1.定义,
设 ),(,),(),(
21
xuxuxu
n
是定义在 RI? 上的函数,则
)()()()(
21
1
xuxuxuxu
n
n
n
称为定义在区间 I 上的 ( 函数项 ) 无穷级数,
,1 2
0
xxx
n
n例如级数幂 级 数一、函数项级数的一般概念
2.收敛点与收敛域,
如果 Ix?0,数项级数?
1
0 )(
n
n xu 收敛,
则称 0x 为级数 )(
1
xu
n
n?
的 收敛点,
函数项级数 )(
1
xu
n
n?
的所有收敛点的全体称为 收敛域,
所有发散点的全体称为 发散域,
3.和函数,
在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 )( xs,
称 )( xs 为函数项级数的 和函数,
)()()()( 21 xuxuxuxs n(定义域是?)
函数项级数的部分和
),(xsn
余项
)()(lim xsxs nn
)()()( xsxsxr nn
0)(lim xrnn
注意
(x在收敛域上 )
函数项级数在某点 x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题,例 1 求级数
n
n
n
xn
)
1
1
(
)1(
1?
的收敛域,
解 由达朗贝尔判别法
)(
)(1
xu
xu
n
n?
xn
n
1
1
1 )(1
1
nx
,20 时或即 xx 原级数绝对收敛,
,11 1)1( x当,11 x
,11 1)2( x当,11 x
,02 时即 x原级数发散,
,1|1|)3( x当,20 xx 或
,0时当?x?
1
)1(
n
n
n级数
,2 时当x?
1
1
n n
级数
).,0[)2,(故级数的收敛域为收敛 ;
发散 ;
二、幂级数及其收敛性
1.定义,形如
n
n
n xxa )(
0
0?
的级数称为 幂级数,
,,0
0
0
n
n
n xax?
时当 其中
na 为 幂级数系数,
2.收敛性,
,1 2
0
xxx
n
n例如级数;,1 收敛时当?x ;,1 发散时当?x
);1,1(?收敛域 );,1[]1,(发散域定理 1 ( Abel 定理 )如果级数?
0n
n
n xa 在
)0( 00 xxx 处收敛,则它在满足不等式 0xx? 的一切 x 处绝对收敛 ;
如果级数?
0n
n
n xa 在 0
xx? 处发散,则它在满足不等式 0xx? 的一切 x 处发散,
证明,)1(
0
0 收敛?
n
n
n xa?,0lim 0 nnn xa
,M? ),2,1,0(0 nMxa nn使得
n
n
n
n
n
n x
xxaxa
0
0
n
n
n x
xx
0
0
n
x
xM
0
,
0 0
收敛等比级数
n
n x
xM
,1
0
时当?xx?
,
0
收敛?
n
n
n xa ;
0
收敛即级数?
n
n
n xa
,)2( 0 时发散假设当 xx?
而有一点 1x 适合 01 xx? 使级数收敛,
这与所设矛盾,
由 (1)结论 则级数当 0xx? 时应收敛,
几何说明发散区域 发散区域收敛区域
R? Ro x
这是幂级数收敛的特性推论如果幂级数?
0n
n
n
xa 不是仅在 0?x 一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数 R 存在,它具有下列性质,
当 Rx? 时,幂级数绝对收敛 ;
当 Rx? 时,幂级数发散 ;
当 RxRx 与 时,幂级数可能收敛也可能发散,
定义,正数 R称为幂级数的 收敛半径,
),,( RR? 称为幂级数的 收敛区间,
收敛域 = 收敛区间 + 收敛的端点可能是 ),,( RR? ),,[ RR? ],,( RR? ].,[ RR?
规定 ( 1 ) 幂级数只在 0?x 处收敛,
,0?R 收敛区间 0?x ;
(2) 幂级数对一切 x 都收敛,
,R 收敛区间 ),(,
问题 如何求幂级数的收敛半径?
证明 应用达朗贝尔判别法对级数?
