定积分 习题课一、主要内容问题 1:
曲边梯形的面积问题 2:
变速直线运动的路程定积分存在定理 广义积分定积分的性质牛顿 -莱布尼茨公式 )()()( aFbFdxxfb
a
定积分的计算法二、内容提要
1 定积分的定义定义的实质 几何意义 物理意义
2 可积和 可积的两个 充分 条件
3 定积分的性质线性性ba dxxgxf )]()([ ba dxxf )( ba dxxg )(
可加性? b
a dxxf )(
b
c
c
a dxxfdxxf )()(
若 0)(?xf,则 0)( dxxf
b
a )( ba?
非负性比较定理若 )()( xgxf?,则 dxxf
b
a? )( dxxg
b
a )( )( ba?
估值定理 )( xf 在区间 ],[ ba
上的最大值及最小值，
)()()( abMdxxfabm ba,
积分中值定理如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点?,
使 dxxfba? )( ))(( abf )( ba
积分中值公式若 M 和 m 是变上限定积分及其导数如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数
dttfx
x
a?
)()( 在 ],[ ba 上具有导数，且它的导数是 )()()( xfdttf
dx
d
x
x
a
)( bxa
如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数
dttfx
x
a?
)()( 就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一个原函数,
.)]([)( bab
a
xFdxxf
牛顿 — 莱布尼茨公式定积分的计算法
（ 1）换元法
dtttfdxxfba )()]([)(
换元积分公式
（ 2）分部积分法
bababa v d uuvud v ][ 分部积分公式微积分基本公式如果 )( xF 是连续函数
)( xf 在区间 ],[ ba 上的一个原函数，则
)()()( aFbFdxxf
b
a
利用对称区间上奇偶函数的性质简化定积分的计算广义积分
(1)无穷限的广义积分
a dxxf )( bab dxxf )(l i m
b dxxf )( baa dxxf )(lim
(2)无界函数的广义积分?b
a dxxf )(
b
a dxxf )(l i m 0? b
a dxxf )(?
b
a dxxf )(lim 0
ba dxxf )( ca dxxf )( bc dxxf )(
c
a dxxf )(l i m 0
b
c dxxf )(lim 0
三、典型例题例 1,c o ss i n
s i n2
0?
dxxx
x求解,c o ss i n
s i n2
0?
dxxx
xI由,
c o ss i n
c o s2
0?
dxxx
xJ设
,220
dxJI则
2
0 c o ss i n
c o ss i n dx
xx
xxJI
2
0 c o ss i
)s i n( c o s
xx
xxd
.0?
,22I故得,4I即例 2 广义积分中值定理设 f(x) 在 [a,b]上连续,g(x) 在 [a,b]上可积，且不变号，则
b
a
b
a
dxxgfdxxgxfba )()()()(],,[ 使证 因 f(x) 在 [a,b]上连续，故 f(x) 在 [a,b]上必取得最大值 M和最小值 m,Mxfm )(
又 g(x) 在 [a,b]上不变号 故不妨设 0)(?xg
b
a
dxxg 0)( )()()()( xMgxgxfxmg
b
a
b
a
b
a
dxxgMdxxgxfdxxgm )()()()(
若 0)(
b
a
dxxg 则由上式知
b
a
dxxgxf 0)()(
b
a
b
a
dxxgfdxxgxf )()()()( 可取 [a,b]内任一点若
b
a
b
a
dxxgdxxg 0)(,0)( 则
M
dxxg
dxxgxf
m
b
a
b
a
)(
)()(
由介值定理
b
a
b
a
dxxg
dxxgxf
fba
)(
)()(
)(],[ 使
b
a
b
a
dxxgfdxxgxf )()()()(?
例 3 证明 01l i m
1
0
dxxx
n
n
证一 nn x
x
x?
10
1
0
1
0 1
0 dxxdxxx n
n
1
1
n
由夹逼定理得令,n 01l i m
1
0
dxxx
n
n
由广义积分中值定理
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0?
ndxxdxxx n
n
011lim,1|1 1|
nn
有界 01lim
1
0
dx
x
x n
n
证二
dxxxI
n
n
1
0 1
记 dxI xxn
n?
