定 积 分 也 可 以 象 不 定 积 分 一 样 进 行 分 部 积 分,
设函数 )( xu,)( xv 在区间ba,上具有连续导数，则有
b
a
b
a
b
a
v d uuvu d v,
定积分的分部积分公式推导,vuvuuv,)( b
a
b
a uvdxuv
, bababa dxvudxvuuv
, b
a
b
a
b
a
v d uuvu d v
定积分的分部积分法一、分部积分公式解
.a r c s i n210? x d x
令,a r c s i n xu?,dxdv?
则,1 2xdxdu,xv?
210 a rc s i n x d x 210a r c s i n xx 2
1
0 21 x
x d x
62
1 )1(
1
1
2
1 2
0 2
2
1
xdx
12
21
021 x,12
3
12
例 1 计算
,co s22co s1 2 xx
40 2co s1 xxdx 40 2c o s2 xxdxxdx t a n240
40t a n21 xx x d xt a n21 40
40s ecln218 x.4 2ln8
例 2 计算,2c o s1
4
0?
x
xdx
解例 3 计算,)2(
)1l n (1
0 2
dx
x
x
解10 2)2( )1l n ( dxx x 10 2 1)1l n( xdx
1
02
)1ln (
x
x
1
0 )1l n(2
1 xd
x
3
2ln dx
xx
1
0 1
1
2
1
xx 2
1
1
1
10)2l n()1l n(3 2ln xx
.3ln2ln35
例 4 设 求
2
1,
s i n)( x dt
t
txf,)(1
0? dxxxf
解因为
t
ts i n
没有初等形式的原函数，
无法直接求出 )( xf,所以采用分部积分法
10 )( dxxxf 10 2 )()(21 xdxf
102 )(21 xfx 1
0
2 )(
2
1 xdfx
)1(21 f 10 2 )(21 dxxfx
,0s i n)1( 11 dtt tf
2
1,
s i n)( x dt
t
txf?
,s in22s in)(
2
2
2
x
xx
x
xxf
10 )( dxxxf )1(21 f 10 2 )(21 dxxfx
10 2s i n221 dxxx 10 22s i n21 dxx
102c o s21 x? ).11( co s21
22 00 co ss i n xdxxdxI nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
,
3
2
5
4
2
31
,
22
1
4
3
2
31
为正偶数为大于 1的正奇数证 设,s i n 1 xu n,s i n xdxdv?
,c o ss i n)1( 2 xdxxndu n,c o s xv
dxxxnxxI nnn 22 0 2201 c o ss i n)1(c o ss i n
0 x2s in1?
例 5 证明定积分公式
dxxndxxnI nnn 22 00 2 s i n)1(s i n)1(
nn InIn )1()1( 2
2
1
nn In
nI 积分 关于下标的递推公式nI
42 2
3
nn In
nI, 直到下标减到 0或 1为止
,21436522 322 12 02 ImmmmI m
),2,1(m
,32547612 2212 2 112 Immm mI m
,2200 dxI,1s i n2
01 x d xI
于是,
22
1
4
3
6
5
22
32
2
12
2
m
m
m
mI
m
.32547612 2212 212mmm mI m
设 f ( x ) 连续 证明 dtduufdttftxx x t
0 0 0
)()()(
证一 记
x
dttftxxF
0
)()()(
dtduufxG
x t
0 0
)()( 则
x
dttfxGxF
0
)()()( CxGxF )()(
而 0)0()0( GF 故 )()( xGxF?
例 6
证二 注意到?
t
duuf
0
)( 是 f ( t ) 的一个原函数故 ))(()()()(
0 0 0
x x t
duufdtxdttftx
)()()()(
0 000
dtduufduuftx
x txt
dtduuf
x t
0 0
)(
定积分的分部积分公式
, bab
a
b
a v d uuvud v
（注意与不定积分分部积分法的区别）
思考题设 )( xf 在1,0 上连续，且 1)0(?f,
3)2(?f,5)2(f,求1
0
)2( dxxfx,
应用公式的关键是选择 u,v,次序仍然是：
反,对,幂,指,三二、小结
10 )2( dxxfx 10 )2(21 xfxd
1
0
1
0 )2(2
1)2(
2
1 dxxfxfx
10)2(41)2(21 xff
)0()2(4125 ff,2?
思考题解答练 习 题一,填空题：
1,设 n 为正奇数，则?
2
0
s i n x d x
n
____ ____ ___ ；
2,设 n 为正偶数，则
2
0
co s xdx
n
= ___ ____ _ __ _ ；
3,?
dxxe
x
1
0
_____ ___ ____ __ ；
4,?
e
x d xx
1
ln _____ ___ ____ _ ；
5,
1
0
a r c ta n x d xx ____________,
二,计算下列定积分：
1,?
e
dxx
1
)s i n (l n ； 2,?
e
e
dxx1 ln ；
3,?
0
s i n)( x d xxmJ
m
,（ m 为自然数）
4,?
0
1
)1c o s (s i n xdxnx
n
.
三、已知 xxf 2t a n)(?,求?
4
0
)()( dxxfxf,四、若,0)( 在xf 连续，,1)(,2)0( ff
证明,3s i n])()([
0
x d xxfxf
.
练习题答案一,1,
!!
!)!1(
n
n?； 2,
2!!
