一阶线性微分方程 的标准形式,)()( xQyxP
dx
dy
,0)(?xQ当 上方程称为 齐次的,
,0)(?xQ当 上方程称为 非齐次的,
例如,2xydxdy,s i n 2ttxdtdx 线性的 ;
,32 xyyy,1c o s yy 非线性的,
一阶线性微分方程一、线性方程一阶线性微分方程的 解法
1,线性齐次方程,0)( yxPdxdy
(使用分离变量法 )
,)( dxxPydy,)( dxxPydy
,ln)(ln CdxxPy
齐次方程的通解为,)( dxxPCey
2,线性非齐次方程 ).()( xQyxPdxdy
讨论,)(
)( dxxP
y
xQ
y
dy
两边积分,)(
)(ln dxxPdx
y
xQy
),()( xvdxyxQ 为设?,)()(ln dxxPxvy
.)()( dxxPxv eey即 非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比 )( xuC?
常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,
实质,未知函数的变量代换,
),()( xyxu 原未知函数新未知函数?
作变换 dxxPexuy )()(
,)]()[()( )()( dxxPdxxP exPxuexuy
代入原方程得和将 yy? ),()( )( xQexu dxxP
积分得,)()(
)( CdxexQxu dxxP
一阶线性非齐次微分方程的通解为,
dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([
dxexQeCe dxxPdxxPdxxP )()()( )(
对应齐次方程通解非齐次方程特解非齐次线性方程的通解 相应齐方程的通解等于与非齐次方程的一个特解之和即 非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解
—— 线性微分方程 解的结构,是很优良的性质。
例 1,
s i n1 的通解求方程
x
xy
xy
解,1)( xxP?,s i n)(
x
xxQ?
Cdxe
x
x
ey
dx
x
dx
x
11 s i n
Cx d xx s i n1.co s
1 Cx
x
Cdxe
x
xe xx lnln s i n
解方程
2
5
)1(12 xx ydxdy
解 相应齐方程 12 x ydxdy
解得 2)1( xcy
令 2)1)(( xxcy
例 2
代入非齐方程
)1)((2)1)(( 2 xxcxxc
2
5
2 )1(
1
1)1)((2
xxxxc
2
1
)1()( xxc
解得 cxxc 2
3
)1(32)(
故非齐次方程的通解为
])1(
3
2[)1( 232 cxxy
例 3 解方程 12)1( 2 yxyx
解 这是一个二阶线性方程 由于其中不含变量 y
若令 yz zy
12)1( 2 xzzx
化成一阶线性方程 其通解为 211 xcxz
即 211 xcxy 再积分
21
2 a rct a n)1l n (
2
1 cxcxy
即为原二阶方程的通解例 4 如图所示，平行与 轴的动直线被曲线 与 截下的线段 PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线,
y
)( xfy? )0(3 xxy
)(xf
解,)()( 230 yxdxxfx
x yxy d x0 3,
x
y
o x
P
Q 3xy?
)( xfy?两边求导得,3 2xyy
解此微分方程
23 xyy
dxexCey dxdx 23
,663 2 xxCe x
,0| 0xy由,6C得所求曲线为 ).222(3 2 xxey x
一阶线性微分方程的通解也可写成
dxexQCey
x
x
dxxPdxxP
x
x
x
x?
0
00
)()(
)([
方程 )()()()( xQyfxPdxdyyf
令 )( yfz? )()( xQzxPdxdz
即化为一阶线性微分方程注二、伯努利方程伯努利 (Bernoulli)方程的标准形式
nyxQyxP
dx
dy )()(
)1,0(?n
时，当 1,0?n 方程为 线性微分方程,
时，当 1,0?n 方程为 非线性微分方程,
解法,需经过变量代换化为线性微分方程,
，得两端除以 ny ),()( 1 xQyxPdxdyy nn
,1 nyz令,则 dxdyyndxdz n )1(
代入上式 ),()1()()1( xQnzxPndxdz
求出通解后，将 代入即得 nyz 1
.))1)(((
)()1()()1(
1
CdxenxQe
zy
dxxPndxxPn
n
例 5,
4 2 的通解求方程 yxy
xdx
dy
解,得两端除以 y,41 2xyxdxdyy
,yz?令,
42 2xz
xdx
dz
,22 Cxxz解得,2
2
4?
