复合函数求导法则先回忆一下一元复合函数的微分法则可导而若 )()( xuufy 则复合函数
)]([ xfy 对 x 的导数为 dxdududydxdy
这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？
这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数如 ),( 22 xyyxfz 它是由 ),( vufz?
xyvyxu,22及 复合而成的由于 f 没有具体给出 时在求
y
z
x
z
,
一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。
一、链式法则定理 如果函数 )( tu 及 )( tv 都在点 t 可导，函数 ),( vufz? 在对应点 ),( vu 具有连续偏导数，则复合函数 )](),([ ttfz 在对应点 t 可导，且其导数可用下列公式计算：
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
,
证,获得增量设 tt?
),()( tttu则 );()( tttv
由于函数 ),( vufz? 在点 ),( vu 有连续偏导数
,21 vuvvzuuzz
当 0 u,0 v 时，01,02?
t
v
t
u
t
v
v
z
t
u
u
z
t
z
21
当 0 t 时,0 u,0 v
,dtdutu,dtdvtv
.lim
0 dt
dv
v
z
dt
du
u
z
t
z
dt
dz
t
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况,
如
dt
dw
w
z
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
z
u
v
w
t
以上公式中的导数 称为 全导数,dtdz
上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况,)].,(),,([ yxyxfz
如果 ),( yxu 及 ),( yxv 都在点 ),( yx
具有对 x 和 y 的偏导数，且函数 ),( vufz? 在对应点 ),( vu 具有连续偏导数，则复合函数
)],(),,([ yxyxfz 在对应点 ),( yx 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
,
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
.
链式法则如图示
z
u
v
x
y
xzuz xu vz,xv
yzuz yu
v
z,
y
v
称为标准法则或 法则22?
这个公式的特征：
⑴ 函数 )],(),,([ yxvyxufz? 有两个自变量 x 和 y
故法则中包含 y
z
x
z
,
两个公式；
⑵ 由于在复合过程中有两个中间变量 u 和 v
故法则中每一个公式都是两项之和，这两项分别含有
v
z
u
z
,
⑶ 每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，
即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数”
多元复合函数的求导法则简言之即：
“分道相加，连线相乘,
类似地再推广，设 ),( yxu,),( yxv,
),( yxww? 都在点 ),( yx 具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数 )],(),,(),,([ yxwyxyxfz 在对应点 ),( yx 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
x
w
w
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
,
y
w
w
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
,
z
w
v
u
y
x
特殊地 ),,( yxufz? 其中 ),( yxu
即 ],,),,([ yxyxfz 令,xv?,yw?
,1xv,0xw,0yv,1 yw
,xfxuufxz,yfyuufyz
两者的区别把复合函数 ],),,([ yxyxfz
中的 y 看作不变而对 x 的偏导数把 ),,( yxufz?
中的 u 及 y 看作不变而对 x 的偏导数区别类似注 此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形如 ),,,( 21 muuufz ),,,( 21 nii xxxuu
),,2,1( mi
则
),,2,1(,
1
njxuuzx z
j
i
m
i ij
从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无关关于多元复合函数求偏导问题这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式
① 用图示法表示出函数的复合关系
② 函数对某个自变量的偏导数的结构
（项数及项的构成）
的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键
),(),,( vufvuf vu③ 弄清
),(),,( vufvuf vu 仍是复合函数且复合结构与原来的 f ( u,v ) 完全相同即仍是以 u,v 为中间变量，以 x,y 为自变量的复合函数因此求它们关于 x,y 的偏导数时必须使链式法则
),( vufuz u
u
v
x
y
x
v
f
x
u
fvuf
x
x
v
f
x
u
fvuf
x
vvvuv
uvuuu
)],([
)],([
在具体计算中最容易出错的地方是对
),( vuf u 再求偏导数这一步是与 f ( u,v ) 具有相同结构的复合函数易被误认为仅是 u 的函数，从而导致漏掉
),( vuf u
这一项uvf
原因就是不注意
④ 求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量
⑤ 注意引用这些公式的条件外层函数可微（偏导数连续） 内层函数可导
⑥ vuuv ff,的合并问题 视题设条件例 1 设 vez u s in?,而 xyu?,yxv,
求
x
z
和
y
z
.
