初等函数微分法求导数的方法称为微分法。用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、
正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数 ——初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。
一、和、差、积、商的求导法则定理并且可导处也在点分母不为零们的和、差、积、商则它处可导在点如果函数
,
)(
,)(),(
x
xxvxu
).0)((
)(
)()()()(
]
)(
)(
[)3(
);()()()(])()([)2(
);()(])()([)1(
2
xv
xv
xvxuxvxu
xv
xu
xvxuxvxuxvxu
xvxuxvxu
证 (1),(2)略,
证 (3) ),0)((,)( )()( xvxv xuxf设
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
h
xv
xu
hxv
hxu
h
)(
)(
)(
)(
li m
0
hxvhxv
hxvxuxvhxu
h )()(
)()()()(lim
0?
hxvhxv
xvhxvxuxvxuhxu
h )()(
)]()()[()()]()([lim
0?
)()(
)()()()()()(
lim
0 xvhxv
h
xvhxvxuxv
h
xuhxu
h?
2)]([
)()()()(
xv
xvxuxvxu
.)( 处可导在 xxf?
注
① （ 1）即是和、差的导数等于导数的和、差
（ 2）即是乘积的导数等于第一个因子的导数乘以第二个因子再加上第一个因子乘以第二个因子的导数
（ 3）即是商的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方
② （ 1）可推广到任意有限个可导函数的情形;)(])([
11
n
i
i
n
i
i xfxf
③ （ 2）也可推广到任意有限个函数的情形
wuvwvuvwuuv w)( ;)()(
)()()(
)()()(])([
1 1
21
21
1
n
i
n
ik
k
ki
n
n
n
i
i
xfxf
xfxfxf
xfxfxfxf
④ 作为（ 2）的特殊情况
uccucv )(，则若 );(])([ xfCxCf或即常数因子可以提到导数符号的外面
)(])([
11
xfkxfk
n
i
iii
n
i
i
即线性组合的导数等于导数的线性组合
——说明求导是一线性运算
⑤ 作为（ 3）的一种特殊情况，
2)
1(,1
v
v
vu
则若二、例题分析例 1,s i n2 23 的导数求 xxxy
解 23 xy x4?,cos x?
例 2,ln2s i n 的导数求 xxy
解 xxxy lnco ss in2
xxxy lnc o sc o s2 xxx ln)s i n(s i n2
xxx
1co ss i n2
.2s i n1ln2co s2 xxxx
例 3,t a n 的导数求 xy?
解 )co ss i n()( t a n xxxy
x
xxxx
2c o s
)( c o ss i nc o s)( s in
x
xx
2
22
c o s
s inc o s x
x
2
2 s ecco s
1
.s e c)( t a n 2 xx即同理可得,c s c)( c o t 2 xx
例 4 yxy 求s e c
解
xy co s1 xx2co s )( co s xxxxx t a ns ecco s1co ss i n
同理可得 xxx co tcsc)( csc
例 5 ).(,0),1ln (
0,)( xf
xx
xxxf?
求设解,0时当?x,1)( xf
,0时当?x
h
xhxxf
h
)1l n ()1l n (lim)(
0
)11l n (1lim 0 xhhh
,1 1 x
,0时当?x
h
hf
h
)01l n ()0(lim)0(
0
,1?
h
hf
h
)01l n ()]0(1l n [lim)0(
0
,1?
.1)0( f
.0,
1
1
0,1
)(
x
x
x
xf
三、反函数的导数定理
.
)(
1
)(
,
)(,0)(
)(
x
xf
I
xfyy
Iyx
x
y
且有内也可导在对应区间那末它的反函数且内单调、可导在某区间如果函数即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,
例 6,a r c s i n 的导数求函数 xy?
解,)2,2(s i n 内单调、可导在 yIyx?
,0c o s)( s in yy且 内有在 )11( xI
)( s in
1)( a r c s in
yx ycos
1?
y2s i n1
1
.1 1 2x
同理可得,1
1)( a r c c o s
2xx;1 1)( a r c t a n 2xx,1 1)co t( 2xxarc
例 7,l o g 的导数求函数 xy a?
解,),( 内单调、可导在 yy Iax?
,0ln)( aaa yy且,),0( 内有在 xI
)(
1)( l o g
ya ax aa y ln
1?,
ln
1
ax?
