偏 导 数我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。
定义 设函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 的某一邻域内有定义，当 y 固定在
0
y 而 x 在
0
x 处有增量
x? 时，相应地函数有增量
),(),(
0000
yxfyxxf,
如果
x
yxfyxxf
x?
),(),(
lim
0000
0
存在，则称此极限为函数 ),( yxfz? 在点
),(
00
yx
处对
x
的偏导数，记为
0
0
yy
xxx
z
，
0
0
yy
xxx
f
，
0
0
yy
xxxz
或 ),( 00 yxf x,
一、偏导数的定义及其计算法同理可定义 函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 处对 y
的偏导数,为
y
yxfyyxf
y?
),(),(
l i m
0000
0
记为
0
0
yy
xxy
z
，
0
0
yy
xxy
f
，
0
0
yy
xx
y
z
或 ),( 00 yxf y,
如果函数 ),( yxfz? 在区域 D 内任一点
),( yx 处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x,y 的函数，它就称为函数 ),( yxfz? 对自变量 x 的偏导数，
记作
x
z
，
x
f
,xz 或 ),( yxf x,
h
yxfyhxfyxf
hx
),(),(lim),(
0
同理可以定义函数 ),( yxfz? 对自变量 y 的偏导数，记作
y
z
，
y
f
,yz 或 ),( yxf y,
h
yxfhyxfyxf
hy
),(),(lim),(
0
偏导数的求法由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法求 时把 y 视为常数而对 x 求导
x
f
求 时把 x 视为常数而对 y 求导y
f
这仍然是一元函数求导问题如 在 处 ),,( zyxfu? ),,( zx
,),,(),,(lim),,(
0 x
zyxfzyxxfzyxf
xx?
,),,(),,(lim),,(
0 y
zyxfzyyxfzyxf
yy?
.),,(),,(lim),,(
0 z
zyxfzzyxfzyxf
zz?
偏导数的概念可以推广到二元以上函数一般地 设
),,,( 21 nxxxfw
i
ninii
x
i x
xxxfxxxxf
x
w
i?
),,,,(),,,,(
lim 11
0
),,2,1( ni
例 1 求 22 3 yxyxz 在点 )2,1( 处的偏导数．
解xz ;32 yx
y
z,23 yx?
2
1
y
xx
z,82312
2
1
y
xy
z,72213
例 2 设 yxz? )1,0( xx,
求证 z
y
z
xx
z
y
x
2
ln
1
.
证xz,1?yyxyz,ln xx y
y
z
xx
z
y
x
ln
1 xx
xyxy
x yy ln
ln
11
yy xx,2z? 原结论成立．例 3 设
22ar c s i n yx
xz
,求
x
z
,
y
z
,
解?
x
z
x
yx
x
yx
x 22
22
2
1
1
322
222
)(|| yx
y
y
yx
|)|( 2 yy?
.|| 22 yx y
yz
y
yx
x
yx
x 22
22
2
1
1
322
22
)(
)(
|| yx
xy
y
yx
yyx
x 1s g n
22
)0(?y
0
0
y
xy
z
不存在．
例 4 已知理想气体的状态方程 RTpV?
（ R 为常数），求证,1
p
T
T
V
V
p
.
证
V
RTp ;
2V
RT
V
p
pRTV ;pRTV
RpVT ;R
V
p
T?
pTTVVp 2VRT? pR? RV?
pV
RT,1
有关偏导数的几点说明：
１,偏导数 xu 是一个整体记号，不能拆分 ;
２,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
计算 f x (x0,y0 ) 时可先将 y = y0 代入
f (x,y ) 再对 x 求导然后代入 x = x0
计算 f y (x0,y0 ) 时同理
).0,0(),0,0(,),(,yx ffxyyxfz 求设例如
解
x
xf
xx
0|0|l i m)0,0(
0
0? ).0,0(yf?
3、
4,偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量，但由于变量较多，易产生混乱 -—— 重要的是区分清函数的类型 —— 这是出错的主要原因。
5,若 f( x,y ) =f( y,x )
则称 f( x,y ) 关于 x,y 具有轮换对称性在求 时2
2
,yuyu 只需将所求的
2
2
,x uxu 中的 x,y 互换即可
6、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在 连续，例如,函数
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf,
依定义知在 )0,0( 处,0)0,0()0,0( yx ff,
但函数在该点处并不连续,偏导数存在 连续,
7、偏导数的几何意义
,),()),(,,( 00000 上一点为曲面设 yxfzyxfyxM?
