定积分的换元法上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系 —— 微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分
，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。
先来看一个例子例 1
4
0 12
2 dx
x
x
换元求不定积分 令 12 xt 则 )1(21 2 tx
dt
t
tt
dx
x
x
22
1
2
1
12
2
2
Ctt 2361 3
Cxx 2
1
2
3
)12(23)12(61
故
4
0 3
22
12
2 dx
x
x
为去掉根号 令 12 xt 则 2 1
2?
tx
t d tdx?
当 x 从 0连续地增加到 4时,t 相应地从 1连续地增加到 3
)012 1( xdxdt
于是
3
1
2
4
0 3
22)3(
2
1
12
2 dttdx
x
x
尝试一下直接换元求定积分将上例一般化就得到定积分的换元积分公式由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上
、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量一、换元公式假设
（ 1 ） )( xf 在 ],[ ba 上连续；
（ 2 ）函数 )( tx 在 ],[ 上是单值的且有连续导数；（ 3 ）当 t 在区间 ],[ 上变化时,)( tx 的值在 ],[ ba 上变化，且 a?)(,b?)(,
则 有 dtttfdxxfb
a
)()]([)(,
证 设 )( xF 是 )( xf 的一个原函数，
),()()( aFbFdxxfba
)],([)( tFt
dt
dx
dx
dFt )( )()( txf ),()]([ ttf
)( t 是 )()]([ ttf 的一个原函数,
),()()()]([ dtttf
a?)(,b?)(,
)()( )]([)]([ FF ),()( aFbF
)()()( aFbFdxxfba
)()(,)()]([ dtttf
注意 当 时，换元公式仍成立,
应用换元公式时应注意,
（ 1） 用 )( tx 把变量 x 换成新变量 t 时，积分限也相应的改变,
（ 2）
求出 )()]([ ttf 的一个原函数 )( t? 后，不必象计算不定积分那样再要把 )( t? 变换成原变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下限分别代入 )( t? 然后相减就行了,
计算?
a
dxxa
0
22
解 1 由定积分的几何意义
a
dxxa
0
22
等于圆周的第一象限部分的面积
4
2a?
解 2 C
a
xaxaxdxxa a r c s in
22
2
2222
故
a
dxxa
0
22
4
2a?
ax?
22 xay
o
例 2
令
a
dxxa
0
22
2
0
22 co s
t d ta
2
0
2
)2co s1(
2
dtta
4
2a?
解 4 令 tax co s?
仍可得到上述结果
tax s i n? tadx c o s?
00 tx 2 tax
解 3
.s i nc o s20 5 x d xx
解 令,c o s xt?,s i n x d xdt
2
x,0 t 0?x,1 t
20 5 s i nco s x d xx
01 5 dtt
1
0
6
6
t?
.61?
例 3 计算定积分的换元积分公式也可以反过来使用为方便计 将换元公式的左、右两边对调同时把 x 换成 t,t 换成 x
dxxxf )()(
b
a
dttf )(
这说明可用 )( xt 引入新变量但须注意如明确引入新变量，则必须换限如没有明确引入新变量，而只是把整体视为新变量，则不必换限
)( xt
注例 4 计算,s i ns i n0 53?
dxxx
解 xxxf 53 s i ns i n)( 23s i nc o s xx?
0 53 s ins in dxxx 0 23s inc o s dxxx
2
0
2
3
s inco s dxxx
2
2
3s inc o s dxxx
2
0
2
3
s i ns i n xdx
2
2
3
s ins in xdx
2
0
2
5
s i n52
x
2
2
5
s i n
5
2 x
.54?
例 5 计算,)ln1(ln
4
3
e e xxx dx
解 原式
4
3
)ln1(ln
)(l ne
e xx
xd
4
3
)ln1(ln
)(l ne
e xx
xd
4
3
2)ln(1
ln2 e
e x
xd
43)lna r c s i n (2 e ex?,6
例 6 计算
a adx
xax0 22 )0(.
