习 题 课一、主要内容导 数
x
y
x?
0
lim
基本公式求 导 法 则高阶导数微 分
xydy
关系
)( xodyydxydyydxdy
高阶微分
1、导数的定义
.)()(limlim 00
000 x
xfxxf
x
yy
xxxx?
单侧导数左导数，右导数，可导的充要条件
2、基本导数公式 （常数和基本初等函数的导数公式）
常、反、对、幂、指、三、双曲 —— 18个公式
3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
(2) 反函数的求导法则
(3) 复合函数的求导法则 —— 注意不要漏层
(4) 对数求导法 —— 注意适用范围
(5) 隐函数求导法则 —— 注意 y的函数的求导
(6) 参变量函数的求导法则 —— 注意不要漏乘
4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数 )
x
xfxxfxf nn
x
n
)()(lim)( 0)1(0)1(
00
)(
方法,逐阶求导
5,微分的定义 微分的实质
6、导数与微分的关系
7,微分的求法 dxxfdy )(
基本初等函数的微分公式
8,微分的基本法则函数和、差、积、商的微分法则微分形式的不变性 —— 复合函数的微分法则的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论 )(,xfyx?
dxxfdy )(
二、典型例题例 1
).0(
),100()2)(1()(
f
xxxxxf
求设?
解 0
)0()(lim)0(
0?
x
fxff
x
)1 0 0()2)(1(lim 0 xxxx?
!100?
例 2
.
,
11
11
ln
4
1
1a r c ta n
2
1
2
2
2
y
x
x
xy
求设解,1 2xu设,1
1ln
4
1a r c ta n
2
1
u
uuy则
)1111(41)1(2 1 2 uuuy u? 41 1u,2 1 42 xx
)1( 2 xu x,1 2xx
.1)2( 1 23 xxxy x
例 3 求下列函数的导数
① xy 1a rcc o s?
2
2
1
11
1
x
x
y
22
1
1
||
xx
x?
1||
1
2 xx
② 20,},m a x{)( 2 xxxxf
21
11
10
)(
2 xx
x
xx
xf
时当故 10 x1)( xf
时当 21 x xxf 2)(
1
)1()(lim)1(
1?
x
fxff
x 1
1lim
1?
x
x
x
1?
1
)1()(lim)1(
1?
x
fxff
x 1
1lim 2
1?
x
x
x
2?
)1()1( ff 不存在)1(f
212
1
101
)1(
xx
x
x
f 不存在
③ dxdyetyy tx t 求设
52
a r c t a n
2
解
21
1
tdt
dx
第二个方程两边对 t 求导得
022 2 tedtdytyydtdy
22
2
ty
ye
dt
dy t
dt
dx
dt
dy
dx
dy
22
))(1( 22
ty
yet t
④
)1(1)1(
1)()()1()( 2 0 0 1
fg
xxgxgxxf
求且处连续，在，其中设
1
)1()(lim)1(
1?
x
fxff
x
1
)()1(lim 2 0 0 1
1?
x
xgx
x
)}(]1{[lim 1 9 9 92 0 0 01 xgxxxx
)1(]111[ g2001个
2001?
例 4 0)0(|)s i n|1)(()(,)( fxxfxFxf 则可导设条件处可导的在是 _ _ _ _0)(?xxF
A.充分必要 B.充分非必要
C.必要非充分 D.非充分非必要证一 0)0(?f设则 0 )0()(l i m
0?
x
FxF
x x
xxf
x
0|)s i n|1)((lim
0
|)s in|1(0 )0()(li m
0
xx fxf
x
)0(f
处可导在故 0)(?xxF
处可导在设 0)(?xxF
0
)0()(l i m
0?
x
FxF
x
0
)0(|)s i n|1)((lim
0?
