定积分在物理学中的应用前面我们已经介绍了定积分在几何方面的应用,我们看到,在利用定积分解决几何上诸如平面图形的面积,平面曲线的弧长,
旋转体的体积等问题时,关键在于写出所求量的微元定积分在物理方面的应用的关键也是如此，希望大家注意如何写出所求量的微元
—— 微功、微压力、微引力等由物理学知道，如果一个物体在 常力 F
作用下，使得物体沿力的方向作直线运动,
物体有位移 s 时，力 F对物体所作的功为：
W=F*s
这个公式只有在力 F是 不变 的情况下才适用,但在实际问题中,物体在运动过程中所受到的力是变化的 。 下面我们通过例子来说明如何利用微元法来求变力所作的功 。
例 1 已知弹簧每伸长 0.02 m 要用 9,8 N 的力,
求把弹簧拉长 0,1 m 需作多少功一、变力沿直线作功当我们拉长弹簧时,需要克服弹性力作功,由 Hoke 定律,弹性力 F与伸长量 x 之间有函数关系,F=kx
k —— 弹性系数用微元法由题设 9.8=0.02k k= 490
要求的是变力所作的功
F=490x
取 x 为积分变量 积分区间为 [0,0.1]
]1.0,0[],[ dxxx
弹簧由 x 处拉到 x +dx 处，由 F (x ）
的连续性，当 dx 很小时，弹性力 F (x) 变化很小，可近似地看作是不变的（常力）
解于是在小区间 [x,x +dx ]上对应的变力 F所作的功近似于把变力 F看作常力
F =490x 所作的功
xdxdxxFdW 490)(
1.0
0
45.2490 JxdxW
例 2 发射火箭需要计算克服地球引力所作的功,设火箭的质量为 m,问将火箭垂直地向上发射到离地面高 H 时,需作多少功 。 并由此计算初速度至少为多少时,方可使火箭脱离地球的引力范围解 取 ox 轴竖直向上
x
o
R
R+H
地球半径设为 R 质量为 M，由万有引力定律，
即 x =R 时火箭所受的引力就是火箭的重力 mg
2x
mMkf?
火箭所受地球的引力随火箭发射的高度 x 而变化当火箭在地面上
2
2,gRkMmgR
mMk
代入上式 22 1xm g Rf
为了发射火箭，必须克服地球引力，
克服地球引力的外力 F与 f 大小相等
2
2 1)(
xm g RxF下面用微元法来求变力所作的功。
],[ HRRx
dxxm g RdxxFdW 22 1)(
dx
x
m g RW
HR
R
H?
22 1 )11(2
HRRm g R
取 x 为积分变量
m g RHRRm g Rww
H
H
H
)11(2limlim
H
所须作的功为了使火箭脱离地球引力范围，也就是说要把火箭发射到无穷远处
0v
则动能为 20
2
1 mv
因此要使火箭脱离地球引力范围，须有
m g Rmv?2021 gRv 20?
kmRskmg 6371,108.9 23
代入上式得 skmv 2.110? —— 第二宇宙速度这功是由火箭上的动能转化而来，若火箭离开地面时的初速度为半径为 R，高为 H 的圆柱形贮水桶，盛满了水，
问将水桶中的水全部吸出须作多少功？
解 这个问题虽然不是变力作功问题，但是由于吸出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的，所以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地被吸到桶口的在区间 [ y,y + dy ] 上对应一小薄柱体该水柱重为 dyR2?
将这一小水柱提到桶口所经过的距离
yH?
例 3
dyyHRdw )(2
22
0
2
2
)( HRdyyHRw
H
将以上几例的解法一般化 可得若一物体在变力 F ( x ) 的作用下，沿力的方向（ ox 轴）作直线运动，当物体由
x = a 移到 x = b 时，变力 F ( x )
b
a
dxxFw )(
对物体所作的功为由物理学知道，一水平放置在液体中的薄板，
其面积为 A，距液面的深度为 h,则该薄板的一侧所受的压力 P等于液体的压强 p 与受力面积的乘积，而压强等于深度与比重的乘积，于是
hApAP
但在实际问题中，往往需要计算与液面垂直放置的薄板一侧的所受的压力，由于薄板在不同深度处压强不同，因而不能直接应用上述公式进行计算，
需要采用微元法，利用定积分来计算。
例 4 设半径为 R的圆形水闸门，水面与闸顶平齐，
求闸门一侧所受的压力。
二、液体的侧压力取坐标系如图 o
x
y
y+dy
2R
y
],[ dyyy ]2,0[ R
x d yydP 2
dyRyRyP
R
2
0
22 )(?