1
解一 令,s i n tax?,c o s t d tadx?
ax?,2 t 0?x,0 t
原式?
2
0 22 )s i n1(s i n
co s dt
tata
ta
2
0 co ss in
co s dt
tt
t
2
0 c o ss in
s inc o s1
2
1 dt
tt
tt
20c o ss inln21221 tt.4
解二 接解一对
2
0 co ss i n
co s
dt
tt
t
令
2
0 co ss i n
co s
dt
tt
tI
2
0 co ss in
co s
dt
tt
tJ
则
2
0 2
dtJI
0
0
2)c o sln ( s inc o ss in
s inc o s2
0
ttdt
tt
tt
JI
4
JI
例 7 当 )( xf 在 ],[ aa? 上连续，则有
dxxfxfdxxf
a
a
a
0
)()()( 且有
① )( xf 为偶函数，则
a
a
a
dxxfdxxf
0
)(2)( ；
② )( xf 为奇函数，则?
a
a
dxxf 0)(,
证,)()()( 00a a aa dxxfdxxfdxxf
在0 )(a dxxf 中令 tx,
0 )(a dxxf 0 )(a dttf,)(0a dttf
① )( xf 为偶函数，则 ),()( tftf
a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()( ;)(2 0 a dttf
② )( xf 为奇函数，则 ),()( tftf
a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(,0?
即,奇函数在对称区间上的积分等于 0
偶函数在对称区间上的积分等于对称的部分区间上积分的两倍由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的例 8 计算,11
c o s21
1 2
2
dxx xxx
解 原式
1
1 2
2
11
2 dx
x
x?
1
1 211
c o s dx
x
xx
偶函数 奇函数
10 2
2
114 dxx
x
10 2
22
)1(1
)11(4 dx
x
xx
10 2 )11(4 dxx 10 2144 dxx
.4 四分之一单位圆的面积例 9 若 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，证明
（ 1 ）
22
00
)( c o s)( s i n dxxfdxxf ;
（ 2 ）
00
)( s i n
2
)( s i n dxxfdxxxf,
由此计算?
0
2
c o s1
s i n
dx
x
xx
,
（ 1）设 tx 2,dtdx
0?x,2 t 2x,0 t
20 )( s i n dxxf 02 2s i n dttf
20 )( co s dttf ;)( co s20 dxxf
（ 2）设 tx,dtdx
0?x, tx,0 t
0 )( s in dxxxf 0 )][ s in()( dttft
证
,)( s in)(0 dttft
0 )( s in dxxxf 0 )( s in dttf 0 )( s in dtttf
0 )( s in dxxf,)( s in0 dxxxf
.)( s in2)( s in
00
dxxfdxxxf
另证将上式改写为
0
0)( s i n)
2
( dxxfx
2
xt令
2
2
0
)( c o s)( s i n)
2
(
dtttfdxxfx则
0 2co s1 s i n dxxxx 0 2c o s1 s in2 dxxx
0 2 )( c o sc o s1 12 xdx 0)a rct a n ( co s2 x.4
2?
奇函数
0?
例 10 设 f(x) 是以 L为周期的连续函数，证明 La
a
adxxf 无关的值与)(
证明
La
a a
L La
L
dxxfdxxfdxxfdxxf
0
0
)()()()(
aLa
L
dtLtfLtxdxxf
0
)()()( 令
a
dttf
0
)(
a
dxxf
0
)(
La
a
a
dxxfdxxf
0
)()(与 a 的值无关例 11 设 f(x) 连续，常数 a > 0 证明
aa
x
dx
x
axf
x
dx
x
axf
1
2
1
2
2
2 )()(
证明 比较等式两边的被积函数知,2xu?令
u
du
u
auf
x
dx
x
axf aa
2)()(
2
1
2
1
2
2
2
u
du
u
aufa )(
2
1
2
1
2
])()([21
2 2
1
2
u
du
u
auf
u
du
u
auf a
a
a
dt
t
a
a
t
t
atf
u
at
u
du
u
auf
a
a
a
)()()()( 2
2
2
1 2222
令
t
dt
t
atfa )(
1
2
x
dx
x
axf
x
dx
x
axf aa )()(
1
2
2
1
2
2
2
例 12 设 f ( x ) 连续
1
0 )()( dtxtfx? )()(lim
0
常数且 AAx xf
x
处的连续性在并讨论求 0)()( xxx
解 连续知及由 )()(lim
0
xfAx xf
x
0])([)()0( limlim
00
xx xfxff
xx
0)0(
10 )()( dtxtfx?
