全 微 分一、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得
),(),( yxfyxxf xyxf x ),(
),(),( yxfyyxf yyxf y ),(
二元函数对 x 和对 y 的 偏增量二元函数对 x 和对 y 的 偏微分全增量的概念如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的某邻域内有定义，并设
),( yyxxP 为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差
),(),( yxfyyxxf
为函数在点 P 对应于自变量增量 yx,的全增量，记为 z?,
即
z?
= ),(),( yxfyyxxf
一般来讲，全增量
z?
与 yx,的相依关系是比较复杂的，因此我们希望能象一元函数的微分那样，用 yx,的线性函数
yBxA
来 近似 表示,并 给出 误差 估计 。 由此引出 如下 定义,
全微分的定义如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的全增量
),(),( yxfyyxxfz 可以表示为
)(?oyBxAz,其中 BA,不依赖于
yx,而仅与 yx,有关，
22
)()( yx,
则称函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 可微分，
yBxA 称为函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的全微分,记为
dz
，即
dz
= yBxA,
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，
则称这函数在 D 内可微分,
如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 可微分,则函数在该点连续,
事实上
),(?oyBxAz,0lim0 z?
),(l i m
0
0
yyxxf
y
x
]),([lim 0 zyxf
),( yxf?
故函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处连续,
二、可微的条件定理 1 （必要条件） 如果函数 ),( yxfz? 在点
),( yx 可微分，则该函数在点 ),( yx 的偏导数
x
z
、
y
z
必存在，且函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的全微分为
y
y
z
x
x
z
dz?
,
证 如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yxP 可微分,
),( yyxxP P 的某个邻域
)(?oyBxAz 总成立,
当 0 y 时，上式仍成立，此时 || x,
),(),( yxfyxxf | ),(| xoxA
Ax yxfyxxf
x
),(),(lim
0,x
z
同理可得,yzB
一元函数在某点的导数存在 微分存在．
多元函数的各偏导数存在 全微分存在．
例如,
00
0
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
在点 )0,0( 处有
0)0,0()0,0( yx ff
])0,0()0,0([ yfxfz yx
,)()( 22 yx yx
如果考虑点 ),( yxP 沿着直线 xy? 趋近于 )0,0(,
则
22 )()( yx
yx
22 )()( xx
xx
,
2
1?
说明它不能随着 0 而趋于 0,0当 时
),(])0,0()0,0([?oyfxfz yx
函数在点 )0,0( 处不可微,
说明,多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，
定理２ （充分条件） 如果函数 ),( yxfz? 的偏导数
x
z
、
y
z
在点 ),( yx 连续，则该函数在点 ),( yx
可微分．
证 ),(),( yxfyyxxfz
)],(),([ yyxfyyxxf
) ],,(),([ yxfyyxf
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
),(),( yyxfyyxxf
xyyxxf x ),( 1? )10( 1
xxyxf x 1),(?（依偏导数的连续性）
其中 1? 为 yx,的函数,
且当 0,0 yx 时,01,
同理 ),(),( yxfyyxf
,),( 2 yyyxf y
当 0 y 时,02,
z? xxyxf x 1),(? yyyxf y 2),(?
21
21
yx?
,00
故函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处可微,
习惯上，记全微分为,dy
y
zdx
x
zdz
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合 叠加原理．
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
.dzzudyyudxxudu
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
例 1 计算函数 xyez? 在点 )1,2( 处的全微分,
解,xyye
x
z?
,xyxe
y
z?
,2
)1,2(
e
x
z?
,2 2
)1,2(
e
y
z?
所求全微分,2 22 dyedxedz
例 2 求函数 )2co s ( yxyz,当
4
x,y,
4
dx,dy 时的全微分,
解 ),2s i n ( yxy
x
z
),2s in (2)2c o s ( yxyyxyz
dy
y
zdx
x
zdz
),
4
(),4(
),
4
(
).74(8 2
例 3 计算函数 yzeyxu
2
s i n 的全微分,
解,1?
x
u,
2c o s2
1 yzzey
y
u
,yzye
z
u?
