极限运算法则本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。
首先来介绍无穷小。
一、无穷小在实际应用中，经常会遇到极限为 0的变量。
对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义
1.定义,极限为零的变量称为 无穷小,
定义 1 如果对于任意给定的正数? ( 不论它多么小 ),
总存在正数? ( 或正数 X ),使得对于适合不等式
0
0 xx ( 或?x X ) 的一切 x,对应的函数值
)( xf 都满足不等式)( xf,
那末 称函数 )( xf 当
0
xx? ( 或x ) 时为无穷小,
记作 ).0)(l i m(0)(l i m
0
xfxf
xxx
或例如,
,0s i nl i m0 xx?,0s i n 时的无穷小是当函数 xx
,01lim?
xx
,1 时的无穷小是当函数 xx
,0)1(lim
n
n
n
,})1({ 时的无穷小是当数列 n
n
n
注意
1.称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；
2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆 ;
3.零是可以作为无穷小的唯一的数,
2.无穷小与函数极限的关系,
定理 1 ),()()(lim
0
xAxfAxf
xx
其中 )( x? 是当 0xx? 时的无穷小,
证 必要性,)(lim
0
Axfxx设,)()( Axfx令
,0)(l i m
0
xxx则有 ).()( xAxf
充分性 ),()( xAxf设
,)( 0 时的无穷小是当其中 xxx
))((l i m)(l i m
00
xAxf xxxx则 )(l i m
0
xA xx.A?
意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小 );
).(,)(
)(.2 0
xAxf
xxf
误差为附近的近似表达式在给出了函数
3.无穷小的运算性质,
定理 2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小,
证,时的两个无穷小是当及设 x
使得,0,0,0 21 NN;21 时恒有当 Nx ;22 时恒有当 Nx
},,m a x { 21 NNN?取 恒有时当,Nx?
22,
)(0 x
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小,
是无穷小，时例如 nn 1,,
.11 不是无穷小之和为个但 nn
定理 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,
证 内有界，在设函数 ),( 100?xUu
.
0,0,0 101
Mu
xxM
恒有时使得当则
,0 时的无穷小是当又设 xx
.
0,0,0 202
M
xx
恒有时使得当
},,m i n { 21取 恒有时则当,0 0 xx
uu MM,
.,0 为无穷小时当 uxx
推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小,
推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小,
xxxxx
1a rc ta n,1s i n,0,2时当例如?都是无穷小二、无穷大绝对值无限增大的变量称为 无穷大,
定义 2 如果对于任意给定的正数 M ( 不论它多么小 ),总存在正数? ( 或正数 X ),使得对于适合不等式
0
0 xx ( 或?x X ) 的一切 x,所对应的函数值 )( xf 都满足不等式 Mxf?)(,
则称函数 )( xf 当 0xx? ( 或x ) 时为无穷小,
记作 ).)(lim()(lim
0
xfxf
xxx
或特殊情形：正无穷大，负无穷大．
))(l i m()(l i m
)()( 00
xfxf
x
xx
x
xx
或注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆 ;
.)(l i m.2
0
认为极限存在切勿将 xfxx
3,无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大,
.,
1
s i n
1
,0,
但不是无穷大是一个无界变量时当例如
xx
yx xxy 1sin1?
),3,2,1,0(
2
2
1)1(
0
k
k
x取
,22)( 0 kxy,)(,0 Mxyk?充分大时当 无界，
),3,2,1,0(2 1)2( 0 kkx取
,,kxk 充分大时当
kkxy k 2s i n2)(但,0 M 不是无穷大．
.11lim
1
xx
证明例证 1
1
xy.0 M,11 Mx要使
,11 Mx只要,1M取
,110 时当 Mx,11 Mx就有,11lim 1 xx
.
