微分法在几何上的应用一、空间曲线的切线和法平面定义 设 M 是空间曲线 L 上的一个定点,M*是
L 上的一个动点,当 M* 沿曲线 L 趋于 M
时,割线 MM* 的极限位置 MT （如果极限存在） 称为曲线 L 在 M 处的切线下面我们来导出空间曲线的切线方程
Ⅰ 。设空间曲线的方程 )1(
)(
)(
)(
tz
ty
tx
(1)式中的三个函数均可导,且导数不同时为零;),,,( 0000 ttzyxM?对应于设
.
),,(
0
000
*
ttt
zzyyxxM
对应于
o
z
yx
M?
*.M
的方程割线 *MM
z
zz
y
yy
x
xx
000
o
z
yx
M?
*.M
考察割线趋近于极限位置 —— 切线的过程上式分母同除以,t?
,000 zzzy yyx xx
t? t? t?
,0,* 时即当 tMM?
曲线在 M处的切线方程,)()()(
0
0
0
0
0
0
t
zz
t
yy
t
xx
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量,
)(),(),( 000 tttT
法平面：过 M0 点且与切线垂直的平面,
0))(())(())(( 000000 zztyytxxt
例 1 求曲线,
t u
u duex
0
c o s,ty s i n2?
tc o s?,
t
ez
3
1 在 0?t 处的切线和法平面方程,
解 当 0?t 时，,2,1,0 zyx
,co s tex t,s i nco s2 tty,3 3 tez
,1)0(x,2)0(y,3)0(z
切线方程,
3
2
2
1
1
0 zyx
法平面方程,0)2(3)1(2 zyx
.0832 zyx即
Ⅱ 。空间曲线方程,
)(
)(
xz
xy
取 x 为参数
,),,( 000 处在 zyxM
切线方程为,
)()(1 0
0
0
00
x
zz
x
yyxx
法平面方程为
.0))(())(()( 00000 zzxyyxxx
Ⅲ 。空间曲线方程,0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
切向量
yx
yx
xz
xz
zy
zy
GG
FF
GG
FF
GG
FF
T,,
切线方程
,
0
0
0
0
0
0
yx
yx
xz
xz
zy
zy
GG
FF
zz
GG
FF
yy
GG
FF
xx?
法平面方程为
0)()()( 0
0
0
0
0
0
zz
GG
FF
yy
GG
FF
xx
GG
FF
yx
yx
xz
xz
zy
zy
例 2 求曲线 6222 zyx,0 zyx 在点 )1,2,1(? 处的切线及法平面方程,
解 1 直接利用公式 ;
解 2 将所给方程的两边对 x 求导并移项，得
1
dx
dz
dx
dy
x
dx
dz
z
dx
dy
y
,
zy
xz
dx
dy
,zy yxdxdz
,0
)1,2,1(
dx
dy,1
)1,2,1(
dx
dz
由此得切向量 },1,0,1{T?
所求切线方程为,1 10 21 1 zyx
法平面方程为,0)1()2(0)1( zyx
0 zx
二、曲面的切平面与法线
Ⅰ 。设曲面方程为
0),,(?zyxF
在曲面上任取一条通过点 M的曲线
,
)(
)(
)(
:
tz
ty
tx
n? T?
M
曲线在 M处的切向量 ) },(),(),({ 000 tttT
令 )},,(),,,(),,,({ 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx
由于曲线是曲面上通过 M 的任意一条曲线，它们在 M 的切线都与同一向量 n
垂直，故曲面上通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点 M 的 切平面,
则,Tn
切平面方程为
0))(,,(
))(,,())(,,(
0000
00000000
zzzyxF
yyzyxFxxzyxF
z
yx
通过点 ),,( 000 zyxM 而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线,
法线方程为
),,(),,(),,( 000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量,
曲面在 M处的法向量即
)},,(),,,(),,,({ 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx
Ⅱ 。空间曲面方程形为 ),( yxfz?
令,),(),,( zyxfzyxF
曲面在 M处的切平面方程为
,))(,())(,( 0000000 zzyyyxfxxyxf yx
曲面在 M处的法线方程为
.
1),(),(
0
00
0
00
0
zz
yxf
yy
yxf
xx
yx
全微分的几何意义因为曲面在 M处的切平面方程为
))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx
切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数 ),(),( 00 yxyxfz?