0n
n
n xa
n
n
n
n
n xa
xa 11
l i m
xa
a
n
n
n
1lim?
,x
定理 2 如果幂级数?
0n
n
n xa 的所有系数 0?na,
设
n
n
n a
a 1
lim ( 或
n
nn al i m )
( 1 ) 则当 0 时,
1
R ;
( 3 ) 当 时,0?R,
( 2 ) 当 0 时,R ;
,)0(l i m)1( 1 存在如果
n
n
n a
a
由比值审敛法,,1|| 时当x,||
0
收敛级数?
n
n
n xa
.
0
收敛绝对从而级数?
n
n
n xa
,1|| 时当x,||
0
发散级数?
n
n
n xa
开始并且从某个 n |,||| 11 nnnn xaxa 0||?nn xa
.
0
n
n
n xa 发散从而级数
,0)2(如果,0x
),(0
1
1
n
xa
xa
n
n
n
n有
,||
0
收敛级数?
n
n
n xa
.
0
收敛绝对从而级数?
n
n
n xa ;R收敛半径
,)3(如果
,0x,
0
n
n
n xa 必发散级数
)||01(
0
收敛使知将有点否则由定理?
n
n
n xax
.0?R收敛半径 定理证毕,
① 若?
1n
n
n xa 在 x0 处收敛 则 || 0xR?
②?
1n
n
n xa 在 x0 处 发散若 则 || 0xR?
③ 若?
1n
n
n xa 在 x0 处条件收敛 则 || 0xR?
这是幂级数收敛的特性注 利用该定理求收敛半径要求所有的 0?na
或只有有限个 0?na
例 2 求下列幂级数的收敛区间,;)1()1(
1 n
x n
n
n?
;)()2(
1
n
nnx;!)3(
1
n
n
n
x,)
2
1(2)1()4(
1
n
n
n
n x
n
解 )1(
n
n
n a
a 1l i m?
1l i m n
n
n 1? 1 R
,1时当?x,)1(
1
n
n
n级数为 该级数收敛
,1时当x,1
1
n n
级数为 该级数发散故收敛区间是 ]1,1(?,;)()2(
1
n
nnx
n n
n a l i m? nn lim
,oR
级数只在 0?x 处收敛,;!)3(
1
n
n
n
x
n
n
n a
a 1l i m?
1
1l i m
nn,0?, R
收敛区间 ),(,
,
.)21(2)1()4(
1
n
n
n
n x
n
n
n
n a
a 1l i m?
1
2lim
n
n
n 2?
,21 R
,2121 收敛即x,)1,0( 收敛?x
,0时当?x,
1
1
n n
级数为 发散
,1时当?x,
)1(
1
n
n
n
级数为 收敛故收敛区间为 (0,1].
如缺项,则
n
n
n a
a 1lim?
必不存在，
但幂级数并不是没有收敛半径，此时不能套用定理，可考虑直接用比值法或根值法求收敛半径例 3 已知幂级数
n
n
n xa?
1
的收敛半径 R=1
求
n
n
n x
n
a
1 !
的收敛半径解 任取 )1,0(0?x 由 n
n
n xa 0
1
收敛知
0lim 0 nnn xa Mxa nn || 0
注：
nn
n
nn
x
x
n
xax
n
a )(
!
1
! 00
n
x
x
nM 0!
1?
由检比法易得
n
n x
x
n
M
01 !
1
收敛 ),( x
故由比较审敛法知 n
n
n x
n
a
1 !
在 ),(
故收敛半径内绝对收敛R
注意 收敛半径为 1，并不意味着 ` 1lim 1
n
n
n a
a
三、幂级数的运算
1.代数运算性质,
,21
00
RRxbxa
n
n
n
n
n
n 和的收敛半径各为和设
21,m i n RRR?
