αp=1dB;
ωs=0.3πrad,αs=15dB
② 模拟低通的技术指标为
T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;
Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB
③ 设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数 N及 3dB
截止频率 Ωc。
0.1
0.1
lg
lg
0,3
1,5
0,2
1 0 1
0,0 9 2
1 0 1
l g 0,0 9 2
5,8 8 4
l g 1,5
p
s
sp
sp
s
sp
p
sp
k
N
k
N
取 N=6。 为求 3dB截止频率 Ωc,将 Ωp和 αp代入 (6.2.17)
式,得到 Ωc=0.7032rad/s,显然此值满足通带技术要求,
同时给阻带衰减留一定余量,这对防止频率混叠有一定好处 。
根据阶数 N=6,查表 6.2.1,得到归一化传输函数为
2 3 4 5 6
1()
1 3,8 6 3 7 7,4 6 4 1 9,1 4 1 6 7,4 6 4 1 3,8 6 3 7aHp p p p p p p
为去归一化，将 p=s/Ωc代入 Ha(p)中，得到实际的传输函数 Ha(s),
6
2
6 5 2 4 3 3 4 2 5 6
6 5 4 3 2
()
3,8 6 3 7 7,4 6 4 1 9,1 4 1 6 7,4 6 4 1 3,8 6 3 7
0,1 2 0 9
2,7 1 6 3,6 9 1 3,1 7 9 1,8 2 5 0,1 2 1 0,1 2 0 9
a
c c c c c c
Hs
s s s s s s
s s s s s s
④ 用脉冲响应不变法将 Ha(s)转换成 H(z)。 首先将
Ha(s)进行部分分式,并按照 (6.3.11)式,(6.3.12)式,或者 (6.3.13)式和 (6.3.14)式,得到：
11
1 2 1 2
1
12
0,2 8 7 1 0,4 4 6 6 2,1 4 2 8 1,1 4 5 4
()
1 0,1 2 9 7 0,6 9 4 9 1 1,0 6 9 1 0,3 6 9 9
1,8 5 5 8 0,6 3 0 4
1 0,9 9 7 2 0,2 5 7 0
zz
Hz
z z z z
z
zz
图 6.4.7 例 6.4.2图 ——用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性
(2) 用双线性变换法设计数字低通滤波器 。
① 数字低通技术指标仍为
ωp=0.2πrad,αp=1dB;
ωs=0.3πrad,αs=15dB
② 模拟低通的技术指标为
21
t an,1
2
2 t an 0,1 0,6 5 /,1
2 t an 0,1 5 1,0 1 9 /,1 5
pp
Pp
ss
T
T
r a d s d B
r a d s d B
③ 设计巴特沃斯低通滤波器 。 阶数 N计算如下：
lg
lg
1.019
1.568
0.65
0.092
l g 0,09 2
5.306
l g 1,56 8
sp
sp
s
sp
p
sp
k
N
k
N
取 N=6。 为求 Ωc,将 Ωs和 αs代入 (6.2.18)式中,得到 Ωc=0.7662rad/s。 这样阻带技术指标满足要求,通带指标已经超过 。
根据 N=6,查表 6.2.1得到的归一化传输函数 Ha(p)
与脉冲响应不变法得到的相同 。 为去归一化,将 p=s/Ωc
代入 Ha(p),得实际的 Ha(s)，
④ 用双线性变换法将 Ha(s)转换成数字滤波器 H(z)：
2 2 2
0,2 0 2 4()
( 0,3 9 6 0,5 8 7 1 ) ( 1,0 8 3 0,5 8 7 1 ) ( 1,4 8 0 0,5 8 7 1 )aHs s s s s s s
1
1
16
1 2 1 21
2
1
12
0,00 07 37 8 ( 1 )
( ) ( )
( 1 1,26 8 0,70 51 ) ( 1 1,01 0 0,35 8 )
1
1 0,90 44 0,21 55
a z
s
z
z
H z H s
z z z z
zz
图 6.4.8 例 6.4.2图 ——用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性
6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计例如高通数字滤波器等。具体设计步骤如下：
(1) 确定所需类型数字滤波器的技术指标 。
(2) 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标,转换公式为
21ta n
2T