)(,)(l i m,0
0
的图形的铅直渐近线是函数则直线如果定义 xfyxxxf
xx
三、无穷小与无穷大的关系定理 4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,
证,)(lim
0
xfxx设
,
1
)(
0,0,0 0
xf
xx
恒有时使得当
.)(1,0 为无穷小时当 xfxx
.0)(,0)(lim,
0
xfxfxx 且设反之
,
1
)(
0,0,0 0
M
xf
xxM
恒有时使得当
.)(1,0 为无穷大时当 xfxx
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论,
四、极限运算法则定理
.0,
)(
)(
lim)3(;)]()(l i m [)2(;)]()(l i m [)1(
,)(lim,)(lim
B
B
A
xg
xf
BAxgxf
BAxgxf
BxgAxf
其中则设证,)(lim,)(lim BxgAxf
.0,0.)(,)( 其中BxgAxf
由无穷小运算法则,得
)()]()([ BAxgxf,0?,)1( 成立?
)()]()([ BAxgxf ABBA ))((
)( BA,0?,)2( 成立?
B
A
xg
xf?
)(
)(
B
A?
)(
B
AB,0 AB?
,0,0 B?又,0,0 0 时当 xx
,2B BB BB 21 B21?
,21)( 2BBB,2)( 1 2BBB故 有界，
.)3( 成立?
注 ① 此定理对于数列同样成立
② 此定理证明的基本原则：
)()()(l im xAxfAxf
③ (1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数
④ (2)有两个重要的推论推论 1 ).(lim)](l i m [
,,)(lim
xfcxcf
cxf
则为常数而存在如果常数因子可以提到极限记号外面,
推论 2
.)]([ l i m)](l i m [
,,)(lim
nn xfxf
nxf
则是正整数而存在如果
⑤ 定理的条件,)(l i m),(l i m xgxf 存在商的情形还须加上分母的极限不为 0
⑥ 定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商
⑦ 定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立五、求极限方法举例例 1,53
1lim
2
3
2
xx
x
x
求解 )53(l i m 22 xxx? 5l i m3l i ml i m 2222 xxx xx
5l i ml i m3)l i m( 2222 xxx xx
5232 2,0
53
1l i m
2
3
2
xx
x
x )53(lim
1limlim
2
2
2
3
2
xx
x
x
xx
3
12 3,
3
7?
小结,则有设,)(.1 110 nnn axaxaxf
nnxxnxxxx axaxaxf110 )lim()lim()(lim 000
nnn axaxa10100 ).( 0xf?
则有且设,0)(,)( )()(.2 0 xQxQ xPxf
)(l i m
)(l i m
)(l i m
0
0
0 xQ
xP
xf
xx
xx
xx
)(
)(
0
0
xQ
xP? ).(
0xf?
.,0)( 0 则商的法则不能应用若?xQ
例 2,32
14l i m
21
xx
x
x
求解 )32(l i m 21 xxx?,0? 商的法则不能用
)14(lim 1 xx?又,03
14
32lim 2
1?
x
xx
x,03
0
由无穷小与无穷大的关系,得
.32 14l i m 2
1
xx
x
x
例 3,32
1l i m
2
2
1
xx
x
x
求解,,,1 分母的极限都是零分子时?x )0
0( 型
.1 后再求极限因子先约去不为零的无穷小?x
)1)(3(
)1)(1(l i m
32
1l i m
12
2
1
xx
xx
xx
x
xx
3
1l i m
1?
x
x
x,2
1? (消去零因子法 )
例 4,147
532lim
23
23
xx
xx
x
求解,,,分母的极限都是无穷大分子时x )( 型?
.,,3 再求极限分出无穷小去除分子分母先用 x
3
3
23
23
14
7
53
2
lim
147
532
lim
xx
xx
xx
xx
xx
.72?
(无穷小因子分出法 )
小结,为非负整数时有和当 nmba,0,0 00
,,
,,0
,,
l i m
0
0
1
10
1
10
mn
mn
mn
b
a
bxbxb
axaxa
n
nn
m
mm
x
当当当
无穷小分出法,以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限,
例 5 ).
21(lim
222 n
n
nnn求解 是无穷小之和．时,n 先变形再求极限,
2222
21lim)21(lim
n
n
n
n
nn nn
2
)1(
2
1
l i m
n
nn
n
)
11(
2
1l i m
nn,2
1?
