习题课 二重积分的计算二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是：
① 作出积分区域的草图
② 选择适当的坐标系
③ 选定积分次序，定出积分限
1。关于坐标系的选择这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑一、主要内容被积函数呈
)(),( 22 xyfyxf? 常用极坐标其它以直角坐标为宜
2。关于积分次序的选择选序原则 ① 能积分，②少分片，③计算简
3。关于积分限的确定二重积分的面积元 )( r d r dddxdyd 为正确定积分限时一定要保证下限小于上限积分区域为圆形、扇形、圆环形看图定限 — 穿越法定限 和 不等式定限先选序，后定限
① 直角坐标系
ⅰ 。先 y 后 x,
过任一 x ∈ [ a,b ],作平行于 y 轴的直线穿过 D的内部从 D的下边界曲线 )(1 xy 穿入 — 内层积分的下限从上边界曲线 )(2 xy 穿出 — 内层积分的上限
ⅱ 。先 x 后 y
过任一 y ∈ [ c,d ] 作平行于 x 轴的直线定限左边界 )(1 yx —— 内层积分的下限右边界 )(2 yx —— 内层积分的上限则将 D分成若干个简单区域再按上述方法确定每一部分的上下限分片计算，结果相加
② 极坐标系积分次序一般是?后先 r
过极点 O作任一极角 为? ]),[( 的射线从 D的边界曲线 )(1?r 穿入 从 )(2?r 穿出
ⅲ 。如 D须分片
)(1?r —— 内下限 )(2?r — 内上限具体可分为三种情况
)()(,21 rrr
⑵ 极点在 D的边界上 )()(,21 rrr
是边界在极点处的切线的极角,)(
1?r 绝大多数情况下为 0
⑶ 极点在 D的内部 )(0,20 rr
化累次积分后 外限是常数内限是外层积分变量的函数或常数极坐标系下勿忘 r
⑴ 极点在 D的外部
4。关于对称性利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，
它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是 要兼顾被积分函数和积分区域两个方面,不可误用对
D
d x d yyxfI ),(
① 若 D关于 x 轴对称时当 ),(),()1( yxfyxf0?I
时当 ),(),()2( yxfyxf
2
),(2
D
dxdyyxfI
0,),(2 yDyxD
② 若 D关于 y 轴对称时当 ),(),()1( yxfyxf0?I
时当 ),(),()2( yxfyxf
1
),(2
D
dxdyyxfI
0,),(),(1 xDyxyxD
③ 若 D关于 原点 对称时当 ),(),()1( yxfyxf0?I
时当 ),(),()2( yxfyxf
3
),(2
D
dxdyyxfI
0,0,),(3 yxDyxD
D D
dxdyxyfdxdyyxf ),(),(
—— 称为关于积分变量的轮换对称性是多元积分所独有的性质奇函数关于对称域的积分等于 0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的性质简述为,你 对称，我 奇偶,
①,②、③简单地说就是
④ 若 D 关于 直线 y = x 对称
5 关于二重积分的换元法
f(x,y)在 D上连续 变换 T,x=x(u,v),y=y(u,v)
将 uov 平面上的闭区域 D1 变成 xoy 平面的闭区域 D
（ 1） x=x(u,v),y=y(u,v)在 D1上具有连续的一阶偏导数
（ 2）在 D1上
0
),(
),(
),(?
v
y
u
y
v
x
u
x
vu
yx
vuJ
d ud vvuJvuyvuxfd x d yyxf
D D
1
),()],(),,([),(
的形式．同时也兼顾被积函数的形状，于积分区域．作什么变换主要取决
),(
1
yxf
D
基本要求,变换后定限简便，求积容易．
.