x
fxxf
x
存在
x
xxf
x
fxf
x
|s in|)(
0
)0()(lim
0
)0(0 )0()(lim
0
fx fxf
x
而存在Ax xxf
x
|s i n|)(lim
0
0)0(?f若 存在则 )(
|s in|)(
lim|s in|lim
00 xf
x
xxf
x
x
xx
不存在而 x x
x
|s i n|lim
0? 0)0(?f故证二 即处可导在,0|)s i n|1)(()( xxxfxF
)0()0()0( FFF 存在
x
fxxfF
x
)0()s i n1)((lim)0(
0
x
xxf
x
fxf
x
s in)(
0
)0()(lim
0
)0()0( ff
x
fxxfF
x
)0()s i n1)((lim)0(
0
x
xxf
x
fxf
x
s in)(
0
)0()(lim
0
)0()0( ff
)0()0()0()0()0( ffffF 存在即
0)0()0( fF 存在亦即例 5 设 )t an( yxy 确定了 )( xyy? 求 2
2
dx
yd
解 两边对 x 求导得
)1)((s e c 2 yyxy
)(s e c1
)(s e c
2
2
yx
yxy
)(c s c
2 yx
)](c s c[ 22
2
yxdxddx yd
)1()]c o t ()c s c ([)c s c (2 yyxyxyx
)](c s c1[)c o t ()(c s c2 22 yxyxyx
)(c o t)(c s c2 32 yxyx
例 6
.,
45
2
02?
tdx
dy
ttty
ttx
求设解 分析,,,0 不可导时当 tt? 不能用公式求导,
tt
ttt
x
y
tx
2
4)(5l i ml i m 2
00 )s g n (2
)]s g n (45[l i m
0 t
tt
t
.0?
.00tdxdy故例 7,,1
14 )(
2
2
ny
x
xy 求设
解 1
344
1
14
2
2
2
2
x
x
x
xy )
1
1
1
1(
2
34
xx
,)1( !)1()11( 1)( n
n
n
x
n
x?,)1(
!)1()
1
1(
1
)(
n
n
n
x
n
x
].)1( 1)1( 1[!)1(23 11)( nnnn xxny
例 8 设 )(x? 在 x = a 处连续，讨论
① )()()( xaxxf
② )(||)( xaxxf
③ |)(|)()( xaxxf在 x = a 处的可导性解 ①
ax
afxf
ax?
)()(l i m
ax
xax
ax?
)()lim?
)(lim xax )(a
)()()( xaxxf 在 x = a 处可导
②
ax
afxf
ax?
)()(lim
ax
xax
x?
)(||li m?
ax
xax
ax?
)()(l im?)(a
ax
afxf
ax?
)()(lim
ax
xax
ax?
)(||li m?
ax
xax
ax?
)()(lim?)(a
时0)(?a?
)(||)( xaxxf 在 x = a 处不可导时0)(?a?
)(||)( xaxxf 在 x = a 处可导
③
ax
afxf
ax?
)()(l i m
ax
xax
ax?
|)(|)(lim?
|)(|li m xax |)(| a
|)(|)()( xaxxf 在 x = a 处可导例 9 在什么条件下，函数
00
01s i n)(
x
x
x
xxf n
① 连续)( xf ② 存在)0(f?
③ 连续)( xf? ④ 存在)0(f
解 首先注意到不存在时当 xx
x
1s i nlim0
0
01s i nlim0
0
x
x
x
时当
① xxxfx n 1s i n)(0 时，当 是初等函数，连续因此要使 连续)( xf 处连续在只须 0)(?xxf
)0(01s i nlim
0
fxx n
x
即只须 0 n
② 要使 0 )0()(l i m)0(
0?