(1) 加减法
00 n
n
n
n
n
n xbxa,
0
n
n
n xcRRx,
(其中 )nnn bac
(2) 乘法
)()(
00
n
n
n
n
n
n xbxa,
0
n
n
n xcRRx,
(其中 )0110 bababac nnnn
(3) 除法 )0(
0
n
n
n xb收敛域内
0
0
n
n
n
n
n
n
xb
xa
.
0
n
n
n xc (相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多 )
2.和函数的分析运算性质,
( 1 ) 幂级数?
0n
n
n
xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续,
( 2 ) 幂级数?
0n
n
n xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可积,且对 ),( RRx 可逐项积分,
x
n
n
n
x dxxadxxs
0 00
)()(即
0 0n
x n
n dxxa,1
1
0
n
n
n x
n
a
(收敛半径不变 )
( 3 ) 幂级数?
0n
n
n xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可导,并可逐项求导任意次,
0
)()(
n
n
n xaxs即?
0
)(
n
n
n xa,
1
1?
n
n
n xna
(收敛半径不变 )例 4 求级数?
1
1)1(
n
n
n
n
x 的和函数,
解,)1()(
1
1?
n
n
n
n
xxs?
,0)0(?s显然
21)( xxxs,1 1 x )11( x
两边积分得 )1l n ()(0 xdttsx
)1l n ()0()( xsxs即 ),1l n ()( xxs
,1 时又?x,
1)1(
1
1 收敛?
n
n
n
).1l n ()1(
1
1 x
n
x
n
n
n
)11( x
例 5 求和函数?
1
)1(
n
nxnn
解 收敛域为 11 x
记
1 1
1)1()1(
n n
nn xnnxxnn
1
1)1()(
n
nxnnxs 11 x
则
x
dxxsxs
0
1 )()(?
1
)1(
n
nxn
x
dxxs
0
1 )(?
1
1
n
nx
x
x
1
2
11 x
并求?
1 2
)1(
n
n
nn
的和
)()( 1 xsxs 3)1( 2x
故
3
1 )1(
2)1(
x
xxnn
n
n
2)1(
11
x 11 x
故
]
1
11[
1
11)( 2
1
x
x
x
xxs
82 )1(
1
n
n
nn
常用已知和函数的幂级数;1 1)1(
0 x
x
n
n
;1 1)1()2( 2
0
2
xxn
nn
;1 1)3( 2
0
2
xxn
n
;!)4(
0
x
n
n
enx
;sin)!12()1()5(
1
12
1 x
n
x
n
n
n?
);1l n (1)1()6(
0
1
xnx
n
n
n
记住几个常见级数的和
0 1
)1(
n
n
q
aaq
)1|(|?q
2ln)1()2(
1
1
n
n
n
6
1)3( 2
1
2
n n 12
)1()4( 2
1
2
1?
n
n
n
常数项级数求和的一种重要方法幂级数法或 Abel法四、小结
1.函数项级数的概念,
2.幂级数的收敛性,收敛半径 R
3.幂级数的运算,分析运算性质思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？
思考题解答不一定,
例,)(
1
2?
n
n
n
xxf,)(
1
1
n
n
n
xxf
,)1()(
2
2
n
n
n
xnxf 它们的收敛半径都是 1,
但它们的收敛域各是 )1,1(),1,1[],1,1[
练 习 题一,求下列幂级数的收敛区间,
1,?
)2(42422
2
n
xxx
n；
2,
n
n
x
n
xx
1
2
5
2
2
2
2
2
2；
3,?
1
22
2
12
n
n
n
x
n；
4,)0,0(
1
ba
ba
x
n
nn
n
.
二,利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数,
1,?
1
1
n
n
nx ；
2,
1253
1253
n
xxx
x
n
,
练习题答案一,1,),( ；
2,]
2
1
,
2
1
[? ；
3,)2,2(? ；
4,
),( cc?