1
0
11
1则
1
0
1 1
1
ndxxII
n
nn
由夹逼定理得令,n 01l i m
1
0
dxxx
n
n
例 4 求极限
]12111[li m)1( nnnn
n?
n
nn
n
!lnlim)2(
nn II1
112 nnn III nI n 2
1
证三解 ① ]1
1
21
1
11
1[lim
n
n
nn
I
n?
n
n
i
n
in
1
1
1li m
1
1
0
1
0
)1l n (1 1 xdxx 2ln?
② )21ln (1li m nnnnnI n
nn
in
in
1)ln(lim
1
1
0
1ln x d x
如果能把数列的通项写成 )1(1)(1
11
n
i
n
i n
if
nn
if
n 或的形式 就可以利用
)(1l i m
1
n
in n
if
n 或
)1(1l i m
1
n
in n
if
n
把数列极限问题转化为定积分?
1
0
)( dxxf 的计算问题与数列的极限有着密切联系由以上两例可见，连续函数 f ( x ) 的定积分
.2s i nln40?
x d x求解,2 tx?令,s i nln2
12s i nln 2
0
4
0
t d tx d x
40 2s i nln x d xI 4
0 )co ss i n2l n ( dxxx
40 )co slns i nln2( ln dxxx
2
4
4
0
s i nlns i nln2ln4 xdxxdx
2
0
s inln2ln4 x d xI22ln4
.2ln4 I
例 5
.},1m i n {2
2
2?
dxxx求解
1,
1
1,
},
1
m i n{
2
2
x
x
xx
x
x
是偶函数,
dxxx },1m i n {2 22
0?
原式
2110 2 122 dxxdxx
.2ln232
例 6
证明 Cauchy-Schwarz不等式
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 22
2
证,Rt 0)]()([ 2 xgxtf
b
a
dxxgxtf 0)]()([ 2
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxgxftdxxft 0)()()(2)( 222
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf 0)()(4)()(4 22
2
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 22
2
例 7
记
x
a
x
a
x
a
dttgdttfdttgtfxF )()()()()( 22
2
则
x
a
x
a
x
a
dttfxgdttgxfdttgtfxgxfxF )()()()()()()()(2)( 2222
0)()()()()()()()(2 2222 dtxgtftgxftgtfxgxfx
a
单调减)( xF?
0)()()( aFxFbF
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 22
2
即另证定积分不等式的证明方法 —— 辅助函数法
① 将一个积分限换成变量，移项使一端为 0
另一端即为所求作的辅助函数 F ( x )
② 判定单调性，与端点的值进行比较即得证
)( xF?求例 8 设 0)0(,0)0(,)( ffxf 连续求
x
x
x
dttfx
dttf
0
2
0
0
)(
)(
2
l i m
解
xx
xfxdttfx
xxf
I
0
2
2
0
)()(2
)(2
lim
xx
xxfdttf
xf
0
2
0
)()(2
)(2
lim
)()(3
)(4lim 2
0 xfxxf
xfx
x
)(
0
)0()(3
)(4
lim
2
0
xf
x
fxf
xf
x?
1
)0()0(3
)0(4?
ff
f
1
s i n
lim 0
2
0
xbx
dt
ta
tx
x
这是 型未定式的极限解 由 L’Hospital法则
1)c o s(li m
2
0
xaxb
xI
x 0lim
2
0 xx?
0)co s(lim 0 xaxbx 0)1( ab
0
0
a = 0 或 b =1 将 a = 0 代入知不合题意故 b =1
4,12)c o s1(li m
2
0
aaxaxx
x
例 9 试确定 a,b 的值使
0)(,]1,0[)(xfxf 上连续在证明
1
0
1
0
)(ln)(ln dxxfdxxf
证一 由定积分的定义
)(ln1lim)(ln
1
0 1 n
if
ndxxf
n
in
n
in n
if
n 1 )(
1lnlim
（ 因 f ( x ) 是凸函数）
n
in n
if
n 1 )(
1li mln dxxf 1
0
)(ln
证二 记 adxxf
1
0
)( 则 a > 0
例 10 设
xy ln? 上凸故其上任一点的切线都在曲线的上方在 x = a 处的切线方程为 )(1ln axaay
])([1ln)(ln),( atfaatftfx 有令
1
0
1
0
1
0
])([1ln)(ln dtatfaa d tdttf
1
0
1)(1ln dttfaa aln?