x
fxff
x
x
x
x n
x
01s in
lim
0
xx
n
x
1s i nl i m 1
0
存在
1 n 此时 0)0(f
③ 时当 0?x xxxnxxf nn 1co s1s i n)( 21
0)0(f
要使 连续)( xf? 处连续在只须 0)( xxf
0)0()(l i m 0 fxfx即只须
0]1co s1s i n[l i m 21
0
x
xxnx nn
x 2 n
④ 要使 0 )0()(lim)0( 0 x fxff x
x
x
x
x
nx nn
x
1c o s1s in
lim
21
0
]1co s1s i n[lim 32
0 x
xxnx nn
x
存在
3 n 此时 0)0(f
注通过本例，我们可以进一步加深对连续和可导的关系的认识。函数从连续到可导再到导数连续，
再到二阶可导，所要求的条件逐步加强。
例 10
)(||||,,
)
1
()()(
xfbacba
x
c
x
bfxafxf
，求为常数，且其中满足设解一 有代中用在,1)1()( xxxcxbfxaf
cxxbfxaf )()1(
联立解得 ][)( 22 bxxaba cxf
][)( 222 bxaab cxf
解二 联立方程组
x
c
xbfxaf )
1()(
cxxbfxaf )()1(
两边对 x 求导
22 )
1()(
x
c
xfx
bxfa
cxfbxfxa )()1(2
解得
][)( 222 bxaab cxf
例 11 xfxff
xyyfxfyxfyx
2)0()()0(
2)()()(,,
存在，证明且有设证 在 xyyfxfyxf 2)()()( 中令 0?y 有
)0()()( fxfxf 0)0( f
再由 xyyfxfyxf 2)()()( 得
xy yfy xfyxf 2)()()(
注意到 0 )0()(li m)(li m
00?
y
fyf
y
yf
yy )0(f
存在
y
xfyxf
y
)()(lim
0
xy yf
y
2)(lim
0
xf 2)0(
例 12 设 )()()( ahagaf对所有的 x，有
)()()( xhxgxf )()( ahaf且证明 处也可导，且在 axxg?)(
)()()( ahagaf
证 )()()( xhxgxf )()()( ahagaf
)()()()()()( ahxhagxgafxf
两边同除以 )( ax? 得
ax
ahxh
ax
agxg
ax
afxf
)()()()()()( )( ax?
ax
ahxh
ax
agxg
ax
afxf
)()()()()()( )( ax?
由 )()( ahaf
ax
afxf
ax
afxf
axax?
)()(l im)()(l im )()( ahaf
ax
ahxh
ax
ahxh
axax?
)()(l im)()(l im )()( ahaf
由夹逼定理得
ax
agxg
ax
agxg
axax?
)()(lim)()(lim )()( ahaf
)()()( ahagaf
例 13
0)(),(0)()(
0)()(],[)(
fbabfaf
bfafbaxf
使，证明及上连续，且在设证 不妨设 0)(,0)( bfaf
观察下图
x
y
o
y=f(x)
a b1x
2x
由 0)(lim)()(lim)(
ax
xf
ax
afxfaf
axax
0)(lim)()(lim)(
bx
xf
bx
bfxfbf
bxbx
及函数极限的保号性质可知 21,
使当 有时,),( 11 aax
0)(
1
1?
ax
xf 0)(
1 xf
有时,),( 22 bbx
0)(
2
2?
bx
xf 0)(
2 xf
由于 f ( x )在 [ x1,x2 ]上连续 0)()( 21 xfxf且故由零点定理知 ),(),( 21 baxx
使 0)(f
例 14 有定义，且二次可微于设 0)( xxxf?
选择常数 a,b,c,使函数
00
2
0
0
)()(
)()(
xxcxxbxxa
xxxfxF
二次可微证 依题设知 二次可微时，当 )()(
0 xfxFxx
cxxbxxaxFxx )()()( 0200 时，当是一多项式，也是二次可微因此要想使 F(x)二次可微，只须使其在 x=x0处二次可微
F(x)在 x0处连续
F(x)在 x0处可导
F(x)在 x0处二阶导数存在由 F(x)在 x0处连续
)(li m)(li m
00
xFxF xxxx
)( 0xfc
其次由 F(x)在 x0处可导
0
0
0
0 )()(lim)()(lim
00 xx
xFxF
xx
xFxF
xxxx?
0
000
2
0 )()()()(lim
0 xx
xfxfxxbxxa
xx?
0
0 )()(l i m
0 xx
xfxf
xx?
)( 0xf
)( 0xfb 此时 )()( 00 xfxF
最后由 F(x)在 x0处二次可导
0
0
0
0 )()(lim)()(lim
00 xx
xFxF
xx
xFxF
xxxx?
)()(0 xfxFxx 时，当
bxxaxFxx )(2)( 00 时，当
0
0
0
0 )()(lim)(2lim
00 xx
xfxf
xx
xxa
xxxx?
