函数极限关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：
一、当自变量 x的绝对值无限增大时,f(x)的变化趋势，
的极限时即 )(,xfx
二、当自变量 x无限地接近于 x0时,f(x)的变化趋势的极限时即 )(,0 xfxx?
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
.s i n 时的变化趋势当观察函数xx x
播放问题,函数 )( xfy? 在x 的 过程中,对应函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,
通过上面演示实验的观察,
.0s i n)(,无限接近于无限增大时当 x xxfx?
问题,如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限接近”,;)()( 任意小表示 AxfAxf
.的过程表示 xXx
:.1 定义定义 1 如果对于任意给定的正数? ( 不论它多么小 ),
总存在着正数 X,使得对于适合不等式 Xx? 的一切
x,所对应的函数值 )( xf 都满足不等式 Axf )(,
那末常数 A 就叫函数 )( xf 当x 时的极限,记作
)()()(l i m
xAxfAxf
x
当或定义"" X Axfx )(l i m
.)(,,0,0 AxfXxX 恒有时使当
2.另两种情形,
:.1 0 情形x Axfx )(l i m
.)(,,0,0 AxfXxX 恒有时使当
:.2 0 情形x Axfx )(l i m
.)(,,0,0 AxfXxX 恒有时使当
Axfx )(l i m:定理,)(l i m)(l i AxfAxf xx 且
3.几何解释,
x
xy sin?
A
XX?
.2,
)(,
的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当
Ay
xfyXxXx
例 1 证明 2
1
12
1l i m?
x
x
x
证 |12| 1232112 1 xxx
x? 故不妨设 |x|＞ 1,而当 |x|＞ 1时
||1||2|12| xxx
|12|
1
2
3
2
1
12
1
xx
x
||
3
||
1
2
3
xx
0 2112 1xx要使同时成立和只须?3||1|| xx
}3,1m a x {X令 时，便有则当 Xx?||
|12|
1
2
3
2
1
12
1
xx
x
||
3
x
2
1
12
1lim?
x
x
n
.
)(,)(lim:
的图形的水平渐近线是函数则直线如果定义 xfycycxf
x
二、自变量趋向有限值时函数的极限先看一个例子的变化趋势函数时考察 1 )1(2)(,1
2
x
xxfx
这个函数虽在 x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从 1的左侧或右侧无限地接近于 1时,f(x)的值无限地接近于 4，我们称常数 4为 f(x)当 x→ 1 时
f(x)的极限。
1 x
y
o
4
问题,函数 )( xfy? 在 0xx? 的 过程中,对应函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,;)()( 任意小表示 AxfAxf
.0 00 的过程表示 xxxx
x0x0x0x
,0 邻域的去心点?x,0 程度接近体现 xx?
:.1 定义定义 2 如果对于任意给定的正数? ( 不论它多么小 ),总存在正数?,使得对于适合不等式
0
0 xx 的一切 x,对应的函数值 )( xf 都满足不等式 Axf )(,那末常数
A
就叫函数
)( xf 当
0
xx? 时的极限,记作
)()()(l i m
0
0
xxAxfAxf
xx
当或定义""
.)(
,0,0,0 0
Axf
xx
恒有时使当注
① 定义习惯上称为极限的 ε— δ定义其三个要素：
10。正数 ε,20。正数 δ,30。不等式
)||0(|)(| 0 xxAxf
② 定义中 ||0 0xx 0xx?表示所以 x → x0时,f(x) 有无极限与 f(x)在 x0处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是 f(x) 在 x0附近的变化趋势，即 x → x0时 f(x) 变化有无终极目标，
而不是 f(x) 在 x0这一孤立点的情况 。约定 x → x0但
x≠x0
③ δ＞ 0反映了 x充分靠近 x0的程度，它依赖于 ε，
对一固定的 ε而言，合乎定义要求的 δ并不是唯一的。 δ由不等式 |f(x) － A|＜ ε 来选定，
一般地,ε越小,δ越小
2.几何解释,
.2
,
)(,
0
的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数域时邻的去心在当
Ay
xfy
xx
0x
A
A
A
0x0x
)(xfy?