(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标 (具体转换公式参考本章 6.2节 )。
(4)设计模拟低通滤波器 。
(5)将模拟低通通过频率变换,转换成所需类型的模拟滤波器 。
(6)采用双线性变换法,将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器 。
例 6.5.1 设计一个数字高通滤波器,要求通带截止频率 ωp=0.8πrad,通带衰减不大于 3 dB,阻带截止频率 ωs=0.44πrad,阻带衰减不小于 15dB。 希望采用巴特沃斯型滤波器 。
解
(1)数字高通的技术指标为
ωp=0.8πrad,αp=3dB;
ωs=0.44πrad,αs=15dB
(2) 模拟高通的技术指标计算如下：
令 T=1,则有
1
2 t a n 6,1 5 5 /,3
2
1
2 t a n 1,6 5 5 /,3
2
p p p
s s s
r a d s d B
r a d s d B
(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下：
1
0,16 3 /,3
6.155
1
0,60 4 /,15
1.655
pp
ss
rad s dB
rad s dB
将 Ωp和 Ωs对 3dB截止频率 Ωc归一化,这里 Ωc=Ωp,
(4)设计归一化模拟低通滤波器 G(p)。 模拟低通滤波器的阶数 N计算如下：
1,3,7 1sps
p
0,1
0,1
lg
lg
1 0 1
0,1 8 0 3
1 0 1
3,7 1
1,3 1,2
p
s
sp
sp
sp
s
sp
p
k
N
k
NN
查表 6.2.1,得到归一化模拟低通传输函数 G(p)为
2
2
22
1
()
21
()
2
c
cc
Gp
pp
Gs
ss
为去归一化,将 p=s/Ωc代入上式得到：
(5) 将模拟低通转换成模拟高通 。 将上式中 G(s)
的变量换成 1/s,得到模拟高通 Ha(s)：
22
22
1( ) ( )
21
c
a
cc
sH s G
s ss
(6)用双线性变换法将模拟高通 H (s)转换成数字高通 H(z)：
1
1
12
1
( ) ( )a z
s
z
H z H s?
实际上 (5),(6)两步可合并成一步,即
1
1
11
2 1
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( )
0,1 0 6 ( 1 ) 0,0 6 5 3 ( 1 )
()
1,6 2 4 1,9 4 7 0,5 6 6 1 1,1 9 9 0,3 4 9
z
s
z
H z G s
zz
Hz
z z z z
例 6.5.2设计一个数字带通滤波器,通带范围为
0.3πrad到 0.4πrad,通带内最大衰减为 3dB,0.2πrad以下和 0.5πrad以上为阻带,阻带内最小衰减为 18dB。 采用巴特沃斯型模拟低通滤波器 。
解
(1)数字带通滤波器技术指标为通带上截止频率
ωu=0.4πrad
通带下截止频率
ωl=0.3πrad
阻带上截止频率
ωs2=0.5πrad
阻带下截止频率
ωs1=0.2πrad
通带内最大衰减 αp=3dB，阻带内最小衰减 αs=18dB。
(2) 模拟带通滤波器技术指标如下：
设 T=1,则有
22
11
0
1
2 ta n 1.45 3 /
2
1
2 ta n 1.01 9 /
2
1
2 ta n 2 /
2
1
2 ta n 0.65 0 /
2
1.21 7 /
0.43 4 /
uu
ll
ss
ss
ul
ul
rad s
rad s
rad s
rad s
rad s
B rad s
(通带中心频率 )
(带宽 )
将以上边界频率对带宽 B归一化,得到
ηu=3.348,ηl=2.348;
ηs2=4.608,ηs1=1.498;
η0=2.804
(3) 模拟归一化低通滤波器技术指标：
归一化阻带截止频率
22
20
2
2,9 0 2ss
s
归一化通带截止频率
λp=1
αp=3dB,αs=18dB
(4) 设计模拟低通滤波器：
0,1
0,1
1 0 1
0,1 2 7
1 0 1
2,9 0 2
lg 0,1 2 7
1,9 4 0,2
lg 2,9 0 2
p
s
sp
s
sp
p
k
NN
查表 6.2.1,得到归一化低通传输函数 G(p),
2
1()
21Gp pp
(5) 将归一化模拟低通转换成模拟带通：
(6)通过双线性变换法将 Ha(s)转换成数字带通滤波器 H(z)。 下面将 (5),(6)两步合成一步计算：
22
0
()
( ) ( )
ul
a s
p
s
H s G p
1
1
12
1
zs
z
将上式代入 (5)中的转换公式,得
1
1
2 2 1 2 2 1 2
