Fourier 级数 习题课常数项级数 函数项级数一般项级数正项级数幂级数 三角级数收敛半径
R
泰勒展开式数或函数 函 数数任意项级数傅氏展开式傅氏级数泰勒级数
0)(?xR
为常数nu )( xuu nn 为函数满足狄 氏条件
0xx?取在收敛 级数与数条件下 相互转化
1n
nu
一、主要内容一、主要内容
1。 Fourier 级数
1
0 )s inco s(
2~)( n nn nxbnxa
axf
Fourier 系数
),2,1(,s i n)(
1
),2,1,0(,c o s)(
1
nn xd xxfb
nn xd xxfa
n
n
2。收敛定理（ Dirichlet充分条件）
f ( x ) 在一个周期内
① 连续或只有有限个第一类间断点
② 只有有限个极值点则 Fourier 级数收敛，且
1
0 )s i nco s(
2 n nn nxbnxa
a
是间断点是连续点
xxfxf
xxf
2
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)(
3。周期为 2L 的函数展开为
Fourier 级数
),2,1,0(,c o s)(1 ndxl xnxfla l ln
),2,1(,s i n)(1 ndxl xnxflb l ln
),s i nc o s(2)(
1
0
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l
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n
n
n
若 f ( x ) 是奇函数或偶函数，则有简化的计算公式偶函数
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2
),2,1(0 nb n
奇函数 ),2,1,0(0 na n
l
n ndxl
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2
4。非周期函数的展开
),[ ll?在 上有定义的函数 f ( x )
先在整个数轴上作周期延拓，将延拓后的函数展开成 Fourier 级数，最后限制自变量的取值范围,即得 f ( x ) 的 Fourier 级数展开式
)0[ l，在 上有定义的函数 f ( x )
奇延拓 —— -展开成正弦级数
（收敛域一般不包含端点）
偶延拓 —— 展开成余弦级数
（收敛域一定包含端点）
5。强调几点这部分内容所涉及到的问题，类型不多，有求函数的 Fourier 级数展开式，讨论其和函数，
证明三角等式，求某些数项级数的和 。解法也比较固定首先是求出 Fourier 系数，写出 Fourier
级数，然后根据 Dirichlet 充分条件讨论其和函数
⑴ 记住 Fourier 系数公式。 Fourier 系数的计算须不止一次地使用分部积分公式，要小心
⑵ 掌握 Dirichlet 收敛定理的内容
⑶ 求函数的 Fourier 级数展开式，必须注明展开式的成立范围 —— 即连续区间，也即只要去掉间断点
⑷ 注意函数的奇偶性、周期性
⑸ 注意函数的定义域，是否需要延拓无论是奇延拓还是偶延拓，在计算展开式的系数时只用到 f ( x ) 在 [ 0,l ] 上的值，所以在解题过程中并不需要具体作出延拓函数 F ( x ),而只须指明采用哪一种延拓方式即可
Fourier
级数收敛定理
Fourier 系数其它展开正弦、余弦级数求和函数的表达式、常数项级数的和二、典型例题例 1
系数的为常数表示试用系数是其为周期的函数，是以设
Fo u r i e rhhxfba
Fo u r i e rbaxf
nn
nn
)()(,
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解?
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同理 nhanhbB nnn s i nc o s
级数展开为将例 F our i e rxxf )ar c s i n( s i n)(2?
解 为周期的函数是以?2)( xf
关键是写出 f ( x ) 在一个周期内的表达式
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易见 f ( x ) 是奇函数 0?na
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4
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2
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求的和函数为为周期的正弦级数的以设例解 此题是定义在 ),0(? 的函数展开成正弦级数为此首先对 f ( x ) 作奇延拓在作正弦展开
0)(
0)()(
xxf
xxfxF
1
s i n)(
n
n nxbxs
依收敛定理 当 x 是连续点时
s ( x ) = f ( x ) 当 x 是间断点时
2
)0()0()( xfxfxs
内连续在注意到 ),0()(?xf
只须注意端点处的情况
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2
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0)0()4( Fs?
例 4 已知 f ( x ) 在 [ - 1,1 ] 上的 Fourier 级数为
1
22 c o s
)1(4
3
1
n
n
xnn该级数的和函数为 s ( x )
则 A s ( 1 ) =1 s ( 2) = 4
B s ( 1 ) =0.5 s ( 2) = 4
C s ( 1 ) =0.5 s ( 2) = 0
D s ( 1 ) =1 s ( 2) = 0
1
4
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1
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n n
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并由此求展开成余弦级数将例?
解 对 f ( x ) 进行偶延拓 0?nb
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24
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且延拓后的函数也连续上连续，在因 ],0[)()( xxxf
1
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再展开成余弦级数,须进行奇延拓 0?na
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1n
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一、主要内容一、主要内容
1。 Fourier 级数
1
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1
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2。收敛定理（ Dirichlet充分条件）
f ( x ) 在一个周期内
① 连续或只有有限个第一类间断点
② 只有有限个极值点则 Fourier 级数收敛，且
1
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3。周期为 2L 的函数展开为
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4。非周期函数的展开
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先在整个数轴上作周期延拓，将延拓后的函数展开成 Fourier 级数，最后限制自变量的取值范围,即得 f ( x ) 的 Fourier 级数展开式
)0[ l，在 上有定义的函数 f ( x )
奇延拓 —— -展开成正弦级数
（收敛域一般不包含端点）
偶延拓 —— 展开成余弦级数
（收敛域一定包含端点）
5。强调几点这部分内容所涉及到的问题，类型不多，有求函数的 Fourier 级数展开式，讨论其和函数，
证明三角等式，求某些数项级数的和 。解法也比较固定首先是求出 Fourier 系数，写出 Fourier
级数，然后根据 Dirichlet 充分条件讨论其和函数
⑴ 记住 Fourier 系数公式。 Fourier 系数的计算须不止一次地使用分部积分公式，要小心
⑵ 掌握 Dirichlet 收敛定理的内容
⑶ 求函数的 Fourier 级数展开式，必须注明展开式的成立范围 —— 即连续区间，也即只要去掉间断点
⑷ 注意函数的奇偶性、周期性
⑸ 注意函数的定义域，是否需要延拓无论是奇延拓还是偶延拓，在计算展开式的系数时只用到 f ( x ) 在 [ 0,l ] 上的值，所以在解题过程中并不需要具体作出延拓函数 F ( x ),而只须指明采用哪一种延拓方式即可
Fourier
级数收敛定理
Fourier 系数其它展开正弦、余弦级数求和函数的表达式、常数项级数的和二、典型例题例 1
系数的为常数表示试用系数是其为周期的函数，是以设
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例 4 已知 f ( x ) 在 [ - 1,1 ] 上的 Fourier 级数为
1
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xnn该级数的和函数为 s ( x )
则 A s ( 1 ) =1 s ( 2) = 4
B s ( 1 ) =0.5 s ( 2) = 4
C s ( 1 ) =0.5 s ( 2) = 0
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再展开成余弦级数,须进行奇延拓 0?na
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