x
y
o
.,,越小越好后找到一个显然
例 2 证明 5)13(lim 2 xx
证 |2|3|5)(| xxf
|2|3|5)(| xxf要使
3|2|
x只须于是 0 )3( 时当 |2|0 x
恒有 |5)(| xf
5)13(lim 2 xx
例 3 设 x0＞ 0 证明 0
0
l i m xxxx
证
0
0
0
||||
xx
xxxx
0
0 ||
x
xx
000 ||,|| xxxxx 只须为使
0 },m in { 00 xx?取时当 ||0 0xx 恒有
0
0
0
||||
x
xxxx
例 4 证明 )1(1l i m 0 aa xx
证 0 （不妨设 ε＜ 1）
|1| xa要使
11 xa只须
)1(l o g)1(l o g aa x又只须
)}1(lo g,1 1m in { lo g aa令时当 ||0 x
)1(l o g1 1l o g aa x
11 xa
|1| xa即 1l i m 0 xx a
例 5 证明 212
1lim
1
x
x
x
证
|12|
|1|32
12
1
x
x
x
x
不妨设 41|1|0 x
|)1(21||12| xx |1|21 x
2
1
4
121
|1|6|12| |1|3212 1 xxxxx故
0 6,41min取有时当,|1|0 x
212 1xx 212 1lim
1
x
x
x
注在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对
|f(x) － A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意此时是在 x=x0的附近考察问题的，对于,附近,应如何理解，请揣摩一下。
3.单侧极限,
例如,
.1)(lim
0,1
0,1
)(
0
2
xf
xx
xx
xf
x
证明设
y
o x
1
xy 1
12 xy
两种情况分别讨论和分 00 xx
,0xx 从左侧无限趋近 ;00 xx记作
,0xx 从右侧无限趋近 ;00 xx记作左极限
.)(
,,0,0 00
Axf
xxx
恒有时使当
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
或记作右极限
.)(
,,0,0 00
Axf
xxx
恒有时使当
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
或记作
}0{}0{
}0{:
00
0
xxxxxx
xxx
注意
.)0()0()(lim,00
0
AxfxfAxfxx定理例 6,lim 0 不存在验证 x
x
x?
证 x
x
x
x
xx
00
limlim
1)1(lim 0x
x
x
x
x
xx 00
l i ml i m
11lim
0x
左右极限存在但不相等,.)(lim 0 不存在xfx
y
x
1
1?
o
三、函数极限的性质
1.局部有界性定理 若在某个过程下,)( xf 有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后 )( xf 有界,
2.唯一性定理 若 )(lim xf 存在,则极限唯一,
3.不等式性质（局部）
定理 (保序性 )
.),()(),,(,0
.)(lim,)(lim
0
0
00
BAxgxfxUx
BxgAxf
xxxx
则有若设推论
).()(),,(,0
,)(l i m,)(l i m
0
0
00
xgxfxUx
BABxgAxf
xxxx
有则且设定理 (保号性 )
).0)((0)(,),(,0
),0(0,)(lim
0
0
0
xfxfxUx
AAAxf
xx
或时当则或且若推论
).0(0),0)((0)(
,),(,0,)(lim 00
0
AAxfxf
xUxAxf
xx
或则或时当且若
4.子列收敛性 (函数极限与数列极限的关系 )
定义
.
)(),(,),(),(,)(
.),(
),,(
21
000
时的子列当为函数即则称数列时使得有数列中或可以是设在过程
ax
xfxfxfxfxf
axnax
xxxaax
nn
nn
定理
.)(lim,
)()(,)(lim
Axf
axxfxfAxf
nn
nax
则有时的一个子列当是数列若证 Axf
xx )(l i m 0?
.)(
,0,0,0 0
Axf
xx 恒有时使当
,lim 00 xxxx nnn 且又?
.0
,,0,0
0
xx
NnN
n
恒有时使当对上述
,)( Axf n从而有,)(l i m Axf nx故例如,1sinlim
0
x
x
x x
xy sin?
,11s i nlim?
n
n
n
,11s i nlim?
n
n
n
11s i n1lim 2
2
n
n
n
n
n
函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等,
Heine定理，又称 归并原则即 AxfaxaxxAxf nnnnnax )(lim,,,)(lim
证明 设 Axf
ax )(lim
即 时使当 ||0,,0 0xx
恒有 |)(| Axf
再由 ax n
nlim
则对上述,,0 N
时使当 Nn?有 || ax n
又 axn ||0 ax n
故 |)(| Axf n
Axf nn )(lim
设对 axaxx nnn,,都有
Axf nn )(li m 要证 Axfax )(lim
用反证法 若 Axf
ax )(lim
即 满足，都有使对 x 0 ||0 xx
但 0|)(| Axf
现取 n1 有 nx 满足 nax n 1||0
即 axax nn,但 0|)(| Axf n
此与 Axf n
n )(li m
矛盾
Axfax )(li m
例 7,
1s i nlim
0
不存在证明 x
x?
