对定积分的 补充规定,
（ 1 ）当 ba? 时,0)( ba dxxf ；
（ 2 ）当 ba? 时, abba dxxfdxxf )()(,
在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．
说明定积分的性质一、基本内容
ba dxxgxf )]()([ ba dxxf )( ba dxxg )(,
证b
a dxxgxf )]()([ iii
n
i
xgf
)]()([l i m
10
ii
n
i
xf
)(lim
10
ii
n
i
xg
)(lim
10
ba dxxf )(,)( ba dxxg
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质 1
b
a
n
i
b
a
i
n
i
i dxxfdxxf
11
)()]([
性质 2 b
a
b
a dxxfkdxxkf )()( ( k 为常数 ),
证?ba dxxkf )( ii
n
i
xkf
)(lim
10
ii
n
i
xfk
)(l i m
10
ii
n
i
xfk
)(lim
10
.)( ba dxxfk
性质 1+性质 2 得,
b
a
dxxgxf )]()([
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
推广：
b
a
n
i
n
i
b
a
iiii dxxfkdxxfk
1 1
)()]([
即线性组合的定积分等于定积分的线性组合
—— 说明定积分也具有 线性运算性质假设 bca
ba dxxf )( bcca dxxfdxxf )()(,
补充,不论 的相对位置如何,上式总成立,cba,,
例 若,cba
ca dxxf )( cbba dxxfdxxf )()(
ba dxxf )(则 cbca dxxfdxxf )()(
.)()( bcca dxxfdxxf
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质 3
dxba 1 dxba ab,
性质 5（非负性） 如果在区间 ],[ ba 上 0)(?xf,
则 0)( dxxfba,)( ba?
证,0)(?xf?,0)( if ),,2,1( ni
,0 ix?,0)(
1
ii
n
i
xf
},,,m a x { 21 nxxx
ii
n
i
xf
)(lim
10
,0)(
b
a dxxf
性质 4
例 1 比较积分值 dxe x 20 和 dxx 20 的大小,
,)( xexf x令 ]0,2[x
,0)(?xf?,0)(0 2 dxxe x
dxe x 02,02 dxx 于是 dxe x 20,20 dxx
性质 5的推论：（比较定理）
则 dxxfba? )( dxxgba )(,)( ba?
（ 1） 如果在区间 ],[ ba 上 )()( xgxf?,
（ 2） dxxfb
a? )( dxxf
b
a )(,)( ba?
说明,可积性是显然的,| )( xf | 在区间 ],[ ba 上的解设 M 及 m 分别是函数
)( xf 在区间 ],[ ba 上的最大值及最小值，
则 )()()( abMdxxfabm ba,
证,)( Mxfm,)( bababa M d xdxxfdxm
).()()( abMdxxfabm ba
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
例 2 估计积分 dx
x
x
2
4
s i n
的值,
解
,s i n)( x xxf? ]2,4[x
性质 6（估值定理）
2
s i nco s)(
x
xxxxf
2
)ta n(co s
x
xxx
)( xf 在 ]2,4[ 上单调下降,
故 4x 为极大点,2x 为极小点,,22)4( fM
,2)2( fm,442 ab?
,422s i n42 2
4
dxx
x
.2 2s i n21 2
4
dxx
x
0?
如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点?,
使 dxxfba? )( ))(( abf,)( ba
积分中值公式证 )()()( abMdxxfabm ba
Mdxxfabm ba )(1
由闭区间上连续函数的介值定理知性质 7（定积分中值定理）
在区间 ],[ ba 上至少存在一个点?,
使,)(1)( ba dxxfabf
dxxfba? )( ))(( abf,)( ba
在区间 ],[ ba 上至少存在一个点?,
即积分中值公式的几何解释：
x
y
o a b?
)(?f 使得以区间 ],[ ba 为以曲线 )( xfy?底边，
为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为 )(?f
的一个矩形的面积。
例 3 设 )( xf 可导，且 1)(lim?
xf
x
,
求 dttf
t
t
x
xx?
2
)(
3
s inlim,
解 由积分中值定理知有 ],2,[ xx
dttfttxx 2 )(3s i n使 ),2)((3s i n xxf
dttfttxx
x?
2 )(3s i nlim )(3s i nlim2?
f
)(3l i m2 f,6?
例 4 设 f(x),g(x) 在 [ a,b ] 上连续，证明
① 若在 [ a,b ] 上
b
a
dxxfxf 0)(0)( 且则在 [ a,b ] 上 0)(?xf
② 若在 [ a,b ] 上 0)(0)( xfxf 且b
a
dxxf 0)(则
③ 若在 [ a,b ] 上 )()( xgxf?
