三重积分及其计算一、三重积分的概念将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域，被积函数推广到三元函数，就得到三重积分的定义设 ),,( zyxf 是空间有界闭区域? 上的有界函数，将闭区域? 任意分成 n 个小闭区域
1
v?,
2
v?,,?
n
v?,其中
i
v? 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积,在每个
i
v? 上任取一点 ),,(
iii
作乘积 iiii vf),,(,),,2,1( ni,并作和,
如果当各小闭区域的直径中的最大值
趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
),,( zyxf 在闭区域
上的 三重积分,记为
dvzyxf ),,(,
其中 dv 称为体积元，其它术语与二重积分相同若极限存在，则称函数可积若函数在闭区域上连续,则一定可积由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的性质三重积分的物理背景以 f ( x,y,z ) 为体密度的空间物体的质量下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法。
二、在直角坐标系中的计算法如果我们用三族平面 x =常数,y =常数,z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体其体积为 zyxV
故在直角坐标系下的面积元为 d x d yd zdV?
三重积分可写成
d x d yd zzyxfdVzyxf ),,(),,(
和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算具体可分为先单后重和先重后单
x
y
z
o
Dab
)(2 xyy?)(
1 xyy?
),(1 yxzz?
),(2 yxzz?
),( yx
① 先单后重
,D
x o y
面上的投影为闭区域在闭区域?
),,(:
),,(:
22
11
yxzzS
yxzzS
,),( 作直线过点 Dyx?
穿出．穿入，从从 21 zz
函数，则的只看作看作定值，将先将 zzyxfyx ),,(,
),( ),(21 ),,(),( yxz yxz dzzyxfyxF
上的二重积分在闭区间计算 DyxF ),(
.]),,([),( ),(
),(
2
1
D
yxz
yxz
D
ddzzyxfdyxF
,),()(,21 bxaxyyxyD
dvzyxf ),,(
.),,()(
)(
),(
),(
2
1
2
1
b
a
xy
xy
yxz
yxz
dzzyxfdydx
—— 也称为先一后二，切条法（ 先 z次 y后 x ）
注意于两点情形．
相交不多的边界曲面直线与闭区域内部的轴且穿过闭区域这是平行于
S
z
用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。
化三次积分的步骤
⑴ 投影，得平面区域
⑵ 穿越法定限，穿入点 — 下限，穿出点 — 上限对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法例 1 将
dVzyxf ),,(化成三次积分其中 为长方体,各边界面平行于坐标面?
解 将 投影到 xoy面得 D，它是一个矩形?
在 D内任意固定一点（ x,y)作平行于 z 轴的直线交边界曲面于两点，其竖坐标为 l 和 m （ l < m)
o
x y
z
m
l
a
b
c d
D。(x,y)
dVzyxf ),,(
D
m
l
ddzzyxf?]),,([
b
a
d
c
m
l
dzzyxfdydx ),,(
例 2 计算
x d x d y d z
其中 是三个坐标面与平面 x + y + z =1
所围成的区域
D
x
y
z
o
解 画出区域 D
10
10
x
xy
x d x d y d z
1
0
1
0
1
0
x yx
x d zdydx
1
0
1
0
)1(
x
dyyxxdx
1
0
2
24
1
)1(
2
1
dxxx
例 3 化三重积分
dx dy dzzyxfI ),,( 为三次积分，其中 积分区域? 为由曲面
22
yxz,
2
xy?,1?y,0?z
所围 成的空间闭区域,
.11,1
,0:
2
22
xyx
yxz
1 1 01 222 ),,(yxx dzzyxfdydxI,
解例 4 将
1
0
1
0 0
22
),,(
yx
dzzyxfdydx 按 xzy,,
的次序积分,
1D,
10
0 2
y
xz
x y
z
1D
2D
2D,
1
1
2
22
yxz
xzx
1010 0 ),,(2 dyzyxfdzdx x原式
110 1 2
2
2 ),,(xz
x
x dyzyxfdzdx,
除了上面介绍的先单后重法外，利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分先重后单，就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分若 f(x,y,z) 在 上连续?
介于两平行平面 z = c1,z = c2 (c1 < c2 ) 之间用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域?