解?
x
zuz xu vz xv
1c o ss i n veyve uu ),c o ss i n( vvye u
yz
u
z
y
u
v
z
y
v
1co ss i n vexve uu ).c o ss i n( vvxe u
例 2 设 tuvz s in,而
teu?
,tv c o s?,
求全导数
dt
dz
.
解
t
z
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
ttuve t co ss i n ttete tt co ss i nco s
.c o s)s i n( c o s ttte t
例 3 设 ),(),,(
),,(),,(),,(
ryyrxx
yxvvyxuuvufw
均满足复合函数求偏导数的条件 计算
w
r
w,
（两重复合问题）
解 由链式法则
w
u
v
x
y
r
r
v
v
w
r
u
u
w
r
w
r
y
y
u
r
x
x
u
r
u
r
y
y
v
r
x
x
v
r
v
故
)()( ryyvrxxvvwryyurxxuuwrw
同理可得
)()( yyvxxvvwyyuxxuuww
例 4 设 ),( x y zzyxfw,f 具有二阶连续偏导数，求
x
w
和
zx
w
2
,
解 令,zyxu ;x yzv?
记,),(1 u vuff,),(
2
12 vu
vuff
同理有,2f?,11f,22f
xw xvvfxuuf ;21 fyzf
zx w
2
)( 21 fyzfz ;221 zfyzfyzf
zf1 zvvfzuuf 11 ;1211 fxyf
zf2 zvvfzuuf 22 ;2221 fxyf
于是
zx
w2
1211 fxyf 2fy )( 2221 fxyfyz
.)( 22221211 fyfzxyfzxyf
二、全微分形式不变性设函数 ),( vufz? 具有连续偏导数，则有全微分
dv
v
z
du
u
z
dz
; 当 ),( yxu,),( yxv
时，有 dy
y
z
dx
x
z
dz
,
全微分形式不变形的实质,
无论 是自变量 的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的,
z vu,vu、
dyyzdxxzdz
dxxvvzxuuz dyyvvzyuuz
dy
y
udx
x
u
u
z?
dy
y
vdx
x
v
v
z
duuz,dvvz
利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理且作微分运算的结果对自变量的微分
,,,dzdydx 来说是线性的从而为解题带来很多方便，而且也不易出错
u
x
y
z
x
t
x
z
x
z
z
f
x
y
y
f
x
f
x
u
xtxx
y
xty
f
xy
f
x
f
x
u
例 5 设 ),(),,(),,,( zxttxyzyxfu
各函数满足求导条件 求 x
u
解一 变量间的关系如下图所示这里变量间的关系比较混乱用全微分来解 由全微分定理
dzzfdyyfdxxfdu
dzzfdttdxxyfdxxf ][
dzzfdzzdxxtdxxyfdxxf )]([
注意到 x,z 是独立自变量解二由全微分定义
xty
f
xy
f
x
f
x
u
z
f
zty
f
z
u
注 解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错
dxxtyfxyfxfdu )( dzzfztyf )(
故三、小结
1、链式法则 （分三种情况）
（特别要注意课中所讲的特殊情况）
2、全微分形式不变性
（理解其实质）
思考题设 ),,( xvufz?,而 )( xu,)( xv,
则
x
f
dx
dv
v
f
dx
du
u
f
dx
dz
,
试问
dx
dz
与
x
f
是否相同？为什么？
思考题解答不相同,
等式左端的 z 是作为一个自变量 x 的函数，
而等式右端最后一项 f 是作为 xvu,,的三元函数，
写出来为
xxvux dxduufdxdz ),,(,),,(),,( xvuxxvu xfdxdvvf
练 习 题一、填空题,
1,设
xy
yx
z
c o s
c o s
,则?
x
z
________________ ；
y
z
________________,
2,设
2
2
)23l n (
y
yxx
z
,则?
x
z
_________ _ _ _ _ _ _ ；
y
z
________________,
3,设
3
2s i n tt
ez
,则?
dt
dz
________________,
二、设 u
v
uez?,而 xyvyxu,22,求 yzxz,,
三、设 )a r c t a n ( xyz?,而
x
ey?,求
dx
dz
.