)( 0xf
)(21 0xfa
x
y
x?
0
lim
基本公式求 导 法 则高阶导数微 分
xydy
关系
)( xodyydxydyydxdy
高阶微分
1、导数的定义
.)()(limlim 00
000 x
xfxxf
x
yy
xxxx?
单侧导数左导数，右导数，可导的充要条件
2、基本导数公式 （常数和基本初等函数的导数公式）
常、反、对、幂、指、三、双曲 —— 18个公式
3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
(2) 反函数的求导法则
(3) 复合函数的求导法则 —— 注意不要漏层
(4) 对数求导法 —— 注意适用范围
(5) 隐函数求导法则 —— 注意 y的函数的求导
(6) 参变量函数的求导法则 —— 注意不要漏乘
4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数 )
x
xfxxfxf nn
x
n
)()(lim)( 0)1(0)1(
00
)(
方法,逐阶求导
5,微分的定义 微分的实质
6、导数与微分的关系
7,微分的求法 dxxfdy )(
基本初等函数的微分公式
8,微分的基本法则函数和、差、积、商的微分法则微分形式的不变性 —— 复合函数的微分法则的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论 )(,xfyx?
dxxfdy )(
二、典型例题例 1
).0(
),100()2)(1()(
f
xxxxxf
求设?
解 0
)0()(lim)0(
0?
x
fxff
x
)1 0 0()2)(1(lim 0 xxxx?
!100?
例 2
.
,
11
11
ln
4
1
1a r c ta n
2
1
2
2
2
y
x
x
xy
求设解,1 2xu设,1
1ln
4
1a r c ta n
2
1
u
uuy则
)1111(41)1(2 1 2 uuuy u? 41 1u,2 1 42 xx
)1( 2 xu x,1 2xx
.1)2( 1 23 xxxy x
例 3 求下列函数的导数
① xy 1a rcc o s?
2
2
1
11
1
x
x
y
22
1
1
||
xx
x?
1||
1
2 xx
② 20,},m a x{)( 2 xxxxf
21
11
10
)(
2 xx
x
xx
xf
时当故 10 x1)( xf
时当 21 x xxf 2)(
1
)1()(lim)1(
1?
x
fxff
x 1
1lim
1?
x
x
x
1?
1
)1()(lim)1(
1?
x
fxff
x 1
1lim 2
1?
x
x
x
2?
)1()1( ff 不存在)1(f
212
1
101
)1(
xx
x
x
f 不存在
③ dxdyetyy tx t 求设
52
a r c t a n
2
解
21
1
tdt
dx
第二个方程两边对 t 求导得
022 2 tedtdytyydtdy
22
2
ty
ye
dt
dy t
dt
dx
dt
dy
dx
dy
22
))(1( 22
ty
yet t
④
)1(1)1(
1)()()1()( 2 0 0 1
fg
xxgxgxxf
求且处连续，在，其中设
1
)1()(lim)1(
1?
x
fxff
x
1
)()1(lim 2 0 0 1
1?
x
xgx
x
)}(]1{[lim 1 9 9 92 0 0 01 xgxxxx
)1(]111[ g2001个
2001?
例 4 0)0(|)s i n|1)(()(,)( fxxfxFxf 则可导设条件处可导的在是 _ _ _ _0)(?xxF
A.充分必要 B.充分非必要
C.必要非充分 D.非充分非必要证一 0)0(?f设则 0 )0()(l i m
0?
x
FxF
x x
xxf
x
0|)s i n|1)((lim
0
|)s in|1(0 )0()(li m
0
xx fxf
x
)0(f
处可导在故 0)(?xxF
处可导在设 0)(?xxF
0
)0()(l i m
0?
x
FxF
x
0
)0(|)s i n|1)((lim
0?
