)()()(2
2
xfyxQdxdyxPdx yd二阶线性微分方程时，当 0)(?xf 二阶线性齐次微分方程时，当 0)(?xf 二阶线性非齐次微分方程
n阶线性微分方程
).()()()( 1)1(1)( xfyxPyxPyxPy nnnn
特点 未知函数及其各阶导数都是一次幂高阶线性微分方程本节只讨论二阶线性微分方程
)()()( xfyxQyxPy
所得概念和结论很容易推广到高阶方程的情形一、线性微分方程的解的结构
1.二阶齐次方程解的结构,
)1(0)()( yxQyxPy
定理 1 如果函数 )(1 xy 与 )(2 xy 是方程 (1) 的两个解,那末 2211 yCyCy 也是 (1) 的解,（ 21,CC 是常数）
问题,一定是通解吗？2211 yCyCy
定义：设
n
yyy,,,
21
为定义在区间 I 内的 n 个函数．如果存在 n 个不全为零的常数，使得当 x
在该区间内有恒等式成立
0
2211
nn
ykykyk?,
那么称这
n
个函数在区间
I
内 线性相关,否则称线 性无关例如 时，当 ),(x xxx eee 2,?,线性无关
xx 22 sin,co s1,线性相关若在 I 上有 常数，?
)(
)(
2
1
xy
xy
则函数 )(1 xy 与 )(2 xy 在 I 上 线性无关,
定理 2,如果 )(
1
xy 与 )(
2
xy 是方程 (1) 的两个线性无关的特解,那么 2211 yCyCy 就是方程 (1) 的通解,
例如,0 yy,s i n,c o s 21 xyxy
,t a n
1
2 常数且 x
y
y
.s i nc o s 21 xCxCy
特别地,
2.二阶非齐次线性方程的解的结构,
定理 3 设
*
y 是二阶非齐次线性方程
)2()()()( xfyxQyxPy
的一个特解,Y 是与 (2) 对应的齐次方程 (1) 的通解,那么
*
yYy 是二阶非齐次线性微分方程 (2)
的通解,
非齐线性方程的任何两个解之差是相应齐方程的解定理 4 设非齐次方程 (2) 的右端 )( xf 是几个函数之和,如 )()()()(
21
xfxfyxQyxPy
而
*
1
y 与
*
2
y 分别是方程,
)()()(
1
xfyxQyxPy
)()()(
2
xfyxQyxPy
的特解,那么
*
2
*
1
yy? 就是原方程的特解,
解的叠加原理是若 *2*1* jyyy
)()()()( 21 xjfxfyxQyxPy
的特解 则的特解是 )()()( 1*1 xfyxQyxPyy
的特解是 )()()( 2*2 xfyxQyxPyy
即 特解的实部是实部方程的特解特解的虚部是虚部方程的特解定理 5
二、降阶法与常数变易法
1.齐次线性方程求线性无关特解 ------降阶法的一个非零特解，是方程设 )1(1y
12 )( yxuy?令 代入 (1)式,得
,0))()(())(2( 111111 uyxQyxPyuyxPyuy
,0))(2( 111 uyxPyuy即,uv令则有,0))(2( 111 vyxPyvy
0))(2( 111 vyxPyvy 的一阶方程v
降阶法解得,1 )(2
1
dxxPe
yv dxeyu
dxxP )(
2
1
1
,1 )(2
1
12 dxeyyy
dxxP
Liouville公式齐次方程通解为
.1 )(2
1
1211 dxeyyCyCy
dxxP
2.非齐次线性方程通解求法 ------常数变易法设对应齐次方程通解为 2211 yCyCy (3)
设非齐次方程通解为 2211 )()( yxcyxcy
22112211 )()()()( yxcyxcyxcyxcy
设 0)()( 2211 yxcyxc (4)
22112211 )()()()( yxcyxcyxcyxcy
得代入方程将 ),2(,,yyy
)())()()((
))()()(()()(
2222
11112211
xfyxQyxPyxc
yxQyxPyxcyxcyxc
)()()( 2211 xfyxcyxc (5)
(4),(5)联立方程组
)()()(
0)()(
2211
2211
xfyxcyxc
yxcyxc
,0)(
21
21?
yy
yyxw系数行列式?