00
21
2
1
1 2 1 2
22
4( 1 ) ( 1 )
( ) 2( 1 )( )
5,4 8 4,5 7,4 8 1 6,3 1 3 5,1 8 8 0 6 1 9
0,8 6 8 ( 1 ) 1
z
s
u l u lz
s z z
p
sz
z z z z
zz
将上面的 p等式代入 G(p)中，得
24
1 2 3 4
0,0 2 1 ( 1 2 )()
1 1,4 9 1 2,8 4 8 1,6 8 1,2 7 3
zzHz
z z z z
例 6.5.3设计一个数字带阻滤波器,通带下限频率
ωl=0.19π,阻带下截止频率 ωs1=0.198π,阻带上截止频率
ωs2=0.202π,通带上限频率 ωu=0.21π,阻带最小衰减
αs=13dB,ωl和 ωu处衰减 αp=3dB。 采用巴特沃斯型 。
解
(1) 数字带阻滤波器技术指标：
ωl=0.19πrad,ωu=0.21πrad,αp=3dB;
ωs1=0.198πrad,ωs2=0.202πrad,αs=13dB
(2) 模拟带阻滤波器的技术指标：
设 T=1,则有
1 1 2 2
11
2 t a n 0,6 1 5 /,2 t a n 0,6 8 5 /
22
11
2 t a n 0,6 1 5 /,2 t a n 0,6 8 5 /
22
l l u u
s s s s
r a d s r a d s
r a d s r a d s
阻带中心频率平方为
Ω20=ΩlΩu=0.421
阻带带宽为
B=Ωu-Ωl=0.07rad/s
将以上边界频率对 B归一化：
ηl=8.786,ηu=9.786,
ηs1=9.186,ηs2=9.386;
η20=ηlηu=85.98
(3) 模拟归一化低通滤波器的技术指标：
按照 (6.2.48)式,有
λp=1,αp=3dB
2
22
20
4,4 3 4,1 3sss
s
dB
(4) 设计模拟低通滤波器：
0.1
0.1
10 1
0.229
10 1
4.434
lg 0.22 9
0.99,1
lg 4.43 4
p
s
sp
s
sp
p
k
NN
22
0
22
0
( ) ( )
a sB
p
s
sB
p
s
H s G p
(5) 将 G(p)转换成模拟阻带滤波器 Ha(s)：
(6) 将 Ha(s)通过双线性变换,得到数字阻带滤波器
H(z)。
1
1
2
1 2 2 1 2
0
2
2 2 1 2 2 1 21
2
001
12
122 (1 )
4 (1 ) (1 )
2 ( 1 )
4 ( 1 ) ( 1 )
0.9 69 ( 1 61 9 )
( ) ( )
1 1.5 69 0.9 39
z
s
z
zB
p
zz
sB z B
p
s z z
zz
H z G p
zz
6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法
1,零极点累试法称为零极点累试法 。 在确定零极点位置时要注意：
(1)极点必须位于 z平面单位圆内,保证数字滤波器因果稳定；
(2)复数零极点必须共轭成对,保证系统函数有理式的系数是实的 。
图 6.6.1 例 6.6.1图
(a)零极点分布； (b)幅度特性
2.在频域利用幅度平方误差最小法直接设计 IIR数字滤波器设 IIR滤波器由 K个二阶网络级联而成，系统函数用
H(z)表示，
12
12
1
1()
1
K
ii
i ii
a z b zH z A
c z d z
(6.6.1)
式中,A是常数； ai,bi,ci,di是待求的系数； Hd(e jω)
是希望设计的滤波器频响 。 如果在 (0,π)区间取 N点数字频率 ωi,i=1,2,:,N,在这 N点频率上,比较 |Hd(e jω)|和
|H(e jω)|,写出两者的幅度平方误差 E为
2
1
[ ( ) ( ) ]ii
N
jj
d
i
E H e H e
(6.6.2)
而在 (6.6.1)式中共有 (4K+1)个待定的系数,求它们的原则是使 E最小 。 下面我们研究采用 (6.6.1)式网络结构,如何求出 (4K+1)系数 。
按照 (6.6.2)式,E是 (4K+1)个未知数的函数，用下式表示：
1 1 1 1 2
(,)
[] TK K K K
E E A
a b c d a a b c d
上式 θ表示 4K个系数组成的系数向量 。 为推导公式方便,令
2
1
()
,( )
(,) [ ]
i
i
j
j
i d d
N
id
i
He
H H H e
A
E A A H H
(6.6.3)
为选择 A使 E最小,令
1
2
1
N
id d e f
i
gN
i
i
HH
AA
H
(6.6.4)
设 θk是 θ的第 k个分量 (ak或 bk或 ck或 dk)，
1
[,] 2 ( ),1,2,,4Ng i
g g i d
ikk
EA HA A A H k K?