如图几何意义,
偏导数 ),( 00 yxf x 就是曲面被平面 0yy?
所截得的曲线在点 0M 处的切线 xTM 0 对 x 轴的斜率,
偏导数 ),( 00 yxf y 就是曲面被平面 0xx?
所截得的曲线在点 0M 处的切线 yTM 0 对 y 轴的斜率,
二、高阶偏导数函数 ),( yxfz? 的二阶偏导数为
),,(2
2
yxfx zxzx xx ),(2
2
yxfy zyzy yy
纯偏导
),,(
2
yxfyx zxzy xy ),(
2
yxfxy zyzx yx
混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数,
例 5 设 13
323
xyxyyxz,
求
2
2
x
z
、
xy
z
2
、
yx
z
2
、
2
2
y
z
及
3
3
x
z
.
2
2
x
z
,6 2xy? 3
3
x
z
,6 2y? 2
2
y
z
;182 3 xyx
yx
z
2
,196 22 yyx xy
z
2
.196 22 yyx
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：
原函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏导函数图形例 6 设 byeu ax c o s?,求二阶偏导数,
解,co s byae
x
u ax?
;s i n bybe
y
u ax
,c o s22
2
byeax u ax,co s22
2
byeby u ax
,s i n
2
bya b eyx u ax,s i n
2
bya b exy u ax
问题：
混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？
定理 如果函数 ),( yxfz? 的两个二阶混合偏导数
xy
z
2
及
yx
z
2
在区域 D 内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．
例 7 验证函数 22ln),( yxyxu 满足拉普拉斯方程解 ),l n (
2
1ln 2222 yxyx
,22 yx xxu,22 yx yyu
,)()( 2)( 222
22
222
22
2
2
yx
xy
yx
xxyx
x
u
.)()( 2)( 222
22
222
22
2
2
yx
yx
yx
yyyx
y
u
222
22
222
22
2
2
2
2
)()( yx
yx
yx
xy
y
u
x
u
,0?
三、小结偏导数的定义 （偏增量比的极限）
偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数 纯偏导混合偏导 （相等的条件）
思考题若函数 ),( yxf 在点 ),( 000 yxP 连续，能否断定 ),( yxf 在点 ),( 000 yxP
的偏导数必定存在？
思考题解答不能,
例如,,),( 22 yxyxf
在 )0,0( 处连续,
但 )0,0()0,0( yx ff? 不存在,
练 习 题一,填空题,
1,设
y
x
z ta nln?,则?
x
z
________;?
y
z
_ _ _ _ _ _ ___,
2,设?
x
z
yxez
xy
则),( _ _ _ _ _ _ _ ;?
y
z
________,
3,设,
z
y
xu? 则?
x
u
_________ _ ;?
y
u
__________;
z
u
____________,
4,设,a r c ta n
x
y
z? 则
2
2
x
z
________;
2
2
y
z
_______;
yx
z
2
____________,
5,设 zyxu )(?,则 yz u
2
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二,求下列函数的偏导数,
1,
y
xyz )1( ；
2,
z
yxu )a r c ta n (,
三,曲线
4
4
22
y
yx
z
,在点 (2,4,5 ) 处的切线与正向
x
轴所成的倾角是多少?
四,设
x
yz?,求,,
2
2
2
2
2
yx
z
y
z
x
z
和五、设 )l n ( xyxz?,求
yx
z
2
3
和
2
3
yx
z
.
六,验证,
1,
)
11
(
yx
ez
,满足 z
y
z
y
x
z
x 2
22
；
2,
222
zyxr 满足
r
z
z
r
y
r
x
r
2
2
2
2
2
2
,
七、设
0,0
0,a r c ta na r c ta n
),(
22
xy
xy
y
x
y
x
y
x
yxf
求
xyx
ff,,
练习题答案一,1,
y
x
y
x
y
x
y
2
c s c
2
,
2
c s c
2
2；
2,)1(
2
yxye
xy
,)1(
2
xxye
xy；
3,xx
z
x
z
y
z
y
z
y
ln
1
,
1?
,xx
z
y
z
y
ln
2；
4,
222
22
222222
)(
,
)(
2
,
)(
2
yx
xy
yx
xy
yx
xy
；
5,
)ln
1
()(
y
x
y
z
yy
x
z
.