,)( )()( 21 xw xfyxc,)(
)()( 1
2 xw
xfyxc
积分可得,)( )()( 211 dxxw xfyCxc
,)( )()( 122 dxxw xfyCxc
非齐次方程通解为
.)( )()( )( 12212211 dxxw xfyydxxw xfyyyCyCy
例,11
1
1 的通解求方程 xyxyx
xy
解,01 111 xxx?
对应齐方程一特解为,1 xey? 由刘维尔公式
dxeeey dxx
x
x
x 1
22
1,x?
对应齐方通解为,21 xeCxCY
设原方程的通解为,)()( 21 xexcxxcy
应满足方程组,)()( 21 xcxc
1)()(
0)()(
21
21
xxcexc
xcexcx
x
x
解得
xxexc
xc
)(
1)(
2
1
，11 )( Cxxc 22 )( Cexexc xx
原方程的通解为,1221 xxeCxCy x
补充内容 0)()( yxQyxPy 可观察出一个特解
,0)()()1( xxQxP若 ;xy?特解
,0)()(1)2( xQxP若 ;xey?特解
,0)()(1)3( xQxP若,xey特解
0)()4(?xQ若 特解 y = 1
0)()()1()5( 2 xQxxm xPmm若特解 y = xm
0)()()6( 2 xQxP若 xey特解三、小结主要内容 线性方程解的结构；
线性相关与线性无关；
降阶法与常数变易法；
练 习 题一,验证
2
1
x
ey? 及
2
2
x
xey? 都是方程
0)24(4
2
yxyxy 的解,并写出该方程的通解,
二,证明下列函数是相应的微分方程的通解,
1,),(ln
21
2
2
2
1
是任意常数ccxxcxcy 是方程
043
2
yyxyx 的通解；
2,),(
2
)(
1
2121
是任意常数cc
e
ecec
x
y
x
xx
是方程
x
exyyyx 2 的通解,
三、已知
x
exy?)(
1
是齐次线性方程
02)12()12( yyxyx 的一个解,求此方程的通解,
四、已知齐次线性方程 0
2
yyxyx 的通解为
xxcxcxY ln)(
21
,求非齐次线性方程
xyyxyx
2
的通解,
练习题答案一、
2
)(
21
x
exCCy,
三,)12(21 xCeCy
x
,
四、
2
21
)(l n
2
1
ln xxxxCxCy,
2
xfyxQdxdyxPdx yd二阶线性微分方程时，当 0)(?xf 二阶线性齐次微分方程时，当 0)(?xf 二阶线性非齐次微分方程
n阶线性微分方程
).()()()( 1)1(1)( xfyxPyxPyxPy nnnn
特点 未知函数及其各阶导数都是一次幂高阶线性微分方程本节只讨论二阶线性微分方程
)()()( xfyxQyxPy
所得概念和结论很容易推广到高阶方程的情形一、线性微分方程的解的结构
1.二阶齐次方程解的结构,
)1(0)()( yxQyxPy
定理 1 如果函数 )(1 xy 与 )(2 xy 是方程 (1) 的两个解,那末 2211 yCyCy 也是 (1) 的解,（ 21,CC 是常数）
问题,一定是通解吗？2211 yCyCy
定义：设
n
yyy,,,
21
为定义在区间 I 内的 n 个函数．如果存在 n 个不全为零的常数，使得当 x
在该区间内有恒等式成立
0
2211
nn
ykykyk?,
那么称这
n
个函数在区间
I
内 线性相关,否则称线 性无关例如 时，当 ),(x xxx eee 2,?,线性无关
xx 22 sin,co s1,线性相关若在 I 上有 常数，?
