多元函数微分学 习题课一、主要内容平面点集和区域 多元函数概念多元函数的极限极 限 运 算多元函数连续的概念多元连续函数的性质全微分概念偏导数概念方向导数 全微分的应用复合函数求导法则全微分形式的不变性高阶偏导数隐函数求导法则微分法在几何上的应用多元函数的极值
1、多元函数的极限说明,（ 1）定义中 的方式是任意的； 0PP?
（ 2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
存在性 ——定义，夹逼定理不存在 ——特殊路径、两种方式求法 ——运算法则、定义验证、夹逼定理消去致零因子、化成一元极限等
2、多元函数的连续性
)()(lim 0
0
PfPfPP
3、偏导数概念定义、求法偏导数存在与连续的关系高阶偏导数 ——纯偏导、混合偏导
4、全微分概念定义可微的必要条件 可微的充分条件利用定义验证不可微多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导
5、复合函数求导法则
),(),,(),,( yxvvyxuuvufz
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
法则22?
“分道相加，连线相乘”
法则的推广 ——任意多个中间变量，任意多个自变量如何求二阶偏导数
6、全微分形式不变性无论 是自变量 的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的,
z vu,vu、
dvvzduuzdz,
7、隐函数的求导法则
0),()1(?yxF
0),,()2(?zyxF
0),,(
0),,()3(
zyxG
zyxF
0),,,(
0),,,()4(
vuyxG
vuyxF
z
y
z
x
F
F
y
z
F
F
x
z
,
① 公式法 ② 直接法 ③ 全微分法
8、微分法在几何上的应用
(1) 空间曲线的切线与法平面
(２ ) 曲面的切平面与法线求直线、平面的方程定点（过点）、定向（方向向量、法向量）
曲线：参数式，一般式给出曲面：隐式、显式给出求隐函数偏导数的方法
10、多元函数的极值
9、方向导数与梯度定义计算公式（注意使用公式的条件）
梯度的概念 ——向量梯度与方向导数的关系极值、驻点、必要条件充分条件 )0( 2 ACB
求函数 ),( yxfz? 极值的一般步骤：
最值条件极值，目标函数、约束条件构造 Lagrange 函数
),,(),,(),,( zyxzyxfzyxF
二、典型例题例 1,
)(lim
22
0
0 yx
xxy
y
x?
求极限解 )0(,s i n,c o s yx令
.0)0,0(),(等价于则 yx
c o s)c o s( s in)(0 2
22
yx
xxy
c o s)c o s( s i n,2,0)(l i m
22
0
0
yx
xxy
y
x
故例 2 已知 ),,( ztzyyxfw
求 t
w
z
w
y
w
x
w
解
1fx
w?
21 ffy
w
32 ffz
w
3ft
w?
t
w
z
w
y
w
x
w
0?
例 3 已知 )s i n( cbyaxz 求 nm
nm
yx
z
解 )co s ( cbyaxa
x
z
)2s i n ( cbyaxa
)22s in(22
2?
cbyaxax z
)2s in( mcbyaxax z mm
m
)
22
s in (
1
mcbyaxba
yx
z m
m
m
)
2
)(s in (?nmcbyaxba
yx
z nm
nm
nm?
例 4,,,
)(),,(
2
2
2
3
yx
z
y
z
y
z
f
x
y
xyfxz
求
，具有二阶连续偏导数设解 )1( 213
xfxfxy
z
,
2214 fxfx
)1()1( 22212121142
2
xfxfxxfxfxy
z
,2 22123115 fxfxfx
,2 22123115 fxfxfx
xy
z
yx
z
22 )(
2
2
1
4 fxfx
)]([
2)]([4
22221
2
221211
4
1
3
x
y
fyfx
xf
x
y
fyfxfx
.24 22114213 fyfyxfxfx
例 5,,0),(
,s i n,0),,(),,,( 2
dx
du
z
f
xyzexzyxfu y
求且，具有一阶连续偏导数设
解,dx
dz
z
f
dx
dy
y
f
x
f
dx
du
,co s xdxdy?显然
,dxdz求 得的导数两边求对,0),,( 2 xzex y
,02 321 dxdzdxdyex y
于是可得,),co s2(1 2s i n1
3
xexdxdz x
.)co s2(1co s 2s i n1
3 z
fxex
y
fx
x
f
dx
du x
故
)( zyxezyx 求 2
22
2
2
,,y zyx zx z
解一 记 )(),,( zyxezyxzyxF
则 zyx FFF )(1 zyxe
1 yzxz 2
22
2
2
y
z
yx
z
x
z
0?
