向 量 代 数向量,既有大小又有方向的量,
向量表示：
以 1M 为起点,2M 为终点的有向线段,
1M
2M
a? 21MM
模长为 1的向量,21MM 00a
零向量,模长为 0的向量,0?
||a? 21MM| |向量的模,向量的大小,
单位向量：
一、向量的概念或或或自由向量,不考虑起点位置的向量,
相等向量,大小相等且方向相同的向量,
负向量,大小相等但方向相反的向量,a
向径：
a? b?
a a?
空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量,OM
M
[1] 加法,cba a?b
c?
（平行四边形法则）
特殊地：若 a?‖ b?
a? b
c? |||||| bac分为同向和反向
b?
a? c? |||||| bac
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
二、向量的加减法向量的加法符合下列运算规律：
（ 1）交换律,.abba
（ 2）结合律,cbacba )( ).( cba
（ 3）,0)( aa
[2] 减法 )( baba a?b
b bc?
ba
bac
)(ba
baa?
b?
设? 是一个数，向量 a? 与? 的乘积 a 规定为
,0)1( a 与 a? 同向,|||| aa
,0)2( 0a?
,0)3( a 与 a? 反向,|||||| aa
a? a?2 a?
2
1?
三、向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：
（ 1）结合律,)()( aa a?)(
（ 2）分配律,aaa )(
baba )(
.
0
ab
aba
，使一的实数分必要条件是：存在唯的充平行于，那末向量设向量定理两个向量的平行关系证 充分性显然；
必要性 a?‖b?设,a
b
取取正值，同向时与当?ab
取负值，反向时与当?ab,ab即有
.同向与此时 abaa且 aa
b?
,b
.的唯一性?,设 ab,又设 ab
两式相减，得,0)( a,即 0 a
，0?a,故 0,即同方向的单位向量，表示与非零向量设 aa 0
按照向量与数的乘积的规定，
0|| aaa,|| 0aaa
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量,
例 1 化简
5
3
2
15 abbba?
解
5
3
2
15 abbba?
ba 551251)31(
.252 ba
例 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形,
证 AM MC?
BM MD?
AD? AM? MD MC BM BC?
AD 与 平行且相等,BC 结论得证,
A B
CD
M a
b?
例 3 用向量的方法证明梯形两腰中点的连线平行于底边且等于两底边之和的一半证
A B
C D
E F
DFEDEF
DFCDEC
BFEBEF
BFABEA
)()(2 BFDFEAECCDABEF
0? 0?CDAB //
CDAB CDCDABEF )1(21)(21
CDEF //?
例 4 已知三个非零向量 cba,,中任意两个向量都不平行 平行与平行与但 acbcba,
试证 0 cba
证 由题设 存在 0,0
使 cba acb
ccba )1(
acba )1(
ac )1()1( 1,
若不然 则 ca// 与题设矛盾故 0 cba
四、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标设 a? 是以 ),,( 1111 zyxM 为起点,),,( 2222 zyxM
为终点的向量，
过 21,MM 各作垂直于三个坐标轴的平面,
这六个平面围成一个以线段 21 MM 为对角线的长方体,
这六个平面与 x,y,z 轴分别相交于
212121,;,;,RRQQPP
z
x
o
y
1M
2M
1P
2P
1Q 2Q
1R
2R
A B
i? j?
k?
称有向线段 21PP 的值 12 xx?
为向量 21MM 在 x 轴上的投影有向线段 21QQ 的值 12 yy?
为向量 21MM 在 y 轴上的投影有向线段 21RR 的值 12 zz? 为向量
21MM 在 z 轴 上的投影依次记作 zyx aaa,,即
12 xxa x 12 yya y 12 zza z
x
o y
1M 2M
1P2P
1Q 2Q
1R
2R
A Bi? j?k?
由图上可以看出
21 MMa 21 BMBM
21 BMABAM
而 211 PPAM?
21 QQAB?
212 RRBM?
21212121 RRQQPPMM
以 kji,,分别表示沿 zyx,,轴正向的单位向量,
—— 称为基本单位向量
x
o y
1M 2M
1P
2P
1Q 2Q
1R
2R
A B
i? j?
k?
iaPP x21 jaQQ y21 kaRR z21
—— 向量在三个坐标轴上的分向量
kzzjyyixxMM )()()( 12121221
kajaia zyx —— 向量的分解式向量在三个坐标轴上的投影
zyx aaa,,—— 称为向量的坐标向量可用它的坐标表示为
},,{ zyx aaaa
—— 向量的坐标表示式
x
o y
1M
2M
1P
2P
1Q 2Q
1R
2R
A B
i? j?
k?
