极限存在准则两个重要极限本节将给出两个在后面求导数时经常要用到的重要的极限公式：
1s inlim
0
x
x
x
ex x
x
)1(lim
为此先介绍判定极限存在的准则一、极限存在准则
1.夹逼准则准则Ⅰ 如果数列
nn
yx,及
n
z 满足下列条件,
,lim,lim)2(
)3,2,1()1(
azay
nzxy
n
n
n
n
nnn
那末数列
n
x 的极限存在,且 ax
n
n
lim,
证,,azay nn
使得,0,0,0 21 NN?
,1 ayNn n时恒有当
,2 azNn n时恒有当
},,m a x { 21 NNN?取 上两式同时成立,
, aya n即, aza n
恒有时当,Nn?, azxya nnn
,成立即 ax n,l i m ax nn
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′ 如果当 )(
0
0
xUx
( 或 Mx? ) 时,有
,)(lim,)(lim)2(
),()()()1(
)()(
00
AxhAxg
xhxfxg
x
xx
x
xx
那末 )(li m
)(
0
xf
x
xx
存在,且等于 A,
)( xhy? )( xfy?
)( xgy?
A
A
0x0x0x
）（ ）（ 1? 2?
A
准则 Ⅰ 和准则 Ⅰ '称为 夹逼准则,
注意,
.
,).1(
的极限是容易求的与并且与键是构造出利用夹逼准则求极限关
nn
nn
zy
zy
时的情形也成立此准则对于x).2(
)()()( xhxfxg
夹逼定理示意图
A
例 1 ).
1
2
1
1
1(lim
222 nnnnn求解,1111 2222 n nnnnnn n
n
nn
n
nn 1
1
1limlim
2
又
,1?
2
2 1
1
1lim
1
lim
n
n
n
nn
,1? 由夹逼定理得
.1)12111(l i m 222
nnnnn
2.单调有界准则满足条件如果数列 nx
,121nn xxxx 单调增加
,121nn xxxx 单调减少单调数列准则 Ⅱ 单调有界数列必有极限,
几何解释,
x1x 2x 3x nx 1?nx MA
例 2,)
(333
的极限存在式重根证明数列 nx n
证,1 nn xx显然 ;是单调递增的x?
,331x?又,3?kx假定 kk xx 31 33,3?
;是有界的nx?,l i m 存在nn x
,31 nn xx,32 1 nn xx ),3(limlim 2 1 nnnn xx
,32 AA 2 131,2 131 AA解得 (舍去 )
.2 131lim nn x
二、两个重要极限
(1) 1
s i nl i m
0
x
x
x
首先注意到 都有定义对一切函数 0s i n?xx x
设法构造一个“夹逼不等式”，使函数 xxsin
在 x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个函数 g(x),h(x) 之间，以便应用 准则 Ⅰ
作如图所示的单位圆
A
C
)20(,, xxAO BO 圆心角设单位圆
,t a n,,s i n ACxABxBDx 弧于是有
xo
B
D,A C O?，得作单位圆的切线
,xOA B 的圆心角为扇形,BDOA B 的高为?
,ta ns i n xxx,1s i nco s x xx即
.02 也成立上式对于 x,20 时当 x
xx co s11co s0 2s in2 2 x? 2)2(2 x?,2
2x
,02lim
2
0
x
x
,0)c o s1(lim 0 xx
,1c o sl i m0 xx,11l i m0x?又
.1s i nlim 0 x xx
注 此结论可推广到 1)( )(s i nlim?
x
x
ax?
有限值，也可为可为，其中时条件是 axax 0)(,?
例 3,
co s1l i m
20 x
x
x
求解 2
2
0
2
s i n2
l i m
x
x
x?
原式 2
2
0
)
2
(
2
s i n
lim
2
1
x
x
x?
2
0
)
2
2
s i n
(l i m
2
1
x
x
x?
21
2
1,
2
1?
例 4 求 30
s i nt a nlim
x
xx
x
解 xx xx
x co s
)co s1(s i nl i m
30
原式
xx
x
x
x
x c o s
1c o s1s inlim
20 112
11
例 5 求 x
x
x
2
c o slim
2
解 xt 2?令 02 tx 时则当?