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(且则在 [ a,b ] 上 )()( xgxf?
证明 ① 反证法 0)(?xf设 0)(?xf由必有一点 0)(],[ 00 xfbax 使不妨设 a < x0 < b （ 端点处的情况类似）
由 f ( x ) 的连续性
)(,00 bxxa
0)(,),( 0 xfxUx 有时使当?
b
a
x
a
x
x
b
x
dxxfdxxfdxxfdxxf
0 0
0 0
)()()()(
由非负性
b
x
x
a
dxxfdxxf
0
0
0)(,0)(
b
a
x
x
dxxfdxxf
0
0
)()(
由积分中值定理 02)()(
0
0
x
x
fdxxf
b
a
dxxf 0)( 与题设矛盾 0)(?xf故
② 已知 0)(?xf 由比较定理
b
a
dxxf 0)(
b
a
dxxf 0)(若 则由①得 0)(?xf
而假设 0)(?xf
b
a
dxxf 0)(
③ 已知 )()( xgxf? 由比较定理
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
b
a
dxxfxg 0)]()([即
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(而
b
a
dxxfxg 0)]()([
由①得 )()( xgxf?
１．定积分的性质
（注意估值性质、积分中值定理的应用）
２．典型问题
（１）估计积分值；
（２）不计算定积分比较积分大小．
思考题 定积分性质中指出，若 )(),( xgxf 在 ],[ ba
上都可积，则 )()( xgxf? 或 )()( xgxf 在 ],[ ba
上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？
二、小结由 )()( xgxf? 或 )()( xgxf 在 ],[ ba 上可积，不能断言 )(),( xgxf 在 ],[ ba 上都可积。
为无理数，
为有理数
x
xxf
0
,1)(
为无理数，
为有理数
x
xxg
1
,0)(
显然 )()( xgxf? 和 )()( xgxf 在 ]1,0[ 上可积，但
)(),( xgxf 在 ]1,0[ 上都不可积。
例思考题解答练 习 题一,填空题：
1,如果积分区间ba,被点 c 分成bcca,,与,则定积分的可加性为
b
a
dxxf )( _ ___ ___ __ _ ；
2,如果baxf,)( 在 上的最大值与最小值分别 为
M m与
，则
a
b
dxxf )( 有如下估计式,_ ___ ___ __
_ ___ ___ ___ ___ ___ __ ___ __ ；
3,
时当 ba?
，我们规定
b
a
dxxf )( 与
a
b
dxxf )( 的关系是 ___ __ ___ ___ __ ___ ___ ___ ；
4,积分中值公式
b
a
dxxf )( )(,))(( baabf 的几何意义是
_ ___ ___ ___ ___ __ ；
5,下列两积分的大小关系是：
（ 1 ）?
1
0
2
dxx ___ _ _?
1
0
3
dxx
（ 2 ）?
2
1
ln x d x ___ _ __ _?
2
1
2
)(l n dxx
（ 3 ） dxe
x
1
0
___ _ __ _
1
0
)1( dxx
二,证明,
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()( （ 是常数k ）,
三,估计下列积分?
3
3
3 c o t x d xx a r c 的值,
四、证明不等式,
2
1
21 dxx,
六、用定积分定义和性质求极限,
1,)
2
1
.,,
2
1
1
1
(l i m
nnn
n
;
2.,
4
0
s i nlim
xdx
n
n
.
七、设
)( xf
及
baxg,)( 在上连续，证明：
1,若在
ba,
上
0)(?xf
,且
b
a
dxxf 0)(,则在
ba,
上
0)(?xf；
2,若在
ba,
上，
0)(?xf
,且
)( xf
不
0恒等于
，则
b
a
dxxf 0)( ；
3,若在
ba,
上
)()( xgxf?
,且
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
，则在
)()(,xgxfba?上
,
一,1,
b
c
c
a
dxxfdxxf )()( ；
2,baabMdxxfabm
b
a
,)()()( ；
3,
b
a
dxxf )(
a
b
dxxf )( ；
4,曲边梯形各部分面积的代数和等于为邻与 abf?)(? 边的矩形面积；
5,(1)> ； (2 )> ； ( 3) >.
三,1,?
3
2
a r c ta n
9
3
3
1
xdxx ；
2,
5
3
a r c s i n
242
1
32
1
0
xxx
dx
.
