函数的极值及其求法由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，
曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，
值得我们作一般性的讨论。
一、函数极值的定义
o x
y
a b
)(xfy?
1x 2x 3x 4x 5x 6x
o x
y
o x
y
0x 0x
.)()(
,)()(,,
,;)()(
,)()(,,
,
,),(
,),()(
0
00
0
0
00
0
0
的一个极小值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点内的一个点是内有定义在区间设函数
xfxf
xfxfxx
x
xfxf
xfxfxx
x
ba
xbaxf
定义函数的极大值与极小值统称为 极值,使函数取得极值的点称为 极值点,
二、函数极值的求法设 )( xf 在点 0x 处具有导数,且在 0x 处取得极值,那末必定 0)( 0'?xf,定理 1(必要条件 )
定义
.)(
)0)((
的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点
xf
xf
注意,
.
,)(
是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数 xf
例如,,3xy?,00xy,0 不是极值点但?x
注 ① 这个结论又称为 Fermat定理
② 如果一个可导函数在所论区间上没有驻点则此函数没有极值，此时导数不改变符号
③ 不可导点也可能是极值点可疑极值点,驻点、不可导点可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、
右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。
(1) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx,
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极大值,
(2) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
(3) 如果当 ),(
00
xxx 及 ),(
00
xxx 时,)(
'
xf
符号相同,则 )( xf 在
0
x 处无极值,定理 2(第一充分条件 )
x
y
o x
y
o0x 0x
(是极值点情形 )
x
y
o x
y
o0x 0x
求极值的步骤,
);()1( xf?求导数;0)()2( 的根求驻点，即方程 xf;,)()3( 判断极值点在驻点左右的正负号检查 xf?
.)4( 求极值
(不是极值点情形 )
例 1
解
.593)( 23 的极值求出函数 xxxxf
963)( 2 xxxf
，令 0)( xf,3,1 21 xx得驻点 列表讨论
x )1,( ),3()3,1(?1? 3
)(xf?
)(xf
0 0
极大值极小值
)3(f极小值,22)1(?f极大值,10?
)3)(1(3 xx
593)( 23 xxxxf
M
m
图形如下设 )( xf 在
0
x 处具有二阶导数,
且 0)(
0
'
xf,0)(
0
''
xf,那末
(1) 当 0)( 0
''
xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极大值 ;
(2) 当 0)( 0
''
xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极小值,定理 3(第二充分条件 )
证 )1( x xfxxfxf x )()(lim)( 0000?,0?
异号，与故 xxfxxf )()( 00
时，当 0 x )()( 00 xfxxf有,0?
时，当 0 x )()( 00 xfxxf有,?
所以,函数 )( xf 在 0x 处取得极大值例 2
解
.20243)( 23 的极值求出函数 xxxxf
2463)( 2 xxxf
，令 0)( xf,2,4 21 xx得驻点
)2)(4(3 xx
,66)( xxf?
)4(f?,018? )4(?f故极大值,60?
)2(f,018? )2(f故极小值,48
20243)( 23 xxxxf 图形如下
M
m
注意,
.2
,)(,0)( 00
仍用定理处不一定取极值在点时 xxfxf
例 3
解
.)2(1)( 3
2
的极值求出函数 xxf
)2()2(32)( 3
1
xxxf
.)(,2 不存在时当 xfx
时，当 2?x ;0)( xf
时，当 2?x,0)( xf
.)(1)2( 的极大值为 xff
.)( 在该点连续但函数 xf
注意,函数的不可导点,也可能是函数的极值点,
M
例 4 )0(12,0 2 aeaxxx x时证明证 xeaxxxf 12)( 2记
xeaxxf 22)(则 （不易判明符号）
xexf 2)(
2ln0)( xxf 得令
0)(,2ln xfx 时当 0)(,2ln xfx 时当的一个极大值点是 )(2ln xfx
而且是一个最大值点，
)2( ln)( fxf 222ln2 a0?
)(,0 xfx 时
0)0()( fxf
xeaxx 122即例 5 设 f ( x )连续，且 f ( a )是 f ( x )的极值，问
f 2( a )是否是 f 2( x )的极值证 分两种情况讨论
① 0)(),()( afafxf 且设时，有使当 ),(,0 aax
)()( 22 afxf?