解二 方程两边对 x 求偏导
)1(1 )( xzexz zyx
0]1)[1( )( zyxexz
例 6 设
1 xz 由轮换对称性 1yz
2
22
2
2
y
z
yx
z
x
z
0?
两边取全微分
)()( dzdydxedzdydx zyx
0)](1[ )( dzdydxe zyx
0 dzdydx 即 dydxdz
1 yzxz 2
22
2
2
y
z
yx
z
x
z
0?
解三设有方程组?
33333
22222
cuzyx
buzyx
auzyx
求 dx
dy
解 两边对 x 求导
0
0
01
2222 uuzzyyx
uuzzyyx
uzy
这是一个以 uzy,,
为未知量的三元一次方程组若系数行列式
222
111
uzy
uzyD?
（ Vandermond行列式）
0))()(( zuyuyz
例 7
则有
222
111
1
uzx
uzx
D
y
))()((1 zuxuxzD
))((
))((
yuyz
xuxz
在半径为 R的圆的一切内接三角形中，
求其面积最大者解 如图若以 x,y,z 表示三角形的三边所对的圆心角，则 zyx
三角形的面积 )s i ns i n( s i n21 2 zyxRA
例 8
问题就是求 A在条件
zyx
下的最大值
x
yz
)2()s ins in( s in),,( zyxzyxzyxF
),,0( zyx
0c o s
0c o s
0c o s
zF
yF
xF
z
y
x
zyx c o sc o sc o s
zyx 32
2
m a x 4
33 RA
记例 9 已知 ),( yxuu? 满足方程
02
2
2
2
yuaxuay ux u
试选择参数,通过变换 yxeyxvyxu ),(),(
使原方程变形所得新方程中没有 v 对 x,y
的一阶偏导数解 yxev
x
v
x
u
)(
yxev
x
v
x
v
x
u
)2( 2
2
2
2
2
yxev
y
v
y
u
)(
yxev
y
v
y
v
y
u
)2( 2
2
2
2
2
代入方程 消去 yxe
0)(
)2()2(
22
2
2
2
2
vaa
y
v
a
x
v
a
y
v
x
v
令
02
02
a
a
解得
2,2
aa
因 0)(22 a
故变换后的方程为
02
2
2
2
y vx v
例 10
,,
),,(
0
0002
2
2
2
2
2
模此方向导数等于梯度的具有什么关系时的方向导数，问的向径处沿点在点求
cbar
zyxM
c
z
b
y
a
x
u
解,,,,2
020200000 0 zyxrzyxr
.co s,co s,co s
0
0
0
0
0
0
r
z
r
y
r
x
处的方向导数为在点 M?
co sco sco s
0
MMMM z
u
y
u
x
u
r
u
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
0 222
r
z
c
z
r
y
b
y
r
x
a
x )(2
2
2
2
2
2
2
0
000
c
z
b
y
a
x
r
.),,(2 2
0
2
0
2
000
0 zyx
zyxu
处的梯度为在点 M?
kzujyuixug r a d u MMMM
,222 2 02 02 0 kc zjb yia x
,2 4
2
4
2
4
2
000
c
z
b
y
a
xg r a d u
M
,时当 cba,2 2222 000 zyxag r a d u M
,
2)(
2
2
0
2
0
2
22
0
2
0
2
222
2
0
0
0
000
zyx
azyx
zyx
a
r
u
M
,
0
MM g r a d ur
u?