),(
),(
1
),(
),(
.2
yx
vuvu
yx
J
注意二、例题分析例 1 计算
D
dyx?)( 22 22 42,xyxxD
解 积分区域由不等式给出在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆但它们围不成区域 22 4,2 xxx要使都有意义 必须限制 ]2,0[?x
因此 D只能在 x=0,x=2 之间确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域的特点，化成极坐标计算较为简单
20 显然 r 呢？
极点在 D的边界上，所以 20 r 那就错了不能以为极点 O在区域的边界上就误以为对 r 积分的下限为 0
定 r 的积分限，应先固定
]2,0[
以原点为起点作射线这射线和两个半圆相交
c o s2?r 穿入从 从 2?r 穿出积分限如何确定尽管极点在 D的边界上 但极角为 ])2,0[(
的射线并不是从极点穿入
2co s2,20 r
而不是 20,
20 r
2
0
2
c o s2
2
r d rrdI
4
5
)
22
1
4
3
2
(4
2
0
4
)co s1616(
4
1
d
域 D的极坐标表示为
D
dyxx?)232( 2 222,ayxD
解 D关于 x,y 轴及原点及 y = x 对称故
D
dyx 0)32(?
D
dyx?)(21 22
D D
dydx 22
2
0 0
4
3
42
1 a adrrd
D
ad 222
故
D
dyxx?)232( 2 2
4
24 aa
例 2 计算
D
dxdyyx )c o s (
2
0
2
0
:
y
x
D
解例 3 计算
2
yx
D1
D2
1 2
)c o s ()c o s (
D D
d x d yyxd x d yyxI
2
0
2
0
)c o s (
x
dyyxdx
2
0
2
2
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x
dyyxdx
2
0
2
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]
2
s in[ c o s]s in
2
[ s in
dxxdxx
2
D
d x d yyx?2)s i n ( yxD 0,0:
D
yxyxDd x d yyx 22:,)(
解 D的边界
2
1)
2
1()
2
1( 22 yx
极点在 D的边界上圆周在 (0,0)的切线斜率为 1y
故 43,4
4
3
4
s i nc o s
0
2)s i n( co s
drrdI
4
3
4
4)s i n( c o s
3
1
d?
4
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4
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4
(s i n
3
4
d
例 4 计算
0
4s i n
3
4 t d t
2
)
4(
t令例 5 计算
D
dyxyfx?)](1[ 22 1,1,,3 xyxyD
D2
D1
解
D D
dyxx yfxdI )( 22
D
dyxx y f 0)( 22?
D D
xdxd
1
5
2I
0
1
3
3
x
x
dyx d x
5
2
（和差化积）
例 6 设 f (x) 在 [0,1] 上连续
1
0
)( Adxxf
求
1
0
1
)()(
x
dyyfxfdx
解
1
0
1 1
0 0
)()()()(
x
y
dxyfxfdydyyfxfdxI
1
0 0
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x
dyyfxfdx
1
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1
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x
x
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1
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1
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1
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D
1
0
22])([ Adxxf
2
2A
I
上连续在设 ),()(xf 试将二重积分
D
dyxfI?)( 221, xyD
化成定积分解 由积分域和被积函数的对称性 有
1
)(4 22
D
dyxfI? xyxD 0,10:1
用极坐标例 7
s ec0,40 r
4
0
s e c
0
)(
r d rrfdI
为将二次积分化为所需要的定积分，
须变换积分次序
1
0
4
0
2
1
4
1
a r c c o s
)(4)(4
r
drrfdrdrrfdrI
drrrf
r
drrrf )()
1
a rcc o s4()(
1
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2
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dr
r
rrfdrrrf
2
0
2
1
1
a rc co s)(4)(?
D
D1
依题意，要化为定积分首先应设法将二元函数
)( 22 yxf?化为一元函数 自然想到用极坐标其次，若先对 r 后对 不可进一步化为定积分?