所以 f 2( a ) 是 f 2( x ) 的极小值
② 设 f ( a ) 是 f ( x )的极小值，且 0)(?af
时，有使当 ),(,0 111 aax
)()( afxf?
又 f ( x )在 x = a 处连续，且 0)(?af
时，有使当 ),(,0 222 aax
0)(?xf
},m in { 21令 时，有则当 ),( aax
0)()( xfaf )()( 22 afxf
f 2( a )是 f 2( x )的极大值同理可讨论 f ( a ) 是 f ( x )的极大值的情况例 6 假定 f(x)在 x=x0处具有直到 n阶的连续导数，且
0)(,0)()()( 0)(0)1(00 xfxfxfxf nn 但?
证明当 n为偶数时,f(x0)是 f(x)的极值当 n为奇数时,f(x0)不是 f(x)的极值证 由 Taylor公式，得
n
n
xxnfxfxf )(! )()()( 0
)(
0
)(
0 之间与在 xx?
处连续在又 0)( )( xxf n
0)()(lim 0)()(
0
xfxf nnxx
因此存在 x0的一个小邻域，使在该邻域内同号与 )()( 0)()( xfxf nn
同号与 )()( 0)()( xff nn
下面来考察两种情形
① n为奇数，当 x 渐增地经过 x0时 nxx )( 0? 变号
!
)()(
n
f n? 不变号
)()( 0xfxf 变号
)( 0xf 不是极值
② n为偶数，当 x 渐增地经过 x0时
nxx )( 0? 不变号 ! )(
)(
n
f n? 不变号
)()( 0xfxf 不变号
)( 0xf 是极值且当 0)( 0)(?xf n 时 )( 0xf 是极小值
0)( 0)(?xf n当 时 )( 0xf 是极大值极值是函数的局部性概念,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,
驻点和不可导点统称为 临界点,
函数的极值必在 临界点 取得,
判别法第一充分条件 ;
第二充分条件 ;
(注意使用条件 )
三、小结思考题下命题正确吗？ 如果 0x 为 )( xf 的极小值点，那么必存在
0x 的某邻域，在此邻域内,)( xf 在 0x 的左侧下降，而在 0x 的右侧上升,
思考题解答不正确．
例?
0,2
0),
1
s i n2(2
)(
2
x
x
x
x
xf
当 0?x 时, )0()( fxf )
1s i n2(2
xx? 0?
于是 0?x 为 )( xf 的极小值点当 0?x 时，
当 0?x 时，
,0)1s i n2(2 xx x1cos 在 –1和 1之间振荡因而 )( xf 在 0?x 的两侧都不单调,
故命题不成立．
xxxxf
1co s)1s i n2(2)(
曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，
值得我们作一般性的讨论。
一、函数极值的定义
o x
y
a b
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1x 2x 3x 4x 5x 6x
o x
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0
0
00
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的一个极小值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点内的一个点是内有定义在区间设函数
xfxf
xfxfxx
x
xfxf
xfxfxx
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xbaxf
定义函数的极大值与极小值统称为 极值,使函数取得极值的点称为 极值点,
二、函数极值的求法设 )( xf 在点 0x 处具有导数,且在 0x 处取得极值,那末必定 0)( 0'?xf,定理 1(必要条件 )
定义
.)(
)0)((
的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点
xf
xf
注意,
.
,)(
是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数 xf
例如,,3xy?,00xy,0 不是极值点但?x
注 ① 这个结论又称为 Fermat定理
② 如果一个可导函数在所论区间上没有驻点则此函数没有极值，此时导数不改变符号
③ 不可导点也可能是极值点可疑极值点,驻点、不可导点可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、
右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。
(1) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx,
有 0)(
'
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0
x 处取得极大值,
(2) 如果 ),,(
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'
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00
xxx
有 0)(
'
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(3) 如果当 ),(
00
xxx 及 ),(
00
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符号相同,则 )( xf 在
0
x 处无极值,定理 2(第一充分条件 )
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o x
y
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(是极值点情形 )
x
y
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求极值的步骤,
);()1( xf?求导数;0)()2( 的根求驻点，即方程 xf;,)()3( 判断极值点在驻点左右的正负号检查 xf?