.,,,模此方向导数等于梯度的相等时故当 cba
例 11
之间的最短距离．
与平面求旋转抛物面 2222 zyxyxz
解
.22
6
1
,022
,),,(
22
zyxd
dzyxP
yxzzyxP
的距离为到平面则上任一点为抛物面设分析,
最小．即且使满足
，使得本题变为求一点
))22(
6
1
(
22
6
1
0
,,),,(
22
22
zyxd
zyxdzyx
zyxzyxP
),()22(61),,( 222 yxzzyxzyxF令 得
)4(,
)3(,0)2)(22(
3
1
)2(,02)22(
3
1
)1(,02)22(
3
1
22
yxz
zzyxF
yzyxF
xzyxF
z
y
x
.81,41,41 zyx解此方程组得
),81,41,41(即得唯一驻点处取得最小值．驻点，故必在一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值
)
8
1
,
4
1
,
4
1
(
.64 7241414161m i nd
试求曲面 xyz=1上任一点 ),,(
处的法线方程和切平面方程并证明切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积是一个常量证 设 1),,( x yzzyxF xyFxzFyzF zyx,,
法线
zyx
切平面 0)()()( zyx
即 3 zyx
例 12
切平面在三个坐标轴上的 截距 分别为
33,33,33
故切平面与三个坐标面所围成的四面体的 体积 为高底面积 31V |]3||3||3|21[31
2
9? ||
2
9 是一个常量例 13 设 y = f ( x,t ) 而 t 是由 F (x,y,t) 确定的
x,y 的函数,试证明
tyt
txtx
FFf
fFFf
dx
dy
证一 方程组
0),,(
),(
tyxF
txfy
确定了两个一元隐函数 y =y (x),t =t ( x )
两边分别对 x 求导得
xty
xt
F
dx
dt
F
dx
dy
F
f
dx
dt
f
dx
dy
解得
tyt
txtx
FFf
fFFf
dx
dy
证二 本题主要是弄清楚函数关系,具体求导则很简单，
初看起来似乎 y 是 x 的显函数 y = f ( x,t ),
但由 F ( x,y,t ) =0 可得 t = t ( x,y ),代入
y = f ( x,t ) 得 y = f [ x,t ( x,y ) ]
这是 y = y ( x ) 的隐函数表示形式按题意 t = t ( x,y ) 满足 F ( x,y,t ) =0
故
t
y
t
x
F
F
y
t
F
F
x
t
由 t = t ( x,y ) 得
dx
dy
y
t
x
t
dx
dt?
又 t = t ( x,y ) 满足 y = f ( x,t ),故
dx
dtff
dx
dy
tx
从而 )(
dx
dy
y
t
x
tff
dx
dy
tx?
解得
tyt
txtx
FFf
fFFf
dx
dy
证三 两边取全微分并移项得
dxFdtFdyF
dxfdtfdy
xty
xt
消去 dt 得 dxfFfFdyfFF txxttyt )()(
解得
tyt
txtx
FFf
fFFf
dx
dy
证四 曲面 F ( x,y,t ) =0 及 y = f ( x,t )
在（ x,t,y ) 空间中的法向量分别为
ytx FFFn,,11,,2 tx ffn?
21 nn 是两曲面的交线 L 的切向量
L 的方程为
)(
)(
xyy
xtt
xx
故 L 的切向量为
dx
dy
dx
dt,,1
21// nn
即
xttxyxxytt fFfFFfFFfFdxdydxdt,,,,1?
解得 tyt fFF
tyt
txtxxttx
FFf
fFFffFfF
dx
dy
1、多元函数的极限说明,（ 1）定义中 的方式是任意的； 0PP?
（ 2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
存在性 ——定义，夹逼定理不存在 ——特殊路径、两种方式求法 ——运算法则、定义验证、夹逼定理消去致零因子、化成一元极限等
2、多元函数的连续性
)()(lim 0
0
PfPfPP
3、偏导数概念定义、求法偏导数存在与连续的关系高阶偏导数 ——纯偏导、混合偏导
4、全微分概念定义可微的必要条件 可微的充分条件利用定义验证不可微多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导
5、复合函数求导法则
),(),,(),,( yxvvyxuuvufz
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
法则22?
“分道相加，连线相乘”
法则的推广 ——任意多个中间变量，任意多个自变量如何求二阶偏导数
6、全微分形式不变性无论 是自变量 的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的,
z vu,vu、
dvvzduuzdz,
7、隐函数的求导法则
0),()1(?yxF
0),,()2(?zyxF
0),,(
0),,()3(
zyxG
zyxF
0),,,(
0),,,()4(
vuyxG
vuyxF
z
y
z
x
F
F
y
z
F
F
x
z
,
① 公式法 ② 直接法 ③ 全微分法
8、微分法在几何上的应用
(1) 空间曲线的切线与法平面
(２ ) 曲面的切平面与法线求直线、平面的方程定点（过点）、定向（方向向量、法向量）
曲线：参数式，一般式给出曲面：隐式、显式给出求隐函数偏导数的方法
10、多元函数的极值
9、方向导数与梯度定义计算公式（注意使用公式的条件）
梯度的概念 ——向量梯度与方向导数的关系极值、驻点、必要条件充分条件 )0( 2 ACB
求函数 ),( yxfz? 极值的一般步骤：
最值条件极值，目标函数、约束条件构造 Lagrange 函数
),,(),,(),,( zyxzyxfzyxF
二、典型例题例 1,
)(lim
22
0
0 yx
xxy
y
x?