由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，
有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。
六、复合函数极限定理 （ 复合函数极限运算法则 —— 变量代换法则 ）
AufxfAuf
axxax
auxxau
xx
)(lim)]([lim,)(lim
,)(,)(lim
0
0
0
则又的某去心邻域内但在设证 知由 Auf
au )(lim 0,0
有时使当,||0 au |)(| Af
得又由 axxx )(lim
0
00,对上述有时使当,||0 0 xx |)(| ax
ax?)(?又 |)(|0 ax
|)]([| Axf
由极限定义得 Aufxf
auxx )(lim)]([lim 0?
此定理表明,满足定理的条件与若 )()( xuf?
则可作代换 转化为把求 )]([lim)(
0
xfxu xx
)(l i m),(l i m
0
xauf xxau这里
—— 极限过程的转化注
AufAuf
xax
uau
)(lim)(lim
)(lim)(lim
换成换成如将
可得类似的定理无穷小与无穷大是相对于过程而言的,
1、主要内容,两个定义 ;四个定理 ;三个推论,
2、几点注意,
（ 1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；
（ 2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小,
（ 3） 无界变量未必是无穷大,
六、小结
3.极限的四则运算法则及其推论 ;
4.极限求法 ;
a.多项式与分式函数代入法求极限 ;
b.消去零因子法求极限 ;
c.无穷小因子分出法求极限 ;
d.利用无穷小运算性质求极限 ;
e.利用左右极限求分段函数极限,
思考题 1若 0)(?xf,且 Axf
x
)(lim,
问：能否保证有 0?A 的结论？试举例说明,
思考题 2
在某个过程中，若 有极限，
无极限，那么 是否有极限？为什么？
)(xf )(xg
)()( xgxf?
思考题 1解答不能保证,
例 xxf 1)(?,0x 有 01)( xxf
)(l i m xfx,01l im Axx
思考题 2解答没有极限．
假设 有极限,)()( xgxf? )(xf? 有极限，
由极限运算法则可知：
)()()()( xfxgxfxg 必有极限，
与已知矛盾,故假设错误．
首先来介绍无穷小。
一、无穷小在实际应用中，经常会遇到极限为 0的变量。
对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义
1.定义,极限为零的变量称为 无穷小,
定义 1 如果对于任意给定的正数? ( 不论它多么小 ),
总存在正数? ( 或正数 X ),使得对于适合不等式
0
0 xx ( 或?x X ) 的一切 x,对应的函数值
)( xf 都满足不等式)( xf,
那末 称函数 )( xf 当
0
xx? ( 或x ) 时为无穷小,
记作 ).0)(l i m(0)(l i m
0
xfxf
xxx
或例如,
,0s i nl i m0 xx?,0s i n 时的无穷小是当函数 xx
,01lim?
xx
,1 时的无穷小是当函数 xx
,0)1(lim
n
n
n
,})1({ 时的无穷小是当数列 n
n
n
注意
1.称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；
2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆 ;
3.零是可以作为无穷小的唯一的数,
2.无穷小与函数极限的关系,
定理 1 ),()()(lim
0
xAxfAxf
xx
其中 )( x? 是当 0xx? 时的无穷小,
证 必要性,)(lim
0
Axfxx设,)()( Axfx令
,0)(l i m
0
xxx则有 ).()( xAxf
充分性 ),()( xAxf设
,)( 0 时的无穷小是当其中 xxx
))((l i m)(l i m
00
xAxf xxxx则 )(l i m
0
xA xx.A?
意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小 );
).(,)(
)(.2 0
xAxf
xxf
误差为附近的近似表达式在给出了函数
3.无穷小的运算性质,
定理 2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小,
证,时的两个无穷小是当及设 x
使得,0,0,0 21 NN;21 时恒有当 Nx ;22 时恒有当 Nx
},,m a x { 21 NNN?取 恒有时当,Nx?
22,
)(0 x
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小,
是无穷小，时例如 nn 1,,
.11 不是无穷小之和为个但 nn
定理 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,
证 内有界，在设函数 ),( 100?xUu
.