),( yxfz? 在 ),( 00 yx 的全微分，表示曲面 ),( yxfz? 在点 ),,( 000 zyx 处的切平面上的点的竖坐标的增量,
若?,?,? 表示曲面的法向量的方向角，
并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z 轴的正向所成的角? 是锐角，则法向量的 方向余弦为
,1c o s 22
yx
x
ff
f
,
1
co s 22
yx
y
ff
f
.1 1c o s 22
yx ff
),( 00 yxff xx?
),( 00 yxff yy?
其中例 3 求旋转抛物面 122 yxz 在点 )4,1,2(
处的切平面及法线方程,
解,1),( 22 yxyxf
)4,1,2()4,1,2( }1,2,2{ yxn
},1,2,4{
切平面方程为,0)4()1(2)2(4 zyx
,0624 zyx
法线方程为,1 42 14 2 zyx例 4 求曲面 32 xyez
z 在点 )0,2,1( 处的切平面及法线方程,
解 令,32),,( xyezzyxF z
,42 )0,2,1()0,2,1( yF x,22 )0,2,1()0,2,1( xF y
,01 )0,2,1()0,2,1( zz eF
切平面方程,0)0(0)2(2)1(4 zyx
,042 yx
法线方程,0 01 22 1 zyx例 5 求曲面 2132
222 zyx 平行于平面
064 zyx 的各切平面方程,
解 设 为曲面上的切点,),,( 000 zyx
切平面方程为
0)(6)(4)(2 000000 zzzyyyxxx
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
,664412 000 zyx,2 000 zyx
因为 是曲面上的切点,),,( 000 zyx
满足方程,10 x
所求切点为 ),2,2,1( ),2,2,1(
切平面方程 (1) 0)2(12)2(8)1(2 zyx
2164 zyx
切平面方程 (2) 0)2(12)2(8)1(2 zyx
2164 zyx
例 6 在椭球面 上求一点,12
2
2
2
2
2
czbyax
使它的法线与坐标轴正向成等角解 令 1),,(
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xzyxF 则
222
2,2,2
c
zF
b
yF
a
xF
zyx
2
0
2
0
2
0 2,2,2
c
z
b
y
a
x
注意到法线与坐标轴正向的夹角,,相等故 co sco sco s
202020 czbyax 12
2
0
2
2
0
2
2
0
c
z
b
y
a
x
解得 222 1
cba
),,( 222
2
222
2
222
2
cba
c
cba
b
cba
a
所求的点为
),,( 000 zyxP 的法线的方向向量为故椭球面上任一点例 7 设 z = z ( x,y )由方程 0),(
cz
by
cz
axf
确定,其中 f ( u,v )可微证明 z = z ( x,y ) 表示锥面
),,(0 cbaP记 ),,( 000 zyxP 为曲面上一点则连接 PP0 的直线的方程为
tcz czby byax ax
000
)(
)(
)(
0
0
0
cztcz
bytby
axtax
时当 0?t
证
)
)(
)(
,
)(
)(
(
0
0
0
0
ccztc
bbytb
ccztc
aaxta
f
0),(
0
0
0
0?
cz
by
cz
ax
f
得出直线上的点都在曲面上，所以曲面是以 (a,b,c)
为顶点的锥面。
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意 符号 ）
思考题如果平面 01633 zyx? 与椭球面
163 222 zyx 相切，求?,
三、小结空间曲线的切线与法平面
（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用 推导法 ）
思考题解答设切点 ),,,( 000 zyx },2,2,6{ 000 zyxn
依题意知切向量为 }3,,3{
3
22
3
6 000
zyx
,00 xy,3 00 xz
切点满足曲面和平面方程
,
01693
01693
2
0
2
0
22
0
00
2
0
xxx
xxx
.2
练 习 题一,填空题,
1,曲线
2
,
1
,
1
tz
t
t
y
t
t
x?
再对应于 1?t 的点处切线方程为 _____ ____ _____ __ ；
法平面方程为 _____ _____ _____ _.
2,曲面 3 xyze
z
在点
)0,1,2(
处的切平面方程为
______ _____ _____ __ ；
法线方程为 ________ _____ ____ _.
二,求出曲线
32
,,tztytx
上的点,使在该点的切线平行于平面 42 zyx,
三,求球面
6
222
zyx
与抛物面
22
yxz
的交线在
)2,1,1(
处的切线方程,
四、求椭球面 12
222
zyx 上平行于平面
02 zyx 的切平面方程,
五、试证曲面 )0( aazyx 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a,
一,1,011682,
8
1
4
2
1
2
1
zyx
zy
x；
2,
0
2
1
1
2
,042
z
yx
yx,
二,)
27
1
,
9
1
,
3
1
()1,1,1(
21
PP 及,
三、
02
02
0
2
1
1
1
1
z
yxzyx
或,
四、
2
11
2 zyx
.
