数列极限一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽 播放正六边形的面积 1A
正十二边形的面积 2A
正 形的面积 126 n nA
,,,,,321 nAAAA S
R
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211?X第一天截下的杖长为;2 121 22X为第二天截下的杖长总和
;2 12 121 2 nnXn天截下的杖长总和为第
nnX 2
11 1
二、数列的定义定义,按自然数?,3,2,1 编号依次排列的一列数
,,,,
21 n
xxx ( 1)
称为 无穷数列,简称 数列,其中的每个数称为数列的 项,nx 称为 通项 ( 一般项 ),数列 ( 1) 记为 }{ nx,
例如 ;,2,,8,4,2 n }2{;,21,,81,41,21 n}2
1{
n;,)1(,,1,1,1 1 n})1{( 1 n;,)1(,,34,21,2
1
nn
n })1({
1
n
n n
,333,,33,3
注意,1.数列对应着数轴上一个点列,可看作一动点在数轴上依次取,,,,,21 nxxx
1x 2x3x 4x nx
2.数列是整标函数 ).( nfx n?
.)1(1
1
时的变化趋势当观察数列
n
n
n
播放三、数列的极限观察数列 时的变化趋势当 nnx n 1
问题,当 无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?
nxn
通过上面演示实验的观察,
.1)1(1,
1
无限接近于无限增大时当 nxn
n
n
对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的凭观察能判定数列 nn nx )11(的极限是多少吗显然不能问题,,无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它,
1nx? nnn 11)1( 1
,1001给定,1 0 011?n由,1 0 0时只要?n,10011nx有
,10001给定,1 0 0 0时只要?n,1 0 0 011nx有
,1 0 0 0 01给定,1 0 0 0 0时只要?n,1000011nx有
,0给定,])1[( 时只要 Nn,1 成立有nx
这就是,当 n无限增大时,xn无限地接近于 1”的实质和精确的数学描述。
如果数列没有极限,就说数列是发散的,
定义 如果对于任意给定的正数? ( 不论它多么小 ),总存在正数 N,使得对于 Nn? 时的一切
n
x,
不等式 ax
n
都成立,那末就称常数 a 是数列
n
x 的极限,或者称数列
n
x 收敛于 a,记为
,li m ax
n
n
或 ).( nax
n
注
① 定义 1习惯上称为极限的 ε—N定义，它用两个动态指标 ε和 N刻画了极限的实质，用 |xn－ a|＜ ε
定量地刻画了 xn 与 a 之间的距离任意小，即任给
ε＞ 0标志着“要多小”的要求，用 n＞ N表示 n充分大。这个定义有三个要素,10,正数 ε,20,正数
N,30，不等式 |xn－ a|＜ ε（ n＞ N）
② 定义中的 ε具有二重性：一是 ε的任意性，二是
ε的相对固定性。 ε的二重性体现了 xn 逼近 a 时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过 ε的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，
而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过 ε的相对固定性来实现）。
③ 定义中的 N是一个特定的项数，与给定的 ε有关。
重要的是它的存在性，它是在 ε相对固定后才能确定的，且由 |xn－ a|＜ ε来选定，一般说来,ε越小,N越大，但须注意，对于一个固定的 ε，合乎定义要求的
N不是唯一的。用定义验证 xn 以 a 为极限时，关键在于设法由给定的 ε，求出一个相应的 N，使当 n ＞ N
时，不等式 |xn－ a|＜ ε成立。
在证明极限时 ε,n,N之间的逻辑关系如下图所示
|xn－ a| ＜ ε
n ＞ N
④ 定义中的不等式 |xn－ a|＜ ε（ n ＞ N）是指下面一串不等式
|| 1 ax N || 2 ax N || 3 ax N
都成立，
而对 || 1 ax || ax N
则不要求它们一定成立数列极限的几何意义
,,0 N 使得 N 项以后的所有项
,,,321 NNN xxx
都落在 a点的 ε邻域 内),( aa
因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点
x
aa
a
2
2?Nx1x2x 1?Nx 3x
这就表明数列 xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点 a的任意小邻域内，同时也表明数列 xn
中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。
注意,数列极限的定义未给出求极限的方法,
例 1 2)1(
)1(
nx
n
n已知 0l i m nn x证明证明
2)1(
1|0|
nx n nn 1
1?