四、设 ),,(
22 xy
eyxfz ( 其 具中 f 有一阶连续偏导数 ),求
y
z
x
z
,.
五、设 )( x y zxyxfu,( 其具中 f
有一阶连续偏导数 ),求,,,
z
u
y
u
x
u
六、设
),(
y
x
xfz?
,( 其具中 f
有二阶连续偏导数 ),求
2
22
2
2
,,
y
z
yx
z
x
z
.
七、设,
)(
22
yxf
y
z
其中为可导函数,
验证,
2
11
y
z
y
z
yx
z
x
.
八、设,],),([ 其中yyxxz 具有二阶导数,求
,,
2
2
2
2
y
z
x
z
练习题答案一,1,
xy
yyyxx
xy
xxxy
222
c o s
)c o ss i n(c o s
,
c o s
)s i n(c o sc o s?
；
2,,
)23(
3
)23l n (
2
2
2
2
yyx
x
yx
y
x
2
2
3
2
)23(
2
)23l n (
2
yyx
x
yx
y
x
；
3,,
)43(1
)41(3
23
2
tt
t
二、,]
)(
2
2[
22
222
2
yx
xy
e
yyx
yx
yx
x
z
)(
22
2
22
]
)(
2
2[
yx
xy
e
yx
xy
xy
y
z
.
三、
x
x
ex
xe
dx
dz
22
1
)1(
,
四,.2,2
2121
fxefy
y
z
fyefx
x
z
xyxy
五,.),(),1( fxy
z
u
xzxf
y
u
yzyf
x
u
六、,
12
22
2
1211
2
2
f
y
f
y
f
x
z
,
1
)
1
(
2
2
2212
2
2
f
y
f
y
f
y
x
yx
z
,
2
22
4
2
2
32
2
f
y
x
f
y
x
y
z
八、,)1( 1211
2
2
x
z
2221112211
2
2
)(
y
z
.
)]([ xfy 对 x 的导数为 dxdududydxdy
这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？
这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数如 ),( 22 xyyxfz 它是由 ),( vufz?
xyvyxu,22及 复合而成的由于 f 没有具体给出 时在求
y
z
x
z
,
一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。
一、链式法则定理 如果函数 )( tu 及 )( tv 都在点 t 可导，函数 ),( vufz? 在对应点 ),( vu 具有连续偏导数，则复合函数 )](),([ ttfz 在对应点 t 可导，且其导数可用下列公式计算：
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
,
证,获得增量设 tt?
),()( tttu则 );()( tttv
由于函数 ),( vufz? 在点 ),( vu 有连续偏导数
,21 vuvvzuuzz
当 0 u,0 v 时，01,02?
t
v
t
u
t
v
v
z
t
u
u
z
t
z
21
当 0 t 时,0 u,0 v
,dtdutu,dtdvtv
.lim
0 dt
dv
v
z
dt
du
u
z
t
z
dt
dz
t
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况,
如
dt
dw
w
z
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
z
u
v
w
t
以上公式中的导数 称为 全导数,dtdz
上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况,)].,(),,([ yxyxfz
如果 ),( yxu 及 ),( yxv 都在点 ),( yx
具有对 x 和 y 的偏导数，且函数 ),( vufz? 在对应点 ),( vu 具有连续偏导数，则复合函数
)],(),,([ yxyxfz 在对应点 ),( yx 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
,
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
.
链式法则如图示
z
u
v
x
y
xzuz xu vz,xv
yzuz yu
v
z,
y
v
称为标准法则或 法则22?