时0?x
uxt?令? x duufx 0 )(1
0
)0()()0( lim
0?
x
x
x
2
0
0
)(
lim x
duuf
x
x
法则型 L0
0
22
)(l i m
0
A
x
xf
x
时0?x 20
)()(
)(
x
duufxxf
x
x
2
0
00
)()(
)( limlim
x
duufxxf
x
x
xx
]
)()(
[ 20
0
l i m x
duuf
x
xf
x
x
2
0
00
)()(
l i ml i m x
duuf
x
xf
x
xx
22
AAA
)0()(l i m
0
x
x
处连续在即 0)( xx?
定积分的换元法 dxxfba? )( dtttf )()]([
几个特殊积分、定积分的几个等式二、小结思考题指出求
2
2 2 1xx
dx
的解法中的错误，并写出正确的解法,
解 令,s e c tx?,4332,t,s e ct a n t d ttdx?
22 2 1xx dx td tttt t a ns e ct a ns e c 14
3
3
2
dt?
4
3
3
2
.12
思考题解答计算中第二步是错误的,tx s e c
,43,32t,0tan?t,t a nt a n12 ttx
正确解法是
22 2 1xx dx tx s e c? t d tttt t a ns ect a ns ec 143
3
2
dt 43
3
2,12
练 习 题一,填空题：
1,
3
)
3
s i n ( dxx ___ __ ___ ___ _ ___ ___ _ ；
2,
0
3
)s i n1( d ___ __ ___ __ __ ___ _ ；
3,
2
0
2
2 dxx ___ __ ___ ___ _ _ ；
4,?
2
1
2
1
2
2
1
)(a r c s i n
dx
x
x
___ __ ___ ___ ；
5,?
5
5
24
23
12
s i n
dx
xx
xx
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __,,
二,计算下列定积分：
1,
2
0
3
co ss i n
d ； 2,
3
1 22
1 xx
dx；
3,
1
4
3
11 x
dx； 4,
2
2
3
co sco s dxxx ；
5,?
0
2c o s1 dxx ； 6,
2
2
4
c o s4
dx ；
7,
1
1
2322
)11( dxxxxx ；
8,?
2
0
3
},m a x { dxxx ；
9,
2
0
dxxx? （
为参数?
）,
三,设
时，当时，当
0,
1
1
0,
1
1
)(
x
e
x
x
xf
x
求
2
0
)1( dxxf,
四、设baxf,)( 在 上连续，
证明
b
a
b
a
dxxbafdxxf )()(,
五,证明：
1
0
1
`0
)1()1( dxxxdxxx
mnnm
.
六、证明：
a
a
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(,
并求
4
4
s i n1 x
dx
.
七、设
1,0)( 在xf
上连续，
证明
2
0
2
0
)c o s(
4
1
)c o s( dxxfdxxf,
练习题答案一,1,0 ； 2,
3
4
； 3,
2； 4,
32
3； 5,0,
二,1,
4
1； 2,
3
32
2? ； 3,2ln21? ； 4,
3
4；
5,
22； 6,?