二,1,
xy
xy
xyxy
y
z
xyy
x
z
yy
1
)1l n ()1(,)1(
12;
2,
z
z
yx
yxz
x
u
2
1
)(1
)(
,,
)(1
)(
2
1
z
z
yx
yxz
y
u
z
yx
yxyx
z
u
2
)(1
)l n ()(
,
三、
4
,
四、,)1(,ln
2
2
2
2
2
2
xx
yxx
y
z
yy
x
z
)1ln(
1
2
yxy
yx
z
x
,
五、
22
3
2
3
1
,0
yyx
z
yx
z
,
七、
0,0;0,0
0,0,
0,a r c t a n2
yxyx
yxy
xyy
x
y
x
f
x
,
0,0,1
0,
0,1
22
22
yx
xy
yx
yx
x
f
xy
,
定义 设函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 的某一邻域内有定义，当 y 固定在
0
y 而 x 在
0
x 处有增量
x? 时，相应地函数有增量
),(),(
0000
yxfyxxf,
如果
x
yxfyxxf
x?
),(),(
lim
0000
0
存在，则称此极限为函数 ),( yxfz? 在点
),(
00
yx
处对
x
的偏导数，记为
0
0
yy
xxx
z
，
0
0
yy
xxx
f
，
0
0
yy
xxxz
或 ),( 00 yxf x,
一、偏导数的定义及其计算法同理可定义 函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 处对 y
的偏导数,为
y
yxfyyxf
y?
),(),(
l i m
0000
0
记为
0
0
yy
xxy
z
，
0
0
yy
xxy
f
，
0
0
yy
xx
y
z
或 ),( 00 yxf y,
如果函数 ),( yxfz? 在区域 D 内任一点
),( yx 处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x,y 的函数，它就称为函数 ),( yxfz? 对自变量 x 的偏导数，
记作
x
z
，
x
f
,xz 或 ),( yxf x,
h
yxfyhxfyxf
hx
),(),(lim),(
0
同理可以定义函数 ),( yxfz? 对自变量 y 的偏导数，记作
y
z
，
y
f
,yz 或 ),( yxf y,
h
yxfhyxfyxf
hy
),(),(lim),(
0
偏导数的求法由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法求 时把 y 视为常数而对 x 求导
x
f
求 时把 x 视为常数而对 y 求导y
f
这仍然是一元函数求导问题如 在 处 ),,( zyxfu? ),,( zx
,),,(),,(lim),,(
0 x
zyxfzyxxfzyxf
xx?
,),,(),,(lim),,(
0 y
zyxfzyyxfzyxf
yy?
.),,(),,(lim),,(
0 z
zyxfzzyxfzyxf
zz?
偏导数的概念可以推广到二元以上函数一般地 设
),,,( 21 nxxxfw
i
ninii
x
i x
xxxfxxxxf
x
w
i?
),,,,(),,,,(
lim 11
0
),,2,1( ni
例 1 求 22 3 yxyxz 在点 )2,1( 处的偏导数．
解xz ;32 yx
y
z,23 yx?
2
1
y
xx
z,82312
2
1
y
xy
z,72213
例 2 设 yxz? )1,0( xx,
求证 z
y
z
xx
z
y
x
2
ln
1
.
证xz,1?yyxyz,ln xx y
y
z
xx
z
y
x
ln
1 xx
xyxy
x yy ln
ln
11
yy xx,2z? 原结论成立．例 3 设
22ar c s i n yx
xz
,求
x
z
,
y
z
,
解?
x
z
x
yx
x
yx
x 22
22
2
1
1
322
222
)(|| yx
y
y
yx
|)|( 2 yy?
.|| 22 yx y
yz
y
yx
x
yx
x 22
22
2
1
1
322
22
)(
)(
|| yx
xy
y
yx
yyx
x 1s g n
22
)0(?y
0
0
y
xy
z
不存在．
例 4 已知理想气体的状态方程 RTpV?
（ R 为常数），求证,1
p
T
T
V
V
p
.
证
V
RTp ;
2V
RT
V
p
pRTV ;pRTV
RpVT ;R
V
p
T?
pTTVVp 2VRT? pR? RV?
pV
RT,1
有关偏导数的几点说明：
１,偏导数 xu 是一个整体记号，不能拆分 ;
２,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
计算 f x (x0,y0 ) 时可先将 y = y0 代入
f (x,y ) 再对 x 求导然后代入 x = x0
计算 f y (x0,y0 ) 时同理
).0,0(),0,0(,),(,yx ffxyyxfz 求设例如
解
x
xf
xx
0|0|l i m)0,0(
0
0? ).0,0(yf?
