1、常数项级数常数项级数收敛 ( 发散 )? nn slim 存在 ( 不存在 ),
收敛级数的基本性质级数收敛的必要条件,
习题课 常数项级数审敛一、主要内容常数项级数审敛法正 项 级 数 任意项级数
1.
2.
4.充要条件
5.比较法
6.比值法
7.根值法
4.绝对收敛
5.交错级数
(莱布尼茨定理 )
3.按基本性质 ;;,则级数收敛若 SS n?;,0,则级数发散当 nun
一般项级数
4.绝对收敛
2、正项级数及其审敛法
.有界部分和所成的数列正项级数收敛 ns?
(1) 比较审敛法
(2) 比较审敛法的极限形式(3) 极限审敛法
0,0 nn vu设 nnu 与若 是同阶无穷小同敛散与则 nn vu
特别 nn vu ~若 （等价无穷小）
同敛散与则 nn vu(4) 比值审敛法 ( 达朗贝尔 D ’ Alembert 判别法 )
(5) 根值审敛法 ( 柯西判别法 )
3、交错级数及其审敛法
4、任意项级数及其审敛法
Leibniz定理绝对收敛，条件收敛附,正项级数与任意项级数审敛程序
nu
0?nu
nu 发散
N
Y
n
n
u
u 1lim
1Y
nn vu0n nlim
N
1
N
Y
nu 收敛
nv 收敛? nu 发散
nu 收敛? nv 发散
nu
0?nuN
发散? nu
Y
敛? || nu Y 绝对收敛? nu
收敛? nu
N
用检比 法 用比较法用 L— 准则或考察部分和
N
收敛? nuN Y
条件收敛例 1 求极限 n
n
n n 2!
3lim
解 考察正项级数 n
n
n nu 2!
3
n
n
n
n
nn
n
n
n
nu
u
3
2!
2)!1(
3limlim
1
1
1
10)1(2 3l im
nn
由检比法? n
n
n 2!
3 收敛由级数收敛的必要条件得 02!
3lim?
n
n
n n
二、典型例题例 2 设 0l i m ana nn 试证? na 发散证 不妨设 a > 0 由极限保号性知
N? 时当 Nn? 0?na
由于
01l i ml i m
a
n
ana n
nnn
故由比较法的极限形式得? na 发散例 3 若? nu? nv 都发散 则
A )( nn vu 必发散
B
nnvu
必发散
C |]||[| nn vu 必发散
D 以上说法都不对例 3;
)
1
(
)1(
:
1
1
n
n
n
n
n
n
n
判断级数敛散性解 n
nn
n
n
n
nn
u
)
1
(
1
,
)
1
1(
2
1
n
n
n
n
nn
n
n
n nn
1
22 ])
11[(li m)11(li m 2
;10 e
x
x
n
n xn
11 li mli m
}ln1limex p { xx
x
}1limex p { x
x;10 e
,01lim nn u
根据级数收敛的必要条件,原级数发散,?
1
).0(
)1(
)2l n ()2(
n n
a
n
a
n
解
n
a
nu n
n
n
nn 1
)2ln (limlim
,)2ln (li m1 n
n
na
,2,2 nenn 时? 从而有
,)2l n (1 nn nn,1li m nn n由于
,1)2ln (li m nn n,1l i m aun nn
,1101 时即当 aa 原级数收敛；
,1110 时即当 aa原级数发散；
,1 时当?a
,
)11(
)2l n (
1
n n
n
n原级数为
,
)11(
)2l n (lim
nn
n
n?
原级数也发散．
敛？是条件收敛还是绝对收敛？如果收敛，是否收判断级数?
1 ln
)1(
n
n
nn
例 4
解,1ln1 nnn,1
1
发散而?
n n
,ln1ln )1(
11
发散
nn
n
nnnn
即原级数非绝对收敛．
,ln)1(
1
级数是交错?
n
n
nn 由莱布尼茨定理：
x
x
n
n
xn
lnlimlnlim
,01lim
xx
,0
ln
1
1
lim
ln
1
lim?
n
n
n
nn nn
),0(ln)( xxxxf?