)(),( 21 czczD则
② 先重后单
2
1 )(
),,(),,(
c
c zD
d x d yzyxfdzdvzyxf
易见，若被积函数与 x,y 无关，或二重积分容易计算时，用截面法较为方便，
)( zD
d x d y
就是截面的面积，如截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积较易计算尤其当 f ( x,y,z ) 与 x,y 无关时截面法的一般步骤：
( 1) 把积分区域? 向某轴 （例如 z 轴）投影，得投影区间 ],[ 21 cc ；
( 2 ) 对 ],[ 21 ccz? 用过 z 轴且平行 x o y 平面的平面去截?,得截面
z
D ;
( 3 ) 计算二重积分
z
D
d x d yzyxf ),,(
其结果为 z 的函数 )( zF ；
( 4 ) 最后计算单积分?
2
1
)(
c
c
dzzF 即得三重积分值,
z
例 5 计算 1:,2
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xdvz
解 之间介于易见 czcz,? 2
2
2
2
2
2
1:)( czbyaxzD
故
c
c ZD
dxdydzzdvz
)(
22
3
0
2
2
2
15
4
)1(2 a b cdz
c
z
zab
c
dz
c
z
zab
c
c
)1(
2
2
2
例 6
1,:,22 zyxzd x d y d z
解一 之间介于 1,0 zz?
zyxzD 22:)(
1
0 )( zD
dxdydzd x d y d z
1
0 2
z d z
解二 先单后重将 投影到 xoy 面得 D? 122 yx
D yx
dxdydzd x d yd z
1
122
][
先重后单
D
r d rrdd x d yyx
2
0
1
0
222
2
)1(4)1(
（用极坐标，用对称性）
此例介绍的是一种计算三重积分的方法，这种方法也具有一定的普遍性，这就是我们将要介绍的柱坐标系下的计算法三、小结三重积分的定义和计算
（计算时将三重积分化为三次积分）
在直角坐标系下的体积元素
d x d yd zdv?
思考题 选择题,
为六个平面 0?x,2?x,1?y,42 yx,
xz?,2?z 围成的区域,),,( zyxf 在? 上连续，
则累次积分 ____
dvzyxf ),,(,;),,()( 20 1
22 2
x x dzzyxfdydxA;),,()( 20 221 2
x x
dzzyxfdydxB;),,()( 20 1
22
2
x x dzzyxfdydxC
.),,()( 20 221 2
x
x dzzyxfdydxD
练 习 题一,填空题,
1,若? 由曲面
22
yxz 及平面 1?z 所围成,
则三重积分
d x d y d zzyxf ),,( 化为三次积分是
_ _ ____ ____ ____ _ ____ _ ___,
2,若
是由曲面
0( cxycz
),1
2
2
2
2
b
y
a
x
,
0?z
所围成的在第一卦限内的闭区域,则三重积分
d x d y d zzyxf ),,( 可化为三次积分为 ____ _____,
3,若
10,10,10, zyx
,则
d x d y d zzyx )( 可化为三次积分 _______ ___,
其值为 ________ ____.
4,若?,是由 ),0(,0,0 hhzzx
)0(2
222
aayxayx 及 所围成,则三重积分
dvzyxf ),,( 可化为：
(1) 次序为 xyz 的三次积分 ____ _____ ___.
(2) 次序为 zxy 的三次积分 ______ ____ __.
(3) 次序为 yzx 的三次积分 _________ ___.
二、计算
d x d y d zzxy
32
,其中
是由曲面 xyz?,与平面 01, zxxy 和 所围成的闭区域,
三、计算
x z d x d y d z,其中? 是曲面 1,,0 yyzz,
以及抛物柱面
2
xy? 所围成的闭区域,
四、计算
dv
yx
22
1
,其中? 是由六个顶点
),0,0,2(),2.1.1(),0,1,1(),0,0,1( DCBA
)4,2,2(),0,2,2( FE 组成的三棱锥台,
练习题答案一,1,
11
1
1
1
22
2
2
),,(
yx
x
x
dzzyxfdydx ；
2,
c
xy
a
x
ba
dzzyxfdydx
0
1
00
),,(
2
2；
3,
1
0
1
0
1
0
)( dzzyxdydx,
2
3；
4,
hxa
xa
a
dzzyxfdydx
0
2
0
),,(
22
，
22
2
00
),,(
xa
xa
ah
dyzyxfdxdz；
2222
00
2
20
2
0
),,(),,(
yaha
a
ya
ya
h
a
dxzyxfdzdydxzyxfdzdy
二,
364
1
,
三,0,
四,2ln,
1
v?,
2
v?,,?