证 xy 1sin,1 nx n取
,0lim nn x ;0?nx且,
2
14
1
n
x n取
,0lim nn x ;0nx且
nx
nnn
s i nl i m1s i nl i m
而
2 14s i nlim1s i nlim
n
x nnn而 1lim n,1?
二者不相等,.1s i nl i m
0 不存在故 xx?
四、小结函数极限的统一定义;)(lim Anfn;)(lim Axfx ;)(l i m Axfx ;)(l i m Axfx;)(l i m
0
Axfxx ;)(lim
0
Axfxx,)(lim
0
Axfxx
.)(
,,,0)(lim
Axf
Axf
恒有从此时刻以后时刻
(见下表 )
过 程时 刻从此时刻以后
nxxx
N
Nn? Nx? Nx? Nx
)(xf Axf )(
0xx?
00 xx
0xx 0xx
00 xx 00 xx
过 程时 刻从此时刻以后
)(xf Axf )(
思考题试问函数
0,5
0,10
0,
1
s i n
)(
2
xx
x
x
x
x
xf 在 0?x 处的左、右极限是否存在？当 0?x 时,)( xf 的极限是否存在？
思考题解答
)(lim 0 xfx,5)5(lim 20 xx 左极限存在,
)(lim 0 xfx,01s i nlim 0 xxx 右极限存在,
)(l i m0 xfx? )(lim0 xfx )(l i m0 xfx 不存在,
练 习 题
.01.01
_ _ _ _ _ _1
3
1
2 2
2
yzx
z
x
x
yx
，必有时，只要取，问当时，、当
.001.0420
___421 2
yx
xyx
，必有只要时，取，问当时，、当
证明：二、用函数极限的定义一、填空题,
0
s i n
lim2
2
12
41
lim1
2
2
1
x
x
x
x
x
x
、
、
.
)(,0
极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右时极限存在的充分当函数三、试证 xxxf?
0)(
存在时的极限是否在四、讨论：函数 x
x
x
x?
练习题答案一,1,0,0 0 0 2 ； 2,3 9 7,
四、不存在,
.s i n 时的变化趋势当观察函数xx x
返回
一、当自变量 x的绝对值无限增大时,f(x)的变化趋势，
的极限时即 )(,xfx
二、当自变量 x无限地接近于 x0时,f(x)的变化趋势的极限时即 )(,0 xfxx?
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
.s i n 时的变化趋势当观察函数xx x
播放问题,函数 )( xfy? 在x 的 过程中,对应函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,
通过上面演示实验的观察,
.0s i n)(,无限接近于无限增大时当 x xxfx?
问题,如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限接近”,;)()( 任意小表示 AxfAxf
.的过程表示 xXx
:.1 定义定义 1 如果对于任意给定的正数? ( 不论它多么小 ),
总存在着正数 X,使得对于适合不等式 Xx? 的一切
x,所对应的函数值 )( xf 都满足不等式 Axf )(,
那末常数 A 就叫函数 )( xf 当x 时的极限,记作
)()()(l i m
xAxfAxf
x
当或定义"" X Axfx )(l i m
.)(,,0,0 AxfXxX 恒有时使当
2.另两种情形,
:.1 0 情形x Axfx )(l i m
.)(,,0,0 AxfXxX 恒有时使当
:.2 0 情形x Axfx )(l i m
.)(,,0,0 AxfXxX 恒有时使当
Axfx )(l i m:定理,)(l i m)(l i AxfAxf xx 且
3.几何解释,
x
xy sin?
A
XX?
.2,
)(,
的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当
Ay
xfyXxXx
例 1 证明 2
1
12
1l i m?
x
x
x
证 |12| 1232112 1 xxx
x? 故不妨设 |x|＞ 1,而当 |x|＞ 1时
||1||2|12| xxx
|12|
1
2
3
2
1
12
1
xx
x
||
3
||
1
2
3
xx
0 2112 1xx要使同时成立和只须?3||1|| xx
}3,1m a x {X令 时，便有则当 Xx?||
|12|
1
2
3
2
1
12
1
xx
x
||
3
x
2
1
12
1lim?
x
x
n
.