这个公式的特征：
⑴ 函数 )],(),,([ yxvyxufz? 有两个自变量 x 和 y
故法则中包含 y
z
x
z
,
两个公式；
⑵ 由于在复合过程中有两个中间变量 u 和 v
故法则中每一个公式都是两项之和，这两项分别含有
v
z
u
z
,
⑶ 每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，
即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数”
多元复合函数的求导法则简言之即：
“分道相加，连线相乘,
类似地再推广，设 ),( yxu,),( yxv,
),( yxww? 都在点 ),( yx 具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数 )],(),,(),,([ yxwyxyxfz 在对应点 ),( yx 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
x
w
w
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
,
y
w
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z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
,
z
w
v
u
y
x
特殊地 ),,( yxufz? 其中 ),( yxu
即 ],,),,([ yxyxfz 令,xv?,yw?
,1xv,0xw,0yv,1 yw
,xfxuufxz,yfyuufyz
两者的区别把复合函数 ],),,([ yxyxfz
中的 y 看作不变而对 x 的偏导数把 ),,( yxufz?
中的 u 及 y 看作不变而对 x 的偏导数区别类似注 此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形如 ),,,( 21 muuufz ),,,( 21 nii xxxuu
),,2,1( mi
则
),,2,1(,
1
njxuuzx z
j
i
m
i ij
从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无关关于多元复合函数求偏导问题这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式
① 用图示法表示出函数的复合关系
② 函数对某个自变量的偏导数的结构
（项数及项的构成）
的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键
),(),,( vufvuf vu③ 弄清
),(),,( vufvuf vu 仍是复合函数且复合结构与原来的 f ( u,v ) 完全相同即仍是以 u,v 为中间变量，以 x,y 为自变量的复合函数因此求它们关于 x,y 的偏导数时必须使链式法则
),( vufuz u
u
v
x
y
x
v
f
x
u
fvuf
x
x
v
f
x
u
fvuf
x
vvvuv
uvuuu
)],([
)],([
在具体计算中最容易出错的地方是对
),( vuf u 再求偏导数这一步是与 f ( u,v ) 具有相同结构的复合函数易被误认为仅是 u 的函数，从而导致漏掉
),( vuf u
这一项uvf
原因就是不注意
④ 求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量
⑤ 注意引用这些公式的条件外层函数可微（偏导数连续） 内层函数可导
⑥ vuuv ff,的合并问题 视题设条件例 1 设 vez u s in?,而 xyu?,yxv,
求
x
z
和
y
z
.
解?
x
zuz xu vz xv
1c o ss i n veyve uu ),c o ss i n( vvye u
yz
u
z
y
u
v
z
y
v
1co ss i n vexve uu ).c o ss i n( vvxe u
例 2 设 tuvz s in,而
teu?
,tv c o s?,
求全导数
dt
dz
.
解
t
z
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
ttuve t co ss i n ttete tt co ss i nco s
.c o s)s i n( c o s ttte t
例 3 设 ),(),,(
),,(),,(),,(
ryyrxx
yxvvyxuuvufw
均满足复合函数求偏导数的条件 计算
w
r
w,
（两重复合问题）
解 由链式法则
w
u
v
x
y
r
r
v
v
w
r
u
u
w
r
w
r
y
y
u
r
x
x
u
r
u
r
y
y
v
r
x
x
v
r
v
故
)()( ryyvrxxvvwryyurxxuuwrw
同理可得
)()( yyvxxvvwyyuxxuuww
例 4 设 ),( x y zzyxfw,f 具有二阶连续偏导数，求
x
w
和
zx
w
2
,
解 令,zyxu ;x yzv?
记,),(1 u vuff,),(
2
12 vu
vuff
同理有,2f?,11f,22f
xw xvvfxuuf ;21 fyzf
zx w
2
)( 21 fyzfz ;221 zfyzfyzf
zf1 zvvfzuuf 11 ;1211 fxyf
zf2 zvvfzuuf 22 ;2221 fxyf
于是
zx
w2
1211 fxyf 2fy )( 2221 fxyfyz
.)( 22221211 fyfzxyfzxyf
二、全微分形式不变性设函数 ),( vufz? 具有连续偏导数，则有全微分
dv
v
z
du
u
z
dz
; 当 ),( yxu,),( yxv
时，有 dy
y
z
dx
x
z
dz
,
全微分形式不变形的实质,
无论 是自变量 的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的,
z vu,vu、
dyyzdxxzdz
dxxvvzxuuz dyyvvzyuuz
dy
y
udx
x
u
u
z?