dttRRtRyt
R
R
22)(2)(?令
dttRdttRt
R
R
R
R
2222 22
奇函数 偶函数
dttR
R
0
224? 3
四分之一圆面积
x解边长为 a,b 的矩形薄板，与液面成 角斜沉于液体中，长边平行于液面而位于深 h 处
，设 a > b 液体的比重为,求板的一侧所受的压力。
解 如图建立坐标系
s i n,s i n 00
hxxh
坐标为 x 处液体的深度为
s inx
a d xxdF s i n
0xx
x+dx
bx?0 a
b
例 5
bx
x
xdxaF
0
0
s in ])[(s i n
2
1 2
0
2
0 xbxa
)s i n2(21 bhab
得液体的侧压力的计算公式
b
a
dxxgxfxP )]()([?
o
x
y
a
b
x )( xfy?
)( xgy?
将以上几例的解法一般化由万有引力定律：两个质量分别为 21,mm
相距为 r 的质点间的引力
2
21
r
mmkF?
若要计算一细长杆对一质点的引力，此时由于细杆上各点与质点的距离是变化的，所以不能直接利用上述公式计算。
例 6 设有一长为 l 质量为 M 的均匀细杆，另有一质量为 m 的质点和杆在一条直线上，它到杆的近端距离为 a,求细杆对质点的引力。
三、引力取 x 为积分变量
],0[],[ ldxxx
该小段细杆的质量为 dxl
M
dx
ax
l
Mm
kdF 2
)(?
dxaxlmMkF
l
0
2)(
1
)( ala
k m M
若把问题改为求细杆对位于它的一端垂线上距杆 a 处的质量为 m 质点的引力。
解 取坐标系如图
0 l·m
a
x dxx?取 x 为积分变量
],0[],[ ldxxx
该小段细杆的质量为 dxlM
dx
ax
l
Mm
kdF 2
)(?
dxaxlmMkF
l
0
2)(
1
)( ala
k m M
若把问题改为求细杆对位于它的一端垂线上距杆 a 处的质量为 m 质点的引力。
解 如图建立坐标系
2F
1F ],0[],[ ldxxx
dxaxl mMkdF )( 22
dxax xaxl mMkdF x 2222 )()(
dx
ax
a
axl
mMkdF
y 2222 )()(
][
)(
22
22
0 2
3
22
1 alalaal
kmMdx
ax
x
l
mMkF l
22
0 2
3
22
2
)(
1
laa
kmMdx
ax
l
k m M aF l
尤其是如何在具体问题中取,微元,—— 微功,微压力,微引力等 。 这对于从形式到内容真正地把握公式是非常必要的,相反如果仅满足于套用公式解决一些简单问题而不求甚解,
那么遇到一些稍有灵活性的问题,便可能束手无策,不知如何下手 。
四、平均值和均方根
b
a
dxxf
ab
y )(1?
b
a
dxxf
ab
s )(1 2
关于定积分在物理方面的应用，除了应熟记各个公式的结果外，还须了解其推导过程关于定积分的应用说明三点：
1。选择合适的坐标系
2。善于根据问题的性质和要求构造积分元素，主要是选择好参数，并能正确地确定出积分限，
3。具体计算定积分时，要特别注意和充分并且慎重应用对称性及等量关系以简化定积分的计算，对此，熟悉区域或曲线的形状，对于解决问题是十分有益的。
利用,微元法,思想求变力作功、
水压力和引力等物理问题．
（注意熟悉相关的物理知识）
思考题一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？
五、小结该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力．因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关．
思考题解答练 习 题一,直径为 20 厘米，高为 80 厘米的圆柱体内充满压强为
3
10
厘米牛 的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？
二,一物体按规律
3
tcx? 作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由 0?x 移至 ax? 时，
克服媒质阻力所作的功,
三,有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长 610 米和米，高为 20 米，较长的底边与水面相齐,计算闸门的一侧所受的水压力,
四,半径为 的球沉r 入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作多少功？
五,一块 a高为,b底为 的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力,
六,设有一半
R径为
，中心
角为的圆弧形细棒，其线密度为
常数
，在圆心处有 一质的量为 m
质点
M
，试求这细棒对质
M点的引力,
七,油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流速越小，实验测定，某处的流 与速 v 流处到管子中心的距 之间离 r 有 关 系 式 )(
22
rakv,其中为比例k 常数,为油管a 半径,求通过油管的流量
（注：当流速为常量时，流量 = 流速? 截面积）,
练习题答案一,2ln800? ( 焦耳 ).