特别地,1)( ln xx
四、复合函数的求导法则前面我们已经会求简单函数 ——基本初等函数经有限次四则运算的结果 ——的导数，但是像
1
2s i n,,t a nln
2
2
x
xex x
等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求它们的导数先看一个例子例 8 yxy,求22 )1(
22 )1( xy 4221 xx
344 xxy )1(4 2xx
这里我们是先展开，再求导，若像 1 0 0 02 )1( xy
求导数，展开就不是办法，再像 5 21 xy
求导数，根本无法展开，又该怎么办？
仔细分析一下，这三个函数具有同样的复合结构我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果。
22 )1( xy 复合而成的和是由 22 1 xuuy
uyu 2 xu x 2
)1(4)2(2 2xxxuuy xu xy
再如 xy 2s in?
)c o ss in2( xxy ])( c o ss inc o s)[ ( s in2 xxxx
)s i n( c o s2 22 xx x2c o s?
注意到 xy 2s in? xuuy 2,s i n
uy u c o s 2xu
uuy xu c o s2 x2c o s2 xy
由以上两例可见：由 )(),( xuufy 复合而成的函数 )]([ xfy 的导数 xy? 恰好等于 y
对中间变量 u 的导数 uy? 与中间变量 u 对自变量
x 的导数 xu? 的乘积
xux uyy ——这就是 链式法则定理
).()(
,
)]([,)(
)(,)(
00
0
00
0
0
xuf
dx
dy
x
xfyxu
ufyxxu
xx
且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导,(链式法则 )
dx
du
du
dy
dx
dy
I
xfyIxuIx
IufyIxu
上可导，且有在则复合函数上可导在上可导，在若
)]([,)(,
)()(
1
1
证,)( 0 可导在点由 uufy? )(l i m 00 ufuyu
)0lim()( 00 uufuy故
uuufy)( 0则
x
y
x?
0lim ])([li m 00 x
u
x
uuf
x?
x
u
x
uuf
xxx?
0000 l iml iml im)(
).()( 00 xuf
注 1.链式法则 ——“由外向里，逐层求导”
2.注意中间变量推广 ),(),(),( xvvuufy设
.
) ] }([{
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
xfy
的导数为则复合函数
例 9,s i nln 的导数求函数 xy?
解,s in,ln xuuy
dx
du
du
dy
dx
dy x
u co s
1
x
x
sin
cos? xcot?
例 10,)1( 102 的导数求函数 xy
解 )1()1(10 292 xxdxdy
xx 2)1(10 92,)1(20 92 xx
例 5,a r c s i n22
2
22 的导数求函数
a
xaxaxy
)0(?a
解 )a r c s in2()2(
2
22
a
xaxaxy
22
2
22
2
22
22
1
2
1
xa
a
xa
xxa
.22 xa
例 11,)2(2
1ln
3
2
的导数求函数 xxxy
解 ),2l n (31)1l n (21 2 xxy?
)2(3
12
1
1
2
1
2 xxxy )2(3
1
12 xx
x
例 12,
1s i n
的导数求函数 xey?
解 )1( s in
1s i n
xey x )1(1co s
1s i n
xxe x
.1co s1
1s in
2 xex
x
例 13,s i n h 的导数求 xy?
解 ])(21[)( s i n h xx eexy )(21 xx ee,cosh x?
同理可得 xx s inh)( c o s h xx 2c o s h
1)( t a nh
例 14 求幂函数的导数
)(xy xe ln?
)ln(ln xe x
xx
1 1x
例 15,)]( s i n[ 的导数求函数 nnn xfy
解 )]( s i n[)]( s i n[1 nnnnn xfxnfy
)( s i n)( s i n1 nnn xxn 1co s n nxx
).( s i n)]( s i n[)( s i n
)]( s i n[co s
1
113
nnnnn
nnnnn
xxfx
xfxxn
注 1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握
2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分学的理论基础和精神支柱，要深刻理解,熟练应用 ——注意不要漏层
3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理，
在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导数是否存在。
例 16
00
0
1
)(
1
x
x
e
x
xf x
)( xf?求解 时0?x?
xe
x
xf 1
1
)(
2
1
11
)1(
1
1
x
xx
e
e
x
e
时0?x
0
)0()(li m)0(
0?
x
fxff
x
x
x
e
10
1
1lim
1?
0
)0()(lim)0(
0?
x
fxff
x xx e
10
1
1lim
0?