求极限解 )0(,s i n,c o s yx令
.0)0,0(),(等价于则 yx
c o s)c o s( s in)(0 2
22
yx
xxy
c o s)c o s( s i n,2,0)(l i m
22
0
0
yx
xxy
y
x
故例 2 已知 ),,( ztzyyxfw
求 t
w
z
w
y
w
x
w
解
1fx
w?
21 ffy
w
32 ffz
w
3ft
w?
t
w
z
w
y
w
x
w
0?
例 3 已知 )s i n( cbyaxz 求 nm
nm
yx
z
解 )co s ( cbyaxa
x
z
)2s i n ( cbyaxa
)22s in(22
2?
cbyaxax z
)2s in( mcbyaxax z mm
m
)
22
s in (
1
mcbyaxba
yx
z m
m
m
)
2
)(s in (?nmcbyaxba
yx
z nm
nm
nm?
例 4,,,
)(),,(
2
2
2
3
yx
z
y
z
y
z
f
x
y
xyfxz
求
，具有二阶连续偏导数设解 )1( 213
xfxfxy
z
,
2214 fxfx
)1()1( 22212121142
2
xfxfxxfxfxy
z
,2 22123115 fxfxfx
,2 22123115 fxfxfx
xy
z
yx
z
22 )(
2
2
1
4 fxfx
)]([
2)]([4
22221
2
221211
4
1
3
x
y
fyfx
xf
x
y
fyfxfx
.24 22114213 fyfyxfxfx
例 5,,0),(
,s i n,0),,(),,,( 2
dx
du
z
f
xyzexzyxfu y
求且，具有一阶连续偏导数设
解,dx
dz
z
f
dx
dy
y
f
x
f
dx
du
,co s xdxdy?显然
,dxdz求 得的导数两边求对,0),,( 2 xzex y
,02 321 dxdzdxdyex y
于是可得,),co s2(1 2s i n1
3
xexdxdz x
.)co s2(1co s 2s i n1
3 z
fxex
y
fx
x
f
dx
du x
故
)( zyxezyx 求 2
22
2
2
,,y zyx zx z
解一 记 )(),,( zyxezyxzyxF
则 zyx FFF )(1 zyxe
1 yzxz 2
22
2
2
y
z
yx
z
x
z
0?
解二 方程两边对 x 求偏导
)1(1 )( xzexz zyx
0]1)[1( )( zyxexz
例 6 设
1 xz 由轮换对称性 1yz
2
22
2
2
y
z
yx
z
x
z
0?
两边取全微分
)()( dzdydxedzdydx zyx
0)](1[ )( dzdydxe zyx
0 dzdydx 即 dydxdz
1 yzxz 2
22
2
2
y
z
yx
z
x
z
0?
解三设有方程组?
33333
22222
cuzyx
buzyx
auzyx
求 dx
dy
解 两边对 x 求导
0
0
01
2222 uuzzyyx
uuzzyyx
uzy
这是一个以 uzy,,
为未知量的三元一次方程组若系数行列式
222
111
uzy
uzyD?
（ Vandermond行列式）
0))()(( zuyuyz
例 7
则有
222
111
1
uzx
uzx
D
y
))()((1 zuxuxzD
))((
))((
yuyz
xuxz
在半径为 R的圆的一切内接三角形中，
求其面积最大者解 如图若以 x,y,z 表示三角形的三边所对的圆心角，则 zyx
三角形的面积 )s i ns i n( s i n21 2 zyxRA
例 8
问题就是求 A在条件
zyx
下的最大值
x
yz
)2()s ins in( s in),,( zyxzyxzyxF
),,0( zyx
0c o s
0c o s
0c o s
zF
yF
xF
z
y
x
zyx c o sc o sc o s
zyx 32
2
m a x 4
33 RA
记例 9 已知 ),( yxuu? 满足方程
02
2
2
2
yuaxuay ux u
试选择参数,通过变换 yxeyxvyxu ),(),(
使原方程变形所得新方程中没有 v 对 x,y
的一阶偏导数解 yxev
x
v
x
u
)(
yxev
x
v
x
v
x
u
)2( 2
2
2
2
2
yxev
y
v
y
u
)(
yxev
y
v
y
v
y
u
)2( 2
2
2
2
2
代入方程 消去 yxe
0)(
)2()2(
22
2
2
2
2
vaa
y
v
a
x
v
a
y
v
x
v
令
02
02
a
a
解得
2,2
aa
因 0)(22 a
故变换后的方程为
02
2
2
2
y vx v
例 10
,,
),,(
0
0002
2
2
2
2
2
模此方向导数等于梯度的具有什么关系时的方向导数，问的向径处沿点在点求
cbar
zyxM
c
z
b
y
a
x
u
解,,,,2
020200000 0 zyxrzyxr
.co s,co s,co s
0
0
0
0
0
0
r
z
r
y
r
x
处的方向导数为在点 M?