以 ),,( 1111 zyxM 为起点,),,( 2222 zyxM 为终点的向量的坐标表示式为,
},,{ 12121221 zzyyxxMM
特殊地,},,{ zyxOM? —— 称为向径向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
},,,{ zyx aaaa },,,{ zyx bbbb
},,{ zzyyxx babababa;)()()( kbajbaiba zzyyxx
},,{ zzyyxx babababa
},,{ zyx aaaa;)()()( kbajbaiba zzyyxx
.)()()( kajaia zyx
例 5 设 ),,(
111
zyxA 和 ),,(
222
zyxB 为两已知点，而在 AB 直线上的点 M 分有向线段 AB 为两部分 AM,MB,使它们的值的比等于某数
)1(,即
MB
AM
，求分点的坐 标,
解
A
B
M
x
y
z
o
设 ),,( zyxM 为直线上的点，
},,{ 111 zzyyxxAM
},,{ 222 zzyyxxMB
由题意知,MBAM
},,{ 111 zzyyxx },,,{ 222 zzyyxx
1xx? )( 2 xx,1
21
xxx
1yy? )( 2 yy,1 21?
yyy
1zz? )( 2 zz,1 21?
zzz
M 为有向线段 AB 的 定比分点,M 为中点时，
,2 21 xxx,2 21 yyy,2 21 zzz
非零向量 的 方向角,a?
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角,
,?,?
,0
,0
.0
x
y
z
o
1M
2M?
五、向量的模与方向余弦的坐标表示式
x
y
z
o
1M? 2M
由图分析可知
c o s|| aa x
c o s|| aa y
c o s|| aa z
向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向,
222||
zyx aaaa
P Q
R
向量模长的坐标表示式
2
1
2
1
2
121 RMQMPMMM
0222 zyx aaa当 时，
,c o s 222
zyx
x
aaa
a
,c o s 222
zyx
y
aaa
a
.co s 222
zyx
z
aaa
a
向量方向余弦的坐标表示式
1co sco sco s 222
方向余弦的特征
0a
|| a
a
}.co s,co s,{ co s
特殊地：单位向量的方向余弦为例 6 求平行于向量 kjia
676 的单位向量的分解式,
解 所求向量有两个，一个与 同向，一个反向a?
222 )6(76||a,11?
|| a
a0a?,
11
6
11
7
11
6 kji
或 0a || aa?
,116117116 kji
例 7 设有向量
21
PP,已知 2
21
PP,它与 x 轴和
y 轴的夹角分别为
3
和
4
，如果
1
P 的坐标为 )3,0,1(,
求
2
P 的坐标,
解 设向量 21 PP 的方向角为?,?,?
,3,4
,1co sco sco s 222,21co s
,21c o s,22c o s
.32,3 设 2P 的坐标为 ),,( zyx,
1c o s x?
21PP 2
1 x
2?,2 x
0c o s y?
21PP 2
0 y
2
2?,2 y
3c o s z?
21PP 2
3 z,2,4 zz
2P 的坐标为 ).2,2,2(),4,2,2(
2
1
例 8 设 kjim
853,kjin
742,
kjip
45,求向量 pnma
34 在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分向量,
解 pnma 34
)853(4 kji )742(3 kji
)45( kji,15713 kji
在 x 轴上的投影为 13?xa,
在 y 轴上的分向量为 j?7,
六、小结
1.向量的概念 （注意与标量的区别）
2.向量的加减法 （平行四边形法则）
3.向量与数的乘法 （注意数乘后的方向）
4.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标
（注意分向量与向量的坐标的 区别 ）
5.向量的模与方向余弦的坐标表示式,
思考题 1
已知平行四边形 ABCD的对角线
AC,a BD b
试用 表示平行四边形四边上对应的向量,ba,
思考题 2
设 jim
,kjn
2,求以向量
nm,为边的平行四边形的对角线的长度,
思考题 1解答
BC AD AM? MD ).(21 ba
DC? AB? AM? MB ).(21 ba
A B
CD
M a
b?
思考题 2解答对角线的长为 |,||,| nmnm
},1,1,1{ nm }1,3,1{ nm
,3|| nm,11|| nm?
平行四边形的对角线的长度各为 11,3,
m?
n?