)0()0( ff 处不可导在 0)( xxf
0
0
)1(
1
1
)(
2
1
11
x
x
e
e
x
e
xf
x
xx
不存在五、初等函数的求导问题
1.常数和基本初等函数的导数公式
xxx
xx
xx
C
t a ns e c)( s e c
s e c)( t a n
c o s)( s i n
0)(
2
xxx
xx
xx
xx
c o tc s c)( c s c
c s c)( c o t
s i n)( c o s
)(
2
1
ax
x
aaa
a
xx
ln
1)( l o g
ln)(
x
x
ee xx
1)(ln
)(
2
2
1
1
)( a r c t a n
1
1
)( a r c s i n
x
x
x
x
2
2
1
1
)c o t(
1
1
)( a r c c o s
x
x
x
x
arc
2.函数的和、差、积、商的求导法则设 )(),( xvvxuu 可导，则
（ 1） vuvu)(,（ 2） uccu)(
（ 3） vuvuuv)(,（ 4） )0()( 2 vv vuvuvu,
( 是常数 )C
3.复合函数的求导法则
).()()(
)]([)(),(
xufxy
dx
du
du
dy
dx
dy
xfyxuufy
或导数为的则复合函数而设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决,
注意,初等函数的导数仍为初等函数,
4.双曲函数与反双曲函数的导数
xx co s h)( s i n h xx s i n h)( co s h
x
xx
co s h
s i nhta nh
x
xxx
2
22
c o s h
s i n hc o s h)( ta n h
即 xx 2c o s h
1)( t an h
)1l n (s i n h 2xxx ar
2
2
1
)1()s i n h(
xx
xxx
ar
)11(11 22 xxxx 21 1 x?
同理 1
1
2 xar )c o s h(?x
21
1
xar )ta n h(?x
五、小结注意,);()(])()([ xvxuxvxu,)( )(])( )([ xv xuxv xu
分段函数 求导时,分界点导数用左右导数求,
反函数的求导法则 （注意成立条件） ;
复合函数的求导法则
（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法） ;
已能求导的函数,可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商,
关键,正确分解初等函数的复合结构,
思考题 若 )( uf 在
0u 不可导,)( xgu? 在 0x 可导，且
)( 00 xgu?,则 )]([ xgf 在 0x 处 （ ）．
（ 1 ）必可导； （ 2 ）必不可导； （ 3 ）不一定可导；
思考题解答正确的选择是 （ 3）
例 ||)( uuf?在 处不可导，0?u
取 xxgu s i n)( 在 处可导，0?x
|s i n|)]([ xxgf?在 处不可导，0?x?)1(
取 4)( xxgu 在 处可导，0?x
44 ||)]([ xxxgf在 处可导，0?x?)2(
正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数 ——初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。
一、和、差、积、商的求导法则定理并且可导处也在点分母不为零们的和、差、积、商则它处可导在点如果函数
,
)(
,)(),(
x
xxvxu
).0)((
)(
)()()()(
]
)(
)(
[)3(
);()()()(])()([)2(
);()(])()([)1(
2
xv
xv
xvxuxvxu
xv
xu
xvxuxvxuxvxu
xvxuxvxu
证 (1),(2)略,
证 (3) ),0)((,)( )()( xvxv xuxf设
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
h
xv
xu
hxv
hxu
h
)(
)(
)(
)(
li m
0
hxvhxv
hxvxuxvhxu
h )()(
)()()()(lim
0?
hxvhxv
xvhxvxuxvxuhxu
h )()(
)]()()[()()]()([lim
0?
)()(
)()()()()()(
lim
0 xvhxv
h
xvhxvxuxv
h
xuhxu
h?
2)]([
)()()()(
xv
xvxuxvxu
.)( 处可导在 xxf?
注
① （ 1）即是和、差的导数等于导数的和、差
（ 2）即是乘积的导数等于第一个因子的导数乘以第二个因子再加上第一个因子乘以第二个因子的导数
（ 3）即是商的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方
② （ 1）可推广到任意有限个可导函数的情形;)(])([
11
n
i
i
n
i
i xfxf
③ （ 2）也可推广到任意有限个函数的情形
wuvwvuvwuuv w)( ;)()(
)()()(
)()()(])([
1 1
21
21
1
n
i
n
ik
k
ki
n
n
n
i
i
xfxf
xfxfxf
xfxfxfxf
④ 作为（ 2）的特殊情况
uccucv )(，则若 );(])([ xfCxCf或即常数因子可以提到导数符号的外面
)(])([
11
xfkxfk
n
i
iii
n
i
i
即线性组合的导数等于导数的线性组合
——说明求导是一线性运算
⑤ 作为（ 3）的一种特殊情况，
2)
1(,1
v
v
vu
则若二、例题分析例 1,s i n2 23 的导数求 xxxy
解 23 xy x4?,cos x?
