Green 公式（ 1）
设 D为平面区域,如果 D内任一闭曲线所围成的部分都属于 D,则称 D为平面单连通区域,否则称为复连通区域,
D
单连通区域
D
复连通区域一、区域连通性的分类设空间区域 G,如果 G内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,则称 G是空间二维单连通域 ;
如果 G内任一闭曲线总可以张一片完全属于
G的曲面,则称 G为空间一维单连通区域,
G
一维单连通二维单连通
G
一维单连通二维不连通
G
一维不连通二维单连通二,Green 公式定理 1
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数 ),(),( yxQyxP 及 在 D 上具有一阶连续偏导数,
则有
L
D
Q d yP d xd x d y
y
P
x
Q
)( (1)
其中
L
是
D
的取正向的边界曲线,
公式 (1) 叫 Green 公式,
2L
D
1L
连成与由 21 LLL
2L
1L
D
组成与由 21 LLL
边界曲线 L的正向,当观察者沿边界行走时,区域 D总在他的左边,
证明 (1)
若区域 D 既是?X 型又是?Y 型,即平行于坐标轴的直线和 L 至多交于两点,
y
xo
D
a b
c
d
C
E
)(2 yx
)(1 yx
)(1 xy
)(2 xy
A
B
}),()(),{( 21 bxaxyxyxD
}),()(),{( 21 dycyxyyxD
dxxQdyd x d yxQ yydc
D
)( )(21
dcdc dyyyQdyyyQ )),(()),(( 12
y
xo
d
)(2 yx
D
c C
E
)(1 yx CA ECB E dyyxQdyyxQ ),(),(
E ACC BE dyyxQdyyxQ ),(),(
L dyyxQ ),(
同理可证
LD dxyxPdxdyy
P ),(
两式相加得
LD Qd yP d xd x d yy
P
x
Q )(
证明 (2)
若区域 D 由按段光滑的闭曲线围成,如图,
L1L
2L3L
D
1D
3D 2D
将 D 分成三个既是?X 型又是
Y 型的区域 1D,2D,3D,
321
)()(
DDDD
d x d yyPxQd x d yyPxQ
321
)()()(
DDD
d x d yyPxQd x d yyPxQd x d yyPxQ
321 LLL Q d yP d xQ d yP d xQ d yP d x
L Q d yP d x
1D
2D3D
L1L
2L3L
),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
证明 (3)
若区域不止由一条闭曲线所围成,添加直线段 AB,CE,
则 D 的边界曲线由 AB,
2
L,B A,
A F C,C E,3L,EC 及 C G A 构成,
D
3L
2L
1LA
B C
E
由 (2)知
D
d x d yyPxQ )(
CEAFCBALAB 2{ C G AECL QdyPdx )(}3
2 3 1 ))(( L L L Q d yP d x
L Q d yP d x ),( 32,1 来说为正方向对 DLLL格林公式的实质,沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系,
便于记忆形式,
L
D
Q dyP dxdxdy
QP
yx,
三、简单应用
1,简化曲线积分例 1 计算?
AB
xdy,其中曲线 AB 是半径为 r 的圆在第一象限部分,
解 引入辅助曲线 L,BOABOAL
x
y
o L
A
B
应用格林公式,xQP,0 有
L
D
xdydxdy, BOABOA x d yx d yx d y
,0,0 BOOA x d yx d y由于
.41 2rd x d yx d y
D
AB
2,简化二重积分例 2 计算
D
y
dxdye
2
,其中 D 是以 )1,0(),1,1(),0,0( BAO 为顶点的三角形闭区域,x
y
o 1
1 AD
解 令 2,0 yxeQP,
则
2y
e
y
P
x
Q
,
应用格林公式,有
BOABOA
y
D
y dyxedxdye 22
10 22 dxxedyxe xOA y ).1(21 1 e
例 3 计算?
L yx
y dxxdy
22
,其中 L 为一条无重点,
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向,
解 记 L 所围成的闭区域为 D,
令 2222,
yx
xQ
yx
yP
,
则当 022 yx 时,有
y
P
yx
xy
x
Q
222
22
)(
.