练习题答案
L 上的一个动点,当 M* 沿曲线 L 趋于 M
时,割线 MM* 的极限位置 MT （如果极限存在） 称为曲线 L 在 M 处的切线下面我们来导出空间曲线的切线方程
Ⅰ 。设空间曲线的方程 )1(
)(
)(
)(
tz
ty
tx
(1)式中的三个函数均可导,且导数不同时为零;),,,( 0000 ttzyxM?对应于设
.
),,(
0
000
*
ttt
zzyyxxM
对应于
o
z
yx
M?
*.M
的方程割线 *MM
z
zz
y
yy
x
xx
000
o
z
yx
M?
*.M
考察割线趋近于极限位置 —— 切线的过程上式分母同除以,t?
,000 zzzy yyx xx
t? t? t?
,0,* 时即当 tMM?
曲线在 M处的切线方程,)()()(
0
0
0
0
0
0
t
zz
t
yy
t
xx
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量,
)(),(),( 000 tttT
法平面：过 M0 点且与切线垂直的平面,
0))(())(())(( 000000 zztyytxxt
例 1 求曲线,
t u
u duex
0
c o s,ty s i n2?
tc o s?,
t
ez
3
1 在 0?t 处的切线和法平面方程,
解 当 0?t 时，,2,1,0 zyx
,co s tex t,s i nco s2 tty,3 3 tez
,1)0(x,2)0(y,3)0(z
切线方程,
3
2
2
1
1
0 zyx
法平面方程,0)2(3)1(2 zyx
.0832 zyx即
Ⅱ 。空间曲线方程,
)(
)(
xz
xy
取 x 为参数
,),,( 000 处在 zyxM
切线方程为,
)()(1 0
0
0
00
x
zz
x
yyxx
法平面方程为
.0))(())(()( 00000 zzxyyxxx
Ⅲ 。空间曲线方程,0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
切向量
yx
yx
xz
xz
zy
zy
GG
FF
GG
FF
GG
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切线方程
,
0
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0
0
0
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yx
yx
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zy
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GG
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法平面方程为
0)()()( 0
0
0
0
0
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zz
GG
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yy
GG
FF
xx
GG
FF
yx
yx
xz
xz
zy
zy
例 2 求曲线 6222 zyx,0 zyx 在点 )1,2,1(? 处的切线及法平面方程,
解 1 直接利用公式 ;
解 2 将所给方程的两边对 x 求导并移项，得
1
dx
dz
dx
dy
x
dx
dz
z
dx
dy
y
,
zy
xz
dx
dy
,zy yxdxdz
,0
)1,2,1(
dx
dy,1
)1,2,1(
dx
dz
由此得切向量 },1,0,1{T?
所求切线方程为,1 10 21 1 zyx
法平面方程为,0)1()2(0)1( zyx
0 zx
二、曲面的切平面与法线
Ⅰ 。设曲面方程为
0),,(?zyxF
在曲面上任取一条通过点 M的曲线
,
)(
)(
)(
:
tz
ty
tx
n? T?
M
曲线在 M处的切向量 ) },(),(),({ 000 tttT
令 )},,(),,,(),,,({ 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx
由于曲线是曲面上通过 M 的任意一条曲线，它们在 M 的切线都与同一向量 n
垂直，故曲面上通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点 M 的 切平面,
则,Tn
切平面方程为
0))(,,(
))(,,())(,,(
0000
00000000
zzzyxF
yyzyxFxxzyxF
z
yx
通过点 ),,( 000 zyxM 而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线,
法线方程为
),,(),,(),,( 000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量,
曲面在 M处的法向量即
)},,(),,,(),,,({ 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx
Ⅱ 。空间曲面方程形为 ),( yxfz?
令,),(),,( zyxfzyxF
曲面在 M处的切平面方程为
,))(,())(,( 0000000 zzyyyxfxxyxf yx
曲面在 M处的法线方程为
.
1),(),(
0
00
0
00
0
zz
yxf
yy
yxf
xx
yx
全微分的几何意义因为曲面在 M处的切平面方程为
))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx
切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数 ),(),( 00 yxyxfz?