例 2,ln2s i n 的导数求 xxy
解 xxxy lnco ss in2
xxxy lnc o sc o s2 xxx ln)s i n(s i n2
xxx
1co ss i n2
.2s i n1ln2co s2 xxxx
例 3,t a n 的导数求 xy?
解 )co ss i n()( t a n xxxy
x
xxxx
2c o s
)( c o ss i nc o s)( s in
x
xx
2
22
c o s
s inc o s x
x
2
2 s ecco s
1
.s e c)( t a n 2 xx即同理可得,c s c)( c o t 2 xx
例 4 yxy 求s e c
解
xy co s1 xx2co s )( co s xxxxx t a ns ecco s1co ss i n
同理可得 xxx co tcsc)( csc
例 5 ).(,0),1ln (
0,)( xf
xx
xxxf?
求设解,0时当?x,1)( xf
,0时当?x
h
xhxxf
h
)1l n ()1l n (lim)(
0
)11l n (1lim 0 xhhh
,1 1 x
,0时当?x
h
hf
h
)01l n ()0(lim)0(
0
,1?
h
hf
h
)01l n ()]0(1l n [lim)0(
0
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.1)0( f
.0,
1
1
0,1
)(
x
x
x
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三、反函数的导数定理
.
)(
1
)(
,
)(,0)(
)(
x
xf
I
xfyy
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x
y
且有内也可导在对应区间那末它的反函数且内单调、可导在某区间如果函数即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,
例 6,a r c s i n 的导数求函数 xy?
解,)2,2(s i n 内单调、可导在 yIyx?
,0c o s)( s in yy且 内有在 )11( xI
)( s in
1)( a r c s in
yx ycos
1?
y2s i n1
1
.1 1 2x
同理可得,1
1)( a r c c o s
2xx;1 1)( a r c t a n 2xx,1 1)co t( 2xxarc
例 7,l o g 的导数求函数 xy a?
解,),( 内单调、可导在 yy Iax?
,0ln)( aaa yy且,),0( 内有在 xI
)(
1)( l o g
ya ax aa y ln
1?,
ln
1
ax?
特别地,1)( ln xx
四、复合函数的求导法则前面我们已经会求简单函数 ——基本初等函数经有限次四则运算的结果 ——的导数，但是像
1
2s i n,,t a nln
2
2
x
xex x
等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求它们的导数先看一个例子例 8 yxy,求22 )1(
22 )1( xy 4221 xx
344 xxy )1(4 2xx
这里我们是先展开，再求导，若像 1 0 0 02 )1( xy
求导数，展开就不是办法，再像 5 21 xy
求导数，根本无法展开，又该怎么办？
仔细分析一下，这三个函数具有同样的复合结构我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果。
22 )1( xy 复合而成的和是由 22 1 xuuy
uyu 2 xu x 2
)1(4)2(2 2xxxuuy xu xy
再如 xy 2s in?
)c o ss in2( xxy ])( c o ss inc o s)[ ( s in2 xxxx
)s i n( c o s2 22 xx x2c o s?
注意到 xy 2s in? xuuy 2,s i n
uy u c o s 2xu
uuy xu c o s2 x2c o s2 xy
由以上两例可见：由 )(),( xuufy 复合而成的函数 )]([ xfy 的导数 xy? 恰好等于 y
对中间变量 u 的导数 uy? 与中间变量 u 对自变量
x 的导数 xu? 的乘积
xux uyy ——这就是 链式法则定理
).()(
,
)]([,)(
)(,)(
00
0
00
0
0
xuf
dx
dy
x
xfyxu
ufyxxu
xx
且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导,(链式法则 )
dx
du
du
dy
dx
dy
I
xfyIxuIx
IufyIxu
上可导，且有在则复合函数上可导在上可导，在若
)]([,)(,
)()(
1
1
证,)( 0 可导在点由 uufy? )(l i m 00 ufuyu
)0lim()( 00 uufuy故
uuufy)( 0则
x
y
x?
0lim ])([li m 00 x
u
x
uuf
x?
x
u
x
uuf
xxx?
0000 l iml iml im)(
).()( 00 xuf
注 1.链式法则 ——“由外向里，逐层求导”
2.注意中间变量推广 ),(),(),( xvvuufy设
.
) ] }([{
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
xfy
的导数为则复合函数
例 9,s i nln 的导数求函数 xy?
解,s in,ln xuuy
dx
du
du
dy
dx
dy x
u co s
1
x
x
sin
cos? xcot?
