一、定义
n阶常系数线性微分方程的标准形式
)(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
0 qyypy
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
)( xfqyypy
二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法 0 qyypy
,rxey?设 将其代入上方程,得
0)( 2 rxeqprr,0?rxe?
故有 02 qprr 特征方程特征根,2 4
2
2,1
qppr
特点 未知函数与其各阶导数的线性组合等于 0
即函数和其各阶导数只相差常数因子猜想 有特解 rxey?
有两个不相等的实根特征根为,2 4
2
1
qppr,
2
42
2
qppr
两个线性无关的特解
,11 xrey?,22 xrey?
得齐次方程的通解为 ;21 21 xrxr eCeCy
)0(
有两个相等的实根特征根为,
221
prr 一特解为,
11 xrey?
,)( 12 xrexuy?设另一特解为代入原方程并化简，，，将 222 yyy
,0)()2( 1211 uqprrupru
,0u知,)( xxu?取,12 xrxey?则得齐次方程的通解为 ;)( 121 xrexCCy
)0(
有一对共轭复根特征根为,1 jr,2 jr
,)(1 xjey,)(2 xjey
重新组合 )(2
1
211 yyy,c o s xe x
)(21 212 yyjy,s i n xe x
得齐次方程的通解为
).s i nc o s( 21 xCxCey x
)0(
由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为 特征方程法,
方法步骤
① 写出特征方程 02 qprr
② 求出特征根 21,rr
③ 按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解特征根 齐通解
)(21 实rr? xrxr ececY 21 21
21 rr? xrexccY 1)( 21
jr2,1 )s i nc o s( 21 xcxceY x
例 1 求通解 032 yyy
解 特征方程为 0322 rr
特征根为 3,1 21 rr
齐通解为 xx ececY 321
例 2,044 的通解求方程 yyy
解 特征方程为,0442 rr
解得,221 rr
故所求通解为,)( 221 xexCCy
例 3,052 的通解求方程 yyy
解 特征方程为,0522 rr
解得,2121 jr，
故所求通解为
).2s i n2c o s( 21 xCxCey x
例 4 设圆柱形浮筒，直径为 0.5 米，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中振动的周期为 2 秒，求浮筒的质量解 设浮筒的质量为 m
平衡时 圆柱浸入水中深度为 l
浮力 glR 2 重力 mg?
mgglR2
设 t 时刻浮筒上升了 x 米 此时浮力 gxlR )(2 重力 mg?
由 Newton第二定律
mggxlRdt xdm )(22
2
glRgxlR 22 )(
gxR 2
0
2
2
2
xm gRdt xd
记
m
gR 22 02
2
2
xdt xd?
tctcx s inc o s 21 T2
)(25.1 9 5
2
kggRm
3310 m
kg
28.9 smg? mR 25.0? 14.3
三,n阶常系数齐次线性方程解法
01)1(1)( yPyPyPy nnnn?
特征方程为 0111 nnnn PrPrPr?
特征方程的根 通解中的对应项
rk 重根若是 rxkk exCxCC )( 1110
j
k
复根重共轭若是
xk
k
k
k
exxDxDD
xxCxCC
]s in)(
c o s)[(
1
110
1
110
注意
n次代数方程有 n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各含一个任意常数,
nn yCyCyCy2211
实重根 复单根 复重根实单根 几种情况每个根对应通解中的一项其写法与二阶方程的情形完全类似具体分为例 5 0)4( yy
解 特征方程为 014r
解得 jrr 4,32,1,1
故所求通解为
xcxcececy xx s inc o s 4321
例 6,022 )3()4()5( 的通解求方程
yyyyyy
解 特征方程为,0122 2345 rrrrr
0)1)(1( 22 rr
,0)1)(1( 22 rr
特征根为,,,1 54321 jrrjrrr
故所求通解为
.s in)(c o s)( 54321 xxCCxxCCeCy x
四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤,
（ 1）写出相应的特征方程 ;
（ 2）求出特征根 ;
（ 3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解,
0 qyypy 2 qprr
特征根的情况 通解的表达式实根
21
rr?
实根
21
rr?
复根 ir
2,1
xrxr
eCeCy
21
21
xr
exCCy
2
)(
21
)s i nc o s(
21
xCxCey
x
思考题求微分方程 的通解, yyyyy ln22
思考题解答
,0?y?
,ln
2
2
yy yyy
,ln y
y
y
,ln yyy x,lnln yy
令 yz ln? 则,0 zz 特征根 1
通解 xx eCeCz 21,ln 21 xx eCeCy
练 习 题一,求下列微分方程的通解,
1,04 yy ； 2,025204 2
2
x
dt
dx
dt
xd；
3,0136 yyy ； 4,0365)4( yyy,
二,下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1,0,2,044
00
xx
yyyyy ；
2,3,0,0134
00
xx
yyyyy,
三,求作一个二阶常系数齐次线性微分方程,使
3,2,,1?
xxx
eee 都是它的解,
四,设圆柱形浮筒,直径为 m5.0,铅直放在水中,当稍向下压后突然放开,浮筒在水中上下振动的
s2周期为,求浮筒的质量,
练习题答案一,1,
x
eCCy
4
21
； 2,
t
etCCx
2
5
21
)( ；
3,)2s i n2c o s(
21
3
xCxCey
x
；
4,xCxCeCeCy
xx
3s i n3c o s
43
2
2
2
1
,
二,1,)2(
2
xey
x
； 2,xey
x
3s i n
2
,
三,0 yy,( 提示,为两个
x
e,1 线性无关的解 )
四,195?M kg,
n阶常系数线性微分方程的标准形式
)(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
0 qyypy
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
)( xfqyypy
二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法 0 qyypy
,rxey?设 将其代入上方程,得
0)( 2 rxeqprr,0?rxe?