),( yxfz? 在 ),( 00 yx 的全微分，表示曲面 ),( yxfz? 在点 ),,( 000 zyx 处的切平面上的点的竖坐标的增量,
若?,?,? 表示曲面的法向量的方向角，
并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z 轴的正向所成的角? 是锐角，则法向量的 方向余弦为
,1c o s 22
yx
x
ff
f
,
1
co s 22
yx
y
ff
f
.1 1c o s 22
yx ff
),( 00 yxff xx?
),( 00 yxff yy?
其中例 3 求旋转抛物面 122 yxz 在点 )4,1,2(
处的切平面及法线方程,
解,1),( 22 yxyxf
)4,1,2()4,1,2( }1,2,2{ yxn
},1,2,4{
切平面方程为,0)4()1(2)2(4 zyx
,0624 zyx
法线方程为,1 42 14 2 zyx例 4 求曲面 32 xyez
z 在点 )0,2,1( 处的切平面及法线方程,
解 令,32),,( xyezzyxF z
,42 )0,2,1()0,2,1( yF x,22 )0,2,1()0,2,1( xF y
,01 )0,2,1()0,2,1( zz eF
切平面方程,0)0(0)2(2)1(4 zyx
,042 yx
法线方程,0 01 22 1 zyx例 5 求曲面 2132
222 zyx 平行于平面
064 zyx 的各切平面方程,
解 设 为曲面上的切点,),,( 000 zyx
切平面方程为
0)(6)(4)(2 000000 zzzyyyxxx
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
,664412 000 zyx,2 000 zyx
因为 是曲面上的切点,),,( 000 zyx
满足方程,10 x
所求切点为 ),2,2,1( ),2,2,1(
切平面方程 (1) 0)2(12)2(8)1(2 zyx
2164 zyx
切平面方程 (2) 0)2(12)2(8)1(2 zyx
2164 zyx
例 6 在椭球面 上求一点,12
2
2
2
2
2
czbyax
使它的法线与坐标轴正向成等角解 令 1),,(
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xzyxF 则
222
2,2,2
c
zF
b
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a
xF
zyx
2
0
2
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2
0 2,2,2
c
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b
y
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注意到法线与坐标轴正向的夹角,,相等故 co sco sco s
202020 czbyax 12
2
0
2
2
0
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2
0
c
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b
y
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x
解得 222 1
cba
),,( 222
2
222
2
222
2
cba
c
cba
b
cba
a
所求的点为
),,( 000 zyxP 的法线的方向向量为故椭球面上任一点例 7 设 z = z ( x,y )由方程 0),(
cz
by
cz
axf
确定,其中 f ( u,v )可微证明 z = z ( x,y ) 表示锥面
),,(0 cbaP记 ),,( 000 zyxP 为曲面上一点则连接 PP0 的直线的方程为
tcz czby byax ax
000
)(
)(
)(
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0
0
cztcz
bytby
axtax
时当 0?t
证
)
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,
)(
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0
0
0
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ccztc
bbytb
ccztc
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f
0),(
0
0
0
0?
cz
by
cz
ax
f
得出直线上的点都在曲面上，所以曲面是以 (a,b,c)
为顶点的锥面。
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意 符号 ）
思考题如果平面 01633 zyx? 与椭球面
163 222 zyx 相切，求?,
三、小结空间曲线的切线与法平面
（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用 推导法 ）
思考题解答设切点 ),,,( 000 zyx },2,2,6{ 000 zyxn
依题意知切向量为 }3,,3{
3
22
3
6 000
zyx
,00 xy,3 00 xz
切点满足曲面和平面方程
,
01693
01693
2
0
2
0
22
0
00
2
0
xxx
xxx
.2
练 习 题一,填空题,
1,曲线
2
,
1
,
1
tz
t
t
y
t
t
x?
再对应于 1?t 的点处切线方程为 _____ ____ _____ __ ；
法平面方程为 _____ _____ _____ _.
2,曲面 3 xyze
z
在点
)0,1,2(
处的切平面方程为
______ _____ _____ __ ；
法线方程为 ________ _____ ____ _.
二,求出曲线
32
,,tztytx
上的点,使在该点的切线平行于平面 42 zyx,
三,求球面
6
222
zyx
与抛物面
22
yxz
的交线在
)2,1,1(
处的切线方程,
四、求椭球面 12
222
zyx 上平行于平面
02 zyx 的切平面方程,
五、试证曲面 )0( aazyx 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a,
一,1,011682,
8
1
4
2
1
2
1
zyx
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0
2
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三、
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z
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或,
四、
2
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.
练习题答案
