定积分应用上一章,已经系统地介绍了定积分的基本理论和计算方法 。 在这一章中,将利用这些知识来分析解决一些实际问题 。 定积分的应用很广泛,在自然科学和生产实践中有许多实际问题最后都归结为定积分问题 。 本章不仅对一些几何物理量导出计算公式,更重要的是介绍运用,微元法,将所求的量归结为计算某个定积分的分析方法 。
重点微元法,面积,弧长,旋转体的体积,定积分在物理方面的应用,
微元法,参数方程确定的曲线所围的面积,定积分在物理方面的应用 。
基本要求
① 正确理解和掌握微元法的基本思想,并会灵活运用它 。
② 会用直角坐标,极坐标,参数方程所给出的三种求积公式求出一些常见图形的面积 。
③ 会求旋转体的体积
④ 会求平面曲线的弧长
⑤ 会用定积分解决物理方面的实际问题 。
难点通过对不均匀量 （ 如曲边梯形的面积,
变速直线运动的路程 ） 的分析,采用,分割,近似代替,求和,取极限,四个基本步骤确定了它们的值,并由此抽象出定积分的概念,我们发现,定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具 。 那么,究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？
我们先来回顾一下前章中讲过的方法和步骤是必要的 。
定积分的微元法求Ｕ的步骤分 用分点 bxxxxa nn 110?将区间分成 n个小区间 11 ],,[ iiiii xxxxx?
粗 把Ｕ在小区间上的局部量 iU?
用某个函数 f ( x) 在 ]),[( 1 iiii xx
的值与 ix? 之积代替 iii xfU )(?
和 把局部量的近似值累加得到总量的近似值 即



n
i
ii
n
i
i xfUU
11
)(
设量Ｕ非均匀地分布 [ a,b ]上
ix
ni
m a x
1



n
i
b
a
ii dxxfxfU
10
)()(l i m
由此可知，若某个非均匀量Ｕ在区间 [a,b]上满足两个条件：
（ 1） 总量在区间上具有 可加性,即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和，
（ 2）局部量可用 ii xf )( 近似表示它们之间只相差一个 ix? 的 高阶无穷小不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得精分析其实质，不难将四步简化为两步第一步,分割取近似
” 含“分”、“粗”两步即将区间分成子区间在其上用均匀变化近似代替非均匀变化求得局部量的近似值 iii xfU )(?
它对应着积分表达式中的被积式 dxxf )(
第二步,求和取极限,
含“和”、“精”两步,各局部量的近似值相加并取极限得到总量的准确值这是建立所求量的积分式的基本方法即对被积式作积分
b
a
dxxfU )(
Ⅰ 。求微元写出典型小区间 ],[],[ badxxx
上的局部量 U? 的近似值
dxxfdU )(?
这就是局部量的微元
Ⅱ 。求积分即把微元 dU 在区间 [ a,b ] 上相当于把 dxxf )(
作积分表达式 求它在 [ a,b ] 上的定积分即
b
a
dxxfU )(
这就是 微元法
“无限积累”起来