,其中 0,m a x bac,
二,1,)11(
)1(
1
2
x
x；
2,)11(
1
1
ln
2
1
x
x
x
,
设 ),(,),(),(
21
xuxuxu
n
是定义在 RI? 上的函数,则
)()()()(
21
1
xuxuxuxu
n
n
n
称为定义在区间 I 上的 ( 函数项 ) 无穷级数,
,1 2
0
xxx
n
n例如级数幂 级 数一、函数项级数的一般概念
2.收敛点与收敛域,
如果 Ix?0,数项级数?
1
0 )(
n
n xu 收敛,
则称 0x 为级数 )(
1
xu
n
n?
的 收敛点,
函数项级数 )(
1
xu
n
n?
的所有收敛点的全体称为 收敛域,
所有发散点的全体称为 发散域,
3.和函数,
在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 )( xs,
称 )( xs 为函数项级数的 和函数,
)()()()( 21 xuxuxuxs n(定义域是?)
函数项级数的部分和
),(xsn
余项
)()(lim xsxs nn
)()()( xsxsxr nn
0)(lim xrnn
注意
(x在收敛域上 )
函数项级数在某点 x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题,例 1 求级数
n
n
n
xn
)
1
1
(
)1(
1?
的收敛域,
解 由达朗贝尔判别法
)(
)(1
xu
xu
n
n?
xn
n
1
1
1 )(1
1
nx
,20 时或即 xx 原级数绝对收敛,
,11 1)1( x当,11 x
,11 1)2( x当,11 x
,02 时即 x原级数发散,
,1|1|)3( x当,20 xx 或
,0时当?x?
1
)1(
n
n
n级数
,2 时当x?
1
1
n n
级数
).,0[)2,(故级数的收敛域为收敛 ;
发散 ;
二、幂级数及其收敛性
1.定义,形如
n
n
n xxa )(
0
0?
的级数称为 幂级数,
,,0
0
0
n
n
n xax?
时当 其中
na 为 幂级数系数,
2.收敛性,
,1 2
0
xxx
n
n例如级数;,1 收敛时当?x ;,1 发散时当?x
);1,1(?收敛域 );,1[]1,(发散域定理 1 ( Abel 定理 )如果级数?
0n
n
n xa 在
)0( 00 xxx 处收敛,则它在满足不等式 0xx? 的一切 x 处绝对收敛 ;
如果级数?
0n
n
n xa 在 0
xx? 处发散,则它在满足不等式 0xx? 的一切 x 处发散,
证明,)1(
0
0 收敛?
n
n
n xa?,0lim 0 nnn xa
,M? ),2,1,0(0 nMxa nn使得
n
n
n
n
n
n x
xxaxa
0
0
n
n
n x
xx
0
0
n
x
xM
0
,
0 0
收敛等比级数
n
n x
xM
,1
0
时当?xx?
,
0
收敛?
n
n
n xa ;
0
收敛即级数?
n
n
n xa
,)2( 0 时发散假设当 xx?
而有一点 1x 适合 01 xx? 使级数收敛,
这与所设矛盾,
由 (1)结论 则级数当 0xx? 时应收敛,
几何说明发散区域 发散区域收敛区域
R? Ro x
这是幂级数收敛的特性推论如果幂级数?
0n
n
n
xa 不是仅在 0?x 一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数 R 存在,它具有下列性质,
当 Rx? 时,幂级数绝对收敛 ;
当 Rx? 时,幂级数发散 ;
当 RxRx 与 时,幂级数可能收敛也可能发散,
定义,正数 R称为幂级数的 收敛半径,
),,( RR? 称为幂级数的 收敛区间,
收敛域 = 收敛区间 + 收敛的端点可能是 ),,( RR? ),,[ RR? ],,( RR? ].,[ RR?
规定 ( 1 ) 幂级数只在 0?x 处收敛,
,0?R 收敛区间 0?x ;
(2) 幂级数对一切 x 都收敛,
,R 收敛区间 ),(,
问题 如何求幂级数的收敛半径?
证明 应用达朗贝尔判别法对级数?
