二 次 曲 面二次曲面的定义：
三元二次方程所表示的曲面称之．
相应地平面被称为 一次曲面,
讨论二次曲面性状的 截痕法,
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
一、基本内容
o
z
yx
（一）椭球面
12
2
2
2
2
2
czbyax
椭球面与三个坐标面的交线：,
0
12
2
2
2
y
c
z
a
x
.
0
12
2
2
2
x
c
z
b
y,
0
12
2
2
2
z
b
y
a
x
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化,
椭球面与平面 的交线为椭圆1zz?
同理与平面 和 的交线也是椭圆,1xx? 1yy?
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
)()(
zz
zc
c
b
y
zc
c
a
x
cz?|| 1
椭球面的几种特殊情况：
,)1( ba? 12
2
2
2
2
2
czayax 旋转椭球面
12
2
2
2
czax由椭圆 绕 轴旋转而成．z
旋转椭球面与椭球面的 区别,
12
2
2
22
cza yx方程可写为与平面 的交线为圆,1zz? )||( 1 cz?
,)2( cba 12
2
2
2
2
2
azayax 球面
.2222 azyx
.
)(
1
2
1
2
2
2
22
zz
zc
c
a
yx
截面上圆的方程方程可写为
（二）抛物面
zqypx 22
22
（ 与 同号）p q
椭圆抛物面用截痕法讨论：
（ 1）用坐标面 与曲面相截 )0(?zx o y
截得一点，即坐标原点 )0,0,0(O
设 0,0 qp
原点也叫椭圆抛物面的 顶点,
与平面 的交线为椭圆,1zz?
1
1
2
1
2
1
22
zz
qz
y
pz
x
当 变动时，这种椭圆的 中心 都在 轴上,
1z
z
)0( 1?z
与平面 不相交,1zz? )0( 1?z
（ 2）用坐标面 与曲面相截 )0(?yxoz
0
22
y
pzx
截得抛物线与平面 的交线为抛物线,1yy?
1
2
12
2
2
yy
q
y
zpx
它的轴平行于 轴z
顶点?
q
yy
2,,0
2
1
1
（ 3）用坐标面,与曲面相截 )0(?xy o z 1xx?
均可得抛物线,
同理当 时可类似讨论,0,0 qp
z
x y
o
x y
z
o
椭圆抛物面的图形如下：
0,0 qp 0,0 qp
特殊地：当 时，方程变为qp?
zpypx 22
22
旋转抛物面)0(?p
（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）
xoz pzx 22?
1
1
22 2
zz
pzyx
与平面 的交线为圆,1zz? )0( 1?z
当 变动时，这种圆的 中心 都在 轴上,
1z
z
zqypx 22
22
（ 与 同号）p q
双曲抛物面（马鞍面）
用截痕法讨论：
设 0,0 qp
图形如下：
x
y
z
o
（三）双曲面单叶双曲面 12
2
2
2
2
2
czbyax
（ 1）用坐标面 与曲面相截 )0(?zx o y
截得中心在原点 的椭圆,)0,0,0(O
0
12
2
2
2
z
b
y
a
x
与平面 的交线为椭圆,1zz?
当 变动时，这种椭圆的 中心 都在 轴上,
1z
z?
1
2
2
1
2
2
2
2
1
zz
c
z
b
y
a
x
（ 2）用坐标面 与曲面相截 )0(?yxoz
截得中心在原点的双曲线,
0
12
2
2
2
y
c
z
a
x
实轴与 轴相合，
虚轴与 轴相合,
x
z
1
2
2
1
2
2
2
2
1
yy
b
y
c
z
a
x
双曲线的 中心 都在 轴上,y
与平面 的交线为双曲线,1yy? )( 1 by
,)1( 221 by x实轴与 轴平行,z虚轴与 轴平行,
,)2( 221 by z实轴与 轴平行,x虚轴与 轴平行,
,)3( 1 by 截痕为一对相交于点 的直线,)0,,0( b
,
0
by
c
z
a
x
.
0
by
c
z
a
x
,)4( 1 by
截痕为一对相交于点 的直线,)0,,0( b?
,
0
by
c
z
a
x
.
0
by
c
z
a
x
（ 3）用坐标面,与曲面相截 )0(?xy o z 1xx?
均可得双曲线,
单叶双曲面图形
x
yo
z
平面 的截痕是 两对相交直线,ax
双叶双曲面 12
2
2
2
2
2
czbyax
x
yo
椭球面、抛物面、双曲面,截痕法,
（熟知这几个常见曲面的特性）
二、小结思考题方程
3
254 222
x
zyx
表示怎样的曲线？
思考题解答
3
254 222
x
zyx
,3
164 22
x
zy
表示双曲线,
三元二次方程所表示的曲面称之．
相应地平面被称为 一次曲面,
讨论二次曲面性状的 截痕法,
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
一、基本内容
o
z
yx
（一）椭球面
12
2
2
2
2
2
czbyax
椭球面与三个坐标面的交线：,
0
12
2
2
2
y
c
z
a
x
.