二、
3
7
3
2
7
25
akc ( 其 为中 k 比例常数 ),
三,143 73 ( 千牛 ),四,gr
4
3
4
,五,?ba
2
6
1
.
六、引力的大小为
2
s i n
2
R
km
,方向 指为 M 向圆弧的中心,
七、
4
2
a
k?
.
旋转体的体积等问题时,关键在于写出所求量的微元定积分在物理方面的应用的关键也是如此，希望大家注意如何写出所求量的微元
—— 微功、微压力、微引力等由物理学知道，如果一个物体在 常力 F
作用下，使得物体沿力的方向作直线运动,
物体有位移 s 时，力 F对物体所作的功为：
W=F*s
这个公式只有在力 F是 不变 的情况下才适用,但在实际问题中,物体在运动过程中所受到的力是变化的 。 下面我们通过例子来说明如何利用微元法来求变力所作的功 。
例 1 已知弹簧每伸长 0.02 m 要用 9,8 N 的力,
求把弹簧拉长 0,1 m 需作多少功一、变力沿直线作功当我们拉长弹簧时,需要克服弹性力作功,由 Hoke 定律,弹性力 F与伸长量 x 之间有函数关系,F=kx
k —— 弹性系数用微元法由题设 9.8=0.02k k= 490
要求的是变力所作的功
F=490x
取 x 为积分变量 积分区间为 [0,0.1]
]1.0,0[],[ dxxx
弹簧由 x 处拉到 x +dx 处，由 F (x ）
的连续性，当 dx 很小时，弹性力 F (x) 变化很小，可近似地看作是不变的（常力）
解于是在小区间 [x,x +dx ]上对应的变力 F所作的功近似于把变力 F看作常力
F =490x 所作的功
xdxdxxFdW 490)(
1.0
0
45.2490 JxdxW
例 2 发射火箭需要计算克服地球引力所作的功,设火箭的质量为 m,问将火箭垂直地向上发射到离地面高 H 时,需作多少功 。 并由此计算初速度至少为多少时,方可使火箭脱离地球的引力范围解 取 ox 轴竖直向上
x
o
R
R+H
地球半径设为 R 质量为 M，由万有引力定律，
即 x =R 时火箭所受的引力就是火箭的重力 mg
2x
mMkf?
火箭所受地球的引力随火箭发射的高度 x 而变化当火箭在地面上
2
2,gRkMmgR
mMk
代入上式 22 1xm g Rf
为了发射火箭，必须克服地球引力，
克服地球引力的外力 F与 f 大小相等
2
2 1)(
xm g RxF下面用微元法来求变力所作的功。
],[ HRRx
dxxm g RdxxFdW 22 1)(
dx
x
m g RW
HR
R
H?
22 1 )11(2
HRRm g R
取 x 为积分变量
m g RHRRm g Rww
H
H
H
)11(2limlim
H
所须作的功为了使火箭脱离地球引力范围，也就是说要把火箭发射到无穷远处
0v
则动能为 20
2
1 mv
因此要使火箭脱离地球引力范围，须有
m g Rmv?2021 gRv 20?
kmRskmg 6371,108.9 23
代入上式得 skmv 2.110? —— 第二宇宙速度这功是由火箭上的动能转化而来，若火箭离开地面时的初速度为半径为 R，高为 H 的圆柱形贮水桶，盛满了水，
问将水桶中的水全部吸出须作多少功？
解 这个问题虽然不是变力作功问题，但是由于吸出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的，所以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地被吸到桶口的在区间 [ y,y + dy ] 上对应一小薄柱体该水柱重为 dyR2?
将这一小水柱提到桶口所经过的距离
yH?
例 3
dyyHRdw )(2
22
0
2
2
)( HRdyyHRw
H
将以上几例的解法一般化 可得若一物体在变力 F ( x ) 的作用下，沿力的方向（ ox 轴）作直线运动，当物体由
x = a 移到 x = b 时，变力 F ( x )
b
a
dxxFw )(
对物体所作的功为由物理学知道，一水平放置在液体中的薄板，
其面积为 A，距液面的深度为 h,则该薄板的一侧所受的压力 P等于液体的压强 p 与受力面积的乘积，而压强等于深度与比重的乘积，于是
hApAP
但在实际问题中，往往需要计算与液面垂直放置的薄板一侧的所受的压力，由于薄板在不同深度处压强不同，因而不能直接应用上述公式进行计算，
需要采用微元法，利用定积分来计算。
例 4 设半径为 R的圆形水闸门，水面与闸顶平齐，
求闸门一侧所受的压力。
二、液体的侧压力取坐标系如图 o
x
y
y+dy
2R
y
],[ dyyy ]2,0[ R
x d yydP 2
dyRyRyP
R
2
0
22 )(?
