如果在区域 G内有
1L Q d yP d x
2L
Q d yP d x
y
xo
G1L
2L?
A
B
则称曲线积分L Q d yP d x 在 G 内 与路径无关,
否则与路径有关,
Green 公式（ 2）
一、曲线积分与路径无关的定义二、曲线积分与路径无关的条件设开区域 G 是一个单连通域,函数
),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导数,
则曲线积分
L
Q d yPd x 在 G 内与路径无关
（或沿 G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是
x
Q
y
P
在 G 内恒成立,
定理 2
有关定理的说明：
(1) 开区域 G 是一个单连通域,
(2 ) 函数 ),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导数,
两条件缺一不可如
L yx
yd xx d y
22 2222,yx
xQ
yx
yP
x
Q
yx
xy
y
P
22
22
在原点 处不连续 )0,0(O
若 L 不经过也不包围原点，则 L所围区域为单连通域偏导数也连续
L yx
yd xx d y
22 0?
若 L 包围原点在其内，偏导数不连续则以原点为心，充分小的 r 为半径作一正向小圆周?
在 L和 所围成的区域内，偏导数连续?
但区域已不再是单连域
L yx
yd xx d y
22?2 其中正、负号取决于 L的方向三、二元函数的全微分求积设开区域 G 是一个单连通域,函数
),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导数,则 dyyxQdxyxP ),(),(? 在 G 内为某一函数 ),( yxu 的全微分的充要条件是等式
x
Q
y
P
在 G 内恒成立,
定理 3
x
Q
y
P
若
x
y
o
),( 00 yxA?
),( 11 yxB?
),( 01 yxC?
),( ),( 11 00 yxB yxA Q d yP d x则
dyyxQdxyxP yyxx ),(),( 1
0
1
0 10
dxyxPdyyxQ xxyy ),(),( 1
0
1
0 10
或例 1 计算
L
dyyxdxxyx )()2( 422,其中
L 为由点 )0,0(O 到点 )1,1(B 的曲线弧
2
s i n
x
y
,
解
xxyx
yy
P
2)2(
2
xyx
xx
Q
2)(
42
x
Q
y
P
,
原积分与路径无关故原式
1
0
1
0
42 )1( dyydxx.
15
23?
例 2 设曲线积分
L
dyxydxxy )(
2
与路径无关,其中? 具有连续的导数,且 0)0(,
计算
)1,1(
)0,0(
2
)( dyxydxxy,
解,),( 2xyyxP? ),(),( xyyxQ
,2)( 2 xyxyyyP ),()]([ xyxyxxQ
积分与路径无关 xQyP,
由 xyxy 2)( cxx 2)(
由 0)0(,知 0?c 2)( xx,
故)1,1( )0,0( 2 )( dyxydxxy
1010 0 y d ydx,21?
四、小结与路径无关的四个等价命题条件在单连通开区域 D 上 ),(),,( yxQyxP 具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立,
等价命题
L Q d yP d xD 与路径无关内在)1(
C DCQd yP d x 闭曲线,0)2( Q d yP d xduyxUD使内存在在 ),()3(
x
Q
y
PD
,)4( 内在练 习 题一,填空题,
1,设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数
),(,),( yxQyxP 及在 D 上具有一阶连续偏导数,则有?
D
d x d y
y
P
x
Q
)( ___ __ ___ __ __ ___ _ ；
2,设
D
为平面上的一个单连通域,函数
),(,),( yxQyxP 在
D
内有一阶连续偏导数,则
L
Q d yP d x 在
D
内与路径无关的充要条件是
___ __ ___ __ ___ __ 在
D
内处处成立；
3,设
D
为由分段光滑的曲线
L
所围成的闭区域,其面积为 5,又 ),( yxP 及 ),( yxQ 在
D
上有一阶连续偏导数,且 1?
x
Q
,
1
y
P
,则
L
Q d yPd x ___,
二,计算
L
dyyxdxxxy )()2(
22
其中 L 是由抛物线
2
xy? 和 xy?