练习题答案
（ 1 ）当 ba? 时,0)( ba dxxf ；
（ 2 ）当 ba? 时, abba dxxfdxxf )()(,
在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．
说明定积分的性质一、基本内容
ba dxxgxf )]()([ ba dxxf )( ba dxxg )(,
证b
a dxxgxf )]()([ iii
n
i
xgf
)]()([l i m
10
ii
n
i
xf
)(lim
10
ii
n
i
xg
)(lim
10
ba dxxf )(,)( ba dxxg
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质 1
b
a
n
i
b
a
i
n
i
i dxxfdxxf
11
)()]([
性质 2 b
a
b
a dxxfkdxxkf )()( ( k 为常数 ),
证?ba dxxkf )( ii
n
i
xkf
)(lim
10
ii
n
i
xfk
)(l i m
10
ii
n
i
xfk
)(lim
10
.)( ba dxxfk
性质 1+性质 2 得,
b
a
dxxgxf )]()([
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
推广：
b
a
n
i
n
i
b
a
iiii dxxfkdxxfk
1 1
)()]([
即线性组合的定积分等于定积分的线性组合
—— 说明定积分也具有 线性运算性质假设 bca
ba dxxf )( bcca dxxfdxxf )()(,
补充,不论 的相对位置如何,上式总成立,cba,,
例 若,cba
ca dxxf )( cbba dxxfdxxf )()(
ba dxxf )(则 cbca dxxfdxxf )()(
.)()( bcca dxxfdxxf
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质 3
dxba 1 dxba ab,
性质 5（非负性） 如果在区间 ],[ ba 上 0)(?xf,
则 0)( dxxfba,)( ba?
证,0)(?xf?,0)( if ),,2,1( ni
,0 ix?,0)(
1
ii
n
i
xf
},,,m a x { 21 nxxx
ii
n
i
xf
)(lim
10
,0)(
b
a dxxf
性质 4
例 1 比较积分值 dxe x 20 和 dxx 20 的大小,
,)( xexf x令 ]0,2[x
,0)(?xf?,0)(0 2 dxxe x
dxe x 02,02 dxx 于是 dxe x 20,20 dxx
性质 5的推论：（比较定理）
则 dxxfba? )( dxxgba )(,)( ba?
（ 1） 如果在区间 ],[ ba 上 )()( xgxf?,
（ 2） dxxfb
a? )( dxxf
b
a )(,)( ba?
说明,可积性是显然的,| )( xf | 在区间 ],[ ba 上的解设 M 及 m 分别是函数
)( xf 在区间 ],[ ba 上的最大值及最小值，
则 )()()( abMdxxfabm ba,
证,)( Mxfm,)( bababa M d xdxxfdxm
).()()( abMdxxfabm ba
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
例 2 估计积分 dx
x
x
2
4
s i n
的值,
解
,s i n)( x xxf? ]2,4[x
性质 6（估值定理）
2
s i nco s)(
x
xxxxf
2
)ta n(co s
x
xxx
)( xf 在 ]2,4[ 上单调下降,
故 4x 为极大点,2x 为极小点,,22)4( fM
,2)2( fm,442 ab?
,422s i n42 2
4
dxx
x
.2 2s i n21 2
4
dxx
x
0?
如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点?,
使 dxxfba? )( ))(( abf,)( ba
积分中值公式证 )()()( abMdxxfabm ba
Mdxxfabm ba )(1
由闭区间上连续函数的介值定理知性质 7（定积分中值定理）
在区间 ],[ ba 上至少存在一个点?,
使,)(1)( ba dxxfabf
dxxfba? )( ))(( abf,)( ba
在区间 ],[ ba 上至少存在一个点?,
即积分中值公式的几何解释：
x
y
o a b?
)(?f 使得以区间 ],[ ba 为以曲线 )( xfy?底边，
为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为 )(?f
的一个矩形的面积。
例 3 设 )( xf 可导，且 1)(lim?
xf
x
,
求 dttf
t
t
x
xx?
2
)(
3
s inlim,
解 由积分中值定理知有 ],2,[ xx
dttfttxx 2 )(3s i n使 ),2)((3s i n xxf
dttfttxx
x?
2 )(3s i nlim )(3s i nlim2?
f
)(3l i m2 f,6?
例 4 设 f(x),g(x) 在 [ a,b ] 上连续，证明
① 若在 [ a,b ] 上
b
a
dxxfxf 0)(0)( 且则在 [ a,b ] 上 0)(?xf
② 若在 [ a,b ] 上 0)(0)( xfxf 且b
a
dxxf 0)(则
③ 若在 [ a,b ] 上 )()( xgxf?
