函数的连续性一、函数的连续性
1.函数的增量
.,
),(,)()(
00
00
的增量称为自变量在点内有定义在设函数
xxxx
xUxxUxf


.)(),()( 0 的增量相应于称为函数 xxfxfxfy
x
y
0 0x xx0
)(xfy?
x? y?
x
y
0 0x xx0
x?
y?
)(xfy?
2.连续的定义定义 1 设函数 )( xf 在 )(
0
xU
内有定义,如果当自变量的增量 x? 趋向于零时,对应的函数的增量 y? 也趋向于零,即 0l i m
0


y
x
或
0)]()([l i m
00
0


xfxxf
x
,那末就称函数
)( xf 在点
0
x 连续,
0
x 称为 )( xf 的连续点,
,0 xxx设 ),()( 0xfxfy
,0 0xxx 就是 ).()(0 0xfxfy 就是定义 2 设函数 )( xf 在 )(
0
xU
内有定义,如果函数 )( xf 当
0
xx? 时的极限存在,且等于它在点
0
x 处的函数值 )( 0xf,即 )()(l i m
0
0
xfxf
xx
那末就称函数 )( xf 在点
0
x 连续,
:"" 定义
.)()(
,,0,0
0
0



xfxf
xx
恒有时使当例 1
.
0
,0,0
,0,
1
s i n
)(
处连续在试证函数?

x
x
x
x
x
xf
证,01s i nlim 0 xxx?
,0)0(?f又 ),0()(l i m0 fxfx
由定义 2知
.0)( 处连续在函数?xxf
3.单侧连续;)(
),()0(,],()(
0
000
处左连续在点则称且内有定义在若函数
xxf
xfxfxaxf
.)(
),()0(,),[)(
0
000
处右连续在点则称且内有定义在若函数
xxf
xfxfbxxf
定理,
)()( 00
处既左连续又右连续在是函数处连续在函数 xxfxxf?
例 2
.
0
,0,2
,0,2
)(
连续性处的在讨论函数?


x
xx
xx
xf
解 )2(lim)(lim
00 xxf xx
2? ),0(f?
)2(lim)(lim 00 xxf xx 2 ),0(f?
右连续但不左连续,
.0)( 处不连续在点故函数?xxf
4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的 连续函数,或者说函数在该区间上连续,
.],[)(
,,
,),(
上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间
baxf
bxax
ba

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,
例如,.),( 内是连续的有理整函数在区间
例 3,),(s i n 内连续在区间函数证明 xy
证 ),,(x任取
xxxy s in)s in ( )2co s (2s i n2 xxx
,1)2c o s ( xx?,2s in2 xy则
,0,时当对任意的,s in有
,2s in2 xxy故,0,0 yx 时当
.),(s i n 都是连续的对任意函数即 xxy
例 4 证明 内连续在 ),( xay
证 只须证明,有对 ),(0 x
0
0
lim xxxx aa
][limlim 0000 xxxxx aay
]1[lim 00 xxx aa
)1(l i m 00 xxx aa 0?
处连续在故 ),(0 xay x
二、函数的间断点
:)( 0 条件处连续必须满足的三个在点函数 xxf;)()1( 0 处有定义在点 xxf;)(l i m)2(
0
存在xfxx?
).()(l i m)3( 0
0
xfxfxx
).()(
),()(
,
00
或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数则称要有一个不满足如果上述三个条件中只
xf
xxxf
1.跳跃间断点
.)(
),0()0(,
,)(
000
0
的跳跃间断点为函数则称点但存在右极限都处左在点如果
xf
xxfxf
xxf

例 5,0,0,1
,0,)( 处的连续性在讨论函数?


x
xx
xxxf
解,0)00(f,1)0(f
),00()00( ff?
.0 为函数的跳跃间断点 x o x
y
2.可去间断点
.)(
)(),()(l i m
,)(
0
00
0
0
的可去间断点为函数义则称点处无定在点或但处的极限存在在点如果
xfx
xxfxfAxf
xxf
xx