!)!1(?
n
n； 3,
e
2
1? ；
4,)1(
4
1
2
e ； 5,
2
3
ln
2
1
)
9
3
4
1
(,
二,1,
2
11c o s1s i n ee； 2,)
1
1(2
e；
3,
为奇数为偶数
1,
531
)1(642
,
2642
)1(531
)(
2
m
m
m
m
m
m
mJ
；
4,
为正偶数时当为正奇数时当
n
n
n
n
,
!!
!)!1(2
,0；
5,0.
三,8.
设函数 )( xu,)( xv 在区间ba,上具有连续导数，则有
b
a
b
a
b
a
v d uuvu d v,
定积分的分部积分公式推导,vuvuuv,)( b
a
b
a uvdxuv
, bababa dxvudxvuuv
, b
a
b
a
b
a
v d uuvu d v
定积分的分部积分法一、分部积分公式解
.a r c s i n210? x d x
令,a r c s i n xu?,dxdv?
则,1 2xdxdu,xv?
210 a rc s i n x d x 210a r c s i n xx 2
1
0 21 x
x d x
62
1 )1(
1
1
2
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xdx
12
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3
12
例 1 计算
,co s22co s1 2 xx
40 2co s1 xxdx 40 2c o s2 xxdxxdx t a n240
40t a n21 xx x d xt a n21 40
40s ecln218 x.4 2ln8
例 2 计算,2c o s1
4
0?
x
xdx
解例 3 计算,)2(
)1l n (1
0 2
dx
x
x
解10 2)2( )1l n ( dxx x 10 2 1)1l n( xdx
1
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)1ln (
x
x
1
0 )1l n(2
1 xd
x
3
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xx
1
0 1
1
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1
10)2l n()1l n(3 2ln xx
.3ln2ln35
例 4 设 求
2
1,
s i n)( x dt
t
txf,)(1
0? dxxxf
解因为
t
ts i n
没有初等形式的原函数，
无法直接求出 )( xf,所以采用分部积分法
10 )( dxxxf 10 2 )()(21 xdxf
102 )(21 xfx 1
0
2 )(
2
1 xdfx
)1(21 f 10 2 )(21 dxxfx
,0s i n)1( 11 dtt tf
2
1,
s i n)( x dt
t
txf?
,s in22s in)(
2
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x
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10 )( dxxxf )1(21 f 10 2 )(21 dxxfx
10 2s i n221 dxxx 10 22s i n21 dxx
102c o s21 x? ).11( co s21
22 00 co ss i n xdxxdxI nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
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3
2
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为正偶数为大于 1的正奇数证 设,s i n 1 xu n,s i n xdxdv?
,c o ss i n)1( 2 xdxxndu n,c o s xv
dxxxnxxI nnn 22 0 2201 c o ss i n)1(c o ss i n
0 x2s in1?
例 5 证明定积分公式
dxxndxxnI nnn 22 00 2 s i n)1(s i n)1(
nn InIn )1()1( 2
2
1
nn In
nI 积分 关于下标的递推公式nI
42 2
3
nn In
nI, 直到下标减到 0或 1为止
,21436522 322 12 02 ImmmmI m
),2,1(m
,32547612 2212 2 112 Immm mI m
,2200 dxI,1s i n2
01 x d xI
于是,
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.32547612 2212 212mmm mI m
设 f ( x ) 连续 证明 dtduufdttftxx x t
0 0 0
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证一 记
x
dttftxxF
0
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dtduufxG
x t
0 0
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0
)()()( CxGxF )()(
而 0)0()0( GF 故 )()( xGxF?
例 6
证二 注意到?
t
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0
)( 是 f ( t ) 的一个原函数故 ))(()()()(
0 0 0
x x t
duufdtxdttftx
)()()()(
0 000
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x txt
dtduuf
x t
0 0
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定积分的分部积分公式
, bab
a
b
a v d uuvud v
（注意与不定积分分部积分法的区别）
思考题设 )( xf 在1,0 上连续，且 1)0(?f,
3)2(?f,5)2(f,求1
0
)2( dxxfx,
应用公式的关键是选择 u,v,次序仍然是：
反,对,幂,指,三二、小结
10 )2( dxxfx 10 )2(21 xfxd
1
0
1
0 )2(2
1)2(
2
1 dxxfxfx
10)2(41)2(21 xff
)0()2(4125 ff,2?
思考题解答练 习 题一,填空题：
1,设 n 为正奇数，则?
2
0
s i n x d x
n
____ ____ ___ ；
2,设 n 为正偶数，则
2
0
co s xdx
n
= ___ ____ _ __ _ ；
3,?
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1
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_____ ___ ____ __ ；
4,?
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1
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5,
1
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a r c ta n x d xx ____________,
二,计算下列定积分：
1,?
e
dxx
1
)s i n (l n ； 2,?
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dxx1 ln ；
3,?
0
s i n)( x d xxmJ
m
,（ m 为自然数）
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)1c o s (s i n xdxnx
n
.
三、已知 xxf 2t a n)(?,求?
4
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证明,3s i n])()([
0
x d xxfxf
.
练习题答案一,1,
!!
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n
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为奇数为偶数
1,
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)1(642
,
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为正偶数时当为正奇数时当
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n
n
n
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三,8.