),1(011)( xxxf,),1( 上单增在
,ln1 单减即 xx?,1ln1 时单减当故 nnn
),1()1ln ()1( 1ln1 1 nunnnnu nn
所以此交错级数收敛,故原级数是条件收敛．
na? nc 都收敛 且 nnn cba例 5 设试证? nb 收敛证 由 nnn cba 知 nnnn acab0
因? na? nc 都收敛故正项级数 )( nn ac 收敛再由比较审敛法知 正项级数 )( nn ab 收敛而 nnnn aabb )( 即
nb 可表为两个收敛级数 之和 )( nn ab? na
故? nb 收敛例 6 设 0,0 nn ba 且
n
n
n
n
b
b
a
a 11
若? nb 收敛 则? na 也收敛证 由题设知
1
1
1
1
b
a
b
a
b
a
n
n
n
n
nn b
b
aa
1
1
而? nb 收敛 由比较法得? na 收敛
Cauchy积分审敛法设 0)( xfy 单调减少 )( nfu n? 则
1n
nu 与?
1
)( dxxf 同敛散例 7
证 由 f(x) 单调减少知
1
1 )()()1(
k
k
kk ukfdxxfkfu
即
n
k
n n
k
kk udxxfu
1
1
1 1
1 )(
n
n
n SdxxfSS
1
1
11 )(
故?
1n
nu 与?
1
)( dxxf 同敛散例 8 设nu 是单调增加且有界的正数数列试证明 )1(
1 1
n n
n
u
u
收敛证 记
1
1
n
n
n u
uv 则 0
1
1
n
nn
n u
uuv
且
1
1
u
uuv nn
n
而正项级数?
1
1 )(
n
nn uu 的部分和
n
k
nkkn uuuuS
1
111 )(
又nu 单调增加且有界 故由单调有界原理知
Au nnlim 存在 1li m uAS nn
即?
1
1 )(
n
nn uu 收敛 进而?
1
1
1
)(1
n
nn uuu 收敛由比较法得?
1n
nv 收敛设正数数列na 单调减少，级数?
1
1)1(
n
n
n a
发散 考察
n
n na
)1 1(
1
的敛散性证 记 n
n
n au )1
1(
由na 单调减少 0?na
故由单调有界原理知 Aa nnlim 存在且 0?A
若 0?A 由 Leibniz审敛法得 交错级数
1
1)1(
n
n
n a
收敛 与题设矛盾 0 A
nn
n n
n a
u
1
1l i ml i m 1
1
1?
A
由检根法知 n
n na
)1 1(
1
收敛例 9
已知
n
u n
n ln
1ln
lim 0?
nu
证明 ⑴ 收敛 nu1?
⑵ 发散nu1?
⑶ 的敛散性不定nu1?
由 1ln
1ln
li m
n
u n
n
知 对 1
NnN,有 1ln
1ln
q
n
u n
nqu
n
ln1ln nqu n lnln
证 ⑴
例 10
qn nu
1 而?
qn
1 收敛故由比较法知? nu 收敛
⑵ 由 1
ln
1ln
li m
n
u n
n
知 NnN 当,
有 1ln
1ln
r
n
u n
nru
n
ln1ln
nru n lnln rn nu 1
而? rn1 发散 故由比较法知? nu 发散
⑶ 如
pn nnu )( ln
1?
1
ln
)ln ( lnln
lim
ln
1ln
lim?
n
npn
n
u
n
n
n
但 收敛时 nup 1 发散时 nup 1
讨论?
1n
p
n
n
a
的敛散性 ),0( 常数ap?
解 对级数?
1n
p
n
n
a
||||)1(limlim 1 aan nuu p
nn
n
n
1||?a?
1n
p
n
n
a 收敛
1n
p
n
n
a 绝对收敛
1||?a?
1n
p
n
n
a 发散
1n
p
n
n
a 发散
1||?a 分情况说明例 11
1?a 级数成为?
1
1
n
pn
1?p 收敛 1?p 发散
1a 级数成为?