0故 |0| nx要使
11 n
n 即只须使因此1N取 则当 n ＞ N时，有
|0| nx 0l i m nn x得证利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式
|xn－ a|＜ ε不易考虑，往往采用把 |xn－ a|放大的方法。
若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标 N
放大的原则：
①放大后的式子较简单
②放大后的式子以 0为极限例 2 证明 1lim
22
n
an
n
证明 1|1| 22
n
anx
n )( 22
2
nann
a
n
a
n
21
)1( 22
n
aan 则若
0故 ][,1ma x 2aN?则当 n ＞ N时，有
n
a
nn
an 222 11
n1
1l im
22
n
an
n
例 3,1,0lim qq nn 其中证明证 若 q=0则上式显然成立 下证 q≠0的情形
,0任给
,0 nn qx,lnlnqn
,lnln qn,1]lnln[ qN?取,时则当 Nn?
,0nq就有,0l i m nn q
（不妨设 ε＜ 1）
注 在论证极限问题时，都可以假设 ε＜ 1，因为若对小于 1的 ε已经得到项数指标 N，则对于大于 1的 ε上述项数指标 N仍合乎定义要求。
例 4,lim
,0lim,0
ax
axx
nn
nnn
求证且设证,0任给,l i m ax nn
,1 axNnN n时恒有使得当
ax
axax
n
n
n?
从而有
a
ax n
a
1
.lim ax nn故
)( 1 a?对四,数列极限的性质
1.有界性定义,对数列 nx,若存在正数 M,使得一切自然数 n,恒有 Mx n? 成立,则称数列 nx 有界,
否则,称为无界,
例如,;1 n nx n数列 有界,2 nnx?数列 无界数轴上对应于有界数列的点 nx 都落在闭区间
],[ MM? 上,
定理 1 收敛的数列必定有界,
证,l i m ax nn设 由定义,,1取
,1, axNnN n时恒有使得当则
||1|||||||| aaaxaaxx nnn
| },|1,,,m a x { 1 axxM N记
,,Mxn n?皆有则对一切自然数,有界故 nx
注意,有界性是数列收敛的必要条件,
推论 无界数列必定发散,
)(
2.唯一性定理 2 每个收敛的数列只有一个极限,
[分析 ] 直接证明较困难，采用反证法由数列极限的几何意义,时当 NnN,,0?
),( aax n
在 a的任一 ε邻域内聚集着 xn中的无穷多个点，而在该邻域之外至多有 xn中的有限个点
a b )(
证 用反证法,lim,lim bxax nnnn 又设
a ≠b不妨设 a ＜ b
02 ab?取,l i m,l i m bxax nnnn 及由使得.,21 NN? ;21 abaxNn n 时恒有当;22 abbxNn n 时恒有当
2
bax
n
2
bax
n
,,m a x 21 NNN?取 同时有时则当 Nn?
2
bax
n
2
bax
n
矛盾，这说明结论成立例 5,)1( 1 是发散的证明数列 nnx
证,l i m ax nn设 由定义,,21对于
,21,,成立有时使得当则 axNnN n
),21,21(, aaxNn n时即当 区间长度为 1.