.)4( 求极值
(不是极值点情形 )
例 1
解
.593)( 23 的极值求出函数 xxxxf
963)( 2 xxxf
，令 0)( xf,3,1 21 xx得驻点 列表讨论
x )1,( ),3()3,1(?1? 3
)(xf?
)(xf
0 0
极大值极小值
)3(f极小值,22)1(?f极大值,10?
)3)(1(3 xx
593)( 23 xxxxf
M
m
图形如下设 )( xf 在
0
x 处具有二阶导数,
且 0)(
0
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xf,0)(
0
''
xf,那末
(1) 当 0)( 0
''
xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极大值 ;
(2) 当 0)( 0
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xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极小值,定理 3(第二充分条件 )
证 )1( x xfxxfxf x )()(lim)( 0000?,0?
异号，与故 xxfxxf )()( 00
时，当 0 x )()( 00 xfxxf有,0?
时，当 0 x )()( 00 xfxxf有,?
所以,函数 )( xf 在 0x 处取得极大值例 2
解
.20243)( 23 的极值求出函数 xxxxf
2463)( 2 xxxf
，令 0)( xf,2,4 21 xx得驻点
)2)(4(3 xx
,66)( xxf?
)4(f?,018? )4(?f故极大值,60?
)2(f,018? )2(f故极小值,48
20243)( 23 xxxxf 图形如下
M
m
注意,
.2
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仍用定理处不一定取极值在点时 xxfxf
例 3
解
.)2(1)( 3
2
的极值求出函数 xxf
)2()2(32)( 3
1
xxxf
.)(,2 不存在时当 xfx
时，当 2?x ;0)( xf
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.)(1)2( 的极大值为 xff
.)( 在该点连续但函数 xf
注意,函数的不可导点,也可能是函数的极值点,
M
例 4 )0(12,0 2 aeaxxx x时证明证 xeaxxxf 12)( 2记
xeaxxf 22)(则 （不易判明符号）
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2ln0)( xxf 得令
0)(,2ln xfx 时当 0)(,2ln xfx 时当的一个极大值点是 )(2ln xfx
而且是一个最大值点，
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xeaxx 122即例 5 设 f ( x )连续，且 f ( a )是 f ( x )的极值，问
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所以 f 2( a ) 是 f 2( x ) 的极小值
② 设 f ( a ) 是 f ( x )的极小值，且 0)(?af
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又 f ( x )在 x = a 处连续，且 0)(?af
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0)(?xf
},m in { 21令 时，有则当 ),( aax
0)()( xfaf )()( 22 afxf
f 2( a )是 f 2( x )的极大值同理可讨论 f ( a ) 是 f ( x )的极大值的情况例 6 假定 f(x)在 x=x0处具有直到 n阶的连续导数，且
0)(,0)()()( 0)(0)1(00 xfxfxfxf nn 但?
证明当 n为偶数时,f(x0)是 f(x)的极值当 n为奇数时,f(x0)不是 f(x)的极值证 由 Taylor公式，得
n
n
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)(
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0 之间与在 xx?
处连续在又 0)( )( xxf n
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因此存在 x0的一个小邻域，使在该邻域内同号与 )()( 0)()( xfxf nn
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下面来考察两种情形
① n为奇数，当 x 渐增地经过 x0时 nxx )( 0? 变号
!
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)( 0xf 不是极值
② n为偶数，当 x 渐增地经过 x0时
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)(
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f n? 不变号
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)( 0xf 是极值且当 0)( 0)(?xf n 时 )( 0xf 是极小值
0)( 0)(?xf n当 时 )( 0xf 是极大值极值是函数的局部性概念,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,
驻点和不可导点统称为 临界点,
函数的极值必在 临界点 取得,
判别法第一充分条件 ;
第二充分条件 ;
(注意使用条件 )
三、小结思考题下命题正确吗？ 如果 0x 为 )( xf 的极小值点，那么必存在
0x 的某邻域，在此邻域内,)( xf 在 0x 的左侧下降，而在 0x 的右侧上升,
思考题解答不正确．
例?
0,2
0),
1
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x
x
x
x
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当 0?x 时, )0()( fxf )
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xx? 0?
于是 0?x 为 )( xf 的极小值点当 0?x 时，
当 0?x 时，
,0)1s i n2(2 xx x1cos 在 –1和 1之间振荡因而 )( xf 在 0?x 的两侧都不单调,
故命题不成立．
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