1
)1(
n
p
n
n
1?p 绝对收敛 1?p 条件收敛例 12 对,的值，研究一般项为
nnnV n
2
s i n的级数的敛散性解 ])(s i n [
nnV n
s i n ()1(
n
n
由于当 n 充分大时, )s i n ( n?定号故级数从某一项以后可视为交错级数整数当 为何值无论? 总有
|)s i n (|l im||l im nV
nnn
0|s in|
0li m nn V 级数发散整数当 nV nn s i n)1(
时当nnsin 非增地趋于 0
由 Leibniz审敛法知?
1n
nV 收敛但
||
s i n
||l i m
1
||
l i m
n
n
n
V
n
n
n
而?
1
1
n n
发散 故由比较法的极限形式时当 0
1
s i n
n n
发散
1n
nV 条件收敛
0 0?nV 级数显然收敛正项级数由级数收敛的必要条件要使 收敛必须? nu
0?nu
但在一般项趋于 0 的级数中为什么有的收敛有的却发散，
0?nu
因此从原则上讲，比较法是基础，更重要更基本，但其极限形式（包括极限审敛法）则更能说明问题的实质，使用起来也更有效的 阶问题的实质是级数收敛与否取决于关于常数项级数审敛
n
n
n u
u 1lim?
和 n nn ulim 作为 nu 变化快慢得到检比法和检根法，检比法和检根法的实质是把所论级数与某一几何级数作比较，虽然使用起来较方便但都会遇到“失效”的情况。
收敛收敛 nn uu ||
这一结论将许多级数的敛散性判定问题归结为正项级数的敛散性判定注 ① 比较法、比较法的极限形式、检比法、检根法、积分审敛法，只能对 正项级数 方可使用的一种估计
② 检比法、检根法只是 充分条件 而非必要条件
③ L— 准则也是 充分条件 而非必要条件
④ 通项中含 !,,nna nn 等常用 检比 法
⑤ 通项中含 有以 n 为指数幂的因子时 常用 检根 法
⑥ 使用比较法的极限形式时，关键在于找出与
nu 同阶或 等价的无穷小如 )s i n( nn 61s i nl i m 3 x xxn
记
nnu n
s i n
3
1
nv n? 则 同敛散与 nn vu
⑦ 当所讨论的级数中含有 参数 时，一般都要对参数的取值加以讨论
收敛级数的基本性质级数收敛的必要条件,
习题课 常数项级数审敛一、主要内容常数项级数审敛法正 项 级 数 任意项级数
1.
2.
4.充要条件
5.比较法
6.比值法
7.根值法
4.绝对收敛
5.交错级数
(莱布尼茨定理 )
3.按基本性质 ;;,则级数收敛若 SS n?;,0,则级数发散当 nun
一般项级数
4.绝对收敛
2、正项级数及其审敛法
.有界部分和所成的数列正项级数收敛 ns?
(1) 比较审敛法
(2) 比较审敛法的极限形式(3) 极限审敛法
0,0 nn vu设 nnu 与若 是同阶无穷小同敛散与则 nn vu
特别 nn vu ~若 （等价无穷小）
同敛散与则 nn vu(4) 比值审敛法 ( 达朗贝尔 D ’ Alembert 判别法 )
(5) 根值审敛法 ( 柯西判别法 )
3、交错级数及其审敛法
4、任意项级数及其审敛法
Leibniz定理绝对收敛，条件收敛附,正项级数与任意项级数审敛程序
nu
0?nu
nu 发散
N
Y
n
n
u
u 1lim
1Y
nn vu0n nlim
N
1
N
Y
nu 收敛
nv 收敛? nu 发散
nu 收敛? nv 发散
nu
0?nuN
发散? nu
Y
敛? || nu Y 绝对收敛? nu
收敛? nu
N
用检比 法 用比较法用 L— 准则或考察部分和
N
收敛? nuN Y
条件收敛例 1 求极限 n
n
n n 2!
3lim
解 考察正项级数 n
n
n nu 2!
3
n
n
n
n
nn
n
n
n
nu
u
3
2!
2)!1(
3limlim
1
1
1
10)1(2 3l im
nn
由检比法? n
n
n 2!
3 收敛由级数收敛的必要条件得 02!