证三 易证明当 t > 0 时有 1ln tt
或 tee t
1
0
)(
)(
dxxf
xf
t令又曲线
1
)(
)(
)(ln)(ln
1
0
1
0
dxxf
xf
dxxfxf
01
)(
)(
)(ln)(ln
1
0
1
0
1
0
1
0
dxxf
dxxf
dxxfdxxf
1
0
1
0
)(ln)(ln dxxfdxxf
例 11 设 f ( x ) 在 [ a,b ] 上连续且 f ( x ) > 0 证明
b
aa
b
dxxfdxxfdxxfba )(
2
1)()(],[?
使令
x
a
dttfxF )()(
则 F ( x ) 在 [ a,b ] 上连续，在 ( a,b ) 内可导
0)()( xfxF 即 F( x ) 单调增设 )(),( bFMaFm 则
b
a
dxxfMm )(,0
b
a
b
a
Mdxxfdxxfm )()(
2
10
由介值定理得
b
a
dxxfFba )(21)(],,[ 使即
b
aa
dxxfdxxf )(21)(
b
a
b b
a a
dxxfdxxfdxxfdxxf )(21)()()(
证
1
0
)(,]1,0[)( Adxxfxf 上连续在设
1
0
1
)()(
x
dyyfxfdx计算解
1
0
1
])()[(
x
dxdyyfxfI?
x
x
dttfddyyf
0
1
0
1
)()(
dxxfdttfdttfdyyf
x
x
x
)]([)()()(
1
0 0
1
0
1
0
xx
dttfddttfdxxfdttf
0
1
0 0
1
0
1
0
)()()()(
2
)(
2
1 2
21
0
Adttf?
例 12
例 13 设 f ( x ) 在 [ 0,1 ] 上连续，且单调不增证明 对任何 有 ]1,0[
0 10 )()( dxxfdxxf
证一 ]1,0[1
0 0
1 )()()(?
dxxfdxxfdxxf
由积分中值定理
10 1 0)()( fdxxf
1)1)(()( 21 2 fdxxf
再由 f ( x )单调不增 得及 21
)()( 21 ff?
10 0 1 )()()( dxxfdxxfdxxf
)1)(()( 21 ff
)1)(()( 11 ff )( 1?f?
010 1 )()()( dxxffdxxf
证二
0
1
0 )()(
1)( dxxfdxxfF记则 F(1)=0
2
0
)()(
)(
dxxff
F
再由 f ( x )单调不增
0 0 )()()( fdxfdxxf
0)(F 单调减得 )(?F 0)1()( FF?
10 0 )()( dxxfdxxf即证三
0
1
0 )()( dxxfdxxf
0 0 1 )()()( dxxfdxxfdxxf
0 1 )()()1( dxxfdxxf
0)()1()()1( ff
证四 tx令0 10 )()( dttfdxxf
10 )( dttf? ))()(( tftf
证五 由 f ( x )单调不增 )1()()(1
fdxxf
1 )(1 1)( dxxff
10 )(1)()( dxxffdxxf
dxxfdxxf 0 1 )()()1(
0 0 1 ])()([)( dxxfdxxfdxxf
dxxf 10 )(?
例 14 计算
0 s i n x d xxJ
m
m
解一?
0 1 s ins in x d xxxJ mm
0 1 )( c o s]s in[ xdxx m
0 101 ]s in[c o s]c o ss in[ dxxxxxxx mm
= 0
dxxxxmxx mm ]c o ss in)1([ s inc o s 20 1
0 220 )s i n1(s i n)1(s i n1 dxxxxmxm mm
= 0
00 2 s in)1(s in)1( x d xxmdxxxm mm
2
1
mm Jm
mJ
0
2
0 2xdxJ
01 s in xdxxJ
奇数偶数
m
m
m
m
m
m
J m
531
)1(642
2642
)1(531 2
解二 由定积分换元法知
0 0 )( s i n2)( s i n dxxfdxxxf
mm IJ 2
2
1
mm Im
mI
210 II?
奇数偶数
m
m
m
m
m
m
J m
531
)1(642
2642
)1(531 2
例 15 为满足设 naaa?10,
的实常数012 10 n aaa n?
证明 方程 010 nn xaxaa?
在 ( 0,1 ) 内至少有一根证 x nn dttataaxF
0 10 )()(?记则 F(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导
0)0(?F
10 10 )()1( dttataaF nn?
