2009-7-28
1
第六章 代数结构代数结构的主要研究对象是各种各样的代数系统,即具有一些元运算的集合,本章介绍的群就是具有一个二元运算的代数系统,
本章以群为例讨论代数结构,它的思想和方法已经渗透到现代科学的许多分支,它的结果已应用到计算机的不少方面,因此计算机科学工作者应初步掌握其基本的理论和方法,
读者通过对群的学习应初步掌握对代数系统研究的一般方法,从简单到复杂,从具体到一般,
从而发现代数系统的一般规律,本章的内容较为抽象,难学,可根据具体情况删减一些内容,
返回首页
2009-7-28
2
第一节 代数结构概述
我们在前面已经研究过集合,那时没有过多地考虑一个集合内部元素之间的联系,现在我们要在一个集合的内部引入运算,并研究其运算规律,主要内容为,
1.代数系统的定义,然后用例子说明代数系统的丰富性 ;
2.代数系统的运算的常用记法和运算表的概念,
返回本章首页
2009-7-28
3
第二节 置换 (1)
群论的研究始于置换群,置换群在群论里有重要的地位,例如，五次以上方程不能用根号求解的问题的证明就用到置换群,置换概念本身在计算机科学中也起作重要作用,同时置换群的记法简单，
运算方便,
本节的概念有,置换、循环置换、不相交置换、对换、奇置换、偶置换等 ;
返回本章首页
2009-7-28
4
第二节 置换 (2)
本节的结论有,
1.置换的乘法 (即合成 )满足结合律 ;
2.两个不相交的循环置换的乘法满足交换律 ;
3.任意置换均可惟一地分解成不相交循环置换的乘积 (不考虑因子的次序 ) ；
4.每个置换都能分解成对换的乘积，且偶置换只能分解成偶数个对换的乘积，奇置换只能分解成奇数个对换的乘积；
5.在 n个元素的所有置换中,奇偶置换各半,
返回本章首页
2009-7-28
5
第三节 群
本节给出了群 的定义及群 的简单性质,
主要概念有,左 (右 )单位元、单位元、
左 (右 )逆元、逆元、可除条件、消去律、
有限群、无限群、交换群 ;
主要结论有,
1.群的定义中条件 (2),(3)可分别用左单位元、左逆元替代,也可分别用右单位元、右逆元替代,还可以用可除条件替代 ;
2.任意群中消去律成立,
返回本章首页
2009-7-28
6
第四节 子群
与集合的子集、向量空间的子空间一样,
群也有子群的概念,子群作为群的一部分,它的结构对群的结构有重要影响,
主要概念有,平凡子群、非平凡子群、
由某个元素生成的子群、循环群、生成元、元素的周期,
讨论了一个群的非空子集构成子群的条件 ;在某个元素生成的子群的基础上定义循环群,把循环群的结构研究清楚了,
返回本章首页
2009-7-28
7
第五节 陪集与正规子群
本节利用群 G的一个子群 H来作 G的一个分类,
并由这样的分类来引入正规子群的概念,
1.利用群 G的一个子群 H,定义了 G的一个等价关系,这个等价关系决定了 G的一个分类,每个类 Ha称为右陪集,类似地也定义了左陪集 ;
2.在左、右陪集的基础上定义了群的正规子群,并讨论了子群为正规子群的条件,正规子群是群的一类重要子群,有很好的代数性质,
应很好掌握它,
返回本章首页
2009-7-28
8
第六节 拉格朗日定理
拉格朗日定理反映了有限群的元数与其子群的元数之间的关系,是群论的最基本定理之一,
拉格朗日定理是,设 G是有限群,H是 G的子群,则有公式 |G|=|H|(G:H).
