0),(.1?yxF
隐函数存在定理 1 设函数 ),( yxF 在点 ),(
00
yxP 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 0),(
00
yxF,
0),(
00
yxF
y
，则方程 0),(?yxF 在点 ),(
00
yxP 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 )( xfy?,它满足条件 )( 00 xfy?,并有
y
x
F
F
dx
dy
,
隐函数的求导法则一、一个方程的情形例１ 验证方程 01
22
yx 在点 )1,0( 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且 0?x 时 1?y
的隐函数 )( xfy?,并求这函数的一阶和二阶导数在 0?x 的值,
解 令 1),( 22 yxyxF
则,2 xF x?,2 yF
y?
,0)1,0(?F,02)1,0(yF依定理知方程 01
22 yx 在点 )1,0( 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且 0?x 时 1?y 的函数 )( xfy?,
函数的一阶和二阶导数为
y
x
F
F
dx
dy,
y
x,0
0
xdx
dy
22
2
y
yxy
dx
yd
2y
y
x
xy?
,1
3
.1
0
2
2
xdx
yd
例 2 已知 xyyx a r c t a nln 22,求 dxdy,
解 令,a rct a nln),( 22
x
yyxyxF
则,),( 22
yx
yxyxF
x?
,),(
22 yx
xyyxF
y?
y
x
F
F
dx
dy
.xy yx
0),,(.2?zyxF
隐函数存在定理 2 设函数 ),,( zyxF 在点,(
0
xP
),
00
zy 的某一邻域内有连续的偏导数，且,(
0
xF
0),
00
zy,0),,(
000
zyxF
z
，则方程,,( yxF
0)?z 在点 ),,(
000
zyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
),( yxfz?,它满足条件 ),( 000 yxfz?,
并有
z
x
F
F
x
z
,
z
y
F
F
y
z
.
)(,),,( xysxrsrFu u
r
s
x
),(),,,( yxzzzyxFu
u
x
y
z
x
y
例 3 设 04222 zzyx,求 2
2
x
z
,
解 令,4),,( 222 zzyxzyxF
则,2 xF x?,42 zF z,2 z
x
F
F
x
z
z
x
2
2
x
z
2)2(
)2(
z
x
z
xz
2
)2(
2
)2(
z
z
x
xz
.)2( )2( 3
22
z
xz
例 4 设 ),( x y zzyxfz,求 xz,yx,zy,
思路,把 z 看成 yx,的函数对 x 求偏导数得 x
z
，
把 x 看成 yz,的函数对 y 求偏导数得
y
x
，
把 y 看成 zx,的函数对 z 求偏导数得 zy,
解 令,zyxu,x yzv?
则 ),,( vufz?
把 z 看成 yx,的函数对 x 求偏导数得
x
z
)1(
x
zf
u?
),(
x
zxyyzf
v?
整理得 xz,1
vu
vu
x yff
yz ff
把 x 看成 yz,的函数对 y 求偏导数得把 y 看成 zx,的函数对 z 求偏导数得
)1(1 zyf u ),( zyxzxyf v
整理得 z
y
,1
vu
vu
x z ff
x yff
)1(0 yxf u ),( yxyzxzf v
整理得
y
x
,
vu
vu
yz ff
x z ff
二、方程组的情形
1、对于方程组? 0),,(
0),,(
zyxF
zyx?
怎样求偏导数首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数当 x 给定以后相当于解含关于 y,z 的方程组如果有解且唯一则对于不同的 x 就完全确定了 y,z
故方程组确定了两个一元隐函数 y=y(x),z=z(x)
若 0
zy
zy FFJ
则
,1
zx
zx FF
Jdx
dy
xy
xy FF
Jdx
dz
1
怎样求
dx
dz
dx
dy,0),,(?zyxF 两边对 x 求导注意左边是复合函数（三个中间变量），
0 dxdzFdxdyFF zyx 同理
0 dxdzdxdy zyx
2, 0),,,( 0),,,( vuyxG vuyxF
隐函数存在定理 3 设 ),,,( vuyxF,),,,( vuyxG 在点 ),,,(
0000
vuyxP 的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且 0),,,(
0000
vuyxF,),,,(
0000
vuyxG
0?
，且偏导数所组成的函数行列式 （或称雅可比式）
v
G
u
G
v
F
u
F
vu
GF
J
),(
),(
在点 ),,,(
0000
vuyxP 不等于零，则方程组
0),,,(?vuyxF,0),,,(?vuyxG
在点 ),,,(
0000
vuyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 ),( yxuu?,
),( yxvv?,它们满足条件 ),(
000
yxuu?,vv?