012 10 n aaa n?
由 Rolle 定理 0)()1,0( F使
nn xaxaaxF10)(而
010 nn xaxaa?故方程在 ( 0,1 ) 内至少有一根例 16 已知周期为 L的函数在 ]2,2[
LL?
上是连续的奇函数，证明? x
a dttf )( 也是以 L为周期的函数证一
xa dttfxF )()(记 )()()( xGdttfLxF Lxa
)()( xfxF )()()( xfLxfxG
CxFxG )()(
CxFLxF )()(
得令 2Lx
2 2 )()()2()2(
L
a
L
a
dttfdttfLFLFC
2
2
0)(
L
L dttf
)()( xFLxF
对称区间上奇函数的积分证二 dttfxFLxF Lx
x?
)()()(
Lx
L
L
L
L
x
2
2
2
2
x LLxL duufLutdttf
22
)()()( 令
2
2
0)()()(
L
L dttfxFLxF
)()( xFLxF即例 18 设 f ( x ),g ( x ) 在 [ a,b ] 上连续，证明
b a dxxfgdxxgfba )()()()(),( 使证 关键在于作出辅助函数 F(x)
x换成将?
bx xa dttfxgdttgxf )()()()(
bx xa dttfxgdttgxfxF )()()()()(如令则 F(a) F(b) 的符号不易判别，得不出结论
bx xa dttfxgdttgxfxF )()()()()(令故两边积分得
xa uaxa bu dudttfugdudttgufxF ])()[(])()[()(
xa bx dttgdttf )()(
xa bx dttgdttfxF )()()(令故则 F ( x ) 在 [ a,b ] 上连续，在 ( a,b ) 内可导且 F ( a ) = F ( b ) = 0
由 Rolle 定理知
0)(),( Fba 使
bx xa dttfxgdttgxfxF )()()()()(而
dxxfgdxxgf ab )()()()(
注,辅助函数法 证明定积分等式 —— 主要适用于证明在积分限中至少存在一点使等式成立的命题
cx 或或 0?
① xcx 换成或或将 0? 移项使一端为 0
另一端即为 )()( xFxF?或
② 验证 F ( x ) 满足介值定理或 Rolle 定理
曲边梯形的面积问题 2:
变速直线运动的路程定积分存在定理 广义积分定积分的性质牛顿 -莱布尼茨公式 )()()( aFbFdxxfb
a
定积分的计算法二、内容提要
1 定积分的定义定义的实质 几何意义 物理意义
2 可积和 可积的两个 充分 条件
3 定积分的性质线性性ba dxxgxf )]()([ ba dxxf )( ba dxxg )(
可加性? b
a dxxf )(
b
c
c
a dxxfdxxf )()(
若 0)(?xf,则 0)( dxxf
b
a )( ba?
非负性比较定理若 )()( xgxf?,则 dxxf
b
a? )( dxxg
b
a )( )( ba?
估值定理 )( xf 在区间 ],[ ba
上的最大值及最小值，
)()()( abMdxxfabm ba,
积分中值定理如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点?,
使 dxxfba? )( ))(( abf )( ba
积分中值公式若 M 和 m 是变上限定积分及其导数如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数
dttfx
x
a?
)()( 在 ],[ ba 上具有导数，且它的导数是 )()()( xfdttf
dx
d
x
x
a
)( bxa
如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数
dttfx
x
a?
)()( 就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一个原函数,
.)]([)( bab
a
xFdxxf
牛顿 — 莱布尼茨公式定积分的计算法
（ 1）换元法
dtttfdxxfba )()]([)(
换元积分公式
（ 2）分部积分法
bababa v d uuvud v ][ 分部积分公式微积分基本公式如果 )( xF 是连续函数
)( xf 在区间 ],[ ba 上的一个原函数，则
)()()( aFbFdxxf
b
a
利用对称区间上奇偶函数的性质简化定积分的计算广义积分
(1)无穷限的广义积分
a dxxf )( bab dxxf )(l i m
b dxxf )( baa dxxf )(lim
(2)无界函数的广义积分?b
a dxxf )(
b
a dxxf )(l i m 0? b
a dxxf )(?
b
a dxxf )(lim 0
ba dxxf )( ca dxxf )( bc dxxf )(
c
a dxxf )(l i m 0
b
c dxxf )(lim 0
三、典型例题例 1,c o ss i n
s i n2
0?
dxxx
x求解,c o ss i n
s i n2
0?
dxxx
xI由,
c o ss i n
c o s2
0?
dxxx
xJ设
,220
dxJI则
2
0 c o ss i n
c o ss i n dx
xx
xxJI
2
0 c o ss i
)s i n( c o s
xx
xxd
.0?