,1,1 两个数无休止地反复取而?nx
不可能同时位于 长度为 1的 区间内,
.,}{,但却发散是有界的事实上 nx
在数列 {xn }中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列：
,,,,21 knnn xxx
kn
nxxkxx
k
knnnn kkk
显然项，中是第在项，而是第中，在 }{}{
定理 3 若数列 xn 收敛于 a,则它的任一子数列也收敛，且极限也是 a
这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关系。由此可知，若数列 xn有两个子数列收敛于不同的极限值，则 xn一定是发散的。
1)1( nnx如 1}{ 12 收敛于?kx 1}{ 2?收敛于kx
例 6 对于数列 xn )(2 kax k若
)(12 kax k )( nax n则证 0 知由 ax kk 2l i m
时，有使当 11,KkK || 2 ax k
知再由 ax kk 12lim
时，有使当 22,KkK || 12 ax k
}12,2ma x { 21 KKN取 时则当 Nn?
11222 KmKmmn 则若此时有 |||| 2 axax mn
22 121212 KmKmmn 则若此时有 |||| 12 axax mn
总之,0 N? 时使当 Nn?
恒有 || ax n ax n
nlim即
)(
),()(
}|{}|{}{
nax
qpaNBA
BqxApxx
n
qpn
则趋于同一极限值其中与：若子数列对数列
五,小结数列,研究其变化规律 ;
数列极限,极限思想,精确定义,几何意义 ;
收敛数列的性质,有界性唯一性,
思考题 指出下列证明 1lim?
n
n
n 中的错误。
证明 要使,1n n 只要使 )1l n(ln1nn
从而由 2ln )1l n(ln )1l n(1 nn
得,0 取 1)1l n( 2ln
N
当 时，必有 成立Nn 10 n n
1lim nn n
思考题解答
1n n? ~ )1l n(ln1nn （等价）
证明中所采用的 2ln )1l n(ln )1l n(1 nn
实际上就是不等式 )1l n(ln2ln n nn
即证明中没有采用,适当放大,的值nnln
反而缩小为 n2ln
从而 时,2ln )1l n( Nn
仅有 成立,)1l n(2lnn
但不是 的充分条件,)1l n(lnn n
练 习 题一,利用数列极限的定义证明,
1,
2
3
12
13
lim?
n
n
n；
2,19.,,,999.0lim?
n
二,设数列 nx 有界，又 0lim?
n
n
y,
证明,0l i m?
nn
n
yx,
三、数列的极限
1、割圆术：
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽 播放正六边形的面积 1A
正十二边形的面积 2A
正 形的面积 126 n nA
,,,,,321 nAAAA S
R
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211?X第一天截下的杖长为;2 121 22X为第二天截下的杖长总和
;2 12 121 2 nnXn天截下的杖长总和为第
nnX 2
11 1
二、数列的定义定义,按自然数?,3,2,1 编号依次排列的一列数
,,,,
21 n
xxx ( 1)
称为 无穷数列,简称 数列,其中的每个数称为数列的 项,nx 称为 通项 ( 一般项 ),数列 ( 1) 记为 }{ nx,
例如 ;,2,,8,4,2 n }2{;,21,,81,41,21 n}2
1{
n;,)1(,,1,1,1 1 n})1{( 1 n;,)1(,,34,21,2
1
nn
n })1({
1
n
n n
,333,,33,3
注意,1.数列对应着数轴上一个点列,可看作一动点在数轴上依次取,,,,,21 nxxx
1x 2x3x 4x nx
2.数列是整标函数 ).( nfx n?
.)1(1
1
时的变化趋势当观察数列
n
n
n
播放三、数列的极限观察数列 时的变化趋势当 nnx n 1
问题,当 无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?