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(且则在 [ a,b ] 上 )()( xgxf?
证明 ① 反证法 0)(?xf设 0)(?xf由必有一点 0)(],[ 00 xfbax 使不妨设 a < x0 < b （ 端点处的情况类似）
由 f ( x ) 的连续性
)(,00 bxxa
0)(,),( 0 xfxUx 有时使当?
b
a
x
a
x
x
b
x
dxxfdxxfdxxfdxxf
0 0
0 0
)()()()(
由非负性
b
x
x
a
dxxfdxxf
0
0
0)(,0)(
b
a
x
x
dxxfdxxf
0
0
)()(
由积分中值定理 02)()(
0
0
x
x
fdxxf
b
a
dxxf 0)( 与题设矛盾 0)(?xf故
② 已知 0)(?xf 由比较定理
b
a
dxxf 0)(
b
a
dxxf 0)(若 则由①得 0)(?xf
而假设 0)(?xf
b
a
dxxf 0)(
③ 已知 )()( xgxf? 由比较定理
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
b
a
dxxfxg 0)]()([即
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(而
b
a
dxxfxg 0)]()([
由①得 )()( xgxf?
１．定积分的性质
（注意估值性质、积分中值定理的应用）
２．典型问题
（１）估计积分值；
（２）不计算定积分比较积分大小．
思考题 定积分性质中指出，若 )(),( xgxf 在 ],[ ba
上都可积，则 )()( xgxf? 或 )()( xgxf 在 ],[ ba
上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？
二、小结由 )()( xgxf? 或 )()( xgxf 在 ],[ ba 上可积，不能断言 )(),( xgxf 在 ],[ ba 上都可积。
为无理数，
为有理数
x
xxf
0
,1)(
为无理数，
为有理数
x
xxg
1
,0)(
显然 )()( xgxf? 和 )()( xgxf 在 ]1,0[ 上可积，但
)(),( xgxf 在 ]1,0[ 上都不可积。
例思考题解答练 习 题一,填空题：
1,如果积分区间ba,被点 c 分成bcca,,与,则定积分的可加性为
b
a
dxxf )( _ ___ ___ __ _ ；
2,如果baxf,)( 在 上的最大值与最小值分别 为
M m与
，则
a
b
dxxf )( 有如下估计式,_ ___ ___ __
_ ___ ___ ___ ___ ___ __ ___ __ ；
3,
时当 ba?
，我们规定
b
a
dxxf )( 与
a
b
dxxf )( 的关系是 ___ __ ___ ___ __ ___ ___ ___ ；
4,积分中值公式
b
a
dxxf )( )(,))(( baabf 的几何意义是
_ ___ ___ ___ ___ __ ；
5,下列两积分的大小关系是：
（ 1 ）?
1
0
2
dxx ___ _ _?
1
0
3
dxx
（ 2 ）?
2
1
ln x d x ___ _ __ _?
2
1
2
)(l n dxx
（ 3 ） dxe
x
1
0
___ _ __ _
1
0
)1( dxx
二,证明,
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()( （ 是常数k ）,
三,估计下列积分?
3
3
3 c o t x d xx a r c 的值,
四、证明不等式,
2
1
21 dxx,
六、用定积分定义和性质求极限,
1,)
2
1
.,,
2
1
1
1
(l i m
nnn
n
;
2.,
4
0
s i nlim
xdx
n
n
.
七、设
)( xf
及
baxg,)( 在上连续，证明：
1,若在
ba,
上
0)(?xf
,且
b
a
dxxf 0)(,则在
ba,
上
0)(?xf；
2,若在
ba,
上，
0)(?xf
,且
)( xf
不
0恒等于
，则
b
a
dxxf 0)( ；
3,若在
ba,
上
)()( xgxf?
,且
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
，则在
)()(,xgxfba?上
,
一,1,
b
c
c
a
dxxfdxxf )()( ；
2,baabMdxxfabm
b
a
,)()()( ；
3,
b
a
dxxf )(
a
b
dxxf )( ；
4,曲边梯形各部分面积的代数和等于为邻与 abf?)(? 边的矩形面积；
5,(1)> ； (2 )> ； ( 3) >.
三,1,?
3
2
a r c ta n
9
3
3
1
xdxx ；
2,
5
3
a r c s i n
242
1
32
1
0
xxx
dx
.
练习题答案