向量表示：
以 1M 为起点,2M 为终点的有向线段,
1M
2M
a? 21MM
模长为 1的向量,21MM 00a
零向量,模长为 0的向量,0?
||a? 21MM| |向量的模,向量的大小,
单位向量：
一、向量的概念或或或自由向量,不考虑起点位置的向量,
相等向量,大小相等且方向相同的向量,
负向量,大小相等但方向相反的向量,a
向径：
a? b?
a a?
空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量,OM
M
[1] 加法,cba a?b
c?
（平行四边形法则）
特殊地：若 a?‖ b?
a? b
c? |||||| bac分为同向和反向
b?
a? c? |||||| bac
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
二、向量的加减法向量的加法符合下列运算规律：
（ 1）交换律,.abba
（ 2）结合律,cbacba )( ).( cba
（ 3）,0)( aa
[2] 减法 )( baba a?b
b bc?
ba
bac
)(ba
baa?
b?
设? 是一个数，向量 a? 与? 的乘积 a 规定为
,0)1( a 与 a? 同向,|||| aa
,0)2( 0a?
,0)3( a 与 a? 反向,|||||| aa
a? a?2 a?
2
1?
三、向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：
（ 1）结合律,)()( aa a?)(
（ 2）分配律,aaa )(
baba )(
.
0
ab
aba
，使一的实数分必要条件是：存在唯的充平行于，那末向量设向量定理两个向量的平行关系证 充分性显然；
必要性 a?‖b?设,a
b
取取正值，同向时与当?ab
取负值，反向时与当?ab,ab即有
.同向与此时 abaa且 aa
b?
,b
.的唯一性?,设 ab,又设 ab
两式相减，得,0)( a,即 0 a
，0?a,故 0,即同方向的单位向量，表示与非零向量设 aa 0
按照向量与数的乘积的规定，
0|| aaa,|| 0aaa
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量,
例 1 化简
5
3
2
15 abbba?
解
5
3
2
15 abbba?
ba 551251)31(
.252 ba
例 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形,
证 AM MC?
BM MD?
AD? AM? MD MC BM BC?
AD 与 平行且相等,BC 结论得证,
A B
CD
M a
b?
例 3 用向量的方法证明梯形两腰中点的连线平行于底边且等于两底边之和的一半证
A B
C D
E F
DFEDEF
DFCDEC
BFEBEF
BFABEA
)()(2 BFDFEAECCDABEF
0? 0?CDAB //
CDAB CDCDABEF )1(21)(21
CDEF //?
例 4 已知三个非零向量 cba,,中任意两个向量都不平行 平行与平行与但 acbcba,
试证 0 cba
证 由题设 存在 0,0
使 cba acb
ccba )1(
acba )1(
ac )1()1( 1,
若不然 则 ca// 与题设矛盾故 0 cba
四、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标设 a? 是以 ),,( 1111 zyxM 为起点,),,( 2222 zyxM
为终点的向量，
过 21,MM 各作垂直于三个坐标轴的平面,
这六个平面围成一个以线段 21 MM 为对角线的长方体,
这六个平面与 x,y,z 轴分别相交于
212121,;,;,RRQQPP
z
x
o
y
1M
2M
1P
2P
1Q 2Q
1R
2R
A B
i? j?
k?
称有向线段 21PP 的值 12 xx?
为向量 21MM 在 x 轴上的投影有向线段 21QQ 的值 12 yy?
为向量 21MM 在 y 轴上的投影有向线段 21RR 的值 12 zz? 为向量
21MM 在 z 轴 上的投影依次记作 zyx aaa,,即
12 xxa x 12 yya y 12 zza z
x
o y
1M 2M
1P2P
1Q 2Q
1R
2R
A Bi? j?k?
由图上可以看出
21 MMa 21 BMBM
21 BMABAM
而 211 PPAM?
21 QQAB?
212 RRBM?
21212121 RRQQPPMM
以 kji,,分别表示沿 zyx,,轴正向的单位向量,
—— 称为基本单位向量
x
o y
1M 2M
1P
2P
1Q 2Q
1R
2R
A B
i? j?
k?
iaPP x21 jaQQ y21 kaRR z21
—— 向量在三个坐标轴上的分向量
kzzjyyixxMM )()()( 12121221
kajaia zyx —— 向量的分解式向量在三个坐标轴上的投影
zyx aaa,,—— 称为向量的坐标向量可用它的坐标表示为
},,{ zyx aaaa
—— 向量的坐标表示式
x
o y
1M
2M
1P
2P
1Q 2Q
1R
2R
A B
i? j?
k?