Cxxy即例 6 用适当的变量代换解下列微分方程,;22.1 22 xxexyyy
解,21 1
2 yxexyy x
,2)1(1 yyz令,2 dxdyydxdz?则
,2 2xxexzdxdz ][ 22 2 Cdxexeez x d xxx d x
所求通解为 ).2(
2
2 2 Cxey x;)(s i n 1.2 2 xyxyxdxdy
解,dxdyxydxdz则
,s i n1))(s i n 1( 22 zxyxyxxydxdz
分离变量法得,42s i n2 Cxzz
,代回将 xyz?
所求通解为,4)2s i n(2 Cxxyxy
,xyz?令;1.3 yxdxdy
解,uyx令,1 dxdudxdy则代入原式,11 udxdu
分离变量法得,)1l n( Cxuu
,代回将 yxu 所求通解为
,)1l n( Cyxy 11 yeCx y或另解,yxdy
dx方程变形为注利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是求解微分方程的一种最常用的思想方法如 齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程,Bernoulli 方程等都是通过变量代换来求解方程的。
将 ),( yxfdxdy? 变换为 ),( 1 yxfdydx?
也是经常可以考虑的三、小结
1.齐次方程 )( xyfy ;xuy?令
2.线性非齐次方程 ;)( )( dxxPexuy令
3.伯努利方程 ;1 zy n令思考题求微分方程 的通解,yxyy
yy
s i n2s i nc o s
c o s
思考题解答
y
yxyy
dy
dx
c o s
s i n2s i nc o s,ta n2s i n yxy
,2s i nt a n yxydydx
Cdyeyex yy c o slnc o sln 2s i n
Cdy
y
yyy
co s
co ss i n2co s
.c o s2c o s yCy
练 习 题一、求下列微分方程的通解,
1,
x
exyy
s i n
c o s
；
2,0)ln(ln dyyxy d xy ；
3,02)6(
2
y
dx
dy
xy,
二,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1,4,5c o t
2
c o s
x
x
yexy
dx
dy；
2,
.0,1
32
13
2
x
yy
x
x
dx
dy
三、设有一质 的量为 m 质点作直线运动从速度等于零的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正比 ( 比例
1
k系数为 ) 的力作用于它,此外还受一与速度成正比 ( 比例
2
k系数为 ) 的阻力作用,求质点运动的速度与时间的函数关系,
四,求下列伯努利方程的通解,
1,
2
1
2
1
2
1
yxy
x
y
；
2,0)]ln1([
3
dxxxyyxdy,
五,用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程,然后求出通解,
1,1
1
yxdx
dy；
2,1c o ss i n2s i n)1(s i n2
22
xxxyxyy ；
3,
x
y
xyxdx
dy
)(s i n
1
2
.
六,已知微分方程
)( xgyy
,其中
0,0
10,2
)(
x
x
xg,试求一连续函数
)( xyy?
,满足条件
0)0(?y
,且在区间
),0[
满足上述方程,
练习题答案一,1,
x
eCxy
s i n
)(
；
2,Cyyx
2
lnln2 ；
3,
23
2
1
yCyx,
二,1,15s i n
c o s
x
exy ；
2,
1
1
33
2
2
x
exxy,
三,)1(
0
2
2
1
2
1
t
m
k
e
k
mk
t
k
k
v
,
四,1,Cxxy ；
2,)
3
2
(l n
3
2
3
2
2
xxC
y
x
,
五,1,Cxyx 2)(
2；
2,
Cx
xy
1
s i n1 ；
3,Cxxyxy 4)2s i n (2,
六、
1,)1(2
10,)1(2
)(
xee
xe
xyy
x
x
.