例 6
.1
,1,1
1
,10
,1
,2
)(
处的连续性在讨论函数


x
xx
x
xx
xf
o x
y
1
1
2
xy 1
xy 2?
解,1)1(?f?
,2)01(f,2)01(f
2)(lim 1 xfx ),1(f?
.0 为函数的可去间断点 x
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点,
如例 6中,,2)1(?f令
.1
,1,1
,10,2
)(
处连续在则


x
xx
xx
xf
o x
y
1
1
2
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点,
特点,0 处的左、右极限都存在函数在点 x
3.第二类间断点
.)(
,
)(
0
0
的第二类间断点为函数则称点在右极限至少有一个不存处的左、在点如果
xf
x
xxf
例 7
.0
,0,
,0,1)( 处的连续性在讨论函数?

x
xx
x
xxf
解,0)00(f,)0(f
.1 为函数的第二类间断点 x
.断点这种情况称为无穷间
o x
y
例 8,0
1s i n)( 处的连续性在讨论函数 x
xxf
解,0 处没有定义在?x?
.1s i nlim 0 不存在且 xx?
.0 为第二类间断点 x
.断点这种情况称为的振荡间
xy 1sin?
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点,
★ 狄利克雷函数


,,0
,,1)(
是无理数时当是有理数时当
x
xxDy
在定义域 R内每一点处都间断,且都是第二类间断点,
★
,,
,,)(
是无理数时当是有理数时当
xx
xxxf
仅在 x=0处连续,其余各点处处间断,
★
,,1
,,1)(
是无理数时当是有理数时当
x
xxf
在定义域 R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续,
判断下列间断点类型,
o1x 2x 3x
y
x
xfy?
例 9,0
,0,
,0,c o s
)(
,
处连续在函数取何值时当

x
xxa
xx
xf
a
解,)0( af
xxf xx c o slim)(lim 00,1?
)(lim)(lim 00 xaxf xx,a?
),0()00()00( fff要使,1 a
,1 时故当且仅当?a,0)( 处连续在函数?xxf
例 10 讨论 的连续性xx
xxf
n
n
n

2
2
1
1lim)(
若有间断点判别其类型，并作出图形解 )1|(|0l i m
qq
n
n由于则若故 1||?x
n
n
n x
xxxf
2
2
1
1lim)(

x?
则若 1||?x
n
n
n x
xxxf
2
2
1
1lim)(

1)
1
(
1)
1
(
lim
2
2

n
n
n
x
xx
x
则若 1||?x 0)(?xf


1||
1||0
1||
)(
xx
x
xx
xf
外连续除去 1)(xxf 时当 1x
1)01(,1)01( ff
1)01(,1)01( ff
跃间断点）都是第一类间断点（跳1x
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件 ;
2.区间上的连续函数 ;
3.间断点的分类与判别 ;
间断点第一类间断点,可去型,跳跃型,
第二类间断点,无穷型,振荡型,
(见下图 )
第一类间断点 o
y
x0x
可去型
o
y
x0x
跳跃型第二类间断点
o
y
x0x
无穷型
o
y
x
振荡型思考题 若 )( xf 在
0x 连续，则 |)(| xf,)(
2 xf 在
0x 是否连续？又若 |)(| xf,)(
2 xf
在 0x 连续,)( xf 在
0x 是否连续？
思考题解答
)( xf 在 0x 连续,)()(lim 0
0
xfxfxx
)()()()(0 00 xfxfxfxf且
)()(lim 0
0
xfxfxx
)(lim)(lim)(lim 000
2 xfxfxf
xxxxxx
故 |)(| xf,)(2 xf 在 0x 都连续,
但反之不成立,
例

0,1
0,1)(
x
xxf
在 00?x 不连续但 |)(| xf,)(2 xf 在 00?x 连续