2
3； 7,
4； 8,
8；
9,
4
17； 1 0,时当 0,?2
3
8； 当
20
时,
3
2
3
8
3
； 当
2
时,?2
3
8
,
三,)1l n (1
1?
e,
六,2,
，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。
先来看一个例子例 1
4
0 12
2 dx
x
x
换元求不定积分 令 12 xt 则 )1(21 2 tx
dt
t
tt
dx
x
x
22
1
2
1
12
2
2
Ctt 2361 3
Cxx 2
1
2
3
)12(23)12(61
故
4
0 3
22
12
2 dx
x
x
为去掉根号 令 12 xt 则 2 1
2?
tx
t d tdx?
当 x 从 0连续地增加到 4时,t 相应地从 1连续地增加到 3
)012 1( xdxdt
于是
3
1
2
4
0 3
22)3(
2
1
12
2 dttdx
x
x
尝试一下直接换元求定积分将上例一般化就得到定积分的换元积分公式由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上
、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量一、换元公式假设
（ 1 ） )( xf 在 ],[ ba 上连续；
（ 2 ）函数 )( tx 在 ],[ 上是单值的且有连续导数；（ 3 ）当 t 在区间 ],[ 上变化时,)( tx 的值在 ],[ ba 上变化，且 a?)(,b?)(,
则 有 dtttfdxxfb
a
)()]([)(,
证 设 )( xF 是 )( xf 的一个原函数，
),()()( aFbFdxxfba
)],([)( tFt
dt
dx
dx
dFt )( )()( txf ),()]([ ttf
)( t 是 )()]([ ttf 的一个原函数,
),()()()]([ dtttf
a?)(,b?)(,
)()( )]([)]([ FF ),()( aFbF
)()()( aFbFdxxfba
)()(,)()]([ dtttf
注意 当 时，换元公式仍成立,
应用换元公式时应注意,
（ 1） 用 )( tx 把变量 x 换成新变量 t 时，积分限也相应的改变,
（ 2）
求出 )()]([ ttf 的一个原函数 )( t? 后，不必象计算不定积分那样再要把 )( t? 变换成原变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下限分别代入 )( t? 然后相减就行了,
计算?
a
dxxa
0
22
解 1 由定积分的几何意义
a
dxxa
0
22
等于圆周的第一象限部分的面积
4
2a?
解 2 C
a
xaxaxdxxa a r c s in
22
2
2222
故
a
dxxa
0
22
4
2a?
ax?
22 xay
o
例 2
令
a
dxxa
0
22
2
0
22 co s
t d ta
2
0
2
)2co s1(
2
dtta
4
2a?
解 4 令 tax co s?
仍可得到上述结果
tax s i n? tadx c o s?
00 tx 2 tax
解 3
.s i nc o s20 5 x d xx
解 令,c o s xt?,s i n x d xdt
2
x,0 t 0?x,1 t
20 5 s i nco s x d xx
01 5 dtt
1
0
6
6
t?
.61?
例 3 计算定积分的换元积分公式也可以反过来使用为方便计 将换元公式的左、右两边对调同时把 x 换成 t,t 换成 x
dxxxf )()(
b
a
dttf )(
这说明可用 )( xt 引入新变量但须注意如明确引入新变量，则必须换限如没有明确引入新变量，而只是把整体视为新变量，则不必换限
)( xt
注例 4 计算,s i ns i n0 53?
dxxx
解 xxxf 53 s i ns i n)( 23s i nc o s xx?
0 53 s ins in dxxx 0 23s inc o s dxxx
2
0
2
3
s inco s dxxx
2
2
3s inc o s dxxx
2
0
2
3
s i ns i n xdx
2
2
3
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2
0
2
5
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x
2
2
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5
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.54?
例 5 计算,)ln1(ln
4
3
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解 原式
4
3
)ln1(ln
)(l ne
e xx
xd
4
3
)ln1(ln
)(l ne
e xx
xd
4
3
2)ln(1
ln2 e
e x
xd
43)lna r c s i n (2 e ex?,6
例 6 计算
a adx
xax0 22 )0(.