dttRRtRyt
R
R
22)(2)(?令
dttRdttRt
R
R
R
R
2222 22
奇函数 偶函数
dttR
R
0
224? 3
四分之一圆面积
x解边长为 a,b 的矩形薄板，与液面成 角斜沉于液体中，长边平行于液面而位于深 h 处
，设 a > b 液体的比重为,求板的一侧所受的压力。
解 如图建立坐标系
s i n,s i n 00
hxxh
坐标为 x 处液体的深度为
s inx
a d xxdF s i n
0xx
x+dx
bx?0 a
b
例 5
bx
x
xdxaF
0
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2
1 2
0
2
0 xbxa
)s i n2(21 bhab
得液体的侧压力的计算公式
b
a
dxxgxfxP )]()([?
o
x
y
a
b
x )( xfy?
)( xgy?
将以上几例的解法一般化由万有引力定律：两个质量分别为 21,mm
相距为 r 的质点间的引力
2
21
r
mmkF?
若要计算一细长杆对一质点的引力，此时由于细杆上各点与质点的距离是变化的，所以不能直接利用上述公式计算。
例 6 设有一长为 l 质量为 M 的均匀细杆，另有一质量为 m 的质点和杆在一条直线上，它到杆的近端距离为 a,求细杆对质点的引力。
三、引力取 x 为积分变量
],0[],[ ldxxx
该小段细杆的质量为 dxl
M
dx
ax
l
Mm
kdF 2
)(?
dxaxlmMkF
l
0
2)(
1
)( ala
k m M
若把问题改为求细杆对位于它的一端垂线上距杆 a 处的质量为 m 质点的引力。
解 取坐标系如图
0 l·m
a
x dxx?取 x 为积分变量
],0[],[ ldxxx
该小段细杆的质量为 dxlM
dx
ax
l
Mm
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)(?
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2)(
1
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若把问题改为求细杆对位于它的一端垂线上距杆 a 处的质量为 m 质点的引力。
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1F ],0[],[ ldxxx
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dx
ax
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mMkdF
y 2222 )()(
][
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22
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0 2
3
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1 alalaal
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1
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kmMdx
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尤其是如何在具体问题中取,微元,—— 微功,微压力,微引力等 。 这对于从形式到内容真正地把握公式是非常必要的,相反如果仅满足于套用公式解决一些简单问题而不求甚解,
那么遇到一些稍有灵活性的问题,便可能束手无策,不知如何下手 。
四、平均值和均方根
b
a
dxxf
ab
y )(1?
b
a
dxxf
ab
s )(1 2
关于定积分在物理方面的应用，除了应熟记各个公式的结果外，还须了解其推导过程关于定积分的应用说明三点：
1。选择合适的坐标系
2。善于根据问题的性质和要求构造积分元素，主要是选择好参数，并能正确地确定出积分限，
3。具体计算定积分时，要特别注意和充分并且慎重应用对称性及等量关系以简化定积分的计算，对此，熟悉区域或曲线的形状，对于解决问题是十分有益的。
利用,微元法,思想求变力作功、
水压力和引力等物理问题．
（注意熟悉相关的物理知识）
思考题一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？
五、小结该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力．因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关．
思考题解答练 习 题一,直径为 20 厘米，高为 80 厘米的圆柱体内充满压强为
3
10
厘米牛 的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？
二,一物体按规律
3
tcx? 作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由 0?x 移至 ax? 时，
克服媒质阻力所作的功,
三,有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长 610 米和米，高为 20 米，较长的底边与水面相齐,计算闸门的一侧所受的水压力,
四,半径为 的球沉r 入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作多少功？
五,一块 a高为,b底为 的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力,
六,设有一半
R径为
，中心
角为的圆弧形细棒，其线密度为
常数
，在圆心处有 一质的量为 m
质点
M
，试求这细棒对质
M点的引力,
七,油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流速越小，实验测定，某处的流 与速 v 流处到管子中心的距 之间离 r 有 关 系 式 )(
22
rakv,其中为比例k 常数,为油管a 半径,求通过油管的流量
（注：当流速为常量时，流量 = 流速? 截面积）,
练习题答案一,2ln800? ( 焦耳 ).
二、
3
7
3
2
7
25
akc ( 其 为中 k 比例常数 ),
三,143 73 ( 千牛 ),四,gr
4
3
4
,五,?ba
2
6
1
.
六、引力的大小为
2
s i n
2
R
km
,方向 指为 M 向圆弧的中心,
七、
4
2
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k?
.