0,0,0 101
Mu
xxM
恒有时使得当则
,0 时的无穷小是当又设 xx
.
0,0,0 202
M
xx
恒有时使得当
},,m i n { 21取 恒有时则当,0 0 xx
uu MM,
.,0 为无穷小时当 uxx
推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小,
推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小,
xxxxx
1a rc ta n,1s i n,0,2时当例如?都是无穷小二、无穷大绝对值无限增大的变量称为 无穷大,
定义 2 如果对于任意给定的正数 M ( 不论它多么小 ),总存在正数? ( 或正数 X ),使得对于适合不等式
0
0 xx ( 或?x X ) 的一切 x,所对应的函数值 )( xf 都满足不等式 Mxf?)(,
则称函数 )( xf 当 0xx? ( 或x ) 时为无穷小,
记作 ).)(lim()(lim
0
xfxf
xxx
或特殊情形：正无穷大，负无穷大．
))(l i m()(l i m
)()( 00
xfxf
x
xx
x
xx
或注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆 ;
.)(l i m.2
0
认为极限存在切勿将 xfxx
3,无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大,
.,
1
s i n
1
,0,
但不是无穷大是一个无界变量时当例如
xx
yx xxy 1sin1?
),3,2,1,0(
2
2
1)1(
0
k
k
x取
,22)( 0 kxy,)(,0 Mxyk?充分大时当 无界，
),3,2,1,0(2 1)2( 0 kkx取
,,kxk 充分大时当
kkxy k 2s i n2)(但,0 M 不是无穷大．
.11lim
1
xx
证明例证 1
1
xy.0 M,11 Mx要使
,11 Mx只要,1M取
,110 时当 Mx,11 Mx就有,11lim 1 xx
.
)(,)(l i m,0
0
的图形的铅直渐近线是函数则直线如果定义 xfyxxxf
xx
三、无穷小与无穷大的关系定理 4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,
证,)(lim
0
xfxx设
,
1
)(
0,0,0 0
xf
xx
恒有时使得当
.)(1,0 为无穷小时当 xfxx
.0)(,0)(lim,
0
xfxfxx 且设反之
,
1
)(
0,0,0 0
M
xf
xxM
恒有时使得当
.)(1,0 为无穷大时当 xfxx
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论,
四、极限运算法则定理
.0,
)(
)(
lim)3(;)]()(l i m [)2(;)]()(l i m [)1(
,)(lim,)(lim
B
B
A
xg
xf
BAxgxf
BAxgxf
BxgAxf
其中则设证,)(lim,)(lim BxgAxf
.0,0.)(,)( 其中BxgAxf
由无穷小运算法则,得
)()]()([ BAxgxf,0?,)1( 成立?
)()]()([ BAxgxf ABBA ))((
)( BA,0?,)2( 成立?
B
A
xg
xf?
)(
)(
B
A?
)(
B
AB,0 AB?
,0,0 B?又,0,0 0 时当 xx
,2B BB BB 21 B21?
,21)( 2BBB,2)( 1 2BBB故 有界，
.)3( 成立?
注 ① 此定理对于数列同样成立
② 此定理证明的基本原则：
)()()(l im xAxfAxf
③ (1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数
④ (2)有两个重要的推论推论 1 ).(lim)](l i m [
,,)(lim
xfcxcf
cxf
则为常数而存在如果常数因子可以提到极限记号外面,
推论 2
.)]([ l i m)](l i m [
,,)(lim
nn xfxf
nxf
则是正整数而存在如果
⑤ 定理的条件,)(l i m),(l i m xgxf 存在商的情形还须加上分母的极限不为 0
⑥ 定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商
⑦ 定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立五、求极限方法举例例 1,53
1lim
2
3
2
xx
x
x
求解 )53(l i m 22 xxx? 5l i m3l i ml i m 2222 xxx xx
5l i ml i m3)l i m( 2222 xxx xx
5232 2,0
53
1l i m
2
3
2
xx
x
x )53(lim
1limlim
2
2
2
3
2
xx
x
x
xx
3
12 3,
3
7?