1
解一 令,s i n tax?,c o s t d tadx?
ax?,2 t 0?x,0 t
原式?
2
0 22 )s i n1(s i n
co s dt
tata
ta
2
0 co ss in
co s dt
tt
t
2
0 c o ss in
s inc o s1
2
1 dt
tt
tt
20c o ss inln21221 tt.4
解二 接解一对
2
0 co ss i n
co s
dt
tt
t
令
2
0 co ss i n
co s
dt
tt
tI
2
0 co ss in
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dt
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tJ
则
2
0 2
dtJI
0
0
2)c o sln ( s inc o ss in
s inc o s2
0
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tt
tt
JI
4
JI
例 7 当 )( xf 在 ],[ aa? 上连续，则有
dxxfxfdxxf
a
a
a
0
)()()( 且有
① )( xf 为偶函数，则
a
a
a
dxxfdxxf
0
)(2)( ；
② )( xf 为奇函数，则?
a
a
dxxf 0)(,
证,)()()( 00a a aa dxxfdxxfdxxf
在0 )(a dxxf 中令 tx,
0 )(a dxxf 0 )(a dttf,)(0a dttf
① )( xf 为偶函数，则 ),()( tftf
a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()( ;)(2 0 a dttf
② )( xf 为奇函数，则 ),()( tftf
a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(,0?
即,奇函数在对称区间上的积分等于 0
偶函数在对称区间上的积分等于对称的部分区间上积分的两倍由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的例 8 计算,11
c o s21
1 2
2
dxx xxx
解 原式
1
1 2
2
11
2 dx
x
x?
1
1 211
c o s dx
x
xx
偶函数 奇函数
10 2
2
114 dxx
x
10 2
22
)1(1
)11(4 dx
x
xx
10 2 )11(4 dxx 10 2144 dxx
.4 四分之一单位圆的面积例 9 若 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，证明
（ 1 ）
22
00
)( c o s)( s i n dxxfdxxf ;
（ 2 ）
00
)( s i n
2
)( s i n dxxfdxxxf,
由此计算?
0
2
c o s1
s i n
dx
x
xx
,
（ 1）设 tx 2,dtdx
0?x,2 t 2x,0 t
20 )( s i n dxxf 02 2s i n dttf
20 )( co s dttf ;)( co s20 dxxf
（ 2）设 tx,dtdx
0?x, tx,0 t
0 )( s in dxxxf 0 )][ s in()( dttft
证
,)( s in)(0 dttft
0 )( s in dxxxf 0 )( s in dttf 0 )( s in dtttf
0 )( s in dxxf,)( s in0 dxxxf
.)( s in2)( s in
00
dxxfdxxxf
另证将上式改写为
0
0)( s i n)
2
( dxxfx
2
xt令
2
2
0
)( c o s)( s i n)
2
(
dtttfdxxfx则
0 2co s1 s i n dxxxx 0 2c o s1 s in2 dxxx
0 2 )( c o sc o s1 12 xdx 0)a rct a n ( co s2 x.4
2?
奇函数
0?
例 10 设 f(x) 是以 L为周期的连续函数，证明 La
a
adxxf 无关的值与)(
证明
La
a a
L La
L
dxxfdxxfdxxfdxxf
0
0
)()()()(
aLa
L
dtLtfLtxdxxf
0
)()()( 令
a
dttf
0
)(
a
dxxf
0
)(
La
a
a
dxxfdxxf
0
)()(与 a 的值无关例 11 设 f(x) 连续，常数 a > 0 证明
aa
x
dx
x
axf
x
dx
x
axf
1
2
1
2
2
2 )()(
证明 比较等式两边的被积函数知,2xu?令
u
du
u
auf
x
dx
x
axf aa
2)()(
2
1
2
1
2
2
2
u
du
u
aufa )(
2
1
2
1
2
])()([21
2 2
1
2
u
du
u
auf
u
du
u
auf a
a
a
dt
t
a
a
t
t
atf
u
at
u
du
u
auf
a
a
a
)()()()( 2
2
2
1 2222
令
t
dt
t
atfa )(
1
2
x
dx
x
axf
x
dx
x
axf aa )()(
1
2
2
1
2
2
2
例 12 设 f ( x ) 连续
1
0 )()( dtxtfx? )()(lim
0
常数且 AAx xf
x
处的连续性在并讨论求 0)()( xxx
解 连续知及由 )()(lim
0
xfAx xf
x
0])([)()0( limlim
00
xx xfxff
xx
0)0(
10 )()( dtxtfx?