于是
x
x
x
2
c o slim
2
t
t
t
)
2
c o s (
lim
0
1s i nlim
0
t
t
t
(2) ex
x
x
)11(l i m
定义 en
n
n
)11(lim
n
n nx )
11(设
21!2 )1(1!11 nnnnn nnn nnnn 1! )1()1(
).11()21)(11(!1)11(!2111 nnnnnn
类似地,
).
1
1()
2
2
1)(
1
1
1(
)!1(
1
)
1
1
1()
2
2
1)(
1
1
1(
!
1
)
1
1
1(
!2
1
11
1
n
n
nnn
n
n
nnn
n
x
n
,1 nn xx显然 ;是单调递增的n?
!
1
!2
111
nx n 12
1
2
111
n?
12
13
n,3 ;是有界的nx?
.l i m 存在nn x en
n
n )
11(l i m记为 )71828.2(e
,1 时当?x,1][][ xxx有
,)][ 11()11()1][ 11( 1][][ xxx xxx
)][ 11(lim)][ 11(lim)][ 11(lim ][1][ xxx
x
x
x
x
x
而,e?
11][
][
)
1][
1
1(l i m)
1][
1
1(l i m
)
1][
1
1(l i m
xx
x
x
x
x
x
x
,e?
.)11(l i m ex xx
,xt令
t
t
x
x tx
)
11(l i m)11(l i m t
t t )1
11(l i m
)111()111(lim 1 tt tt,e?
ex x
x
)11(lim
此结论可推广到 ex xax )(
1)(1l i m
有限值，也可为可为，其中时条件是 axax 0)(,?
注特别有
et t
t
1
0
)1(l i m ez z
z
1
0
)1(lim
例 6,)
11(l i m x
x x
求解 1])11[(l i m
x
x x原式
xx
x
)11(
1lim
.1e?
一般地
k
x
x
exk
1l i m
例 7 求
x
x x
x?
1
1l i m
解一 )1
21()
1
21(lim
2
2
1
xx
x
x
原式
2e?
解二 x
x
x
x
x
)
1
1(
)
1
1(
li m
原式
2
1 ee
e
三、小结
1.两个准则夹逼准则 ; 单调有界准则,
2.两个重要极限
,为某过程中的无穷小设?;1s i nl i m1 0
某过程,)1(l i m2
1
0 e
某过程思考题求极限 xxxx
1
93lim?
思考题解答
xxx
x
1
93lim?
xxxx
x
1
1
1
3
19l i m
x
xx
xx?
3
1
3
3
1
1lim9 99 0 e
1s inlim
0
x
x
x
ex x
x
)1(lim
为此先介绍判定极限存在的准则一、极限存在准则
1.夹逼准则准则Ⅰ 如果数列
nn
yx,及
n
z 满足下列条件,
,lim,lim)2(
)3,2,1()1(
azay
nzxy
n
n
n
n
nnn
那末数列
n
x 的极限存在,且 ax
n
n
lim,
证,,azay nn
使得,0,0,0 21 NN?
,1 ayNn n时恒有当
,2 azNn n时恒有当
},,m a x { 21 NNN?取 上两式同时成立,
, aya n即, aza n
恒有时当,Nn?, azxya nnn
,成立即 ax n,l i m ax nn
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′ 如果当 )(
0
0
xUx
( 或 Mx? ) 时,有
,)(lim,)(lim)2(
),()()()1(
)()(
00
AxhAxg
xhxfxg
x
xx
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那末 )(li m
)(
0
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x
xx
存在,且等于 A,
)( xhy? )( xfy?
)( xgy?
A
A
0x0x0x
）（ ）（ 1? 2?
A
准则 Ⅰ 和准则 Ⅰ '称为 夹逼准则,
注意,
.
,).1(
的极限是容易求的与并且与键是构造出利用夹逼准则求极限关
nn
nn
zy
zy
时的情形也成立此准则对于x).2(
)()()( xhxfxg
夹逼定理示意图
A
例 1 ).
1
2
1
1
1(lim
222 nnnnn求解,1111 2222 n nnnnnn n
n
nn
n
nn 1
1
1limlim
2
又
,1?