小结,则有设,)(.1 110 nnn axaxaxf
nnxxnxxxx axaxaxf110 )lim()lim()(lim 000
nnn axaxa10100 ).( 0xf?
则有且设,0)(,)( )()(.2 0 xQxQ xPxf
)(l i m
)(l i m
)(l i m
0
0
0 xQ
xP
xf
xx
xx
xx
)(
)(
0
0
xQ
xP? ).(
0xf?
.,0)( 0 则商的法则不能应用若?xQ
例 2,32
14l i m
21
xx
x
x
求解 )32(l i m 21 xxx?,0? 商的法则不能用
)14(lim 1 xx?又,03
14
32lim 2
1?
x
xx
x,03
0
由无穷小与无穷大的关系,得
.32 14l i m 2
1
xx
x
x
例 3,32
1l i m
2
2
1
xx
x
x
求解,,,1 分母的极限都是零分子时?x )0
0( 型
.1 后再求极限因子先约去不为零的无穷小?x
)1)(3(
)1)(1(l i m
32
1l i m
12
2
1
xx
xx
xx
x
xx
3
1l i m
1?
x
x
x,2
1? (消去零因子法 )
例 4,147
532lim
23
23
xx
xx
x
求解,,,分母的极限都是无穷大分子时x )( 型?
.,,3 再求极限分出无穷小去除分子分母先用 x
3
3
23
23
14
7
53
2
lim
147
532
lim
xx
xx
xx
xx
xx
.72?
(无穷小因子分出法 )
小结,为非负整数时有和当 nmba,0,0 00
,,
,,0
,,
l i m
0
0
1
10
1
10
mn
mn
mn
b
a
bxbxb
axaxa
n
nn
m
mm
x
当当当
无穷小分出法,以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限,
例 5 ).
21(lim
222 n
n
nnn求解 是无穷小之和．时,n 先变形再求极限,
2222
21lim)21(lim
n
n
n
n
nn nn
2
)1(
2
1
l i m
n
nn
n
)
11(
2
1l i m
nn,2
1?
由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，
有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。
六、复合函数极限定理 （ 复合函数极限运算法则 —— 变量代换法则 ）
AufxfAuf
axxax
auxxau
xx
)(lim)]([lim,)(lim
,)(,)(lim
0
0
0
则又的某去心邻域内但在设证 知由 Auf
au )(lim 0,0
有时使当,||0 au |)(| Af
得又由 axxx )(lim
0
00,对上述有时使当,||0 0 xx |)(| ax
ax?)(?又 |)(|0 ax
|)]([| Axf
由极限定义得 Aufxf
auxx )(lim)]([lim 0?
此定理表明,满足定理的条件与若 )()( xuf?
则可作代换 转化为把求 )]([lim)(
0
xfxu xx
)(l i m),(l i m
0
xauf xxau这里
—— 极限过程的转化注
AufAuf
xax
uau
)(lim)(lim
)(lim)(lim
换成换成如将
可得类似的定理无穷小与无穷大是相对于过程而言的,
1、主要内容,两个定义 ;四个定理 ;三个推论,
2、几点注意,
（ 1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；
（ 2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小,
（ 3） 无界变量未必是无穷大,
六、小结
3.极限的四则运算法则及其推论 ;
4.极限求法 ;
a.多项式与分式函数代入法求极限 ;
b.消去零因子法求极限 ;
c.无穷小因子分出法求极限 ;
d.利用无穷小运算性质求极限 ;
e.利用左右极限求分段函数极限,
思考题 1若 0)(?xf,且 Axf
x
)(lim,
问：能否保证有 0?A 的结论？试举例说明,
思考题 2
在某个过程中，若 有极限，
无极限，那么 是否有极限？为什么？
)(xf )(xg
)()( xgxf?
思考题 1解答不能保证,
例 xxf 1)(?,0x 有 01)( xxf
)(l i m xfx,01l im Axx
思考题 2解答没有极限．
假设 有极限,)()( xgxf? )(xf? 有极限，
由极限运算法则可知：
)()()()( xfxgxfxg 必有极限，
与已知矛盾,故假设错误．