以 ),,( 1111 zyxM 为起点,),,( 2222 zyxM 为终点的向量的坐标表示式为,
},,{ 12121221 zzyyxxMM
特殊地,},,{ zyxOM? —— 称为向径向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
},,,{ zyx aaaa },,,{ zyx bbbb
},,{ zzyyxx babababa;)()()( kbajbaiba zzyyxx
},,{ zzyyxx babababa
},,{ zyx aaaa;)()()( kbajbaiba zzyyxx
.)()()( kajaia zyx
例 5 设 ),,(
111
zyxA 和 ),,(
222
zyxB 为两已知点，而在 AB 直线上的点 M 分有向线段 AB 为两部分 AM,MB,使它们的值的比等于某数
)1(,即
MB
AM
，求分点的坐 标,
解
A
B
M
x
y
z
o
设 ),,( zyxM 为直线上的点，
},,{ 111 zzyyxxAM
},,{ 222 zzyyxxMB
由题意知,MBAM
},,{ 111 zzyyxx },,,{ 222 zzyyxx
1xx? )( 2 xx,1
21
xxx
1yy? )( 2 yy,1 21?
yyy
1zz? )( 2 zz,1 21?
zzz
M 为有向线段 AB 的 定比分点,M 为中点时，
,2 21 xxx,2 21 yyy,2 21 zzz
非零向量 的 方向角,a?
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角,
,?,?
,0
,0
.0
x
y
z
o
1M
2M?
五、向量的模与方向余弦的坐标表示式
x
y
z
o
1M? 2M
由图分析可知
c o s|| aa x
c o s|| aa y
c o s|| aa z
向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向,
222||
zyx aaaa
P Q
R
向量模长的坐标表示式
2
1
2
1
2
121 RMQMPMMM
0222 zyx aaa当 时，
,c o s 222
zyx
x
aaa
a
,c o s 222
zyx
y
aaa
a
.co s 222
zyx
z
aaa
a
向量方向余弦的坐标表示式
1co sco sco s 222
方向余弦的特征
0a
|| a
a
}.co s,co s,{ co s
特殊地：单位向量的方向余弦为例 6 求平行于向量 kjia
676 的单位向量的分解式,
解 所求向量有两个，一个与 同向，一个反向a?
222 )6(76||a,11?
|| a
a0a?,
11
6
11
7
11
6 kji
或 0a || aa?
,116117116 kji
例 7 设有向量
21
PP,已知 2
21
PP,它与 x 轴和
y 轴的夹角分别为
3
和
4
，如果
1
P 的坐标为 )3,0,1(,
求
2
P 的坐标,
解 设向量 21 PP 的方向角为?,?,?
,3,4
,1co sco sco s 222,21co s
,21c o s,22c o s
.32,3 设 2P 的坐标为 ),,( zyx,
1c o s x?
21PP 2
1 x
2?,2 x
0c o s y?
21PP 2
0 y
2
2?,2 y
3c o s z?
21PP 2
3 z,2,4 zz
2P 的坐标为 ).2,2,2(),4,2,2(
2
1
例 8 设 kjim
853,kjin
742,
kjip
45,求向量 pnma
34 在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分向量,
解 pnma 34
)853(4 kji )742(3 kji
)45( kji,15713 kji
在 x 轴上的投影为 13?xa,
在 y 轴上的分向量为 j?7,
六、小结
1.向量的概念 （注意与标量的区别）
2.向量的加减法 （平行四边形法则）
3.向量与数的乘法 （注意数乘后的方向）
4.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标
（注意分向量与向量的坐标的 区别 ）
5.向量的模与方向余弦的坐标表示式,
思考题 1
已知平行四边形 ABCD的对角线
AC,a BD b
试用 表示平行四边形四边上对应的向量,ba,
思考题 2
设 jim
,kjn
2,求以向量
nm,为边的平行四边形的对角线的长度,
思考题 1解答
BC AD AM? MD ).(21 ba
DC? AB? AM? MB ).(21 ba
A B
CD
M a
b?
思考题 2解答对角线的长为 |,||,| nmnm
},1,1,1{ nm }1,3,1{ nm
,3|| nm,11|| nm?
平行四边形的对角线的长度各为 11,3,
m?
n?