,22I故得,4I即例 2 广义积分中值定理设 f(x) 在 [a,b]上连续,g(x) 在 [a,b]上可积，且不变号，则
b
a
b
a
dxxgfdxxgxfba )()()()(],,[ 使证 因 f(x) 在 [a,b]上连续，故 f(x) 在 [a,b]上必取得最大值 M和最小值 m,Mxfm )(
又 g(x) 在 [a,b]上不变号 故不妨设 0)(?xg
b
a
dxxg 0)( )()()()( xMgxgxfxmg
b
a
b
a
b
a
dxxgMdxxgxfdxxgm )()()()(
若 0)(
b
a
dxxg 则由上式知
b
a
dxxgxf 0)()(
b
a
b
a
dxxgfdxxgxf )()()()( 可取 [a,b]内任一点若
b
a
b
a
dxxgdxxg 0)(,0)( 则
M
dxxg
dxxgxf
m
b
a
b
a
)(
)()(
由介值定理
b
a
b
a
dxxg
dxxgxf
fba
)(
)()(
)(],[ 使
b
a
b
a
dxxgfdxxgxf )()()()(?
例 3 证明 01l i m
1
0
dxxx
n
n
证一 nn x
x
x?
10
1
0
1
0 1
0 dxxdxxx n
n
1
1
n
由夹逼定理得令,n 01l i m
1
0
dxxx
n
n
由广义积分中值定理
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0?
ndxxdxxx n
n
011lim,1|1 1|
nn
有界 01lim
1
0
dx
x
x n
n
证二
dxxxI
n
n
1
0 1
记 dxI xxn
n?
1
0
11
1则
1
0
1 1
1
ndxxII
n
nn
由夹逼定理得令,n 01l i m
1
0
dxxx
n
n
例 4 求极限
]12111[li m)1( nnnn
n?
n
nn
n
!lnlim)2(
nn II1
112 nnn III nI n 2
1
证三解 ① ]1
1
21
1
11
1[lim
n
n
nn
I
n?
n
n
i
n
in
1
1
1li m
1
1
0
1
0
)1l n (1 1 xdxx 2ln?
② )21ln (1li m nnnnnI n
nn
in
in
1)ln(lim
1
1
0
1ln x d x
如果能把数列的通项写成 )1(1)(1
11
n
i
n
i n
if
nn
if
n 或的形式 就可以利用
)(1l i m
1
n
in n
if
n 或
)1(1l i m
1
n
in n
if
n
把数列极限问题转化为定积分?
1
0
)( dxxf 的计算问题与数列的极限有着密切联系由以上两例可见，连续函数 f ( x ) 的定积分
.2s i nln40?
x d x求解,2 tx?令,s i nln2
12s i nln 2
0
4
0
t d tx d x
40 2s i nln x d xI 4
0 )co ss i n2l n ( dxxx
40 )co slns i nln2( ln dxxx
2
4
4
0
s i nlns i nln2ln4 xdxxdx
2
0
s inln2ln4 x d xI22ln4
.2ln4 I
例 5
.},1m i n {2
2
2?
dxxx求解
1,
1
1,
},
1
m i n{
2
2
x
x
xx
x
x
是偶函数,
dxxx },1m i n {2 22
0?
原式
2110 2 122 dxxdxx
.2ln232
例 6
证明 Cauchy-Schwarz不等式
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 22
2
证,Rt 0)]()([ 2 xgxtf
b
a
dxxgxtf 0)]()([ 2
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxgxftdxxft 0)()()(2)( 222
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf 0)()(4)()(4 22
2
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 22
2
例 7
记
x
a
x
a
x
a
dttgdttfdttgtfxF )()()()()( 22
2
则
x
a
x
a
x
a
dttfxgdttgxfdttgtfxgxfxF )()()()()()()()(2)( 2222
0)()()()()()()()(2 2222 dtxgtftgxftgtfxgxfx
a
单调减)( xF?