0n
n
n xa
n
n
n
n
n xa
xa 11
l i m
xa
a
n
n
n
1lim?
,x
定理 2 如果幂级数?
0n
n
n xa 的所有系数 0?na,
设
n
n
n a
a 1
lim ( 或
n
nn al i m )
( 1 ) 则当 0 时,
1
R ;
( 3 ) 当 时,0?R,
( 2 ) 当 0 时,R ;
,)0(l i m)1( 1 存在如果
n
n
n a
a
由比值审敛法,,1|| 时当x,||
0
收敛级数?
n
n
n xa
.
0
收敛绝对从而级数?
n
n
n xa
,1|| 时当x,||
0
发散级数?
n
n
n xa
开始并且从某个 n |,||| 11 nnnn xaxa 0||?nn xa
.
0
n
n
n xa 发散从而级数
,0)2(如果,0x
),(0
1
1
n
xa
xa
n
n
n
n有
,||
0
收敛级数?
n
n
n xa
.
0
收敛绝对从而级数?
n
n
n xa ;R收敛半径
,)3(如果
,0x,
0
n
n
n xa 必发散级数
)||01(
0
收敛使知将有点否则由定理?
n
n
n xax
.0?R收敛半径 定理证毕,
① 若?
1n
n
n xa 在 x0 处收敛 则 || 0xR?
②?
1n
n
n xa 在 x0 处 发散若 则 || 0xR?
③ 若?
1n
n
n xa 在 x0 处条件收敛 则 || 0xR?
这是幂级数收敛的特性注 利用该定理求收敛半径要求所有的 0?na
或只有有限个 0?na
例 2 求下列幂级数的收敛区间,;)1()1(
1 n
x n
n
n?
;)()2(
1
n
nnx;!)3(
1
n
n
n
x,)
2
1(2)1()4(
1
n
n
n
n x
n
解 )1(
n
n
n a
a 1l i m?
1l i m n
n
n 1? 1 R
,1时当?x,)1(
1
n
n
n级数为 该级数收敛
,1时当x,1
1
n n
级数为 该级数发散故收敛区间是 ]1,1(?,;)()2(
1
n
nnx
n n
n a l i m? nn lim
,oR
级数只在 0?x 处收敛,;!)3(
1
n
n
n
x
n
n
n a
a 1l i m?
1
1l i m
nn,0?, R
收敛区间 ),(,
,
.)21(2)1()4(
1
n
n
n
n x
n
n
n
n a
a 1l i m?
1
2lim
n
n
n 2?
,21 R
,2121 收敛即x,)1,0( 收敛?x
,0时当?x,
1
1
n n
级数为 发散
,1时当?x,
)1(
1
n
n
n
级数为 收敛故收敛区间为 (0,1].
如缺项,则
n
n
n a
a 1lim?
必不存在，
但幂级数并不是没有收敛半径，此时不能套用定理，可考虑直接用比值法或根值法求收敛半径例 3 已知幂级数
n
n
n xa?
1
的收敛半径 R=1
求
n
n
n x
n
a
1 !
的收敛半径解 任取 )1,0(0?x 由 n
n
n xa 0
1
收敛知
0lim 0 nnn xa Mxa nn || 0
注：
nn
n
nn
x
x
n
xax
n
a )(
!
1
! 00
n
x
x
nM 0!
1?
由检比法易得
n
n x
x
n
M
01 !
1
收敛 ),( x
故由比较审敛法知 n
n
n x
n
a
1 !
在 ),(
故收敛半径内绝对收敛R
注意 收敛半径为 1，并不意味着 ` 1lim 1
n
n
n a
a
三、幂级数的运算
1.代数运算性质,
,21
00
RRxbxa
n
n
n
n
n
n 和的收敛半径各为和设
21,m i n RRR?