3lim?
n
n
n n
二、典型例题例 2 设 0l i m ana nn 试证? na 发散证 不妨设 a > 0 由极限保号性知
N? 时当 Nn? 0?na
由于
01l i ml i m
a
n
ana n
nnn
故由比较法的极限形式得? na 发散例 3 若? nu? nv 都发散 则
A )( nn vu 必发散
B
nnvu
必发散
C |]||[| nn vu 必发散
D 以上说法都不对例 3;
)
1
(
)1(
:
1
1
n
n
n
n
n
n
n
判断级数敛散性解 n
nn
n
n
n
nn
u
)
1
(
1
,
)
1
1(
2
1
n
n
n
n
nn
n
n
n nn
1
22 ])
11[(li m)11(li m 2
;10 e
x
x
n
n xn
11 li mli m
}ln1limex p { xx
x
}1limex p { x
x;10 e
,01lim nn u
根据级数收敛的必要条件,原级数发散,?
1
).0(
)1(
)2l n ()2(
n n
a
n
a
n
解
n
a
nu n
n
n
nn 1
)2ln (limlim
,)2ln (li m1 n
n
na
,2,2 nenn 时? 从而有
,)2l n (1 nn nn,1li m nn n由于
,1)2ln (li m nn n,1l i m aun nn
,1101 时即当 aa 原级数收敛；
,1110 时即当 aa原级数发散；
,1 时当?a
,
)11(
)2l n (
1
n n
n
n原级数为
,
)11(
)2l n (lim
nn
n
n?
原级数也发散．
敛？是条件收敛还是绝对收敛？如果收敛，是否收判断级数?
1 ln
)1(
n
n
nn
例 4
解,1ln1 nnn,1
1
发散而?
n n
,ln1ln )1(
11
发散
nn
n
nnnn
即原级数非绝对收敛．
,ln)1(
1
级数是交错?
n
n
nn 由莱布尼茨定理：
x
x
n
n
xn
lnlimlnlim
,01lim
xx
,0
ln
1
1
lim
ln
1
lim?
n
n
n
nn nn
),0(ln)( xxxxf?
),1(011)( xxxf,),1( 上单增在
,ln1 单减即 xx?,1ln1 时单减当故 nnn
),1()1ln ()1( 1ln1 1 nunnnnu nn
所以此交错级数收敛,故原级数是条件收敛．
na? nc 都收敛 且 nnn cba例 5 设试证? nb 收敛证 由 nnn cba 知 nnnn acab0
因? na? nc 都收敛故正项级数 )( nn ac 收敛再由比较审敛法知 正项级数 )( nn ab 收敛而 nnnn aabb )( 即
nb 可表为两个收敛级数 之和 )( nn ab? na
故? nb 收敛例 6 设 0,0 nn ba 且
n
n
n
n
b
b
a
a 11
若? nb 收敛 则? na 也收敛证 由题设知
1
1
1
1
b
a
b
a
b
a
n
n
n
n
nn b
b
aa
1
1
而? nb 收敛 由比较法得? na 收敛
Cauchy积分审敛法设 0)( xfy 单调减少 )( nfu n? 则
1n
nu 与?
1
)( dxxf 同敛散例 7
证 由 f(x) 单调减少知
1
1 )()()1(
k
k
kk ukfdxxfkfu
即
n
k
n n
k
kk udxxfu
1
1
1 1
1 )(
n
n
n SdxxfSS
1
1
11 )(
故?
1n
nu 与?
1
)( dxxf 同敛散例 8 设nu 是单调增加且有界的正数数列试证明 )1(
1 1
n n
n
u
u
收敛证 记
1
1
n
n
n u
uv 则 0
1
1
n
nn
n u
uuv
且
1
1
u
uuv nn
n
而正项级数?
1
1 )(
n
nn uu 的部分和
n
k
nkkn uuuuS
1
111 )(
又nu 单调增加且有界 故由单调有界原理知
Au nnlim 存在 1li m uAS nn
即?
1
1 )(
n
nn uu 收敛 进而?
1
1
1
)(1
n
nn uuu 收敛由比较法得?
1n
nv 收敛设正数数列na 单调减少，级数?