co sco sco s
0
MMMM z
u
y
u
x
u
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2
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2
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0 222
r
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2
2
2
2
2
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c
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b
y
a
x
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2
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0 zyx
zyxu
处的梯度为在点 M?
kzujyuixug r a d u MMMM
,222 2 02 02 0 kc zjb yia x
,2 4
2
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c
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M
,时当 cba,2 2222 000 zyxag r a d u M
,
2)(
2
2
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2
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2
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2
0
2
222
2
0
0
0
000
zyx
azyx
zyx
a
r
u
M
,
0
MM g r a d ur
u?
.,,,模此方向导数等于梯度的相等时故当 cba
例 11
之间的最短距离．
与平面求旋转抛物面 2222 zyxyxz
解
.22
6
1
,022
,),,(
22
zyxd
dzyxP
yxzzyxP
的距离为到平面则上任一点为抛物面设分析,
最小．即且使满足
，使得本题变为求一点
))22(
6
1
(
22
6
1
0
,,),,(
22
22
zyxd
zyxdzyx
zyxzyxP
),()22(61),,( 222 yxzzyxzyxF令 得
)4(,
)3(,0)2)(22(
3
1
)2(,02)22(
3
1
)1(,02)22(
3
1
22
yxz
zzyxF
yzyxF
xzyxF
z
y
x
.81,41,41 zyx解此方程组得
),81,41,41(即得唯一驻点处取得最小值．驻点，故必在一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值
)
8
1
,
4
1
,
4
1
(
.64 7241414161m i nd
试求曲面 xyz=1上任一点 ),,(
处的法线方程和切平面方程并证明切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积是一个常量证 设 1),,( x yzzyxF xyFxzFyzF zyx,,
法线
zyx
切平面 0)()()( zyx
即 3 zyx
例 12
切平面在三个坐标轴上的 截距 分别为
33,33,33
故切平面与三个坐标面所围成的四面体的 体积 为高底面积 31V |]3||3||3|21[31
2
9? ||
2
9 是一个常量例 13 设 y = f ( x,t ) 而 t 是由 F (x,y,t) 确定的
x,y 的函数,试证明
tyt
txtx
FFf
fFFf
dx
dy
证一 方程组
0),,(
),(
tyxF
txfy
确定了两个一元隐函数 y =y (x),t =t ( x )
两边分别对 x 求导得
xty
xt
F
dx
dt
F
dx
dy
F
f
dx
dt
f
dx
dy
解得
tyt
txtx
FFf
fFFf
dx
dy
证二 本题主要是弄清楚函数关系,具体求导则很简单，
初看起来似乎 y 是 x 的显函数 y = f ( x,t ),
但由 F ( x,y,t ) =0 可得 t = t ( x,y ),代入
y = f ( x,t ) 得 y = f [ x,t ( x,y ) ]
这是 y = y ( x ) 的隐函数表示形式按题意 t = t ( x,y ) 满足 F ( x,y,t ) =0
故
t
y
t
x
F
F
y
t
F
F
x
t
由 t = t ( x,y ) 得
dx
dy
y
t
x
t
dx
dt?
又 t = t ( x,y ) 满足 y = f ( x,t ),故
dx
dtff
dx
dy
tx
从而 )(
dx
dy
y
t
x
tff
dx
dy
tx?
解得
tyt
txtx
FFf
fFFf
dx
dy
证三 两边取全微分并移项得
dxFdtFdyF
dxfdtfdy
xty
xt
消去 dt 得 dxfFfFdyfFF txxttyt )()(
解得
tyt
txtx
FFf
fFFf
dx
dy
证四 曲面 F ( x,y,t ) =0 及 y = f ( x,t )
在（ x,t,y ) 空间中的法向量分别为
ytx FFFn,,11,,2 tx ffn?
21 nn 是两曲面的交线 L 的切向量
L 的方程为
)(
)(
xyy
xtt
xx
故 L 的切向量为
dx
dy
dx
dt,,1
21// nn
即
xttxyxxytt fFfFFfFFfFdxdydxdt,,,,1?
解得 tyt fFF
tyt
txtxxttx
FFf
fFFffFfF
dx
dy