3、
4,偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量，但由于变量较多，易产生混乱 -—— 重要的是区分清函数的类型 —— 这是出错的主要原因。
5,若 f( x,y ) =f( y,x )
则称 f( x,y ) 关于 x,y 具有轮换对称性在求 时2
2
,yuyu 只需将所求的
2
2
,x uxu 中的 x,y 互换即可
6、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在 连续，例如,函数
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf,
依定义知在 )0,0( 处,0)0,0()0,0( yx ff,
但函数在该点处并不连续,偏导数存在 连续,
7、偏导数的几何意义
,),()),(,,( 00000 上一点为曲面设 yxfzyxfyxM?
如图几何意义,
偏导数 ),( 00 yxf x 就是曲面被平面 0yy?
所截得的曲线在点 0M 处的切线 xTM 0 对 x 轴的斜率,
偏导数 ),( 00 yxf y 就是曲面被平面 0xx?
所截得的曲线在点 0M 处的切线 yTM 0 对 y 轴的斜率,
二、高阶偏导数函数 ),( yxfz? 的二阶偏导数为
),,(2
2
yxfx zxzx xx ),(2
2
yxfy zyzy yy
纯偏导
),,(
2
yxfyx zxzy xy ),(
2
yxfxy zyzx yx
混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数,
例 5 设 13
323
xyxyyxz,
求
2
2
x
z
、
xy
z
2
、
yx
z
2
、
2
2
y
z
及
3
3
x
z
.
2
2
x
z
,6 2xy? 3
3
x
z
,6 2y? 2
2
y
z
;182 3 xyx
yx
z
2
,196 22 yyx xy
z
2
.196 22 yyx
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：
原函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏导函数图形例 6 设 byeu ax c o s?,求二阶偏导数,
解,co s byae
x
u ax?
;s i n bybe
y
u ax
,c o s22
2
byeax u ax,co s22
2
byeby u ax
,s i n
2
bya b eyx u ax,s i n
2
bya b exy u ax
问题：
混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？
定理 如果函数 ),( yxfz? 的两个二阶混合偏导数
xy
z
2
及
yx
z
2
在区域 D 内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．
例 7 验证函数 22ln),( yxyxu 满足拉普拉斯方程解 ),l n (
2
1ln 2222 yxyx
,22 yx xxu,22 yx yyu
,)()( 2)( 222
22
222
22
2
2
yx
xy
yx
xxyx
x
u
.)()( 2)( 222
22
222
22
2
2
yx
yx
yx
yyyx
y
u
222
22
222
22
2
2
2
2
)()( yx
yx
yx
xy
y
u
x
u
,0?
三、小结偏导数的定义 （偏增量比的极限）
偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数 纯偏导混合偏导 （相等的条件）
思考题若函数 ),( yxf 在点 ),( 000 yxP 连续，能否断定 ),( yxf 在点 ),( 000 yxP
的偏导数必定存在？
思考题解答不能,
例如,,),( 22 yxyxf
在 )0,0( 处连续,
但 )0,0()0,0( yx ff? 不存在,
练 习 题一,填空题,
1,设
y
x
z ta nln?,则?
x
z
________;?
y
z
_ _ _ _ _ _ ___,
2,设?
x
z
yxez
xy
则),( _ _ _ _ _ _ _ ;?
y
z
________,
3,设,
z
y
xu? 则?
x
u
_________ _ ;?
y
u
__________;
z
u
____________,
4,设,a r c ta n
x
y
z? 则
2
2
x
z
________;
2
2
y
z
_______;
yx
z
2
____________,
5,设 zyxu )(?,则 yz u
2
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二,求下列函数的偏导数,
1,
y
xyz )1( ；
2,
z
yxu )a r c ta n (,
三,曲线
4
4
22
y
yx
z
,在点 (2,4,5 ) 处的切线与正向
x
轴所成的倾角是多少?
四,设
x
yz?,求,,
2
2
2
2
2
yx
z
y
z
x
z
和五、设 )l n ( xyxz?,求
yx
z
2
3
和
2
3
yx
z
.
六,验证,
1,
)
11
(
yx
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,满足 z
y
z
y
x
z
x 2
22
；
2,
222
zyxr 满足
r
z
z
r
y
r
x
r
2
2
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