2
所围成的区域的正向边界曲线,并验证格林公式的正确性,
三,利用曲线积分,求星形线 taytax
33
s i n,c o s 所围成的图形的面积,
四、证明曲线积分
)4,3(
)2,1(
2232
)36()6( dyxyyxdxyxy 在整个 x o y 面内与路径无关,并计算积分值,
五、利用格林公式,计算下列曲线积分,
1,
L
dyyxdxyx )si n()( 22 其中 L 是在圆周
22 xxy 上由点 (0,0) 到点 (1,1) 的一段弧；
2,求曲线积分
A MB
dyyxdxyxI
22
1
)()( 和
A N B
dyyxdxyxI
22
2
)()( 的差,其中 A M B
是过原点和 )1,1(A,)6,2(B 且其对称轴垂直于 x
轴的抛物线上的弧段,A M B 是连接
BA,
的线段,
六、计算
L
yx
y d xx d y
22
,其中
L
为不经过原点的光滑闭曲线,( 取逆时针方向 )
七、验证 yxxdxxyyx
2322
8()83( dyye
y
)12? 在整个 x o y 平面内是某一函数
),( yxu
的全微分,并求这样一个
),( yxu
.
八、试确定?,使得 dyr
y
x
dxr
y
x
2
2
是某个函数
),( yxu 的全微分,其中
22
yxr,并求
),( yxu,
九、设在半平面 0?x 内有力 )(
3
jyix
r
k
F 构成力场,其中 k 为常数,
22
yxr,证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关,
练习题答案一,1,
L
d y QPd x ； 2,
x
Q
y
p
； 3,10,
三、
30
1
,四、
2
8
3
a?,五,236,
六,1,2s i n
4
1
6
7
； 2,- 2,
七,1,当 所包围L 的 D区域 不包含原点时,0 ；
2,当 所包围L 的 D区域 包含原点,仅绕且 L 原点一圈时,?2 ；
3,当所包围L
的
D区域包含原点,
绕且 L n原点圈时,?n2,
七,)(124),( 223 yy eyeyxyxyxu,
八、
y
ryxu ),(,1?,
1L Q d yP d x
2L
Q d yP d x
y
xo
G1L
2L?
A
B
则称曲线积分L Q d yP d x 在 G 内 与路径无关,
否则与路径有关,
Green 公式（ 2）
一、曲线积分与路径无关的定义二、曲线积分与路径无关的条件设开区域 G 是一个单连通域,函数
),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导数,
则曲线积分
L
Q d yPd x 在 G 内与路径无关
（或沿 G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是
x
Q
y
P
在 G 内恒成立,
定理 2
有关定理的说明：
(1) 开区域 G 是一个单连通域,
(2 ) 函数 ),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导数,
两条件缺一不可如
L yx
yd xx d y
22 2222,yx
xQ
yx
yP
x
Q
yx
xy
y
P
22
22
在原点 处不连续 )0,0(O
若 L 不经过也不包围原点，则 L所围区域为单连通域偏导数也连续
L yx
yd xx d y
22 0?
若 L 包围原点在其内，偏导数不连续则以原点为心，充分小的 r 为半径作一正向小圆周?
在 L和 所围成的区域内，偏导数连续?
但区域已不再是单连域
L yx
yd xx d y
22?2 其中正、负号取决于 L的方向三、二元函数的全微分求积设开区域 G 是一个单连通域,函数
),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导数,则 dyyxQdxyxP ),(),(? 在 G 内为某一函数 ),( yxu 的全微分的充要条件是等式
x
Q
y
P
在 G 内恒成立,
定理 3
x
Q
y
P
若
x
y
o
),( 00 yxA?
),( 11 yxB?
),( 01 yxC?
),( ),( 11 00 yxB yxA Q d yP d x则
dyyxQdxyxP yyxx ),(),( 1
0
1
0 10
dxyxPdyyxQ xxyy ),(),( 1
0
1
0 10
或例 1 计算
L
dyyxdxxyx )()2( 422,其中
L 为由点 )0,0(O 到点 )1,1(B 的曲线弧
2
s i n
x
y
,
解
xxyx
yy
P
2)2(
2
xyx
xx
Q
2)(
42
x
Q
y
P
,
原积分与路径无关故原式
1
0
1
0
42 )1( dyydxx.