例 10,)1( 102 的导数求函数 xy
解 )1()1(10 292 xxdxdy
xx 2)1(10 92,)1(20 92 xx
例 5,a r c s i n22
2
22 的导数求函数
a
xaxaxy
)0(?a
解 )a r c s in2()2(
2
22
a
xaxaxy
22
2
22
2
22
22
1
2
1
xa
a
xa
xxa
.22 xa
例 11,)2(2
1ln
3
2
的导数求函数 xxxy
解 ),2l n (31)1l n (21 2 xxy?
)2(3
12
1
1
2
1
2 xxxy )2(3
1
12 xx
x
例 12,
1s i n
的导数求函数 xey?
解 )1( s in
1s i n
xey x )1(1co s
1s i n
xxe x
.1co s1
1s in
2 xex
x
例 13,s i n h 的导数求 xy?
解 ])(21[)( s i n h xx eexy )(21 xx ee,cosh x?
同理可得 xx s inh)( c o s h xx 2c o s h
1)( t a nh
例 14 求幂函数的导数
)(xy xe ln?
)ln(ln xe x
xx
1 1x
例 15,)]( s i n[ 的导数求函数 nnn xfy
解 )]( s i n[)]( s i n[1 nnnnn xfxnfy
)( s i n)( s i n1 nnn xxn 1co s n nxx
).( s i n)]( s i n[)( s i n
)]( s i n[co s
1
113
nnnnn
nnnnn
xxfx
xfxxn
注 1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握
2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分学的理论基础和精神支柱，要深刻理解,熟练应用 ——注意不要漏层
3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理，
在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导数是否存在。
例 16
00
0
1
)(
1
x
x
e
x
xf x
)( xf?求解 时0?x?
xe
x
xf 1
1
)(
2
1
11
)1(
1
1
x
xx
e
e
x
e
时0?x
0
)0()(li m)0(
0?
x
fxff
x
x
x
e
10
1
1lim
1?
0
)0()(lim)0(
0?
x
fxff
x xx e
10
1
1lim
0?
)0()0( ff 处不可导在 0)( xxf
0
0
)1(
1
1
)(
2
1
11
x
x
e
e
x
e
xf
x
xx
不存在五、初等函数的求导问题
1.常数和基本初等函数的导数公式
xxx
xx
xx
C
t a ns e c)( s e c
s e c)( t a n
c o s)( s i n
0)(
2
xxx
xx
xx
xx
c o tc s c)( c s c
c s c)( c o t
s i n)( c o s
)(
2
1
ax
x
aaa
a
xx
ln
1)( l o g
ln)(
x
x
ee xx
1)(ln
)(
2
2
1
1
)( a r c t a n
1
1
)( a r c s i n
x
x
x
x
2
2
1
1
)c o t(
1
1
)( a r c c o s
x
x
x
x
arc
2.函数的和、差、积、商的求导法则设 )(),( xvvxuu 可导，则
（ 1） vuvu)(,（ 2） uccu)(
（ 3） vuvuuv)(,（ 4） )0()( 2 vv vuvuvu,
( 是常数 )C
3.复合函数的求导法则
).()()(
)]([)(),(
xufxy
dx
du
du
dy
dx
dy
xfyxuufy
或导数为的则复合函数而设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决,
注意,初等函数的导数仍为初等函数,
4.双曲函数与反双曲函数的导数
xx co s h)( s i n h xx s i n h)( co s h
x
xx
co s h
s i nhta nh
x
xxx
2
22
c o s h
s i n hc o s h)( ta n h
即 xx 2c o s h
1)( t an h
)1l n (s i n h 2xxx ar
2
2
1
)1()s i n h(
xx
xxx
ar
)11(11 22 xxxx 21 1 x?
同理 1
1
2 xar )c o s h(?x
21
1
xar )ta n h(?x
五、小结注意,);()(])()([ xvxuxvxu,)( )(])( )([ xv xuxv xu
分段函数 求导时,分界点导数用左右导数求,
反函数的求导法则 （注意成立条件） ;
复合函数的求导法则
（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法） ;
已能求导的函数,可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商,
关键,正确分解初等函数的复合结构,
思考题 若 )( uf 在
0u 不可导,)( xgu? 在 0x 可导，且
)( 00 xgu?,则 )]([ xgf 在 0x 处 （ ）．
（ 1 ）必可导； （ 2 ）必不可导； （ 3 ）不一定可导；
思考题解答正确的选择是 （ 3）
例 ||)( uuf?在 处不可导，0?u
取 xxgu s i n)( 在 处可导，0?x
|s i n|)]([ xxgf?在 处不可导，0?x?)1(
取 4)( xxgu 在 处可导，0?x
44 ||)]([ xxxgf在 处可导，0?x?)2(
