空间曲线及其方程
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程,
x
o
z
y
1S
2SC
空间曲线 C可看作空间两曲面的交线,
特点,
一、空间曲线的一般方程例 1 方程组 表示怎样的曲线？?
6332
122
zyx
yx
解 122 yx 表示圆柱面，
6332 zyx 表示平面，
6332
122
zyx
yx
交线为椭圆,
例 2 方程组 表示怎样的曲线？?
4
)
2
(
2
22
222
a
y
a
x
yxaz
解 222 yxaz
上半球面,
4)2(
2
22 ayax 圆柱面,
交线如图,
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
当给定 1tt? 时，就得到曲线上的一个点
),,( 111 zyx,随着参数的变化可得到曲线上的全部点,
空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程动点从 A点出发，经过 t时间，运动到 M点例 3 如果空间一点 M 在圆柱面
222
ayx 上以角速度? 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z
轴的正方向上升（其中?,v 都是常数），那么点
M 构成的图形叫做 螺旋线,试建立其参数方程,
A
M
M?
M 在 xoy 面的投影 )0,,( yxM?
tax?c os?
tay?s i n?
vtz?t?
螺旋线的参数方程取时间 t为参数，解
x y
z
o
螺旋线的参数方程还可以写为
bz
ay
ax
s i n
c o s
),( vbt
螺旋线的重要 性质,
,,00,,00 bbbz
上升的高度与转过的角度成正比．
即上升的高度 bh 2 螺距?,2
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
消去变量 z后得,0),(?yxH
曲线关于 的 投影柱面xoy
设空间曲线的一般方程：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面,
投影柱面的 特征,
三、空间曲线在坐标面上的投影如图,投影曲线的研究过程,
空间曲线 投影曲线投影柱面类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
0
0),(
x
zyR
0
0),(
y
zxT
面上的 投影曲线,yoz 面上的 投影曲线,xoz
0
0),(
z
yxH
空间曲线在 面上的 投影曲线xoy
例 4 求曲线 在坐标面上的投影,?
2
1
1222
z
zyx
解 （ 1）消去变量 z后得
,4322 yx
在 面上的投影为xoy
,
0
4
322
z
yx
所以在 面上的投影为线段,xoz;
2
3
||,
0
2
1
x
y
z
（ 3）同理在 面上的投影也为线段,yoz
.
2
3
||,
0
2
1
y
x
z
（ 2）因为曲线在平面 上，21?z
例 5 求抛物面 xzy 22 与平面 02 zyx
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程,
截线方程为
02
22
zyx
xzy
解如图,
（ 2 ）消去 y 得投影,0
0425 22
y
xxzzx
（ 3 ）消去 x 得投影,0
0222
x
zyzy
（ 1 ）消去 z 得投影,0
045 22
z
xxyyx
补充,空间立体或曲面在坐标面上的投影,
空间立体曲面例 6
.
,)(3
4,
22
22
面上的投影求它在锥面所围成和由上半球面设一个立体
xoyyxz
yxz
解 半球面和锥面的交线为
,)(3
,4
:
22
22
yxz
yxz
C
,122 yxz 得投影柱面消去面上的投影为在则交线 xoyC
.0
,122
z
yx 一个圆,
面上的投影为所求立体在 xoy?
.122 yx
空间曲线的一般方程、参数方程．
四、小结空间曲线在坐标面上的投影．
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
0
0),(
z
yxH
0
0),(
x
zyR
0
0),(
y
zxT
思考题 求椭圆抛物面 zxy 222 与抛物柱面
zx 22 的交线关于 x o y 面的投影柱面和在 x o y 面上的投影曲线方程,
思考题解答
,
2
2
2
22
zx
zxy
交线方程为消去 z 得投影柱面,122 yx
在 面上的投影为xoy,0
122
z
yx
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程,
x
o
z
y
1S
2SC
空间曲线 C可看作空间两曲面的交线,
特点,
一、空间曲线的一般方程例 1 方程组 表示怎样的曲线？?
6332
122
zyx
yx
解 122 yx 表示圆柱面，
6332 zyx 表示平面，
6332
122
zyx
yx
交线为椭圆,
例 2 方程组 表示怎样的曲线？?
4
)
2
(
2
22
222
a
y
a
x
yxaz
解 222 yxaz
上半球面,
4)2(
2
22 ayax 圆柱面,
交线如图,
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
当给定 1tt? 时，就得到曲线上的一个点
),,( 111 zyx,随着参数的变化可得到曲线上的全部点,
空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程动点从 A点出发，经过 t时间，运动到 M点例 3 如果空间一点 M 在圆柱面
222
ayx 上以角速度? 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z
轴的正方向上升（其中?,v 都是常数），那么点
M 构成的图形叫做 螺旋线,试建立其参数方程,
A
M
M?
M 在 xoy 面的投影 )0,,( yxM?
tax?c os?
tay?s i n?
vtz?t?
螺旋线的参数方程取时间 t为参数，解
x y
z
o
螺旋线的参数方程还可以写为
bz
ay
ax
s i n
c o s
),( vbt
螺旋线的重要 性质,
,,00,,00 bbbz
上升的高度与转过的角度成正比．
即上升的高度 bh 2 螺距?,2
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
消去变量 z后得,0),(?yxH
曲线关于 的 投影柱面xoy
设空间曲线的一般方程：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面,
投影柱面的 特征,
三、空间曲线在坐标面上的投影如图,投影曲线的研究过程,
空间曲线 投影曲线投影柱面类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
0
0),(
x
zyR
0
0),(
y
zxT
面上的 投影曲线,yoz 面上的 投影曲线,xoz
0
0),(
z
yxH
空间曲线在 面上的 投影曲线xoy
例 4 求曲线 在坐标面上的投影,?
2
1
1222
z
zyx
解 （ 1）消去变量 z后得
,4322 yx
在 面上的投影为xoy
,
0
4
322
z
yx
所以在 面上的投影为线段,xoz;
2
3
||,
0
2
1
x
y
z
（ 3）同理在 面上的投影也为线段,yoz
.
2
3
||,
0
2
1
y
x
z
（ 2）因为曲线在平面 上，21?z
例 5 求抛物面 xzy 22 与平面 02 zyx
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程,
截线方程为
02
22
zyx
xzy
解如图,
（ 2 ）消去 y 得投影,0
0425 22
y
xxzzx
（ 3 ）消去 x 得投影,0
0222
x
zyzy
（ 1 ）消去 z 得投影,0
045 22
z
xxyyx
补充,空间立体或曲面在坐标面上的投影,
空间立体曲面例 6
.
,)(3
4,
22
22
面上的投影求它在锥面所围成和由上半球面设一个立体
xoyyxz
yxz
解 半球面和锥面的交线为
,)(3
,4
:
22
22
yxz
yxz
C
,122 yxz 得投影柱面消去面上的投影为在则交线 xoyC
.0
,122
z
yx 一个圆,
面上的投影为所求立体在 xoy?
.122 yx
空间曲线的一般方程、参数方程．
四、小结空间曲线在坐标面上的投影．
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
0
0),(
z
yxH
0
0),(
x
zyR
0
0),(
y
zxT
思考题 求椭圆抛物面 zxy 222 与抛物柱面
zx 22 的交线关于 x o y 面的投影柱面和在 x o y 面上的投影曲线方程,
思考题解答
,
2
2
2
22
zx
zxy
交线方程为消去 z 得投影柱面,122 yx
在 面上的投影为xoy,0
122
z
yx