0)()()( aFxFbF
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 22
2
即另证定积分不等式的证明方法 —— 辅助函数法
① 将一个积分限换成变量，移项使一端为 0
另一端即为所求作的辅助函数 F ( x )
② 判定单调性，与端点的值进行比较即得证
)( xF?求例 8 设 0)0(,0)0(,)( ffxf 连续求
x
x
x
dttfx
dttf
0
2
0
0
)(
)(
2
l i m
解
xx
xfxdttfx
xxf
I
0
2
2
0
)()(2
)(2
lim
xx
xxfdttf
xf
0
2
0
)()(2
)(2
lim
)()(3
)(4lim 2
0 xfxxf
xfx
x
)(
0
)0()(3
)(4
lim
2
0
xf
x
fxf
xf
x?
1
)0()0(3
)0(4?
ff
f
1
s i n
lim 0
2
0
xbx
dt
ta
tx
x
这是 型未定式的极限解 由 L’Hospital法则
1)c o s(li m
2
0
xaxb
xI
x 0lim
2
0 xx?
0)co s(lim 0 xaxbx 0)1( ab
0
0
a = 0 或 b =1 将 a = 0 代入知不合题意故 b =1
4,12)c o s1(li m
2
0
aaxaxx
x
例 9 试确定 a,b 的值使
0)(,]1,0[)(xfxf 上连续在证明
1
0
1
0
)(ln)(ln dxxfdxxf
证一 由定积分的定义
)(ln1lim)(ln
1
0 1 n
if
ndxxf
n
in
n
in n
if
n 1 )(
1lnlim
（ 因 f ( x ) 是凸函数）
n
in n
if
n 1 )(
1li mln dxxf 1
0
)(ln
证二 记 adxxf
1
0
)( 则 a > 0
例 10 设
xy ln? 上凸故其上任一点的切线都在曲线的上方在 x = a 处的切线方程为 )(1ln axaay
])([1ln)(ln),( atfaatftfx 有令
1
0
1
0
1
0
])([1ln)(ln dtatfaa d tdttf
1
0
1)(1ln dttfaa aln?
证三 易证明当 t > 0 时有 1ln tt
或 tee t
1
0
)(
)(
dxxf
xf
t令又曲线
1
)(
)(
)(ln)(ln
1
0
1
0
dxxf
xf
dxxfxf
01
)(
)(
)(ln)(ln
1
0
1
0
1
0
1
0
dxxf
dxxf
dxxfdxxf
1
0
1
0
)(ln)(ln dxxfdxxf
例 11 设 f ( x ) 在 [ a,b ] 上连续且 f ( x ) > 0 证明
b
aa
b
dxxfdxxfdxxfba )(
2
1)()(],[?
使令
x
a
dttfxF )()(
则 F ( x ) 在 [ a,b ] 上连续，在 ( a,b ) 内可导
0)()( xfxF 即 F( x ) 单调增设 )(),( bFMaFm 则
b
a
dxxfMm )(,0
b
a
b
a
Mdxxfdxxfm )()(
2
10
由介值定理得
b
a
dxxfFba )(21)(],,[ 使即
b
aa
dxxfdxxf )(21)(
b
a
b b
a a
dxxfdxxfdxxfdxxf )(21)()()(
证
1
0
)(,]1,0[)( Adxxfxf 上连续在设
1
0
1
)()(
x
dyyfxfdx计算解
1
0
1
])()[(
x
dxdyyfxfI?
x
x
dttfddyyf
0
1
0
1
)()(
dxxfdttfdttfdyyf
x
x
x
)]([)()()(
1
0 0
1
0
1
0
xx
dttfddttfdxxfdttf
0
1
0 0
1
0
1
0
)()()()(
2
)(
2
1 2
21
0
Adttf?
例 12
例 13 设 f ( x ) 在 [ 0,1 ] 上连续，且单调不增证明 对任何 有 ]1,0[
0 10 )()( dxxfdxxf
证一 ]1,0[1
0 0
1 )()()(?
dxxfdxxfdxxf
由积分中值定理
10 1 0)()( fdxxf
1)1)(()( 21 2 fdxxf
再由 f ( x )单调不增 得及 21
)()( 21 ff?
10 0 1 )()()( dxxfdxxfdxxf
)1)(()( 21 ff
)1)(()( 11 ff )( 1?f?