所求全微分,)
2co s2
1( dzyedyzeydxdu yzyz
例 4 试证函数
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
1
s i n
),(
22
yx
yx
yx
xy
yxf 在点 )0,0( 连续且偏导数存在，但偏导数在点 )0,0(
不连续，而 f 在点 )0,0( 可微,
思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分
)0,0(),(?yx,)0,0(),(?yx 讨论,
证 令,co sx,s i ny
则 22)0,0(),(
1s i nl i m
yx
xy
yx
1s i nc o ss i nlim 2
0
0? ),0,0(f?
故函数在点 )0,0( 连续,
)0,0(xf x fxfx )0,0()0,(lim 0,000lim
0
xx
同理,0)0,0(?yf
当 )0,0(),(?yx 时,
),( yxf x,1c o s)(1s in 22322
2
22 yxyx
yx
yxy
当点 ),( yxP 沿直线 xy? 趋于 )0,0( 时,
),(lim )0,0(),( yxf xxx?
,||2 1c o s||22||2 1s inlim 3
3
0
xx
x
xxx 不存在,
所以 ),( yxf x 在 )0,0( 不连续,
同理可证 ),( yxf y 在 )0,0( 不连续,
)0,0(),( fyxff
22 )()(
1s i n
yx
yx
))()(( 22 yxo
故 ),( yxf 在点 )0,0( 可微多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导三、小结
１、多元函数全微分的概念；
２、多元函数全微分的求法；
３、多元函数连续、可导、可微的关系．
（注意：与一元函数有很大区别）
思考题函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 处可微的充分条件是,
（ 1 ） ),( yxf 在点 ),(
00
yx 处连续；
（ 2 ） ),( yxf
x
,),( yxf
y
在点 ),(
00
yx 的某邻域存在；
（ 3 ） yyxfxyxfz
yx
),(),(,
当 0)()(
22
yx 时是无穷小量；
（ 4 ）
22
)()(
),(),(
yx
yyxfxyxfz
yx
,
当 0)()(
22
yx 时是无穷小量,
练 习 题一,填空题,
1,设
x
y
ez?,则?
x
z
____ __ ___ __ __ ；
y
z
___ __ __ ___ __ ；?dz __ ___ __ ___ __,
2,若 )l n (
222
zyxu,则
du
__ ___ __ ___ __ __ ___ __ ___ __ __ __ _,
3,若函数
x
y
z?,当
1,2 yx
,
2.0,1.0 yx
时,
函数的全增量
z
__ __ ___ ; 全微分
dz
___ __ ___,
4,若 函 数
y
x
xyz
,则
xz 对的 偏 增 量
z
x ___ __ ___ __ _;?
x
z
x
x 0
lim __ __ ___ __ __ ___,
二,求函数 )1l n (
22
yxz 当,1?x
2?y 时的全微分,
三,计算
33
)97.1()02.1(? 的近似值,
四,设有一无盖园柱形容器,容器的壁与底的厚度均为
cm1.0
，内高为 cm20,内半径为
cm4
,求容器外壳体积的近似值,
五,测得一块三角形土地的两边边长分别为 m1.063? 和
m1.078?
,这两边的夹角为
0
160?
,试求三角形面积的近似值,并求其绝对误差和相对误差,
六、利用全微分证明,乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和 ; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和,
七、求函数
),( yxf
0,0
0,
1
s i n)(
22
22
22
22
yx
yx
yx
yx
的偏导数,并研究在点
)0,0(
处偏导数的连续性及函数
),( yxf
的可微性,
练习题答案一,1,)(
1
,
1
,
2
dydx
x
y
e
x
e
x
e
x
y
x
y
x
y
x
y
；
2,
222
)(2
zyx
z d zy d yx d x
； 3,-0.119,-0,125 ；
4,
y
yx
y
y
1
,)
1
(,
二,dydx
3
2
3
1
,三,2.9 5,四、
3
cm3.55
.