1
1)1(
n
n
n a
发散 考察
n
n na
)1 1(
1
的敛散性证 记 n
n
n au )1
1(
由na 单调减少 0?na
故由单调有界原理知 Aa nnlim 存在且 0?A
若 0?A 由 Leibniz审敛法得 交错级数
1
1)1(
n
n
n a
收敛 与题设矛盾 0 A
nn
n n
n a
u
1
1l i ml i m 1
1
1?
A
由检根法知 n
n na
)1 1(
1
收敛例 9
已知
n
u n
n ln
1ln
lim 0?
nu
证明 ⑴ 收敛 nu1?
⑵ 发散nu1?
⑶ 的敛散性不定nu1?
由 1ln
1ln
li m
n
u n
n
知 对 1
NnN,有 1ln
1ln
q
n
u n
nqu
n
ln1ln nqu n lnln
证 ⑴
例 10
qn nu
1 而?
qn
1 收敛故由比较法知? nu 收敛
⑵ 由 1
ln
1ln
li m
n
u n
n
知 NnN 当,
有 1ln
1ln
r
n
u n
nru
n
ln1ln
nru n lnln rn nu 1
而? rn1 发散 故由比较法知? nu 发散
⑶ 如
pn nnu )( ln
1?
1
ln
)ln ( lnln
lim
ln
1ln
lim?
n
npn
n
u
n
n
n
但 收敛时 nup 1 发散时 nup 1
讨论?
1n
p
n
n
a
的敛散性 ),0( 常数ap?
解 对级数?
1n
p
n
n
a
||||)1(limlim 1 aan nuu p
nn
n
n
1||?a?
1n
p
n
n
a 收敛
1n
p
n
n
a 绝对收敛
1||?a?
1n
p
n
n
a 发散
1n
p
n
n
a 发散
1||?a 分情况说明例 11
1?a 级数成为?
1
1
n
pn
1?p 收敛 1?p 发散
1a 级数成为?
1
)1(
n
p
n
n
1?p 绝对收敛 1?p 条件收敛例 12 对,的值，研究一般项为
nnnV n
2
s i n的级数的敛散性解 ])(s i n [
nnV n
s i n ()1(
n
n
由于当 n 充分大时, )s i n ( n?定号故级数从某一项以后可视为交错级数整数当 为何值无论? 总有
|)s i n (|l im||l im nV
nnn
0|s in|
0li m nn V 级数发散整数当 nV nn s i n)1(
时当nnsin 非增地趋于 0
由 Leibniz审敛法知?
1n
nV 收敛但
||
s i n
||l i m
1
||
l i m
n
n
n
V
n
n
n
而?
1
1
n n
发散 故由比较法的极限形式时当 0
1
s i n
n n
发散
1n
nV 条件收敛
0 0?nV 级数显然收敛正项级数由级数收敛的必要条件要使 收敛必须? nu
0?nu
但在一般项趋于 0 的级数中为什么有的收敛有的却发散，
0?nu
因此从原则上讲，比较法是基础，更重要更基本，但其极限形式（包括极限审敛法）则更能说明问题的实质，使用起来也更有效的 阶问题的实质是级数收敛与否取决于关于常数项级数审敛
n
n
n u
u 1lim?
和 n nn ulim 作为 nu 变化快慢得到检比法和检根法，检比法和检根法的实质是把所论级数与某一几何级数作比较，虽然使用起来较方便但都会遇到“失效”的情况。
收敛收敛 nn uu ||
这一结论将许多级数的敛散性判定问题归结为正项级数的敛散性判定注 ① 比较法、比较法的极限形式、检比法、检根法、积分审敛法，只能对 正项级数 方可使用的一种估计
② 检比法、检根法只是 充分条件 而非必要条件
③ L— 准则也是 充分条件 而非必要条件
④ 通项中含 !,,nna nn 等常用 检比 法
⑤ 通项中含 有以 n 为指数幂的因子时 常用 检根 法
⑥ 使用比较法的极限形式时，关键在于找出与
nu 同阶或 等价的无穷小如 )s i n( nn 61s i nl i m 3 x xxn
记
nnu n
s i n
3
1
nv n? 则 同敛散与 nn vu
⑦ 当所讨论的级数中含有 参数 时，一般都要对参数的取值加以讨论