010 1 )()()( dxxffdxxf
证二
0
1
0 )()(
1)( dxxfdxxfF记则 F(1)=0
2
0
)()(
)(
dxxff
F
再由 f ( x )单调不增
0 0 )()()( fdxfdxxf
0)(F 单调减得 )(?F 0)1()( FF?
10 0 )()( dxxfdxxf即证三
0
1
0 )()( dxxfdxxf
0 0 1 )()()( dxxfdxxfdxxf
0 1 )()()1( dxxfdxxf
0)()1()()1( ff
证四 tx令0 10 )()( dttfdxxf
10 )( dttf? ))()(( tftf
证五 由 f ( x )单调不增 )1()()(1
fdxxf
1 )(1 1)( dxxff
10 )(1)()( dxxffdxxf
dxxfdxxf 0 1 )()()1(
0 0 1 ])()([)( dxxfdxxfdxxf
dxxf 10 )(?
例 14 计算
0 s i n x d xxJ
m
m
解一?
0 1 s ins in x d xxxJ mm
0 1 )( c o s]s in[ xdxx m
0 101 ]s in[c o s]c o ss in[ dxxxxxxx mm
= 0
dxxxxmxx mm ]c o ss in)1([ s inc o s 20 1
0 220 )s i n1(s i n)1(s i n1 dxxxxmxm mm
= 0
00 2 s in)1(s in)1( x d xxmdxxxm mm
2
1
mm Jm
mJ
0
2
0 2xdxJ
01 s in xdxxJ
奇数偶数
m
m
m
m
m
m
J m
531
)1(642
2642
)1(531 2
解二 由定积分换元法知
0 0 )( s i n2)( s i n dxxfdxxxf
mm IJ 2
2
1
mm Im
mI
210 II?
奇数偶数
m
m
m
m
m
m
J m
531
)1(642
2642
)1(531 2
例 15 为满足设 naaa?10,
的实常数012 10 n aaa n?
证明 方程 010 nn xaxaa?
在 ( 0,1 ) 内至少有一根证 x nn dttataaxF
0 10 )()(?记则 F(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导
0)0(?F
10 10 )()1( dttataaF nn?
012 10 n aaa n?
由 Rolle 定理 0)()1,0( F使
nn xaxaaxF10)(而
010 nn xaxaa?故方程在 ( 0,1 ) 内至少有一根例 16 已知周期为 L的函数在 ]2,2[
LL?
上是连续的奇函数，证明? x
a dttf )( 也是以 L为周期的函数证一
xa dttfxF )()(记 )()()( xGdttfLxF Lxa
)()( xfxF )()()( xfLxfxG
CxFxG )()(
CxFLxF )()(
得令 2Lx
2 2 )()()2()2(
L
a
L
a
dttfdttfLFLFC
2
2
0)(
L
L dttf
)()( xFLxF
对称区间上奇函数的积分证二 dttfxFLxF Lx
x?
)()()(
Lx
L
L
L
L
x
2
2
2
2
x LLxL duufLutdttf
22
)()()( 令
2
2
0)()()(
L
L dttfxFLxF
)()( xFLxF即例 18 设 f ( x ),g ( x ) 在 [ a,b ] 上连续，证明
b a dxxfgdxxgfba )()()()(),( 使证 关键在于作出辅助函数 F(x)
x换成将?
bx xa dttfxgdttgxf )()()()(
bx xa dttfxgdttgxfxF )()()()()(如令则 F(a) F(b) 的符号不易判别，得不出结论
bx xa dttfxgdttgxfxF )()()()()(令故两边积分得
xa uaxa bu dudttfugdudttgufxF ])()[(])()[()(
xa bx dttgdttf )()(
xa bx dttgdttfxF )()()(令故则 F ( x ) 在 [ a,b ] 上连续，在 ( a,b ) 内可导且 F ( a ) = F ( b ) = 0
由 Rolle 定理知
0)(),( Fba 使
bx xa dttfxgdttgxfxF )()()()()(而
dxxfgdxxgf ab )()()()(
注,辅助函数法 证明定积分等式 —— 主要适用于证明在积分限中至少存在一点使等式成立的命题
cx 或或 0?
① xcx 换成或或将 0? 移项使一端为 0
另一端即为 )()( xFxF?或
② 验证 F ( x ) 满足介值定理或 Rolle 定理