又想到换序例 8 设 f(x) 连续，证明
D
A
A
dttAtfd x d yyxf |]|)[()(
2||,2|:|
AyAxD
注证一 令 yxvyxu,则
yuvxuv 2,2
AuvAAvuADD,:
021),( ),( vu yxJ
DD
d u d vufdxdyyxf )(
2
1
)(
A uA
AuA
uA
uA
dvduufdvduuf
0
0
)(
2
1
)(
2
1
0
0
))(())((21
A
A
duuAufduuAuf
u
v
0
0
|]|)[(|]|)[(
A
A
duuAufduuAuf
A
A
duuAuf |]|)[(
证二
2
2
2
2
)(
A
A
A
x
A
x
dttfdx
0 2
2
0
2
2
)()(
A
A
t
A
A
A
A
t
dxtfdtdxtfdt
D
A
A
A
A
dyyxfdxd x d yyxf
2
2
2
2
)()(
x
y
0
0
])[(])[(
A
A
dttAtfdttAtf
A
A
dttAtf |]|)[(
证三 记
x
dttfxF
0
)()( 则
D
dxdyyxf )(
2
2
2
2
)(
A
A
A
A
dyyxfdx?
2
2
)]
2
()
2
([
A
A
dx
A
xF
A
xF
u? v?
A
A
dvvFduuF
0
0
)()( （分部积分）
A
duuufAuuF
0
)(0)(?
0
)(0)(
A
dvvvfAvvF
A
A
dtttfdtttfAAFAAF
0
0
)()()()(
A
A
A
A
dttftdttfA )(||)(
A
A
dttftA )(|]|[
① 作出积分区域的草图
② 选择适当的坐标系
③ 选定积分次序，定出积分限
1。关于坐标系的选择这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑一、主要内容被积函数呈
)(),( 22 xyfyxf? 常用极坐标其它以直角坐标为宜
2。关于积分次序的选择选序原则 ① 能积分，②少分片，③计算简
3。关于积分限的确定二重积分的面积元 )( r d r dddxdyd 为正确定积分限时一定要保证下限小于上限积分区域为圆形、扇形、圆环形看图定限 — 穿越法定限 和 不等式定限先选序，后定限
① 直角坐标系
ⅰ 。先 y 后 x,
过任一 x ∈ [ a,b ],作平行于 y 轴的直线穿过 D的内部从 D的下边界曲线 )(1 xy 穿入 — 内层积分的下限从上边界曲线 )(2 xy 穿出 — 内层积分的上限
ⅱ 。先 x 后 y
过任一 y ∈ [ c,d ] 作平行于 x 轴的直线定限左边界 )(1 yx —— 内层积分的下限右边界 )(2 yx —— 内层积分的上限则将 D分成若干个简单区域再按上述方法确定每一部分的上下限分片计算，结果相加
② 极坐标系积分次序一般是?后先 r
过极点 O作任一极角 为? ]),[( 的射线从 D的边界曲线 )(1?r 穿入 从 )(2?r 穿出
ⅲ 。如 D须分片
)(1?r —— 内下限 )(2?r — 内上限具体可分为三种情况
)()(,21 rrr
⑵ 极点在 D的边界上 )()(,21 rrr
是边界在极点处的切线的极角,)(
1?r 绝大多数情况下为 0
⑶ 极点在 D的内部 )(0,20 rr
化累次积分后 外限是常数内限是外层积分变量的函数或常数极坐标系下勿忘 r
⑴ 极点在 D的外部
4。关于对称性利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，
它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是 要兼顾被积分函数和积分区域两个方面,不可误用对
D
d x d yyxfI ),(
① 若 D关于 x 轴对称时当 ),(),()1( yxfyxf0?I
时当 ),(),()2( yxfyxf
2
),(2
D
dxdyyxfI
0,),(2 yDyxD
② 若 D关于 y 轴对称时当 ),(),()1( yxfyxf0?I
时当 ),(),()2( yxfyxf
1
),(2
D
dxdyyxfI
0,),(),(1 xDyxyxD
③ 若 D关于 原点 对称时当 ),(),()1( yxfyxf0?I
时当 ),(),()2( yxfyxf
3
),(2
D
dxdyyxfI
0,0,),(3 yxDyxD
D D
dxdyxyfdxdyyxf ),(),(
—— 称为关于积分变量的轮换对称性是多元积分所独有的性质奇函数关于对称域的积分等于 0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的性质简述为,你 对称，我 奇偶,
①,②、③简单地说就是
④ 若 D 关于 直线 y = x 对称
5 关于二重积分的换元法
f(x,y)在 D上连续 变换 T,x=x(u,v),y=y(u,v)
将 uov 平面上的闭区域 D1 变成 xoy 平面的闭区域 D
（ 1） x=x(u,v),y=y(u,v)在 D1上具有连续的一阶偏导数
（ 2）在 D1上
0
),(
),(
),(?