0
),(
00
yx
，并有
vu
vu
xu
xu
GG
FF
GG
FF
xu
GF
Jx
v
),(
),(1
,
),(
),(1
vu
vu
vx
vx
GG
FF
GG
FF
vx
GF
Jx
u
,
),(
),(1
vu
vu
vy
vy
GG
FF
GG
FF
vy
GF
Jy
u
.
),(
),(1
vu
vu
yu
yu
GG
FF
GG
FF
yu
GF
Jy
v
例 5 设 0 yvxu,1 xvyu,
求
x
u
，
y
u
，
x
v
和
y
v
.
解 1 直接代入公式；
解 2 运用公式推导的方法，
将所给方程的两边对 求导并移项x
,
v
x
v
x
x
u
y
u
x
v
y
x
u
x
xy
yxJ
,22 yx
在 0?J 的条件下，
xy
yx
xv
yu
x
u
,22 yx yvxu
xy
yx
vy
ux
x
v
,22 yx xvyu
将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
,22
yx
yuxv
y
u
,
22 yx
yvxu
y
v
注 这组公式不太好记，具体做题时应用的是其基本思想关于隐函数求二阶偏导数以 0),,(?zyxF 为例,主要有三种方法：
① 公式法,
z
x
F
F
x
z
22
2 )()(
z
zxzx
F
F
x
FFF
x
z?
]2[1 223 xzzzxxzzxx
z
FFFFFFFF
类似地可求得 2
22
,y zyx z
② 直接法 方程两边连续求导两次
0 xzFF zx
0)(2 2
2
2?
x
z
F
x
z
F
x
z
FF zzzxzxx
解得,2
2
x
z
]2[1 22
3 xzzzxxzzxx
z
FFFFFFFF
两种方法相比，法二较简便，因为可避免商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。 `
B d yA d xdz yzBxzA,则这样一次就可求得全部的一阶偏导数。
③ 全微分法利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接求全微分三、小结隐函数的求导法则 （分以下几种情况）
0),()1(?yxF
0),,()2(?zyxF
0),,,(
0),,,()4(
vuyxG
vuyxF
0),,(
0),,(
)3(
zyx
zyxF
思考题已知 )(
z
y
z
x
,其中? 为可微函数,
求
y
z
y
x
z
x
思考题解答记 )(),,( zyzxzyxF,
,1)( zzyF y,)()( 22 z yzyz xF z
,
)(
z
yyx
z
F
F
x
z
z
x
,
)(
)(
z
y
yx
z
y
z
F
F
y
z
z
y
于是 zyzyxzx,
练 习 题一,填空题,
1,设
x
y
yx a r c ta nln
22
,则
dx
dy
___ __ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ __ _.
2,设
zx
yz?,则
x
z
___ __ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ __ _,
y
z
___ __ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ __ _.
二,设
,32)32si n (2 zyxzyx
证明：
.1?
y
z
x
z
三,如 果 函 数 ),,( zyxf 对任何 t 恒满足关系式
),,(),,( zyxfttztytxf
k
,则称函数 ),,( zyxf 为
k 次齐次函数,试证,k 次齐次函数满足方程
),,( zyxkf
z
f
z
y
f
y
x
f
x?
.
四、设,,3
2
33
yx
z
ax y zz
求五、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数,
1,设
2032
222
22
zyx
yxz
,求,,
dx
dz
dx
dy
2,设
),(
),(
2
yvxugv
yvuxfu
，求,,
x
v
x
u
（其中
gf,
具有一阶连续偏导数）
六,设函数 )( xu 由方程组
0),(
0),,(
),(
zxh
zyxg
yxfu
所确定,
且,,0,0
dx
du
z
h
y
g
求?
(
hgf,,
均可微 )
七,设
),,( txfy?
而
t
是由方程
0),,(?tyxF
所确定的
yx,
的函数,求,
dx
dy
八,设
),( yxzz?
由方程 ),(
x
z
y
y
x
xF =0 所确定,
证明,
xyz
y
z
y
x
z
x
.
练习题答案一,1,
yx
yx
； 2,
yyxz
zz
zx
x
ln
ln
1
；
3,
yyxz
zy
zx
z
ln
1
1
.
四、
32
22242
)(
)2(
xyz
yxx y zzz
yx
z
.
五,1,
13
,
)13(2
)16(
z
x
dx
dz
zy
zx
dx
dy；
2,
1221
1221
)12)(1(
)12(
gfgyvfx
gfgyvfu
x
u
,
1221
111
)12)(1(
)1(
gfgyvfx
fufxg
x
v
.