n
v?,其中
i
v? 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积,在每个
i
v? 上任取一点 ),,(
iii
作乘积 iiii vf),,(,),,2,1( ni,并作和,
如果当各小闭区域的直径中的最大值
趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
),,( zyxf 在闭区域
上的 三重积分,记为
dvzyxf ),,(,
其中 dv 称为体积元，其它术语与二重积分相同若极限存在，则称函数可积若函数在闭区域上连续,则一定可积由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的性质三重积分的物理背景以 f ( x,y,z ) 为体密度的空间物体的质量下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法。
二、在直角坐标系中的计算法如果我们用三族平面 x =常数,y =常数,z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体其体积为 zyxV
故在直角坐标系下的面积元为 d x d yd zdV?
三重积分可写成
d x d yd zzyxfdVzyxf ),,(),,(
和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算具体可分为先单后重和先重后单
x
y
z
o
Dab
)(2 xyy?)(
1 xyy?
),(1 yxzz?
),(2 yxzz?
),( yx
① 先单后重
,D
x o y
面上的投影为闭区域在闭区域?
),,(:
),,(:
22
11
yxzzS
yxzzS
,),( 作直线过点 Dyx?
穿出．穿入，从从 21 zz
函数，则的只看作看作定值，将先将 zzyxfyx ),,(,
),( ),(21 ),,(),( yxz yxz dzzyxfyxF
上的二重积分在闭区间计算 DyxF ),(
.]),,([),( ),(
),(
2
1
D
yxz
yxz
D
ddzzyxfdyxF
,),()(,21 bxaxyyxyD
dvzyxf ),,(
.),,()(
)(
),(
),(
2
1
2
1
b
a
xy
xy
yxz
yxz
dzzyxfdydx
—— 也称为先一后二，切条法（ 先 z次 y后 x ）
注意于两点情形．
相交不多的边界曲面直线与闭区域内部的轴且穿过闭区域这是平行于
S
z
用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。
化三次积分的步骤
⑴ 投影，得平面区域
⑵ 穿越法定限，穿入点 — 下限，穿出点 — 上限对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法例 1 将
dVzyxf ),,(化成三次积分其中 为长方体,各边界面平行于坐标面?
解 将 投影到 xoy面得 D，它是一个矩形?
在 D内任意固定一点（ x,y)作平行于 z 轴的直线交边界曲面于两点，其竖坐标为 l 和 m （ l < m)
o
x y
z
m
l
a
b
c d
D。(x,y)
dVzyxf ),,(
D
m
l
ddzzyxf?]),,([
b
a
d
c
m
l
dzzyxfdydx ),,(
例 2 计算
x d x d y d z
其中 是三个坐标面与平面 x + y + z =1
所围成的区域
D
x
y
z
o
解 画出区域 D
10
10
x
xy
x d x d y d z
1
0
1
0
1
0
x yx
x d zdydx
1
0
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)1(
x
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1
0
2
24
1
)1(
2
1
dxxx
例 3 化三重积分
dx dy dzzyxfI ),,( 为三次积分，其中 积分区域? 为由曲面
22
yxz,
2
xy?,1?y,0?z
所围 成的空间闭区域,
.11,1
,0:
2
22
xyx
yxz
1 1 01 222 ),,(yxx dzzyxfdydxI,
解例 4 将
1
0
1
0 0
22
),,(
yx
dzzyxfdydx 按 xzy,,
的次序积分,
1D,
10
0 2
y
xz
x y
z
1D
2D
2D,
1
1
2
22
yxz
xzx
1010 0 ),,(2 dyzyxfdzdx x原式
110 1 2
2
2 ),,(xz
x
x dyzyxfdzdx,
除了上面介绍的先单后重法外，利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分先重后单，就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分若 f(x,y,z) 在 上连续?
介于两平行平面 z = c1,z = c2 (c1 < c2 ) 之间用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域?