15
23?
例 2 设曲线积分
L
dyxydxxy )(
2
与路径无关,其中? 具有连续的导数,且 0)0(,
计算
)1,1(
)0,0(
2
)( dyxydxxy,
解,),( 2xyyxP? ),(),( xyyxQ
,2)( 2 xyxyyyP ),()]([ xyxyxxQ
积分与路径无关 xQyP,
由 xyxy 2)( cxx 2)(
由 0)0(,知 0?c 2)( xx,
故)1,1( )0,0( 2 )( dyxydxxy
1010 0 y d ydx,21?
四、小结与路径无关的四个等价命题条件在单连通开区域 D 上 ),(),,( yxQyxP 具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立,
等价命题
L Q d yP d xD 与路径无关内在)1(
C DCQd yP d x 闭曲线,0)2( Q d yP d xduyxUD使内存在在 ),()3(
x
Q
y
PD
,)4( 内在练 习 题一,填空题,
1,设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数
),(,),( yxQyxP 及在 D 上具有一阶连续偏导数,则有?
D
d x d y
y
P
x
Q
)( ___ __ ___ __ __ ___ _ ；
2,设
D
为平面上的一个单连通域,函数
),(,),( yxQyxP 在
D
内有一阶连续偏导数,则
L
Q d yP d x 在
D
内与路径无关的充要条件是
___ __ ___ __ ___ __ 在
D
内处处成立；
3,设
D
为由分段光滑的曲线
L
所围成的闭区域,其面积为 5,又 ),( yxP 及 ),( yxQ 在
D
上有一阶连续偏导数,且 1?
x
Q
,
1
y
P
,则
L
Q d yPd x ___,
二,计算
L
dyyxdxxxy )()2(
22
其中 L 是由抛物线
2
xy? 和 xy?
2
所围成的区域的正向边界曲线,并验证格林公式的正确性,
三,利用曲线积分,求星形线 taytax
33
s i n,c o s 所围成的图形的面积,
四、证明曲线积分
)4,3(
)2,1(
2232
)36()6( dyxyyxdxyxy 在整个 x o y 面内与路径无关,并计算积分值,
五、利用格林公式,计算下列曲线积分,
1,
L
dyyxdxyx )si n()( 22 其中 L 是在圆周
22 xxy 上由点 (0,0) 到点 (1,1) 的一段弧；
2,求曲线积分
A MB
dyyxdxyxI
22
1
)()( 和
A N B
dyyxdxyxI
22
2
)()( 的差,其中 A M B
是过原点和 )1,1(A,)6,2(B 且其对称轴垂直于 x
轴的抛物线上的弧段,A M B 是连接
BA,
的线段,
六、计算
L
yx
y d xx d y
22
,其中
L
为不经过原点的光滑闭曲线,( 取逆时针方向 )
七、验证 yxxdxxyyx
2322
8()83( dyye
y
)12? 在整个 x o y 平面内是某一函数
),( yxu
的全微分,并求这样一个
),( yxu
.
八、试确定?,使得 dyr
y
x
dxr
y
x
2
2
是某个函数
),( yxu 的全微分,其中
22
yxr,并求
),( yxu,
九、设在半平面 0?x 内有力 )(
3
jyix
r
k
F 构成力场,其中 k 为常数,
22
yxr,证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关,
练习题答案一,1,
L
d y QPd x ； 2,
x
Q
y
p
； 3,10,
三、
30
1
,四、
2
8
3
a?,五,236,
六,1,2s i n
4
1
6
7
； 2,- 2,
七,1,当 所包围L 的 D区域 不包含原点时,0 ；
2,当 所包围L 的 D区域 包含原点,仅绕且 L 原点一圈时,?2 ；
3,当所包围L
的
D区域包含原点,
绕且 L n原点圈时,?n2,
七,)(124),( 223 yy eyeyxyxyxu,
八、
y
ryxu ),(,1?,