dx
dy
,0)(?xQ当 上方程称为 齐次的,
,0)(?xQ当 上方程称为 非齐次的,
例如,2xydxdy,s i n 2ttxdtdx 线性的 ;
,32 xyyy,1c o s yy 非线性的,
一阶线性微分方程一、线性方程一阶线性微分方程的 解法
1,线性齐次方程,0)( yxPdxdy
(使用分离变量法 )
,)( dxxPydy,)( dxxPydy
,ln)(ln CdxxPy
齐次方程的通解为,)( dxxPCey
2,线性非齐次方程 ).()( xQyxPdxdy
讨论,)(
)( dxxP
y
xQ
y
dy
两边积分,)(
)(ln dxxPdx
y
xQy
),()( xvdxyxQ 为设?,)()(ln dxxPxvy
.)()( dxxPxv eey即 非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比 )( xuC?
常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,
实质,未知函数的变量代换,
),()( xyxu 原未知函数新未知函数?
作变换 dxxPexuy )()(
,)]()[()( )()( dxxPdxxP exPxuexuy
代入原方程得和将 yy? ),()( )( xQexu dxxP
积分得,)()(
)( CdxexQxu dxxP
一阶线性非齐次微分方程的通解为,
dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([
dxexQeCe dxxPdxxPdxxP )()()( )(
对应齐次方程通解非齐次方程特解非齐次线性方程的通解 相应齐方程的通解等于与非齐次方程的一个特解之和即 非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解
—— 线性微分方程 解的结构,是很优良的性质。
例 1,
s i n1 的通解求方程
x
xy
xy
解,1)( xxP?,s i n)(
x
xxQ?
Cdxe
x
x
ey
dx
x
dx
x
11 s i n
Cx d xx s i n1.co s
1 Cx
x
Cdxe
x
xe xx lnln s i n
解方程
2
5
)1(12 xx ydxdy
解 相应齐方程 12 x ydxdy
解得 2)1( xcy
令 2)1)(( xxcy
例 2
代入非齐方程
)1)((2)1)(( 2 xxcxxc
2
5
2 )1(
1
1)1)((2
xxxxc
2
1
)1()( xxc
解得 cxxc 2
3
)1(32)(
故非齐次方程的通解为
])1(
3
2[)1( 232 cxxy
例 3 解方程 12)1( 2 yxyx
解 这是一个二阶线性方程 由于其中不含变量 y
若令 yz zy
12)1( 2 xzzx
化成一阶线性方程 其通解为 211 xcxz
即 211 xcxy 再积分
21
2 a rct a n)1l n (
2
1 cxcxy
即为原二阶方程的通解例 4 如图所示，平行与 轴的动直线被曲线 与 截下的线段 PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线,
y
)( xfy? )0(3 xxy
)(xf
解,)()( 230 yxdxxfx
x yxy d x0 3,
x
y
o x
P
Q 3xy?
)( xfy?两边求导得,3 2xyy
解此微分方程
23 xyy
dxexCey dxdx 23
,663 2 xxCe x
,0| 0xy由,6C得所求曲线为 ).222(3 2 xxey x
一阶线性微分方程的通解也可写成
dxexQCey
x
x
dxxPdxxP
x
x
x
x?
0
00
)()(
)([
方程 )()()()( xQyfxPdxdyyf
令 )( yfz? )()( xQzxPdxdz
即化为一阶线性微分方程注二、伯努利方程伯努利 (Bernoulli)方程的标准形式
nyxQyxP
dx
dy )()(
)1,0(?n
时，当 1,0?n 方程为 线性微分方程,
时，当 1,0?n 方程为 非线性微分方程,
解法,需经过变量代换化为线性微分方程,
，得两端除以 ny ),()( 1 xQyxPdxdyy nn
,1 nyz令,则 dxdyyndxdz n )1(
代入上式 ),()1()()1( xQnzxPndxdz
求出通解后，将 代入即得 nyz 1
.))1)(((
)()1()()1(
1
CdxenxQe
zy
dxxPndxxPn
n
例 5,
4 2 的通解求方程 yxy
xdx
dy
解,得两端除以 y,41 2xyxdxdyy
,yz?令,
42 2xz
xdx
dz
,22 Cxxz解得,2
2
4?