2
2 1
1
1lim
1
lim
n
n
n
nn
,1? 由夹逼定理得
.1)12111(l i m 222
nnnnn
2.单调有界准则满足条件如果数列 nx
,121nn xxxx 单调增加
,121nn xxxx 单调减少单调数列准则 Ⅱ 单调有界数列必有极限,
几何解释,
x1x 2x 3x nx 1?nx MA
例 2,)
(333
的极限存在式重根证明数列 nx n
证,1 nn xx显然 ;是单调递增的x?
,331x?又,3?kx假定 kk xx 31 33,3?
;是有界的nx?,l i m 存在nn x
,31 nn xx,32 1 nn xx ),3(limlim 2 1 nnnn xx
,32 AA 2 131,2 131 AA解得 (舍去 )
.2 131lim nn x
二、两个重要极限
(1) 1
s i nl i m
0
x
x
x
首先注意到 都有定义对一切函数 0s i n?xx x
设法构造一个“夹逼不等式”，使函数 xxsin
在 x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个函数 g(x),h(x) 之间，以便应用 准则 Ⅰ
作如图所示的单位圆
A
C
)20(,, xxAO BO 圆心角设单位圆
,t a n,,s i n ACxABxBDx 弧于是有
xo
B
D,A C O?，得作单位圆的切线
,xOA B 的圆心角为扇形,BDOA B 的高为?
,ta ns i n xxx,1s i nco s x xx即
.02 也成立上式对于 x,20 时当 x
xx co s11co s0 2s in2 2 x? 2)2(2 x?,2
2x
,02lim
2
0
x
x
,0)c o s1(lim 0 xx
,1c o sl i m0 xx,11l i m0x?又
.1s i nlim 0 x xx
注 此结论可推广到 1)( )(s i nlim?
x
x
ax?
有限值，也可为可为，其中时条件是 axax 0)(,?
例 3,
co s1l i m
20 x
x
x
求解 2
2
0
2
s i n2
l i m
x
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原式 2
2
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1
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例 4 求 30
s i nt a nlim
x
xx
x
解 xx xx
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)co s1(s i nl i m
30
原式
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x
x
x
x c o s
1c o s1s inlim
20 112
11
例 5 求 x
x
x
2
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解 xt 2?令 02 tx 时则当?
于是
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)
2
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lim
0
1s i nlim
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(2) ex
x
x
)11(l i m
定义 en
n
n
)11(lim
n
n nx )
11(设
21!2 )1(1!11 nnnnn nnn nnnn 1! )1()1(
).11()21)(11(!1)11(!2111 nnnnnn
类似地,
).
1
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1
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1
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12
13
n,3 ;是有界的nx?
.l i m 存在nn x en
n
n )
11(l i m记为 )71828.2(e
,1 时当?x,1][][ xxx有
,)][ 11()11()1][ 11( 1][][ xxx xxx
)][ 11(lim)][ 11(lim)][ 11(lim ][1][ xxx
x
x
x
x
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1][
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1
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.)11(l i m ex xx
,xt令
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11(l i m)11(l i m t
t t )1
11(l i m
)111()111(lim 1 tt tt,e?
ex x
x
)11(lim
此结论可推广到 ex xax )(
1)(1l i m
有限值，也可为可为，其中时条件是 axax 0)(,?
注特别有
et t
t
1
0
)1(l i m ez z
z
1
0
)1(lim
例 6,)
11(l i m x
x x
求解 1])11[(l i m
x
x x原式
xx
x
)11(
1lim
.1e?
一般地
k
x
x
exk
1l i m
例 7 求
x
x x
x?
1
1l i m
解一 )1
21()
1
21(lim
2
2
1
xx
x
x
原式
2e?
解二 x
x
x
x
x
)
1
1(
)
1
1(
li m
原式
2
1 ee
e
三、小结
1.两个准则夹逼准则 ; 单调有界准则,
2.两个重要极限
,为某过程中的无穷小设?;1s i nl i m1 0
某过程,)1(l i m2
1
0 e
某过程思考题求极限 xxxx
1
93lim?
思考题解答
xxx
x
1
93lim?
xxxx
x
1
1
1
3
19l i m
x
xx
xx?
3
1
3
3
1
1lim9 99 0 e