nxn
通过上面演示实验的观察,
.1)1(1,
1
无限接近于无限增大时当 nxn
n
n
对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的凭观察能判定数列 nn nx )11(的极限是多少吗显然不能问题,,无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它,
1nx? nnn 11)1( 1
,1001给定,1 0 011?n由,1 0 0时只要?n,10011nx有
,10001给定,1 0 0 0时只要?n,1 0 0 011nx有
,1 0 0 0 01给定,1 0 0 0 0时只要?n,1000011nx有
,0给定,])1[( 时只要 Nn,1 成立有nx
这就是,当 n无限增大时,xn无限地接近于 1”的实质和精确的数学描述。
如果数列没有极限,就说数列是发散的,
定义 如果对于任意给定的正数? ( 不论它多么小 ),总存在正数 N,使得对于 Nn? 时的一切
n
x,
不等式 ax
n
都成立,那末就称常数 a 是数列
n
x 的极限,或者称数列
n
x 收敛于 a,记为
,li m ax
n
n
或 ).( nax
n
注
① 定义 1习惯上称为极限的 ε—N定义，它用两个动态指标 ε和 N刻画了极限的实质，用 |xn－ a|＜ ε
定量地刻画了 xn 与 a 之间的距离任意小，即任给
ε＞ 0标志着“要多小”的要求，用 n＞ N表示 n充分大。这个定义有三个要素,10,正数 ε,20,正数
N,30，不等式 |xn－ a|＜ ε（ n＞ N）
② 定义中的 ε具有二重性：一是 ε的任意性，二是
ε的相对固定性。 ε的二重性体现了 xn 逼近 a 时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过 ε的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，
而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过 ε的相对固定性来实现）。
③ 定义中的 N是一个特定的项数，与给定的 ε有关。
重要的是它的存在性，它是在 ε相对固定后才能确定的，且由 |xn－ a|＜ ε来选定，一般说来,ε越小,N越大，但须注意，对于一个固定的 ε，合乎定义要求的
N不是唯一的。用定义验证 xn 以 a 为极限时，关键在于设法由给定的 ε，求出一个相应的 N，使当 n ＞ N
时，不等式 |xn－ a|＜ ε成立。
在证明极限时 ε,n,N之间的逻辑关系如下图所示
|xn－ a| ＜ ε
n ＞ N
④ 定义中的不等式 |xn－ a|＜ ε（ n ＞ N）是指下面一串不等式
|| 1 ax N || 2 ax N || 3 ax N
都成立，
而对 || 1 ax || ax N
则不要求它们一定成立数列极限的几何意义
,,0 N 使得 N 项以后的所有项
,,,321 NNN xxx
都落在 a点的 ε邻域 内),( aa
因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点
x
aa
a
2
2?Nx1x2x 1?Nx 3x
这就表明数列 xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点 a的任意小邻域内，同时也表明数列 xn
中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。
注意,数列极限的定义未给出求极限的方法,
例 1 2)1(
)1(
nx
n
n已知 0l i m nn x证明证明
2)1(
1|0|
nx n nn 1
1?
0故 |0| nx要使
11 n
n 即只须使因此1N取 则当 n ＞ N时，有
|0| nx 0l i m nn x得证利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式
|xn－ a|＜ ε不易考虑，往往采用把 |xn－ a|放大的方法。
若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标 N
放大的原则：
①放大后的式子较简单
②放大后的式子以 0为极限例 2 证明 1lim
22
n
an
n
证明 1|1| 22
n
anx
n )( 22
2
nann
a
n
a
n
21
)1( 22
n
aan 则若
0故 ][,1ma x 2aN?则当 n ＞ N时，有
n
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1l im
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例 3,1,0lim qq nn 其中证明证 若 q=0则上式显然成立 下证 q≠0的情形
,0任给
,0 nn qx,lnlnqn
,lnln qn,1]lnln[ qN?取,时则当 Nn?
,0nq就有,0l i m nn q
（不妨设 ε＜ 1）
注 在论证极限问题时，都可以假设 ε＜ 1，因为若对小于 1的 ε已经得到项数指标 N，则对于大于 1的 ε上述项数指标 N仍合乎定义要求。
例 4,lim
,0lim,0
ax
axx
nn
nnn
求证且设证,0任给,l i m ax nn
,1 axNnN n时恒有使得当
ax
axax
n
n
n?