x
fxxf
x
存在
x
xxf
x
fxf
x
|s in|)(
0
)0()(lim
0
)0(0 )0()(lim
0
fx fxf
x
而存在Ax xxf
x
|s i n|)(lim
0
0)0(?f若 存在则 )(
|s in|)(
lim|s in|lim
00 xf
x
xxf
x
x
xx
不存在而 x x
x
|s i n|lim
0? 0)0(?f故证二 即处可导在,0|)s i n|1)(()( xxxfxF
)0()0()0( FFF 存在
x
fxxfF
x
)0()s i n1)((lim)0(
0
x
xxf
x
fxf
x
s in)(
0
)0()(lim
0
)0()0( ff
x
fxxfF
x
)0()s i n1)((lim)0(
0
x
xxf
x
fxf
x
s in)(
0
)0()(lim
0
)0()0( ff
)0()0()0()0()0( ffffF 存在即
0)0()0( fF 存在亦即例 5 设 )t an( yxy 确定了 )( xyy? 求 2
2
dx
yd
解 两边对 x 求导得
)1)((s e c 2 yyxy
)(s e c1
)(s e c
2
2
yx
yxy
)(c s c
2 yx
)](c s c[ 22
2
yxdxddx yd
)1()]c o t ()c s c ([)c s c (2 yyxyxyx
)](c s c1[)c o t ()(c s c2 22 yxyxyx
)(c o t)(c s c2 32 yxyx
例 6
.,
45
2
02?
tdx
dy
ttty
ttx
求设解 分析,,,0 不可导时当 tt? 不能用公式求导,
tt
ttt
x
y
tx
2
4)(5l i ml i m 2
00 )s g n (2
)]s g n (45[l i m
0 t
tt
t
.0?
.00tdxdy故例 7,,1
14 )(
2
2
ny
x
xy 求设
解 1
344
1
14
2
2
2
2
x
x
x
xy )
1
1
1
1(
2
34
xx
,)1( !)1()11( 1)( n
n
n
x
n
x?,)1(
!)1()
1
1(
1
)(
n
n
n
x
n
x
].)1( 1)1( 1[!)1(23 11)( nnnn xxny
例 8 设 )(x? 在 x = a 处连续，讨论
① )()()( xaxxf
② )(||)( xaxxf
③ |)(|)()( xaxxf在 x = a 处的可导性解 ①
ax
afxf
ax?
)()(l i m
ax
xax
ax?
)()lim?
)(lim xax )(a
)()()( xaxxf 在 x = a 处可导
②
ax
afxf
ax?
)()(lim
ax
xax
x?
)(||li m?
ax
xax
ax?
)()(l im?)(a
ax
afxf
ax?
)()(lim
ax
xax
ax?
)(||li m?
ax
xax
ax?
)()(lim?)(a
时0)(?a?
)(||)( xaxxf 在 x = a 处不可导时0)(?a?
)(||)( xaxxf 在 x = a 处可导
③
ax
afxf
ax?
)()(l i m
ax
xax
ax?
|)(|)(lim?
|)(|li m xax |)(| a
|)(|)()( xaxxf 在 x = a 处可导例 9 在什么条件下，函数
00
01s i n)(
x
x
x
xxf n
① 连续)( xf ② 存在)0(f?
③ 连续)( xf? ④ 存在)0(f
解 首先注意到不存在时当 xx
x
1s i nlim0
0
01s i nlim0
0
x
x
x
时当
① xxxfx n 1s i n)(0 时，当 是初等函数，连续因此要使 连续)( xf 处连续在只须 0)(?xxf
)0(01s i nlim
0
fxx n
x
即只须 0 n
② 要使 0 )0()(l i m)0(
0?