0
12
2
2
2
x
c
z
b
y,
0
12
2
2
2
z
b
y
a
x
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化,
椭球面与平面 的交线为椭圆1zz?
同理与平面 和 的交线也是椭圆,1xx? 1yy?
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
)()(
zz
zc
c
b
y
zc
c
a
x
cz?|| 1
椭球面的几种特殊情况：
,)1( ba? 12
2
2
2
2
2
czayax 旋转椭球面
12
2
2
2
czax由椭圆 绕 轴旋转而成．z
旋转椭球面与椭球面的 区别,
12
2
2
22
cza yx方程可写为与平面 的交线为圆,1zz? )||( 1 cz?
,)2( cba 12
2
2
2
2
2
azayax 球面
.2222 azyx
.
)(
1
2
1
2
2
2
22
zz
zc
c
a
yx
截面上圆的方程方程可写为
（二）抛物面
zqypx 22
22
（ 与 同号）p q
椭圆抛物面用截痕法讨论：
（ 1）用坐标面 与曲面相截 )0(?zx o y
截得一点，即坐标原点 )0,0,0(O
设 0,0 qp
原点也叫椭圆抛物面的 顶点,
与平面 的交线为椭圆,1zz?
1
1
2
1
2
1
22
zz
qz
y
pz
x
当 变动时，这种椭圆的 中心 都在 轴上,
1z
z
)0( 1?z
与平面 不相交,1zz? )0( 1?z
（ 2）用坐标面 与曲面相截 )0(?yxoz
0
22
y
pzx
截得抛物线与平面 的交线为抛物线,1yy?
1
2
12
2
2
yy
q
y
zpx
它的轴平行于 轴z
顶点?
q
yy
2,,0
2
1
1
（ 3）用坐标面,与曲面相截 )0(?xy o z 1xx?
均可得抛物线,
同理当 时可类似讨论,0,0 qp
z
x y
o
x y
z
o
椭圆抛物面的图形如下：
0,0 qp 0,0 qp
特殊地：当 时，方程变为qp?
zpypx 22
22
旋转抛物面)0(?p
（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）
xoz pzx 22?
1
1
22 2
zz
pzyx
与平面 的交线为圆,1zz? )0( 1?z
当 变动时，这种圆的 中心 都在 轴上,
1z
z
zqypx 22
22
（ 与 同号）p q
双曲抛物面（马鞍面）
用截痕法讨论：
设 0,0 qp
图形如下：
x
y
z
o
（三）双曲面单叶双曲面 12
2
2
2
2
2
czbyax
（ 1）用坐标面 与曲面相截 )0(?zx o y
截得中心在原点 的椭圆,)0,0,0(O
0
12
2
2
2
z
b
y
a
x
与平面 的交线为椭圆,1zz?
当 变动时，这种椭圆的 中心 都在 轴上,
1z
z?
1
2
2
1
2
2
2
2
1
zz
c
z
b
y
a
x
（ 2）用坐标面 与曲面相截 )0(?yxoz
截得中心在原点的双曲线,
0
12
2
2
2
y
c
z
a
x
实轴与 轴相合，
虚轴与 轴相合,
x
z
1
2
2
1
2
2
2
2
1
yy
b
y
c
z
a
x
双曲线的 中心 都在 轴上,y
与平面 的交线为双曲线,1yy? )( 1 by
,)1( 221 by x实轴与 轴平行,z虚轴与 轴平行,
,)2( 221 by z实轴与 轴平行,x虚轴与 轴平行,
,)3( 1 by 截痕为一对相交于点 的直线,)0,,0( b
,
0
by
c
z
a
x
.
0
by
c
z
a
x
,)4( 1 by
截痕为一对相交于点 的直线,)0,,0( b?
,
0
by
c
z
a
x
.
0
by
c
z
a
x
（ 3）用坐标面,与曲面相截 )0(?xy o z 1xx?
均可得双曲线,
单叶双曲面图形
x
yo
z
平面 的截痕是 两对相交直线,ax
双叶双曲面 12
2
2
2
2
2
czbyax
x
yo
椭球面、抛物面、双曲面,截痕法,
（熟知这几个常见曲面的特性）
二、小结思考题方程
3
254 222
x
zyx
表示怎样的曲线？
思考题解答
3
254 222
x
zyx
,3
164 22
x
zy
表示双曲线,
