微分方程的幂级数解法一、问题的提出
,22 yxdxdy例如解不能用初等函数或其积分式表达,
寻求近似解法,幂级数解法 ;
数值解法,
雅卡比逐次逼近法 ;
二,特解求法 ),( yxfdx
dy?
问题,),( 00 的特解满足求 yyyxfdxdy xx
.)()(
)()(),(
00
00101000
ml
lm yyxxa
yyaxxaayxf


其中
,0 的幂级数假设所求特解可展开为 xx?
202010 )()( xxaxxayy
.,,,,21 为待定的系数其中 naaa
.0| 02 的特解满足求xyyxdxdy
解,00?x?,00?y
,33221 nn xaxaxaxay设方程的幂级数展开式带入原将 yy?,
342321 432 xaxaxaa
24433221 )( xaxaxaxax
,32 123121nn xnaxaxaay
例 1
,,201,0,0,21,0 54321 aaaaa
.20121 52 xxy所求解为
43122321221 )2(2 xaaaxaaxax
比较恒等式两端 x的同次幂的系数,得小结,无初始条件求解


1n
n
n xaCy可设 (C是任意常数 )
如果方程 0)()( yxQyxPy 中的系数
)( xP 与 )( xQ 可在 RxR 内展为 x 的幂级数,
那么在 RxR 内原方程必有形如
n
n
n
xay?
0
的解,
定理三、二阶齐次线性方程幂级数求法作法,
0

n
n
n xay设解为的幂级数，展开为将 0)(),(),( xxxfxQxP?
比较恒等式两端 x的同次幂的系数,确定 y.
.0 的解求方程 yyxy
,
0
n
n
n xay?
设方程的解为解例 2
,1
0
n
n
n xnay则
2
1
)1(?
n
n
n xanny
,0,, yyxyyyy 带入将
,)1)(2(
0
2
n
n
n xann?

,0
0

n
n
n xa
1
0

n
n
n xnax
n
n
n xann?

0
2)1)(2(
,0])1()1)(2[(
0
2
n
n
nn xanann
,22 n aa nn?,2,1,0?n
,313 aa?,1515 aa,!)!12( 112 k aa k
,3,2,1?k
,202 aa?,804 aa,2! 02 kk k
aa?
原方程的通解




0
12
1
0
2
0 !)!12(!2
n
n
n
n
n
n
xa
n
xay
),( 10 是任意常数aa
四、小结 微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特征方程法待定系数法非全微分方程非变量可分离幂级数解法降阶作变换作变换积分因子思考题什么情况下采用“幂级数”解法求解微分方程？
思考题解答当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时,常用幂级数解法,