x
fxff
x
x
x
x n
x
01s in
lim
0
xx
n
x
1s i nl i m 1
0
存在
1 n 此时 0)0(f
③ 时当 0?x xxxnxxf nn 1co s1s i n)( 21
0)0(f
要使 连续)( xf? 处连续在只须 0)( xxf
0)0()(l i m 0 fxfx即只须
0]1co s1s i n[l i m 21
0
x
xxnx nn
x 2 n
④ 要使 0 )0()(lim)0( 0 x fxff x
x
x
x
x
nx nn
x
1c o s1s in
lim
21
0
]1co s1s i n[lim 32
0 x
xxnx nn
x
存在
3 n 此时 0)0(f
注通过本例，我们可以进一步加深对连续和可导的关系的认识。函数从连续到可导再到导数连续，
再到二阶可导，所要求的条件逐步加强。
例 10
)(||||,,
)
1
()()(
xfbacba
x
c
x
bfxafxf
，求为常数，且其中满足设解一 有代中用在,1)1()( xxxcxbfxaf
cxxbfxaf )()1(
联立解得 ][)( 22 bxxaba cxf
][)( 222 bxaab cxf
解二 联立方程组
x
c
xbfxaf )
1()(
cxxbfxaf )()1(
两边对 x 求导
22 )
1()(
x
c
xfx
bxfa
cxfbxfxa )()1(2
解得
][)( 222 bxaab cxf
例 11 xfxff
xyyfxfyxfyx
2)0()()0(
2)()()(,,
存在，证明且有设证 在 xyyfxfyxf 2)()()( 中令 0?y 有
)0()()( fxfxf 0)0( f
再由 xyyfxfyxf 2)()()( 得
xy yfy xfyxf 2)()()(
注意到 0 )0()(li m)(li m
00?
y
fyf
y
yf
yy )0(f
存在
y
xfyxf
y
)()(lim
0
xy yf
y
2)(lim
0
xf 2)0(
例 12 设 )()()( ahagaf对所有的 x，有
)()()( xhxgxf )()( ahaf且证明 处也可导，且在 axxg?)(
)()()( ahagaf
证 )()()( xhxgxf )()()( ahagaf
)()()()()()( ahxhagxgafxf
两边同除以 )( ax? 得
ax
ahxh
ax
agxg
ax
afxf
)()()()()()( )( ax?
ax
ahxh
ax
agxg
ax
afxf
)()()()()()( )( ax?
由 )()( ahaf
ax
afxf
ax
afxf
axax?
)()(l im)()(l im )()( ahaf
ax
ahxh
ax
ahxh
axax?
)()(l im)()(l im )()( ahaf
由夹逼定理得
ax
agxg
ax
agxg
axax?
)()(lim)()(lim )()( ahaf
)()()( ahagaf
例 13
0)(),(0)()(
0)()(],[)(
fbabfaf
bfafbaxf
使，证明及上连续，且在设证 不妨设 0)(,0)( bfaf
观察下图
x
y
o
y=f(x)
a b1x
2x
由 0)(lim)()(lim)(
ax
xf
ax
afxfaf
axax
0)(lim)()(lim)(
bx
xf
bx
bfxfbf
bxbx
及函数极限的保号性质可知 21,
使当 有时,),( 11 aax
0)(
1
1?
ax
xf 0)(
1 xf
有时,),( 22 bbx
0)(
2
2?
bx
xf 0)(
2 xf
由于 f ( x )在 [ x1,x2 ]上连续 0)()( 21 xfxf且故由零点定理知 ),(),( 21 baxx
使 0)(f
例 14 有定义，且二次可微于设 0)( xxxf?
选择常数 a,b,c,使函数
00
2
0
0
)()(
)()(
xxcxxbxxa
xxxfxF
二次可微证 依题设知 二次可微时，当 )()(
0 xfxFxx
cxxbxxaxFxx )()()( 0200 时，当是一多项式，也是二次可微因此要想使 F(x)二次可微，只须使其在 x=x0处二次可微
F(x)在 x0处连续
F(x)在 x0处可导
F(x)在 x0处二阶导数存在由 F(x)在 x0处连续
)(li m)(li m
00
xFxF xxxx
)( 0xfc
其次由 F(x)在 x0处可导
0
0
0
0 )()(lim)()(lim
00 xx
xFxF
xx
xFxF
xxxx?
0
000
2
0 )()()()(lim
0 xx
xfxfxxbxxa
xx?
0
0 )()(l i m
0 xx
xfxf
xx?
)( 0xf
)( 0xfb 此时 )()( 00 xfxF
最后由 F(x)在 x0处二次可导
0
0
0
0 )()(lim)()(lim
00 xx
xFxF
xx
xFxF
xxxx?
)()(0 xfxFxx 时，当
bxxaxFxx )(2)( 00 时，当
0
0
0
0 )()(lim)(2lim
00 xx
xfxf
xx
xxa
xxxx?
)( 0xf
)(21 0xfa