五、
%.30.1,m6.27,m2128
22
七,),(),,( yxfyxf
yx
在
)0,0(
处均不连续,
),( yxf
在点 (0,0) 处可微,
),(),( yxfyxxf xyxf x ),(
),(),( yxfyyxf yyxf y ),(
二元函数对 x 和对 y 的 偏增量二元函数对 x 和对 y 的 偏微分全增量的概念如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的某邻域内有定义，并设
),( yyxxP 为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差
),(),( yxfyyxxf
为函数在点 P 对应于自变量增量 yx,的全增量，记为 z?,
即
z?
= ),(),( yxfyyxxf
一般来讲，全增量
z?
与 yx,的相依关系是比较复杂的，因此我们希望能象一元函数的微分那样，用 yx,的线性函数
yBxA
来 近似 表示,并 给出 误差 估计 。 由此引出 如下 定义,
全微分的定义如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的全增量
),(),( yxfyyxxfz 可以表示为
)(?oyBxAz,其中 BA,不依赖于
yx,而仅与 yx,有关，
22
)()( yx,
则称函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 可微分，
yBxA 称为函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的全微分,记为
dz
，即
dz
= yBxA,
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，
则称这函数在 D 内可微分,
如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 可微分,则函数在该点连续,
事实上
),(?oyBxAz,0lim0 z?
),(l i m
0
0
yyxxf
y
x
]),([lim 0 zyxf
),( yxf?
故函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处连续,
二、可微的条件定理 1 （必要条件） 如果函数 ),( yxfz? 在点
),( yx 可微分，则该函数在点 ),( yx 的偏导数
x
z
、
y
z
必存在，且函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的全微分为
y
y
z
x
x
z
dz?
,
证 如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yxP 可微分,
),( yyxxP P 的某个邻域
)(?oyBxAz 总成立,
当 0 y 时，上式仍成立，此时 || x,
),(),( yxfyxxf | ),(| xoxA
Ax yxfyxxf
x
),(),(lim
0,x
z
同理可得,yzB
一元函数在某点的导数存在 微分存在．
多元函数的各偏导数存在 全微分存在．
例如,
00
0
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
在点 )0,0( 处有
0)0,0()0,0( yx ff
])0,0()0,0([ yfxfz yx
,)()( 22 yx yx
如果考虑点 ),( yxP 沿着直线 xy? 趋近于 )0,0(,
则
22 )()( yx
yx
22 )()( xx
xx
,
2
1?
说明它不能随着 0 而趋于 0,0当 时
),(])0,0()0,0([?oyfxfz yx
函数在点 )0,0( 处不可微,
说明,多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，
定理２ （充分条件） 如果函数 ),( yxfz? 的偏导数
x
z
、
y
z
在点 ),( yx 连续，则该函数在点 ),( yx
可微分．
证 ),(),( yxfyyxxfz
)],(),([ yyxfyyxxf
) ],,(),([ yxfyyxf
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
),(),( yyxfyyxxf
xyyxxf x ),( 1? )10( 1
xxyxf x 1),(?（依偏导数的连续性）
其中 1? 为 yx,的函数,
且当 0,0 yx 时,01,
同理 ),(),( yxfyyxf
,),( 2 yyyxf y
当 0 y 时,02,
z? xxyxf x 1),(? yyyxf y 2),(?
21
21
yx?
,00
故函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处可微,
习惯上，记全微分为,dy
y
zdx
x
zdz
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合 叠加原理．
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
.dzzudyyudxxudu
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
例 1 计算函数 xyez? 在点 )1,2( 处的全微分,
解,xyye
x
z?
,xyxe
y
z?
,2
)1,2(
e
x
z?
,2 2
)1,2(
e
y
z?
所求全微分,2 22 dyedxedz
例 2 求函数 )2co s ( yxyz,当
4
x,y,
4
dx,dy 时的全微分,
解 ),2s i n ( yxy
x
z
),2s in (2)2c o s ( yxyyxyz
dy
y
zdx
x
zdz
),
4
(),4(
),
4
(
).74(8 2
例 3 计算函数 yzeyxu
2
s i n 的全微分,
解,1?
x
u,
2c o s2
1 yzzey
y
u
,yzye
z
u?