故有 02 qprr 特征方程特征根,2 4
2
2,1
qppr
特点 未知函数与其各阶导数的线性组合等于 0
即函数和其各阶导数只相差常数因子猜想 有特解 rxey?
有两个不相等的实根特征根为,2 4
2
1
qppr,
2
42
2
qppr
两个线性无关的特解
,11 xrey?,22 xrey?
得齐次方程的通解为 ;21 21 xrxr eCeCy
)0(
有两个相等的实根特征根为,
221
prr 一特解为,
11 xrey?
,)( 12 xrexuy?设另一特解为代入原方程并化简，，，将 222 yyy
,0)()2( 1211 uqprrupru
,0u知,)( xxu?取,12 xrxey?则得齐次方程的通解为 ;)( 121 xrexCCy
)0(
有一对共轭复根特征根为,1 jr,2 jr
,)(1 xjey,)(2 xjey
重新组合 )(2
1
211 yyy,c o s xe x
)(21 212 yyjy,s i n xe x
得齐次方程的通解为
).s i nc o s( 21 xCxCey x
)0(
由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为 特征方程法,
方法步骤
① 写出特征方程 02 qprr
② 求出特征根 21,rr
③ 按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解特征根 齐通解
)(21 实rr? xrxr ececY 21 21
21 rr? xrexccY 1)( 21
jr2,1 )s i nc o s( 21 xcxceY x
例 1 求通解 032 yyy
解 特征方程为 0322 rr
特征根为 3,1 21 rr
齐通解为 xx ececY 321
例 2,044 的通解求方程 yyy
解 特征方程为,0442 rr
解得,221 rr
故所求通解为,)( 221 xexCCy
例 3,052 的通解求方程 yyy
解 特征方程为,0522 rr
解得,2121 jr，
故所求通解为
).2s i n2c o s( 21 xCxCey x
例 4 设圆柱形浮筒，直径为 0.5 米，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中振动的周期为 2 秒，求浮筒的质量解 设浮筒的质量为 m
平衡时 圆柱浸入水中深度为 l
浮力 glR 2 重力 mg?
mgglR2
设 t 时刻浮筒上升了 x 米 此时浮力 gxlR )(2 重力 mg?
由 Newton第二定律
mggxlRdt xdm )(22
2
glRgxlR 22 )(
gxR 2
0
2
2
2
xm gRdt xd
记
m
gR 22 02
2
2
xdt xd?
tctcx s inc o s 21 T2
)(25.1 9 5
2
kggRm
3310 m
kg
28.9 smg? mR 25.0? 14.3
三,n阶常系数齐次线性方程解法
01)1(1)( yPyPyPy nnnn?
特征方程为 0111 nnnn PrPrPr?
特征方程的根 通解中的对应项
rk 重根若是 rxkk exCxCC )( 1110
j
k
复根重共轭若是
xk
k
k
k
exxDxDD
xxCxCC
]s in)(
c o s)[(
1
110
1
110
注意
n次代数方程有 n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各含一个任意常数,
nn yCyCyCy2211
实重根 复单根 复重根实单根 几种情况每个根对应通解中的一项其写法与二阶方程的情形完全类似具体分为例 5 0)4( yy
解 特征方程为 014r
解得 jrr 4,32,1,1
故所求通解为
xcxcececy xx s inc o s 4321
例 6,022 )3()4()5( 的通解求方程
yyyyyy
解 特征方程为,0122 2345 rrrrr
0)1)(1( 22 rr
,0)1)(1( 22 rr
特征根为,,,1 54321 jrrjrrr
故所求通解为
.s in)(c o s)( 54321 xxCCxxCCeCy x
四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤,
（ 1）写出相应的特征方程 ;
（ 2）求出特征根 ;
（ 3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解,
0 qyypy 2 qprr
特征根的情况 通解的表达式实根
21
rr?
实根
21
rr?
复根 ir
2,1
xrxr
eCeCy
21
21
xr
exCCy
2
)(
21
)s i nc o s(
21
xCxCey
x
思考题求微分方程 的通解, yyyyy ln22
思考题解答
,0?y?
,ln
2
2
yy yyy
,ln y
y
y
,ln yyy x,lnln yy
令 yz ln? 则,0 zz 特征根 1
通解 xx eCeCz 21,ln 21 xx eCeCy
练 习 题一,求下列微分方程的通解,
1,04 yy ； 2,025204 2
2
x
dt
dx
dt
xd；
3,0136 yyy ； 4,0365)4( yyy,
二,下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1,0,2,044
00
xx
yyyyy ；
2,3,0,0134
00
xx
yyyyy,
三,求作一个二阶常系数齐次线性微分方程,使
3,2,,1?
xxx
eee 都是它的解,
四,设圆柱形浮筒,直径为 m5.0,铅直放在水中,当稍向下压后突然放开,浮筒在水中上下振动的
s2周期为,求浮筒的质量,
练习题答案一,1,
x
eCCy
4
21
； 2,
t
etCCx
2
5
21
)( ；
3,)2s i n2c o s(
21
3
xCxCey
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4,xCxCeCeCy
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2
2
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,
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2
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x
； 2,xey
x
3s i n
2
,
三,0 yy,( 提示,为两个
x
e,1 线性无关的解 )
四,195?M kg,
