高阶导数一、高阶导数的定义问题,变速直线运动的加速度,
),( tfs?设 )()( tftv则瞬时速度为的变化率对时间是速度加速度 tva?
.])([)()( tftvta
定义
.)())((,
)()(
lim))((
,)()(
0
处的二阶导数在点为函数则称存在即处可导在点的导数如果函数
xxfxf
x
xfxxf
xf
xxfxf
x




记作,
)(,),(
2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或
二阶导数的导数称为三阶导数,.,),( 3
3
dx
ydyxf
三阶导数的导数称为四阶导数,.,),( 4
4
)4()4(
dx
ydyxf
记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
nxf
nxf?
.)(,),( )()( n
n
n
n
nn
dx
xfd
dx
ydyxf 或二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数,
.)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地 xfxf?
二,高阶导数求法举例
1.直接法,由高阶导数的定义逐步求高阶导数,
例 1 ).0(),0(,ar c t an ffxy 求设解 21 1 xy )1 1( 2 xy 22 )1( 2x x
))1( 2( 22 x xy 32
2
)1(
)13(2
x
x

022 )1(
2)0(


xx
xf ;0?
032
2
)1(
)13(2)0(


xx
xf,2
例 2,),( )( nyRxy 求设
解 1 xy
)( 1xy 2)1( x
))1(( 2xy 3)2)(1( x

)1()1()1()( nxny nn?
则为自然数若,n?
)()( )( nnn xy?,!n? )!()1( ny,0?
例 3 )(1110 nnnnn yaxaxaxay 求
解 122110 2)1( nnnn axaxanxnay?
23120 2)2)(1()1( nnn axannxanny?

kn
kn
knk
ak
xaknnn
xaknnny




!
)()2)(1(
)1()1(
1
1
0
)(
0)( ! any n
注意,求 n阶导数时,求出 1-3或 4阶后,不要急于合并
,分析结果的规律性,写出 n阶导数,(数学归纳法证明 )—— 逐阶求导，寻求规律，写出通式例 4,),1l n( )( nyxy 求设
解 xy 1 1 2)1( 1 xy
3)1(
!2
xy 4
)4(
)1(
!3
xy

)1!0,1()1( )!1()1( 1)( nxny nnn
例 5,,s i n )( nyxy 求设?
解 xy c o s )2s i n ( x
)2co s ( xy )22s i n ( x )22s i n ( x
)22co s ( xy )
23s i n (
x

)2s i n ()( nxy n
同理可得 )2co s ()( co s )( nxx n
例 6,),,(s i n )( nax ybabxey 求为常数设?
解 bxbebxaey axax c o ss i n
)c o ss i n( bxbbxae ax
)a rc t a n()s in (22 abbxbae ax
)]co s ()s i n ([22 bxbebxaebay axax
)2s i n (2222 bxbaeba ax

)s i n ()( 222)( nbxebay axnn )a rct a n( ab
2,高阶导数的运算法则,
则阶导数具有和设函数,nvu
)()()()()1( nnn vuvu
)()()()2( nn CuCu?
)()()()( nnn vuvu
)()(
0
)()()(
)2()1()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)()3(
kkn
n
k
k
n
nkkn
nnnn
vuC
uvvu
k
knnn
vu
nn
vnuvuvu






莱布尼兹公式例 7,,)20(22 yexy x 求设?
解 则由莱布尼兹公式知设,,22 xveu x
0)()(
!2
)120(20
)()(20)(
2)18(2
2)19(22)20(2)20(


xe
xexey
x
xx
22
!2
1920
22202
218
2192220

x
xx
e
xexe
)9520(2 2220 xxe x
例 8 )0(ar c t an)( )( nfxxf,求设?
解 得由 21 1)( xxf 1)()1( 2 xfx
由 Lebniz公式，两边求 n 阶导数，有
0)]()1[( )(2 nxfx
0)1()]([
!2
)1(
)1()]([)1()]([
2)2(
2)1(2)(


xxf
nn
xxfnxxf
n
nn
0)()1(
)(2)()1(
)1(
)()1(2


xfnn
xn x fxfx
n
nn
得令 0?x 0)0()1()0( )1()1( nn fnnf
注意到 1)0(,0)0( ff
0)0()2( nf
)!2()1()0()12( nf nn
注这一解法的特点：找到了 xy a r c t a n?
的连续三阶导数之间的关系，利用 0?x
得到两相隔导数之间的关系，解决问题
3.间接法,利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出 n阶导数,
常用高阶导数公式
)0(ln)()1( )( aaaa nxnx xnx ee?)()(
)2s in ()( s in)2( )( nkxkkx nn
)2co s ()( co s)3( )( nkxkkx nn
nn xnx )1()1()()4( )(?
n
nn
x
nx )!1()1()( l n)5( 1)(
1
)( !)1()1(
n
nn
x
n
x
例 9,,1
1 )5(
2 yxy 求设
解 )1111(21112 xxxy?
])1( !5)1( !5[21 66)5( xxy
])1( 1)1( 1[60 66 xx
例 10,,co ss i n )(66 nyxxy 求设
解 3232 )( c o s)( s i n xxy
)c osc oss i n) ( s i nc os( s i n 422422 xxxxxx
xxxx 22222 c o ss i n3)c o s( s i n
x2s i n431 2 2 4co s1431 x
x4co s8385
).24co s (483)( nxy nn
例 11 试从 ydy
dx

1
导出
① 32
2
)( y
y
dy
xd

② 5
2
3
3
)(
)(3
y
yyy
dy
xd

解 )()( yxxyy yxy
① 得由 ydydx 1
)1()(2
2
ydy
d
dy
dx
dy
d
dy
xd

dy
dx
ydx
d?
)
1(
yyy
1
)(
1
2 3)( y
y

② )( 2
2
3
3
dy
xd
dy
d
dy
xd? ]
)([ 3y
y
dy
d

dy
dx
y
y
dx
d?
]
)([ 3
yy
yyyyy

1
)(
)(3)(
6
23
5
2
)(
)(3
y
yyy

注
① 关于抽象函数求导数，必须注意并分清是对哪一个变量来求导数，尤其是求高阶导数。
② yydx yddxdy,,,2
2
都是对 x 求导
③ )(])([ 22 xfxf
的导数对复合函数 xxfyxf )(])([ 22
代回求导数再用对即是 2
2
)(
)()( 2
xuuufy
ufxf xu


三、小结高阶导数的定义及物理意义 ;
高阶导数的运算法则 (莱布尼兹公式 );
n阶导数的求法 ;
1.直接法 ; 2.间接法,
思考题设 连续，且,)(xg? )()()( 2 xgaxxf
求,)(af
思考题解答
)( xg? 可导
)()()()(2)( 2 xgaxxgaxxf
)( xg 不一定存在 故用定义求 )(af
)(af ax afxfax )()(lim 0)( af
ax
xf
ax?

)(l i m )]()()(2[l i m xgaxxg
ax )(2 ag?