(6.6.5)
因为,式中 H*i表示对 Hi函数共轭 。12[]
i i iH H H
1
2
1
11
[ ] [ 2 R e[ ]]
2
2 [ ]
R e[ ]
i i i i
ii
k k k i k
ii
i
ii
k
H H H H
H H H
H
HH
H
HH
(6.6.6)
将上式具体写成对 ak,bk,ck,dk的偏导,得到：
2
11
1
12
R e[ ] R e[
1
R e[ ] R e[ ]
1
j j
i
ii i ii
i i i
k k i k
ii
ii ze
i k k i k i
HH H H
H H H
a H a
Hz
HH
H a a z b z
(6.6.7)
式中,k=1,2,3,:,K； i=1,2,3,:,N。
同理求得
2
12
1
12
2
12
R e [ ]
1
R e [ ]
1
R e [ ]
1
j i
i
j i
i
j i
i
i i
i ze
k k i k i
i i
i ze
k k i k i
i i
i ze
k k i k i
H z
H
b a z b z
H z
H
c c z d z
H z
H
d c z d z
(6.6.8)
(6.6.9)
(6.6.10)
由于系统函数是一个有理函数,极,零点均以共轭成对的形式存在,对于极点 z1,一定有下面关系：
1 1 1 1
11
11
11
2
1
11
( ) ( )
11
( ) ( )
11
j j j j
jj
j j j j
jj
e z e z e z e z
e z e z
z e e z e e
zz
z e e
zz
(6.6.11)
图 6.6.2 例 6.6.2图
(a)要求的幅度特性； (b)k=1,2时的幅度特性例 6.6.2 设计低通数字滤波器,其幅度特性如图
6.6.2(a)所示 。 截止频率 ωs=0.1πrad。
解 考虑到通带和过渡带的重要,在 0~0.2π区间,
每隔 0.01π取一点 ωi值,在 0.2π~π区间每隔 0.1π取一点 ωi
值,并增加一点过渡带,在 ω=0.1π处
|Hd(e jω)|=0.5。
1.0,ω=0,0.01π,0.02π,:,0.09π
0.5,ω=0.1π
0.0,ω=0.11π,0.12π,:,0.19π
0.0,ω=0.2π,0.3π,:,π
()jdHe?