(1) 加减法
00 n
n
n
n
n
n xbxa,
0
n
n
n xcRRx,
(其中 )nnn bac
(2) 乘法
)()(
00
n
n
n
n
n
n xbxa,
0
n
n
n xcRRx,
(其中 )0110 bababac nnnn
(3) 除法 )0(
0
n
n
n xb收敛域内
0
0
n
n
n
n
n
n
xb
xa
.
0
n
n
n xc (相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多 )
2.和函数的分析运算性质,
( 1 ) 幂级数?
0n
n
n
xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续,
( 2 ) 幂级数?
0n
n
n xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可积,且对 ),( RRx 可逐项积分,
x
n
n
n
x dxxadxxs
0 00
)()(即
0 0n
x n
n dxxa,1
1
0
n
n
n x
n
a
(收敛半径不变 )
( 3 ) 幂级数?
0n
n
n xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可导,并可逐项求导任意次,
0
)()(
n
n
n xaxs即?
0
)(
n
n
n xa,
1
1?
n
n
n xna
(收敛半径不变 )例 4 求级数?
1
1)1(
n
n
n
n
x 的和函数,
解,)1()(
1
1?
n
n
n
n
xxs?
,0)0(?s显然
21)( xxxs,1 1 x )11( x
两边积分得 )1l n ()(0 xdttsx
)1l n ()0()( xsxs即 ),1l n ()( xxs
,1 时又?x,
1)1(
1
1 收敛?
n
n
n
).1l n ()1(
1
1 x
n
x
n
n
n
)11( x
例 5 求和函数?
1
)1(
n
nxnn
解 收敛域为 11 x
记
1 1
1)1()1(
n n
nn xnnxxnn
1
1)1()(
n
nxnnxs 11 x
则
x
dxxsxs
0
1 )()(?
1
)1(
n
nxn
x
dxxs
0
1 )(?
1
1
n
nx
x
x
1
2
11 x
并求?
1 2
)1(
n
n
nn
的和
)()( 1 xsxs 3)1( 2x
故
3
1 )1(
2)1(
x
xxnn
n
n
2)1(
11
x 11 x
故
]
1
11[
1
11)( 2
1
x
x
x
xxs
82 )1(
1
n
n
nn
常用已知和函数的幂级数;1 1)1(
0 x
x
n
n
;1 1)1()2( 2
0
2
xxn
nn
;1 1)3( 2
0
2
xxn
n
;!)4(
0
x
n
n
enx
;sin)!12()1()5(
1
12
1 x
n
x
n
n
n?
);1l n (1)1()6(
0
1
xnx
n
n
n
记住几个常见级数的和
0 1
)1(
n
n
q
aaq
)1|(|?q
2ln)1()2(
1
1
n
n
n
6
1)3( 2
1
2
n n 12
)1()4( 2
1
2
1?
n
n
n
常数项级数求和的一种重要方法幂级数法或 Abel法四、小结
1.函数项级数的概念,
2.幂级数的收敛性,收敛半径 R
3.幂级数的运算,分析运算性质思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？
思考题解答不一定,
例,)(
1
2?
n
n
n
xxf,)(
1
1
n
n
n
xxf
,)1()(
2
2
n
n
n
xnxf 它们的收敛半径都是 1,
但它们的收敛域各是 )1,1(),1,1[],1,1[
练 习 题一,求下列幂级数的收敛区间,
1,?
)2(42422
2
n
xxx
n；
2,
n
n
x
n
xx
1
2
5
2
2
2
2
2
2；
3,?
1
22
2
12
n
n
n
x
n；
4,)0,0(
1
ba
ba
x
n
nn
n
.
二,利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数,
1,?
1
1
n
n
nx ；
2,
1253
1253
n
xxx
x
n
,
练习题答案一,1,),( ；
2,]
2
1
,
2
1
[? ；
3,)2,2(? ；
4,
),( cc?
,其中 0,m a x bac,
二,1,)11(
)1(
1
2
x
x；
2,)11(
1
1
ln
2
1
x
x
x
,