)(),( 21 czczD则
② 先重后单
2
1 )(
),,(),,(
c
c zD
d x d yzyxfdzdvzyxf
易见，若被积函数与 x,y 无关，或二重积分容易计算时，用截面法较为方便，
)( zD
d x d y
就是截面的面积，如截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积较易计算尤其当 f ( x,y,z ) 与 x,y 无关时截面法的一般步骤：
( 1) 把积分区域? 向某轴 （例如 z 轴）投影，得投影区间 ],[ 21 cc ；
( 2 ) 对 ],[ 21 ccz? 用过 z 轴且平行 x o y 平面的平面去截?,得截面
z
D ;
( 3 ) 计算二重积分
z
D
d x d yzyxf ),,(
其结果为 z 的函数 )( zF ；
( 4 ) 最后计算单积分?
2
1
)(
c
c
dzzF 即得三重积分值,
z
例 5 计算 1:,2
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xdvz
解 之间介于易见 czcz,? 2
2
2
2
2
2
1:)( czbyaxzD
故
c
c ZD
dxdydzzdvz
)(
22
3
0
2
2
2
15
4
)1(2 a b cdz
c
z
zab
c
dz
c
z
zab
c
c
)1(
2
2
2
例 6
1,:,22 zyxzd x d y d z
解一 之间介于 1,0 zz?
zyxzD 22:)(
1
0 )( zD
dxdydzd x d y d z
1
0 2
z d z
解二 先单后重将 投影到 xoy 面得 D? 122 yx
D yx
dxdydzd x d yd z
1
122
][
先重后单
D
r d rrdd x d yyx
2
0
1
0
222
2
)1(4)1(
（用极坐标，用对称性）
此例介绍的是一种计算三重积分的方法，这种方法也具有一定的普遍性，这就是我们将要介绍的柱坐标系下的计算法三、小结三重积分的定义和计算
（计算时将三重积分化为三次积分）
在直角坐标系下的体积元素
d x d yd zdv?
思考题 选择题,
为六个平面 0?x,2?x,1?y,42 yx,
xz?,2?z 围成的区域,),,( zyxf 在? 上连续，
则累次积分 ____
dvzyxf ),,(,;),,()( 20 1
22 2
x x dzzyxfdydxA;),,()( 20 221 2
x x
dzzyxfdydxB;),,()( 20 1
22
2
x x dzzyxfdydxC
.),,()( 20 221 2
x
x dzzyxfdydxD
练 习 题一,填空题,
1,若? 由曲面
22
yxz 及平面 1?z 所围成,
则三重积分
d x d y d zzyxf ),,( 化为三次积分是
_ _ ____ ____ ____ _ ____ _ ___,
2,若
是由曲面
0( cxycz
),1
2
2
2
2
b
y
a
x
,
0?z
所围成的在第一卦限内的闭区域,则三重积分
d x d y d zzyxf ),,( 可化为三次积分为 ____ _____,
3,若
10,10,10, zyx
,则
d x d y d zzyx )( 可化为三次积分 _______ ___,
其值为 ________ ____.
4,若?,是由 ),0(,0,0 hhzzx
)0(2
222
aayxayx 及 所围成,则三重积分
dvzyxf ),,( 可化为：
(1) 次序为 xyz 的三次积分 ____ _____ ___.
(2) 次序为 zxy 的三次积分 ______ ____ __.
(3) 次序为 yzx 的三次积分 _________ ___.
二、计算
d x d y d zzxy
32
,其中
是由曲面 xyz?,与平面 01, zxxy 和 所围成的闭区域,
三、计算
x z d x d y d z,其中? 是曲面 1,,0 yyzz,
以及抛物柱面
2
xy? 所围成的闭区域,
四、计算
dv
yx
22
1
,其中? 是由六个顶点
),0,0,2(),2.1.1(),0,1,1(),0,0,1( DCBA
)4,2,2(),0,2,2( FE 组成的三棱锥台,
练习题答案一,1,
11
1
1
1
22
2
2
),,(
yx
x
x
dzzyxfdydx ；
2,
c
xy
a
x
ba
dzzyxfdydx
0
1
00
),,(
2
2；
3,
1
0
1
0
1
0
)( dzzyxdydx,
2
3；
4,
hxa
xa
a
dzzyxfdydx
0
2
0
),,(
22
，
22
2
00
),,(
xa
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2222
00
2
20
2
0
),,(),,(
yaha
a
ya
ya
h
a
dxzyxfdzdydxzyxfdzdy
二,
364
1
,
三,0,
四,2ln,