)(,)(lim:
的图形的水平渐近线是函数则直线如果定义 xfycycxf
x
二、自变量趋向有限值时函数的极限先看一个例子的变化趋势函数时考察 1 )1(2)(,1
2
x
xxfx
这个函数虽在 x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从 1的左侧或右侧无限地接近于 1时,f(x)的值无限地接近于 4，我们称常数 4为 f(x)当 x→ 1 时
f(x)的极限。
1 x
y
o
4
问题,函数 )( xfy? 在 0xx? 的 过程中,对应函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,;)()( 任意小表示 AxfAxf
.0 00 的过程表示 xxxx
x0x0x0x
,0 邻域的去心点?x,0 程度接近体现 xx?
:.1 定义定义 2 如果对于任意给定的正数? ( 不论它多么小 ),总存在正数?,使得对于适合不等式
0
0 xx 的一切 x,对应的函数值 )( xf 都满足不等式 Axf )(,那末常数
A
就叫函数
)( xf 当
0
xx? 时的极限,记作
)()()(l i m
0
0
xxAxfAxf
xx
当或定义""
.)(
,0,0,0 0
Axf
xx
恒有时使当注
① 定义习惯上称为极限的 ε— δ定义其三个要素：
10。正数 ε,20。正数 δ,30。不等式
)||0(|)(| 0 xxAxf
② 定义中 ||0 0xx 0xx?表示所以 x → x0时,f(x) 有无极限与 f(x)在 x0处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是 f(x) 在 x0附近的变化趋势，即 x → x0时 f(x) 变化有无终极目标，
而不是 f(x) 在 x0这一孤立点的情况 。约定 x → x0但
x≠x0
③ δ＞ 0反映了 x充分靠近 x0的程度，它依赖于 ε，
对一固定的 ε而言，合乎定义要求的 δ并不是唯一的。 δ由不等式 |f(x) － A|＜ ε 来选定，
一般地,ε越小,δ越小
2.几何解释,
.2
,
)(,
0
的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数域时邻的去心在当
Ay
xfy
xx
0x
A
A
A
0x0x
)(xfy?
x
y
o
.,,越小越好后找到一个显然
例 2 证明 5)13(lim 2 xx
证 |2|3|5)(| xxf
|2|3|5)(| xxf要使
3|2|
x只须于是 0 )3( 时当 |2|0 x
恒有 |5)(| xf
5)13(lim 2 xx
例 3 设 x0＞ 0 证明 0
0
l i m xxxx
证
0
0
0
||||
xx
xxxx
0
0 ||
x
xx
000 ||,|| xxxxx 只须为使
0 },m in { 00 xx?取时当 ||0 0xx 恒有
0
0
0
||||
x
xxxx
例 4 证明 )1(1l i m 0 aa xx
证 0 （不妨设 ε＜ 1）
|1| xa要使
11 xa只须
)1(l o g)1(l o g aa x又只须
)}1(lo g,1 1m in { lo g aa令时当 ||0 x
)1(l o g1 1l o g aa x
11 xa
|1| xa即 1l i m 0 xx a
例 5 证明 212
1lim
1
x
x
x
证
|12|
|1|32
12
1
x
x
x
x
不妨设 41|1|0 x
|)1(21||12| xx |1|21 x
2
1
4
121
|1|6|12| |1|3212 1 xxxxx故
0 6,41min取有时当,|1|0 x
212 1xx 212 1lim
1
x
x
x
注在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对
|f(x) － A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意此时是在 x=x0的附近考察问题的，对于,附近,应如何理解，请揣摩一下。
3.单侧极限,
例如,
.1)(lim
0,1
0,1
)(
0
2
xf
xx
xx
xf
x
证明设
y
o x
1
xy 1
12 xy
两种情况分别讨论和分 00 xx
,0xx 从左侧无限趋近 ;00 xx记作
,0xx 从右侧无限趋近 ;00 xx记作左极限
.)(
,,0,0 00
Axf
xxx
恒有时使当
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
或记作右极限
.)(
,,0,0 00
Axf
xxx
恒有时使当
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
或记作
}0{}0{
}0{:
00
0
xxxxxx
xxx
注意
.)0()0()(lim,00
0
AxfxfAxfxx定理例 6,lim 0 不存在验证 x
x
x?