所求全微分,)
2co s2
1( dzyedyzeydxdu yzyz
例 4 试证函数
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
1
s i n
),(
22
yx
yx
yx
xy
yxf 在点 )0,0( 连续且偏导数存在，但偏导数在点 )0,0(
不连续，而 f 在点 )0,0( 可微,
思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分
)0,0(),(?yx,)0,0(),(?yx 讨论,
证 令,co sx,s i ny
则 22)0,0(),(
1s i nl i m
yx
xy
yx
1s i nc o ss i nlim 2
0
0? ),0,0(f?
故函数在点 )0,0( 连续,
)0,0(xf x fxfx )0,0()0,(lim 0,000lim
0
xx
同理,0)0,0(?yf
当 )0,0(),(?yx 时,
),( yxf x,1c o s)(1s in 22322
2
22 yxyx
yx
yxy
当点 ),( yxP 沿直线 xy? 趋于 )0,0( 时,
),(lim )0,0(),( yxf xxx?
,||2 1c o s||22||2 1s inlim 3
3
0
xx
x
xxx 不存在,
所以 ),( yxf x 在 )0,0( 不连续,
同理可证 ),( yxf y 在 )0,0( 不连续,
)0,0(),( fyxff
22 )()(
1s i n
yx
yx
))()(( 22 yxo
故 ),( yxf 在点 )0,0( 可微多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导三、小结
１、多元函数全微分的概念；
２、多元函数全微分的求法；
３、多元函数连续、可导、可微的关系．
（注意：与一元函数有很大区别）
思考题函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 处可微的充分条件是,
（ 1 ） ),( yxf 在点 ),(
00
yx 处连续；
（ 2 ） ),( yxf
x
,),( yxf
y
在点 ),(
00
yx 的某邻域存在；
（ 3 ） yyxfxyxfz
yx
),(),(,
当 0)()(
22
yx 时是无穷小量；
（ 4 ）
22
)()(
),(),(
yx
yyxfxyxfz
yx
,
当 0)()(
22
yx 时是无穷小量,
练 习 题一,填空题,
1,设
x
y
ez?,则?
x
z
____ __ ___ __ __ ；
y
z
___ __ __ ___ __ ；?dz __ ___ __ ___ __,
2,若 )l n (
222
zyxu,则
du
__ ___ __ ___ __ __ ___ __ ___ __ __ __ _,
3,若函数
x
y
z?,当
1,2 yx
,
2.0,1.0 yx
时,
函数的全增量
z
__ __ ___ ; 全微分
dz
___ __ ___,
4,若 函 数
y
x
xyz
,则
xz 对的 偏 增 量
z
x ___ __ ___ __ _;?
x
z
x
x 0
lim __ __ ___ __ __ ___,
二,求函数 )1l n (
22
yxz 当,1?x
2?y 时的全微分,
三,计算
33
)97.1()02.1(? 的近似值,
四,设有一无盖园柱形容器,容器的壁与底的厚度均为
cm1.0
，内高为 cm20,内半径为
cm4
,求容器外壳体积的近似值,
五,测得一块三角形土地的两边边长分别为 m1.063? 和
m1.078?
,这两边的夹角为
0
160?
,试求三角形面积的近似值,并求其绝对误差和相对误差,
六、利用全微分证明,乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和 ; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和,
七、求函数
),( yxf
0,0
0,
1
s i n)(
22
22
22
22
yx
yx
yx
yx
的偏导数,并研究在点
)0,0(
处偏导数的连续性及函数
),( yxf
的可微性,
练习题答案一,1,)(
1
,
1
,
2
dydx
x
y
e
x
e
x
e
x
y
x
y
x
y
x
y
；
2,
222
)(2
zyx
z d zy d yx d x
； 3,-0.119,-0,125 ；
4,
y
yx
y
y
1
,)
1
(,
二,dydx
3
2
3
1
,三,2.9 5,四、
3
cm3.55
.
五、
%.30.1,m6.27,m2128
22
七,),(),,( yxfyxf
yx
在
)0,0(
处均不连续,
),( yxf
在点 (0,0) 处可微,