)(
)(
2
1
xy
xy
则函数 )(1 xy 与 )(2 xy 在 I 上 线性无关,
定理 2,如果 )(
1
xy 与 )(
2
xy 是方程 (1) 的两个线性无关的特解,那么 2211 yCyCy 就是方程 (1) 的通解,
例如,0 yy,s i n,c o s 21 xyxy
,t a n
1
2 常数且 x
y
y
.s i nc o s 21 xCxCy
特别地,
2.二阶非齐次线性方程的解的结构,
定理 3 设
*
y 是二阶非齐次线性方程
)2()()()( xfyxQyxPy
的一个特解,Y 是与 (2) 对应的齐次方程 (1) 的通解,那么
*
yYy 是二阶非齐次线性微分方程 (2)
的通解,
非齐线性方程的任何两个解之差是相应齐方程的解定理 4 设非齐次方程 (2) 的右端 )( xf 是几个函数之和,如 )()()()(
21
xfxfyxQyxPy
而
*
1
y 与
*
2
y 分别是方程,
)()()(
1
xfyxQyxPy
)()()(
2
xfyxQyxPy
的特解,那么
*
2
*
1
yy? 就是原方程的特解,
解的叠加原理是若 *2*1* jyyy
)()()()( 21 xjfxfyxQyxPy
的特解 则的特解是 )()()( 1*1 xfyxQyxPyy
的特解是 )()()( 2*2 xfyxQyxPyy
即 特解的实部是实部方程的特解特解的虚部是虚部方程的特解定理 5
二、降阶法与常数变易法
1.齐次线性方程求线性无关特解 ------降阶法的一个非零特解，是方程设 )1(1y
12 )( yxuy?令 代入 (1)式,得
,0))()(())(2( 111111 uyxQyxPyuyxPyuy
,0))(2( 111 uyxPyuy即,uv令则有,0))(2( 111 vyxPyvy
0))(2( 111 vyxPyvy 的一阶方程v
降阶法解得,1 )(2
1
dxxPe
yv dxeyu
dxxP )(
2
1
1
,1 )(2
1
12 dxeyyy
dxxP
Liouville公式齐次方程通解为
.1 )(2
1
1211 dxeyyCyCy
dxxP
2.非齐次线性方程通解求法 ------常数变易法设对应齐次方程通解为 2211 yCyCy (3)
设非齐次方程通解为 2211 )()( yxcyxcy
22112211 )()()()( yxcyxcyxcyxcy
设 0)()( 2211 yxcyxc (4)
22112211 )()()()( yxcyxcyxcyxcy
得代入方程将 ),2(,,yyy
)())()()((
))()()(()()(
2222
11112211
xfyxQyxPyxc
yxQyxPyxcyxcyxc
)()()( 2211 xfyxcyxc (5)
(4),(5)联立方程组
)()()(
0)()(
2211
2211
xfyxcyxc
yxcyxc
,0)(
21
21?
yy
yyxw系数行列式?
,)( )()( 21 xw xfyxc,)(
)()( 1
2 xw
xfyxc
积分可得,)( )()( 211 dxxw xfyCxc
,)( )()( 122 dxxw xfyCxc
非齐次方程通解为
.)( )()( )( 12212211 dxxw xfyydxxw xfyyyCyCy
例,11
1
1 的通解求方程 xyxyx
xy
解,01 111 xxx?
对应齐方程一特解为,1 xey? 由刘维尔公式
dxeeey dxx
x
x
x 1
22
1,x?
对应齐方通解为,21 xeCxCY
设原方程的通解为,)()( 21 xexcxxcy
应满足方程组,)()( 21 xcxc
1)()(
0)()(
21
21
xxcexc
xcexcx
x
x
解得
xxexc
xc
)(
1)(
2
1
，11 )( Cxxc 22 )( Cexexc xx
原方程的通解为,1221 xxeCxCy x
补充内容 0)()( yxQyxPy 可观察出一个特解
,0)()()1( xxQxP若 ;xy?特解
,0)()(1)2( xQxP若 ;xey?特解
,0)()(1)3( xQxP若,xey特解
0)()4(?xQ若 特解 y = 1
0)()()1()5( 2 xQxxm xPmm若特解 y = xm
0)()()6( 2 xQxP若 xey特解三、小结主要内容 线性方程解的结构；
线性相关与线性无关；
降阶法与常数变易法；
练 习 题一,验证
2
1
x
ey? 及
2
2
x
xey? 都是方程
0)24(4
2
yxyxy 的解,并写出该方程的通解,
二,证明下列函数是相应的微分方程的通解,
1,),(ln
21
2
2
2
1
是任意常数ccxxcxcy 是方程
043
2
yyxyx 的通解；
2,),(
2
)(
1
2121
是任意常数cc
e
ecec
x
y
x
xx
是方程
x
exyyyx 2 的通解,
三、已知
x
exy?)(
1
是齐次线性方程
02)12()12( yyxyx 的一个解,求此方程的通解,
四、已知齐次线性方程 0
2
yyxyx 的通解为
xxcxcxY ln)(
21
,求非齐次线性方程
xyyxyx
2
的通解,
练习题答案一、
2
)(
21
x
exCCy,
三,)12(21 xCeCy
x
,
四、
2
21
)(l n
2
1
ln xxxxCxCy,