证 x
x
x
x
xx
00
limlim
1)1(lim 0x
x
x
x
x
xx 00
l i ml i m
11lim
0x
左右极限存在但不相等,.)(lim 0 不存在xfx
y
x
1
1?
o
三、函数极限的性质
1.局部有界性定理 若在某个过程下,)( xf 有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后 )( xf 有界,
2.唯一性定理 若 )(lim xf 存在,则极限唯一,
3.不等式性质（局部）
定理 (保序性 )
.),()(),,(,0
.)(lim,)(lim
0
0
00
BAxgxfxUx
BxgAxf
xxxx
则有若设推论
).()(),,(,0
,)(l i m,)(l i m
0
0
00
xgxfxUx
BABxgAxf
xxxx
有则且设定理 (保号性 )
).0)((0)(,),(,0
),0(0,)(lim
0
0
0
xfxfxUx
AAAxf
xx
或时当则或且若推论
).0(0),0)((0)(
,),(,0,)(lim 00
0
AAxfxf
xUxAxf
xx
或则或时当且若
4.子列收敛性 (函数极限与数列极限的关系 )
定义
.
)(),(,),(),(,)(
.),(
),,(
21
000
时的子列当为函数即则称数列时使得有数列中或可以是设在过程
ax
xfxfxfxfxf
axnax
xxxaax
nn
nn
定理
.)(lim,
)()(,)(lim
Axf
axxfxfAxf
nn
nax
则有时的一个子列当是数列若证 Axf
xx )(l i m 0?
.)(
,0,0,0 0
Axf
xx 恒有时使当
,lim 00 xxxx nnn 且又?
.0
,,0,0
0
xx
NnN
n
恒有时使当对上述
,)( Axf n从而有,)(l i m Axf nx故例如,1sinlim
0
x
x
x x
xy sin?
,11s i nlim?
n
n
n
,11s i nlim?
n
n
n
11s i n1lim 2
2
n
n
n
n
n
函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等,
Heine定理，又称 归并原则即 AxfaxaxxAxf nnnnnax )(lim,,,)(lim
证明 设 Axf
ax )(lim
即 时使当 ||0,,0 0xx
恒有 |)(| Axf
再由 ax n
nlim
则对上述,,0 N
时使当 Nn?有 || ax n
又 axn ||0 ax n
故 |)(| Axf n
Axf nn )(lim
设对 axaxx nnn,,都有
Axf nn )(li m 要证 Axfax )(lim
用反证法 若 Axf
ax )(lim
即 满足，都有使对 x 0 ||0 xx
但 0|)(| Axf
现取 n1 有 nx 满足 nax n 1||0
即 axax nn,但 0|)(| Axf n
此与 Axf n
n )(li m
矛盾
Axfax )(li m
例 7,
1s i nlim
0
不存在证明 x
x?
证 xy 1sin,1 nx n取
,0lim nn x ;0?nx且,
2
14
1
n
x n取
,0lim nn x ;0nx且
nx
nnn
s i nl i m1s i nl i m
而
2 14s i nlim1s i nlim
n
x nnn而 1lim n,1?
二者不相等,.1s i nl i m
0 不存在故 xx?
四、小结函数极限的统一定义;)(lim Anfn;)(lim Axfx ;)(l i m Axfx ;)(l i m Axfx;)(l i m
0
Axfxx ;)(lim
0
Axfxx,)(lim
0
Axfxx
.)(
,,,0)(lim
Axf
Axf
恒有从此时刻以后时刻
(见下表 )
过 程时 刻从此时刻以后
nxxx
N
Nn? Nx? Nx? Nx
)(xf Axf )(
0xx?
00 xx
0xx 0xx
00 xx 00 xx
过 程时 刻从此时刻以后
)(xf Axf )(
思考题试问函数
0,5
0,10
0,
1
s i n
)(
2
xx
x
x
x
x
xf 在 0?x 处的左、右极限是否存在？当 0?x 时,)( xf 的极限是否存在？
思考题解答
)(lim 0 xfx,5)5(lim 20 xx 左极限存在,
)(lim 0 xfx,01s i nlim 0 xxx 右极限存在,
)(l i m0 xfx? )(lim0 xfx )(l i m0 xfx 不存在,
练 习 题
.01.01
_ _ _ _ _ _1
3
1
2 2
2
yzx
z
x
x
yx
，必有时，只要取，问当时，、当
.001.0420
___421 2
yx
xyx
，必有只要时，取，问当时，、当
证明：二、用函数极限的定义一、填空题,
0
s i n
lim2
2
12
41
lim1
2
2
1
x
x
x
x
x
x
、
、
.
)(,0
极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右时极限存在的充分当函数三、试证 xxxf?
0)(
存在时的极限是否在四、讨论：函数 x
x
x
x?
练习题答案一,1,0,0 0 0 2 ； 2,3 9 7,
四、不存在,
.s i n 时的变化趋势当观察函数xx x
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