六、
zy
xzy
y
xx
x
hg
hgf
g
gf
f
dx
du
zy
xzyzxxzyx
hg
hgfhgfhgf
,
七、
tyt
txxt
fFF
fFfF
dx
dy
,
隐函数存在定理 1 设函数 ),( yxF 在点 ),(
00
yxP 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 0),(
00
yxF,
0),(
00
yxF
y
，则方程 0),(?yxF 在点 ),(
00
yxP 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 )( xfy?,它满足条件 )( 00 xfy?,并有
y
x
F
F
dx
dy
,
隐函数的求导法则一、一个方程的情形例１ 验证方程 01
22
yx 在点 )1,0( 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且 0?x 时 1?y
的隐函数 )( xfy?,并求这函数的一阶和二阶导数在 0?x 的值,
解 令 1),( 22 yxyxF
则,2 xF x?,2 yF
y?
,0)1,0(?F,02)1,0(yF依定理知方程 01
22 yx 在点 )1,0( 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且 0?x 时 1?y 的函数 )( xfy?,
函数的一阶和二阶导数为
y
x
F
F
dx
dy,
y
x,0
0
xdx
dy
22
2
y
yxy
dx
yd
2y
y
x
xy?
,1
3
.1
0
2
2
xdx
yd
例 2 已知 xyyx a r c t a nln 22,求 dxdy,
解 令,a rct a nln),( 22
x
yyxyxF
则,),( 22
yx
yxyxF
x?
,),(
22 yx
xyyxF
y?
y
x
F
F
dx
dy
.xy yx
0),,(.2?zyxF
隐函数存在定理 2 设函数 ),,( zyxF 在点,(
0
xP
),
00
zy 的某一邻域内有连续的偏导数，且,(
0
xF
0),
00
zy,0),,(
000
zyxF
z
，则方程,,( yxF
0)?z 在点 ),,(
000
zyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
),( yxfz?,它满足条件 ),( 000 yxfz?,
并有
z
x
F
F
x
z
,
z
y
F
F
y
z
.
)(,),,( xysxrsrFu u
r
s
x
),(),,,( yxzzzyxFu
u
x
y
z
x
y
例 3 设 04222 zzyx,求 2
2
x
z
,
解 令,4),,( 222 zzyxzyxF
则,2 xF x?,42 zF z,2 z
x
F
F
x
z
z
x
2
2
x
z
2)2(
)2(
z
x
z
xz
2
)2(
2
)2(
z
z
x
xz
.)2( )2( 3
22
z
xz
例 4 设 ),( x y zzyxfz,求 xz,yx,zy,
思路,把 z 看成 yx,的函数对 x 求偏导数得 x
z
，
把 x 看成 yz,的函数对 y 求偏导数得
y
x
，
把 y 看成 zx,的函数对 z 求偏导数得 zy,
解 令,zyxu,x yzv?
则 ),,( vufz?
把 z 看成 yx,的函数对 x 求偏导数得
x
z
)1(
x
zf
u?
),(
x
zxyyzf
v?
整理得 xz,1
vu
vu
x yff
yz ff
把 x 看成 yz,的函数对 y 求偏导数得把 y 看成 zx,的函数对 z 求偏导数得
)1(1 zyf u ),( zyxzxyf v
整理得 z
y
,1
vu
vu
x z ff
x yff
)1(0 yxf u ),( yxyzxzf v
整理得
y
x
,
vu
vu
yz ff
x z ff
二、方程组的情形
1、对于方程组? 0),,(
0),,(
zyxF
zyx?
怎样求偏导数首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数当 x 给定以后相当于解含关于 y,z 的方程组如果有解且唯一则对于不同的 x 就完全确定了 y,z
故方程组确定了两个一元隐函数 y=y(x),z=z(x)
若 0
zy
zy FFJ
则
,1
zx
zx FF
Jdx
dy
xy
xy FF
Jdx
dz
1
怎样求
dx
dz
dx
dy,0),,(?zyxF 两边对 x 求导注意左边是复合函数（三个中间变量），
0 dxdzFdxdyFF zyx 同理
0 dxdzdxdy zyx
2, 0),,,( 0),,,( vuyxG vuyxF
隐函数存在定理 3 设 ),,,( vuyxF,),,,( vuyxG 在点 ),,,(
0000
vuyxP 的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且 0),,,(
0000
vuyxF,),,,(
0000
vuyxG
0?
，且偏导数所组成的函数行列式 （或称雅可比式）
v
G
u
G
v
F
u
F
vu
GF
J
),(
),(
在点 ),,,(
0000
vuyxP 不等于零，则方程组
0),,,(?vuyxF,0),,,(?vuyxG
在点 ),,,(
0000
vuyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 ),( yxuu?,
),( yxvv?,它们满足条件 ),(
000
yxuu?,vv?