本节给出了拉格朗日定理的两个推论及几个应用拉格朗日定理的例子,
返回本章首页
2009-7-28
9
第七节 群的同态 (1)
同态是两个代数系统间的一种联系，通过这种联系，可以把一个代数系统的运算转移到另一个代数系统,使得在一个代数系统中较难解决的问题转移到另一个代数系统中成为较易解决的问题,例如，我们常用的对数，实际上，它就是正实数的乘法群到实数的加法群的一个同态,利用对数，我们实现了把较难的乘法运算转化成较易的加法运算，因此，
同态是代数系统间十分重要的关系返回本章首页
2009-7-28
10
第七节 群的同态 (2)
主要概念有,同态、单同态、满同态、
同构、零同态、同态象、同态核,
主要结论有,
1.设 f是群 G到群 G’的同态映射，则 G的单位元的象是 G’的单位元；且 G的子群 H在 f
下的象 f(H)是 G’的子群 ;
2.设 f是群 G到群 G’的同态映射,则同态核是 G的正规子群 ;
返回本章首页
2009-7-28
11
第八节 商群
正规子群之所以重要，是因为这种子群的陪集,对于与原来的群有密切关系的某种代数运算来说作成群；
主要结论有,设 N是群 G的正规子群,N的所有陪集按照以下的乘法
(aN)(bN)=abN
构成一个群 (称为 G对 N的商群,记作 G/N),
且商群 G/N是群 G的同态象,
返回本章首页
2009-7-28
12
第九节 同态定理
设 f:G→G ’是群同态,于是可以构造商群 G/Kerf,同态定理是,
同态基本定理设,f:G→G ’是群同态,
则,
G/Kerf≌G ’
返回本章首页
2009-7-28
13
第十节 环 (1)
前面讨论的都是只有一个代数运算的代数系统,本节我们介绍有两个代数运算的代数系统 —— 环,环的两个被称为加法,乘法的代数运算是我们最为熟悉的代数运算,由于本课程的限制,我们对环仅作极其初步,简单的介绍,
学习本节时,可以把整数,有理数,实数,复数的加法,乘法运算与环的两个运算加以对照,
返回本章首页
2009-7-28
14
第十节 环 (2)
本节的基本概念有,
环、环的运算表、交换环、有单位元的环、零因子、左零因子、右零因子、
无零因子环、整环、除环、域、四元数等 ;
本节介绍了与环有关的最基本的结论返回本章首页
2009-7-28
15
本章小 结
本章在简单地介绍了代数系统的概念后，
较为详细地讨论置换（它实际上是为讨论群作准备）,然后我们就给出群的定义，接着我们又讨论子群、陪集、正规子群、商群、同态、同构等,最后一节我们还极其简单地介绍了具有两个代数运算的系统 —— 环,这些内容对于抽象思维能力和逻辑推理能力的培养很有帮助,
返回本章首页
1
第六章 代数结构代数结构的主要研究对象是各种各样的代数系统,即具有一些元运算的集合,本章介绍的群就是具有一个二元运算的代数系统,
本章以群为例讨论代数结构,它的思想和方法已经渗透到现代科学的许多分支,它的结果已应用到计算机的不少方面,因此计算机科学工作者应初步掌握其基本的理论和方法,
读者通过对群的学习应初步掌握对代数系统研究的一般方法,从简单到复杂,从具体到一般,
从而发现代数系统的一般规律,本章的内容较为抽象,难学,可根据具体情况删减一些内容,
返回首页
2009-7-28
2
第一节 代数结构概述
我们在前面已经研究过集合,那时没有过多地考虑一个集合内部元素之间的联系,现在我们要在一个集合的内部引入运算,并研究其运算规律,主要内容为,
1.代数系统的定义,然后用例子说明代数系统的丰富性 ;
2.代数系统的运算的常用记法和运算表的概念,
返回本章首页
2009-7-28
3
第二节 置换 (1)
群论的研究始于置换群,置换群在群论里有重要的地位,例如，五次以上方程不能用根号求解的问题的证明就用到置换群,置换概念本身在计算机科学中也起作重要作用,同时置换群的记法简单，
运算方便,
本节的概念有,置换、循环置换、不相交置换、对换、奇置换、偶置换等 ;
返回本章首页
2009-7-28
4
第二节 置换 (2)
本节的结论有,
1.置换的乘法 (即合成 )满足结合律 ;
2.两个不相交的循环置换的乘法满足交换律 ;
3.任意置换均可惟一地分解成不相交循环置换的乘积 (不考虑因子的次序 ) ；
4.每个置换都能分解成对换的乘积，且偶置换只能分解成偶数个对换的乘积，奇置换只能分解成奇数个对换的乘积；