从而有
a
ax n
a
1
.lim ax nn故
)( 1 a?对四,数列极限的性质
1.有界性定义,对数列 nx,若存在正数 M,使得一切自然数 n,恒有 Mx n? 成立,则称数列 nx 有界,
否则,称为无界,
例如,;1 n nx n数列 有界,2 nnx?数列 无界数轴上对应于有界数列的点 nx 都落在闭区间
],[ MM? 上,
定理 1 收敛的数列必定有界,
证,l i m ax nn设 由定义,,1取
,1, axNnN n时恒有使得当则
||1|||||||| aaaxaaxx nnn
| },|1,,,m a x { 1 axxM N记
,,Mxn n?皆有则对一切自然数,有界故 nx
注意,有界性是数列收敛的必要条件,
推论 无界数列必定发散,
)(
2.唯一性定理 2 每个收敛的数列只有一个极限,
[分析 ] 直接证明较困难，采用反证法由数列极限的几何意义,时当 NnN,,0?
),( aax n
在 a的任一 ε邻域内聚集着 xn中的无穷多个点，而在该邻域之外至多有 xn中的有限个点
a b )(
证 用反证法,lim,lim bxax nnnn 又设
a ≠b不妨设 a ＜ b
02 ab?取,l i m,l i m bxax nnnn 及由使得.,21 NN? ;21 abaxNn n 时恒有当;22 abbxNn n 时恒有当
2
bax
n
2
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n
,,m a x 21 NNN?取 同时有时则当 Nn?
2
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n
2
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矛盾，这说明结论成立例 5,)1( 1 是发散的证明数列 nnx
证,l i m ax nn设 由定义,,21对于
,21,,成立有时使得当则 axNnN n
),21,21(, aaxNn n时即当 区间长度为 1.
,1,1 两个数无休止地反复取而?nx
不可能同时位于 长度为 1的 区间内,
.,}{,但却发散是有界的事实上 nx
在数列 {xn }中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列：
,,,,21 knnn xxx
kn
nxxkxx
k
knnnn kkk
显然项，中是第在项，而是第中，在 }{}{
定理 3 若数列 xn 收敛于 a,则它的任一子数列也收敛，且极限也是 a
这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关系。由此可知，若数列 xn有两个子数列收敛于不同的极限值，则 xn一定是发散的。
1)1( nnx如 1}{ 12 收敛于?kx 1}{ 2?收敛于kx
例 6 对于数列 xn )(2 kax k若
)(12 kax k )( nax n则证 0 知由 ax kk 2l i m
时，有使当 11,KkK || 2 ax k
知再由 ax kk 12lim
时，有使当 22,KkK || 12 ax k
}12,2ma x { 21 KKN取 时则当 Nn?
11222 KmKmmn 则若此时有 |||| 2 axax mn
22 121212 KmKmmn 则若此时有 |||| 12 axax mn
总之,0 N? 时使当 Nn?
恒有 || ax n ax n
nlim即
)(
),()(
}|{}|{}{
nax
qpaNBA
BqxApxx
n
qpn
则趋于同一极限值其中与：若子数列对数列
五,小结数列,研究其变化规律 ;
数列极限,极限思想,精确定义,几何意义 ;
收敛数列的性质,有界性唯一性,
思考题 指出下列证明 1lim?
n
n
n 中的错误。
证明 要使,1n n 只要使 )1l n(ln1nn
从而由 2ln )1l n(ln )1l n(1 nn
得,0 取 1)1l n( 2ln
N
当 时，必有 成立Nn 10 n n
1lim nn n
思考题解答
1n n? ~ )1l n(ln1nn （等价）
证明中所采用的 2ln )1l n(ln )1l n(1 nn
实际上就是不等式 )1l n(ln2ln n nn
即证明中没有采用,适当放大,的值nnln
反而缩小为 n2ln
从而 时,2ln )1l n( Nn
仅有 成立,)1l n(2lnn
但不是 的充分条件,)1l n(lnn n
练 习 题一,利用数列极限的定义证明,
1,
2
3
12
13
lim?
n
n
n；
2,19.,,,999.0lim?
n
二,设数列 nx 有界，又 0lim?
n
n
y,
证明,0l i m?
nn
n
yx,
三、数列的极限