v
y
u
y
v
x
u
x
vu
yx
vuJ
d ud vvuJvuyvuxfd x d yyxf
D D
1
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的形式．同时也兼顾被积函数的形状，于积分区域．作什么变换主要取决
),(
1
yxf
D
基本要求,变换后定限简便，求积容易．
.
),(
),(
1
),(
),(
.2
yx
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yx
J
注意二、例题分析例 1 计算
D
dyx?)( 22 22 42,xyxxD
解 积分区域由不等式给出在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆但它们围不成区域 22 4,2 xxx要使都有意义 必须限制 ]2,0[?x
因此 D只能在 x=0,x=2 之间确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域的特点，化成极坐标计算较为简单
20 显然 r 呢？
极点在 D的边界上，所以 20 r 那就错了不能以为极点 O在区域的边界上就误以为对 r 积分的下限为 0
定 r 的积分限，应先固定
]2,0[
以原点为起点作射线这射线和两个半圆相交
c o s2?r 穿入从 从 2?r 穿出积分限如何确定尽管极点在 D的边界上 但极角为 ])2,0[(
的射线并不是从极点穿入
2co s2,20 r
而不是 20,
20 r
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1
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域 D的极坐标表示为
D
dyxx?)232( 2 222,ayxD
解 D关于 x,y 轴及原点及 y = x 对称故
D
dyx 0)32(?
D
dyx?)(21 22
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0 0
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故
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例 2 计算
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解 D的边界
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1)
2
1()
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极点在 D的边界上圆周在 (0,0)的切线斜率为 1y
故 43,4
4
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解
D D
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D
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D D
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1
5
2I
0
1
3
3
x
x
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5
2
（和差化积）
例 6 设 f (x) 在 [0,1] 上连续
1
0
)( Adxxf
求
1
0
1
)()(
x
dyyfxfdx
解
1
0
1 1
0 0
)()()()(
x
y
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D
1
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22])([ Adxxf
2
2A
I
上连续在设 ),()(xf 试将二重积分
D
dyxfI?)( 221, xyD
化成定积分解 由积分域和被积函数的对称性 有
1
)(4 22
D
dyxfI? xyxD 0,10:1
用极坐标例 7
s ec0,40 r
4
0
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0
)(
r d rrfdI
为将二次积分化为所需要的定积分，
须变换积分次序
1
0
4
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1
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)(4)(4
r
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1
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D
D1
依题意，要化为定积分首先应设法将二元函数
)( 22 yxf?化为一元函数 自然想到用极坐标其次，若先对 r 后对 不可进一步化为定积分?
又想到换序例 8 设 f(x) 连续，证明
D
A
A
dttAtfd x d yyxf |]|)[()(
2||,2|:|
AyAxD
注证一 令 yxvyxu,则
yuvxuv 2,2
AuvAAvuADD,:
021),( ),( vu yxJ
DD
d u d vufdxdyyxf )(
2
1
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A uA
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uA
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A
A
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A
A
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证二
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A
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A
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证三 记
x
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D
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2
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2
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2
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2
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A
A
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A
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A
A
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A
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0
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A
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