5.在 n个元素的所有置换中,奇偶置换各半,
返回本章首页
2009-7-28
5
第三节 群
本节给出了群 的定义及群 的简单性质,
主要概念有,左 (右 )单位元、单位元、
左 (右 )逆元、逆元、可除条件、消去律、
有限群、无限群、交换群 ;
主要结论有,
1.群的定义中条件 (2),(3)可分别用左单位元、左逆元替代,也可分别用右单位元、右逆元替代,还可以用可除条件替代 ;
2.任意群中消去律成立,
返回本章首页
2009-7-28
6
第四节 子群
与集合的子集、向量空间的子空间一样,
群也有子群的概念,子群作为群的一部分,它的结构对群的结构有重要影响,
主要概念有,平凡子群、非平凡子群、
由某个元素生成的子群、循环群、生成元、元素的周期,
讨论了一个群的非空子集构成子群的条件 ;在某个元素生成的子群的基础上定义循环群,把循环群的结构研究清楚了,
返回本章首页
2009-7-28
7
第五节 陪集与正规子群
本节利用群 G的一个子群 H来作 G的一个分类,
并由这样的分类来引入正规子群的概念,
1.利用群 G的一个子群 H,定义了 G的一个等价关系,这个等价关系决定了 G的一个分类,每个类 Ha称为右陪集,类似地也定义了左陪集 ;
2.在左、右陪集的基础上定义了群的正规子群,并讨论了子群为正规子群的条件,正规子群是群的一类重要子群,有很好的代数性质,
应很好掌握它,
返回本章首页
2009-7-28
8
第六节 拉格朗日定理
拉格朗日定理反映了有限群的元数与其子群的元数之间的关系,是群论的最基本定理之一,
拉格朗日定理是,设 G是有限群,H是 G的子群,则有公式 |G|=|H|(G:H).
本节给出了拉格朗日定理的两个推论及几个应用拉格朗日定理的例子,
返回本章首页
2009-7-28
9
第七节 群的同态 (1)
同态是两个代数系统间的一种联系，通过这种联系，可以把一个代数系统的运算转移到另一个代数系统,使得在一个代数系统中较难解决的问题转移到另一个代数系统中成为较易解决的问题,例如，我们常用的对数，实际上，它就是正实数的乘法群到实数的加法群的一个同态,利用对数，我们实现了把较难的乘法运算转化成较易的加法运算，因此，
同态是代数系统间十分重要的关系返回本章首页
2009-7-28
10
第七节 群的同态 (2)
主要概念有,同态、单同态、满同态、
同构、零同态、同态象、同态核,
主要结论有,
1.设 f是群 G到群 G’的同态映射，则 G的单位元的象是 G’的单位元；且 G的子群 H在 f
下的象 f(H)是 G’的子群 ;
2.设 f是群 G到群 G’的同态映射,则同态核是 G的正规子群 ;
返回本章首页
2009-7-28
11
第八节 商群
正规子群之所以重要，是因为这种子群的陪集,对于与原来的群有密切关系的某种代数运算来说作成群；
主要结论有,设 N是群 G的正规子群,N的所有陪集按照以下的乘法
(aN)(bN)=abN
构成一个群 (称为 G对 N的商群,记作 G/N),
且商群 G/N是群 G的同态象,
返回本章首页
2009-7-28
12
第九节 同态定理
设 f:G→G ’是群同态,于是可以构造商群 G/Kerf,同态定理是,
同态基本定理设,f:G→G ’是群同态,
则,
G/Kerf≌G ’
返回本章首页
2009-7-28
13
第十节 环 (1)
前面讨论的都是只有一个代数运算的代数系统,本节我们介绍有两个代数运算的代数系统 —— 环,环的两个被称为加法,乘法的代数运算是我们最为熟悉的代数运算,由于本课程的限制,我们对环仅作极其初步,简单的介绍,
学习本节时,可以把整数,有理数,实数,复数的加法,乘法运算与环的两个运算加以对照,
返回本章首页
2009-7-28
14
第十节 环 (2)
本节的基本概念有,
环、环的运算表、交换环、有单位元的环、零因子、左零因子、右零因子、
无零因子环、整环、除环、域、四元数等 ;
本节介绍了与环有关的最基本的结论返回本章首页
2009-7-28
15
本章小 结
本章在简单地介绍了代数系统的概念后，
较为详细地讨论置换（它实际上是为讨论群作准备）,然后我们就给出群的定义，接着我们又讨论子群、陪集、正规子群、商群、同态、同构等,最后一节我们还极其简单地介绍了具有两个代数运算的系统 —— 环,这些内容对于抽象思维能力和逻辑推理能力的培养很有帮助,
返回本章首页