0
),(
00
yx
，并有
vu
vu
xu
xu
GG
FF
GG
FF
xu
GF
Jx
v
),(
),(1
,
),(
),(1
vu
vu
vx
vx
GG
FF
GG
FF
vx
GF
Jx
u
,
),(
),(1
vu
vu
vy
vy
GG
FF
GG
FF
vy
GF
Jy
u
.
),(
),(1
vu
vu
yu
yu
GG
FF
GG
FF
yu
GF
Jy
v
例 5 设 0 yvxu,1 xvyu,
求
x
u
，
y
u
，
x
v
和
y
v
.
解 1 直接代入公式；
解 2 运用公式推导的方法，
将所给方程的两边对 求导并移项x
,
v
x
v
x
x
u
y
u
x
v
y
x
u
x
xy
yxJ
,22 yx
在 0?J 的条件下，
xy
yx
xv
yu
x
u
,22 yx yvxu
xy
yx
vy
ux
x
v
,22 yx xvyu
将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
,22
yx
yuxv
y
u
,
22 yx
yvxu
y
v
注 这组公式不太好记，具体做题时应用的是其基本思想关于隐函数求二阶偏导数以 0),,(?zyxF 为例,主要有三种方法：
① 公式法,
z
x
F
F
x
z
22
2 )()(
z
zxzx
F
F
x
FFF
x
z?
]2[1 223 xzzzxxzzxx
z
FFFFFFFF
类似地可求得 2
22
,y zyx z
② 直接法 方程两边连续求导两次
0 xzFF zx
0)(2 2
2
2?
x
z
F
x
z
F
x
z
FF zzzxzxx
解得,2
2
x
z
]2[1 22
3 xzzzxxzzxx
z
FFFFFFFF
两种方法相比，法二较简便，因为可避免商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。 `
B d yA d xdz yzBxzA,则这样一次就可求得全部的一阶偏导数。
③ 全微分法利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接求全微分三、小结隐函数的求导法则 （分以下几种情况）
0),()1(?yxF
0),,()2(?zyxF
0),,,(
0),,,()4(
vuyxG
vuyxF
0),,(
0),,(
)3(
zyx
zyxF
思考题已知 )(
z
y
z
x
,其中? 为可微函数,
求
y
z
y
x
z
x
思考题解答记 )(),,( zyzxzyxF,
,1)( zzyF y,)()( 22 z yzyz xF z
,
)(
z
yyx
z
F
F
x
z
z
x
,
)(
)(
z
y
yx
z
y
z
F
F
y
z
z
y
于是 zyzyxzx,
练 习 题一,填空题,
1,设
x
y
yx a r c ta nln
22
,则
dx
dy
___ __ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ __ _.
2,设
zx
yz?,则
x
z
___ __ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ __ _,
y
z
___ __ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ __ _.
二,设
,32)32si n (2 zyxzyx
证明：
.1?
y
z
x
z
三,如 果 函 数 ),,( zyxf 对任何 t 恒满足关系式
),,(),,( zyxfttztytxf
k
,则称函数 ),,( zyxf 为
k 次齐次函数,试证,k 次齐次函数满足方程
),,( zyxkf
z
f
z
y
f
y
x
f
x?
.
四、设,,3
2
33
yx
z
ax y zz
求五、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数,
1,设
2032
222
22
zyx
yxz
,求,,
dx
dz
dx
dy
2,设
),(
),(
2
yvxugv
yvuxfu
，求,,
x
v
x
u
（其中
gf,
具有一阶连续偏导数）
六,设函数 )( xu 由方程组
0),(
0),,(
),(
zxh
zyxg
yxfu
所确定,
且,,0,0
dx
du
z
h
y
g
求?
(
hgf,,
均可微 )
七,设
),,( txfy?
而
t
是由方程
0),,(?tyxF
所确定的
yx,
的函数,求,
dx
dy
八,设
),( yxzz?
由方程 ),(
x
z
y
y
x
xF =0 所确定,
证明,
xyz
y
z
y
x
z
x
.
练习题答案一,1,
yx
yx
； 2,
yyxz
zz
zx
x
ln
ln
1
；
3,
yyxz
zy
zx
z
ln
1
1
.
四、
32
22242
)(
)2(
xyz
yxx y zzz
yx
z
.
五,1,
13
,
)13(2
)16(
z
x
dx
dz
zy
zx
dx
dy；
2,
1221
1221
)12)(1(
)12(
gfgyvfx
gfgyvfu
x
u
,
1221
111
)12)(1(
)1(
gfgyvfx
fufxg
x
v
.
六、
zy
xzy
y
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zy
xzyzxxzyx
hg
hgfhgfhgf
,
七、
tyt
txxt
fFF
fFfF
dx
dy
,