dy
y
vdx
x
v
v
z
duuz,dvvz
利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理且作微分运算的结果对自变量的微分
,,,dzdydx 来说是线性的从而为解题带来很多方便，而且也不易出错
u
x
y
z
x
t
x
z
x
z
z
f
x
y
y
f
x
f
x
u
xtxx
y
xty
f
xy
f
x
f
x
u
例 5 设 ),(),,(),,,( zxttxyzyxfu
各函数满足求导条件 求 x
u
解一 变量间的关系如下图所示这里变量间的关系比较混乱用全微分来解 由全微分定理
dzzfdyyfdxxfdu
dzzfdttdxxyfdxxf ][
dzzfdzzdxxtdxxyfdxxf )]([
注意到 x,z 是独立自变量解二由全微分定义
xty
f
xy
f
x
f
x
u
z
f
zty
f
z
u
注 解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错
dxxtyfxyfxfdu )( dzzfztyf )(
故三、小结
1、链式法则 （分三种情况）
（特别要注意课中所讲的特殊情况）
2、全微分形式不变性
（理解其实质）
思考题设 ),,( xvufz?,而 )( xu,)( xv,
则
x
f
dx
dv
v
f
dx
du
u
f
dx
dz
,
试问
dx
dz
与
x
f
是否相同？为什么？
思考题解答不相同,
等式左端的 z 是作为一个自变量 x 的函数，
而等式右端最后一项 f 是作为 xvu,,的三元函数，
写出来为
xxvux dxduufdxdz ),,(,),,(),,( xvuxxvu xfdxdvvf
练 习 题一、填空题,
1,设
xy
yx
z
c o s
c o s
,则?
x
z
________________ ；
y
z
________________,
2,设
2
2
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y
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_________ _ _ _ _ _ _ ；
y
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________________,
3,设
3
2s i n tt
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,则?
dt
dz
________________,
二、设 u
v
uez?,而 xyvyxu,22,求 yzxz,,
三、设 )a r c t a n ( xyz?,而
x
ey?,求
dx
dz
.
四、设 ),,(
22 xy
eyxfz ( 其 具中 f 有一阶连续偏导数 ),求
y
z
x
z
,.
五、设 )( x y zxyxfu,( 其具中 f
有一阶连续偏导数 ),求,,,
z
u
y
u
x
u
六、设
),(
y
x
xfz?
,( 其具中 f
有二阶连续偏导数 ),求
2
22
2
2
,,
y
z
yx
z
x
z
.
七、设,
)(
22
yxf
y
z
其中为可导函数,
验证,
2
11
y
z
y
z
yx
z
x
.
八、设,],),([ 其中yyxxz 具有二阶导数,求
,,
2
2
2
2
y
z
x
z
练习题答案一,1,
xy
yyyxx
xy
xxxy
222
c o s
)c o ss i n(c o s
,
c o s
)s i n(c o sc o s?
；
2,,
)23(
3
)23l n (
2
2
2
2
yyx
x
yx
y
x
2
2
3
2
)23(
2
)23l n (
2
yyx
x
yx
y
x
；
3,,
)43(1
)41(3
23
2
tt
t
二、,]
)(
2
2[
22
222
2
yx
xy
e
yyx
yx
yx
x
z
)(
22
2
22
]
)(
2
2[
yx
xy
e
yx
xy
xy
y
z
.
三、
x
x
ex
xe
dx
dz
22
1
)1(
,
四,.2,2
2121
fxefy
y
z
fyefx
x
z
xyxy
五,.),(),1( fxy
z
u
xzxf
y
u
yzyf
x
u
六、,
12
22
2
1211
2
2
f
y
f
y
f
x
z
,
1
)
1
(
2
2
2212
2
2
f
y
f
y
f
y
x
yx
z
,
2
22
4
2
2
32
2
f
y
x
f
y
x
y
z
八、,)1( 1211
2
2
x
z
2221112211
2
2
)(
y
z
.