时0?x
uxt?令? x duufx 0 )(1
0
)0()()0( lim
0?
x
x
x
2
0
0
)(
lim x
duuf
x
x
法则型 L0
0
22
)(l i m
0
A
x
xf
x
时0?x 20
)()(
)(
x
duufxxf
x
x
2
0
00
)()(
)( limlim
x
duufxxf
x
x
xx
]
)()(
[ 20
0
l i m x
duuf
x
xf
x
x
2
0
00
)()(
l i ml i m x
duuf
x
xf
x
xx
22
AAA
)0()(l i m
0
x
x
处连续在即 0)( xx?
定积分的换元法 dxxfba? )( dtttf )()]([
几个特殊积分、定积分的几个等式二、小结思考题指出求
2
2 2 1xx
dx
的解法中的错误，并写出正确的解法,
解 令,s e c tx?,4332,t,s e ct a n t d ttdx?
22 2 1xx dx td tttt t a ns e ct a ns e c 14
3
3
2
dt?
4
3
3
2
.12
思考题解答计算中第二步是错误的,tx s e c
,43,32t,0tan?t,t a nt a n12 ttx
正确解法是
22 2 1xx dx tx s e c? t d tttt t a ns ect a ns ec 143
3
2
dt 43
3
2,12
练 习 题一,填空题：
1,
3
)
3
s i n ( dxx ___ __ ___ ___ _ ___ ___ _ ；
2,
0
3
)s i n1( d ___ __ ___ __ __ ___ _ ；
3,
2
0
2
2 dxx ___ __ ___ ___ _ _ ；
4,?
2
1
2
1
2
2
1
)(a r c s i n
dx
x
x
___ __ ___ ___ ；
5,?
5
5
24
23
12
s i n
dx
xx
xx
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __,,
二,计算下列定积分：
1,
2
0
3
co ss i n
d ； 2,
3
1 22
1 xx
dx；
3,
1
4
3
11 x
dx； 4,
2
2
3
co sco s dxxx ；
5,?
0
2c o s1 dxx ； 6,
2
2
4
c o s4
dx ；
7,
1
1
2322
)11( dxxxxx ；
8,?
2
0
3
},m a x { dxxx ；
9,
2
0
dxxx? （
为参数?
）,
三,设
时，当时，当
0,
1
1
0,
1
1
)(
x
e
x
x
xf
x
求
2
0
)1( dxxf,
四、设baxf,)( 在 上连续，
证明
b
a
b
a
dxxbafdxxf )()(,
五,证明：
1
0
1
`0
)1()1( dxxxdxxx
mnnm
.
六、证明：
a
a
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(,
并求
4
4
s i n1 x
dx
.
七、设
1,0)( 在xf
上连续，
证明
2
0
2
0
)c o s(
4
1
)c o s( dxxfdxxf,
练习题答案一,1,0 ； 2,
3
4
； 3,
2； 4,
32
3； 5,0,
二,1,
4
1； 2,
3
32
2? ； 3,2ln21? ； 4,
3
4；
5,
22； 6,?
2
3； 7,
4； 8,
8；
9,
4
17； 1 0,时当 0,?2
3
8； 当
20
时,
3
2
3
8
3
； 当
2
时,?2
3
8
,
三,)1l n (1
1?
e,
六,2,