Cxxy即例 6 用适当的变量代换解下列微分方程,;22.1 22 xxexyyy
解,21 1
2 yxexyy x
,2)1(1 yyz令,2 dxdyydxdz?则
,2 2xxexzdxdz ][ 22 2 Cdxexeez x d xxx d x
所求通解为 ).2(
2
2 2 Cxey x;)(s i n 1.2 2 xyxyxdxdy
解,dxdyxydxdz则
,s i n1))(s i n 1( 22 zxyxyxxydxdz
分离变量法得,42s i n2 Cxzz
,代回将 xyz?
所求通解为,4)2s i n(2 Cxxyxy
,xyz?令;1.3 yxdxdy
解,uyx令,1 dxdudxdy则代入原式,11 udxdu
分离变量法得,)1l n( Cxuu
,代回将 yxu 所求通解为
,)1l n( Cyxy 11 yeCx y或另解,yxdy
dx方程变形为注利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是求解微分方程的一种最常用的思想方法如 齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程,Bernoulli 方程等都是通过变量代换来求解方程的。
将 ),( yxfdxdy? 变换为 ),( 1 yxfdydx?
也是经常可以考虑的三、小结
1.齐次方程 )( xyfy ;xuy?令
2.线性非齐次方程 ;)( )( dxxPexuy令
3.伯努利方程 ;1 zy n令思考题求微分方程 的通解,yxyy
yy
s i n2s i nc o s
c o s
思考题解答
y
yxyy
dy
dx
c o s
s i n2s i nc o s,ta n2s i n yxy
,2s i nt a n yxydydx
Cdyeyex yy c o slnc o sln 2s i n
Cdy
y
yyy
co s
co ss i n2co s
.c o s2c o s yCy
练 习 题一、求下列微分方程的通解,
1,
x
exyy
s i n
c o s
；
2,0)ln(ln dyyxy d xy ；
3,02)6(
2
y
dx
dy
xy,
二,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1,4,5c o t
2
c o s
x
x
yexy
dx
dy；
2,
.0,1
32
13
2
x
yy
x
x
dx
dy
三、设有一质 的量为 m 质点作直线运动从速度等于零的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正比 ( 比例
1
k系数为 ) 的力作用于它,此外还受一与速度成正比 ( 比例
2
k系数为 ) 的阻力作用,求质点运动的速度与时间的函数关系,
四,求下列伯努利方程的通解,
1,
2
1
2
1
2
1
yxy
x
y
；
2,0)]ln1([
3
dxxxyyxdy,
五,用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程,然后求出通解,
1,1
1
yxdx
dy；
2,1c o ss i n2s i n)1(s i n2
22
xxxyxyy ；
3,
x
y
xyxdx
dy
)(s i n
1
2
.
六,已知微分方程
)( xgyy
,其中
0,0
10,2
)(
x
x
xg,试求一连续函数
)( xyy?
,满足条件
0)0(?y
,且在区间
),0[
满足上述方程,
练习题答案一,1,
x
eCxy
s i n
)(
；
2,Cyyx
2
lnln2 ；
3,
23
2
1
yCyx,
二,1,15s i n
c o s
x
exy ；
2,
1
1
33
2
2
x
exxy,
三,)1(
0
2
2
1
2
1
t
m
k
e
k
mk
t
k
k
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,
四,1,Cxxy ；
2,)
3
2
(l n
3
2
3
2
2
xxC
y
x
,
五,1,Cxyx 2)(
2；
2,
Cx
xy
1
s i n1 ；
3,Cxxyxy 4)2s i n (2,
六、
1,)1(2
10,)1(2
)(
xee
xe
xyy
x
x
.