N=29,取 k=1,系统函数为
12
11
12
11
1()
1
a z b zH z A
c z d z
待求的参数是 A,a1,b1,c1,d1。设初始值
θ=(0000.25)T经过 90
次迭代,求得 E=1.2611,系统函数零,极点位置为零点 0.67834430± j0.73474418;
极点 0.75677793± j1.3213916
为使滤波器因果稳定,将极点按其倒数搬入单位圆内,再进行 62次优化迭代,求得结果为零点 0.82191163± j0.56961501;
极点 0.89176390± j0.19181084;
Ag=0.11733978,E=0.56731
误差函数用下式表示：
1
( )( ( ) ( )i i i
N p
j j j
Pd
i
E W e H e H e
(6.6.12)
3,在时域直接设计 IIR数字滤波器设我们希望设计的 IIR数字滤波器的单位脉冲响应为
hd(n),要求设计一个单位脉冲响应 h(n)充分逼近 hd(n)。 下面我们介绍这种设计方法 。
设滤波器是因果性的,系统函数为
0
0
1
0
( ) ( )
M
i
i
ki
N
i k
i
bz
H z h k z
az
(6.6.13)
式中 a0=1,未知系数 ai和 bi共有 N+M+1个,取 h(n)
的一段,0≤n≤p-1,使其充分逼近 hd(n),用此原则求解
M+N+1个系数 。 将 (6.6.13)式改写为1
0 0 0
0 0 0
()
()
p NM
k i i
ii
k i i
M N N M
k i i
ii
k i i
h k z a z b z
h k z a z b z
令 p=M+N+1,则
(6.6.14)
令上面等式两边 z的同幂次项的系数相等,可得到 N+M+1个方程：
h(0)=b0
h(0)a1+h(1)=b1
h(0)a2+h(1)a1+h(2)=b2
上式表明 h(n)是系数 ai,bi的非线性函数,考虑到
i>M时,bi=0,一般表达式为：
0
0
( ),0
( ) 0,
k
jk
j
k
j
j
a h k j b k M
a h k j M k M N
(6.6.15)
(6.6.16)
设 x(n)为给定的输入信号,yd(n)是相应的希望的输出信号,x(n)和 yd(n)长度分别为 M和 N,实际滤波器的输出用 y(n)表示,下面我们按照 y(n)和 yd(n)的最小均方误差求解滤波器的最佳解,设均方误差用 E表示：
1
2
0
1
2
00
[ ( ) ( )]
[ ( ) ( ) ( )]
N
d
n
Nn
d
nm
E y n y n
h m x n m y n
(6.6.17)
(6.6.18)
上式中 x(n),0≤n≤M1； yd(n),0≤n≤N-1
为选择 h(n)使 E最小,令
0,0,1,2,,1()E iNhi
由 (6.6.18)式得到
1 1 1
2
0 0 0
1 1 1
2
0 0 0
1 1 1
0 0 0
( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 )
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
N N N
n n n
N N N
n n n
N N N
n n n
x n x n x n x n x n
x n x n x n x n N x n
x n x n x n x n N x n N
1
0
1
0
1
0
( ) ( )
( 0 )
( 1 ) ( ) ( 1 )
( 1 )
( ) ( 1 )
N
d
n
N
d
n
N
d
n
y n x n
h
h y n x n
hN
y n x n N
(6.6.20)
例 6.6.2设计数字滤波器,要求在给定输入 x(n)=3,1
的情况下,输出 yd(n)=1,0.25,0.1,0.01,0。
解 设 h(n)长度为 p=4,按照 (6.6.20)式,得
1 0 3 0 0 ( 0 ) 3,2 5
3 1 0 3 0 ( 1 ) 0,8 5
( 2 ) 0,3 10 3 1 0 3
( 3 ) 0,0 30 0 3 9
h
h
h
h
列出方程：
10h(0)+3h(1)=3.25
3h(0)+10h(1)+3h(2)=0.85
3h(1)+10h(2)+3h(3)=0.31
3h(2)+9h(3)=0.03
解联立方程,得
h(n)=0.3333,0.0278,0.0426,0.0109
将 h(n)以及 M=1,N=2代入 (6.6.15),(6.6.16)式中,得
a1=0.1824,a2=0.1126
b0=0.3333,b1=0.0330
滤波器的系统函数为
1
12
0,3 3 3 3 0,0 3 3 0()
1 0,1 8 2 4 0,1 1 2 6
zHz
zz
相应的差分方程为
y(n)=0.3333x(n)+0.0330x(n1)0.1824y(n1)+0.1126y(n2)
当 x(n)=3,1时,输出 y(n)为
y(n)=0.9999,0.2499,0.1,0.0099,0.0095,0.0006,0.0012:
将 y(n)与给定 yd(n)比较,y(n)的前五项与 yd(n)的前五项很相近,y(n)在五项以后幅度值很小 。