( 1 ) 当 D?)0,0( 时,
x
y
o
L
D由格林公式知
L yx y d xxdy 022
( 2 ) 当 D?)0,0( 时,L
r
l
y
xo
1D
作位于 D 内圆周 222,ryxl,
记 1D 由 L 和 l 所围成,
应用格林公式,得
02222
lL yx
y d xxdy
yx
y d xxdy
lL yx y d xxdyyx y d xxdy 2222
dr rr 2
2222 s inc o s 2
0,2
( 其中 l 的方向取逆时针方向 )
(注意格林公式的条件 )
3,计算平面面积格林公式, L
D
Q d yP d xd x d yyPxQ )(
取,,xQyP 得 L
D
y d xx d yd x d y2
闭区域 D 的面积
L
y d xx d yA 21,
取,,0 xQP 得
L
xdyA
取,0, QyP 得
L
y d xA
例 4 计算抛物线 )0()( 2 aaxyx 与 x 轴所围成的面积,
解 )0,(aA
N
MONA 为直线 0?y,
曲线 A MO 由函数
],0[,axxaxy 表示,
L yd xxdyA 21
A M OONA yd xx d yyd xx d y 2121
A M O yd xxdy21
dxxaxdxaxaxa )()12(21 0
.614 20 adxxa a
例 5 计算星形线 所围图形的面积 3
2
3
2
3
2
ayx
解一 用定积分如图所示由对称性，只需计算第一象限部分的面积
14SS
a
ydx
0
4
)s i n,c o s( 33 taytax令
0
2
23 )s in(co s3s in4
dtttata
2
0
242 )s in1(s in12
dttta
)221436522143(12 2 a 283 a
解二 用曲线积分
L
yd xx d yS 21
2
0
2323 )]s i n(co s3s i nco ss i n3co s[
2
1 dtttatattata
2
0
222 co ss i n
2
3 td tta
2
0
22 )2c o s1(
4
1
2
3 dtta
2
0
2 )]4c o s1(
2
11[
8
3 dtta 2
8
3 a
四、小结
1.连通区域的概念 ;
2.二重积分与曲线积分的关系
L
D
Qd yP d xd x d yyPxQ )( —— Green公式 ;
3,格林公式的应用,
思考题若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中 L
的方向。 o x
y
A B
CD
E F
G
LD
Q d yP d xdxdyyPxQ
思考题解答由两部分组成L
o x
y
A B
CD
E F
G?
外 边界,BCD AB
内 边界,EGFE
设 D为平面区域,如果 D内任一闭曲线所围成的部分都属于 D,则称 D为平面单连通区域,否则称为复连通区域,
D
单连通区域
D
复连通区域一、区域连通性的分类设空间区域 G,如果 G内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,则称 G是空间二维单连通域 ;
如果 G内任一闭曲线总可以张一片完全属于
G的曲面,则称 G为空间一维单连通区域,
G
一维单连通二维单连通
G
一维单连通二维不连通
G
一维不连通二维单连通二,Green 公式定理 1
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数 ),(),( yxQyxP 及 在 D 上具有一阶连续偏导数,
则有
L
D
Q d yP d xd x d y
y
P
x
Q
)( (1)
其中
L
是
D
的取正向的边界曲线,
公式 (1) 叫 Green 公式,
2L
D
1L
连成与由 21 LLL
2L
1L
D
组成与由 21 LLL
边界曲线 L的正向,当观察者沿边界行走时,区域 D总在他的左边,
证明 (1)
若区域 D 既是?X 型又是?Y 型,即平行于坐标轴的直线和 L 至多交于两点,
y
xo
D
a b
c
d
C
E
)(2 yx
)(1 yx
)(1 xy
)(2 xy
A
B
}),()(),{( 21 bxaxyxyxD
}),()(),{( 21 dycyxyyxD
dxxQdyd x d yxQ yydc
D
)( )(21
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y
xo
d
)(2 yx
D
c C
E
)(1 yx CA ECB E dyyxQdyyxQ ),(),(
E ACC BE dyyxQdyyxQ ),(),(
L dyyxQ ),(
同理可证
LD dxyxPdxdyy
P ),(
两式相加得
LD Qd yP d xd x d yy
P
x
Q )(
证明 (2)
若区域 D 由按段光滑的闭曲线围成,如图,
L1L
2L3L
D
1D
3D 2D
将 D 分成三个既是?X 型又是
Y 型的区域 1D,2D,3D,
321
)()(
DDDD
d x d yyPxQd x d yyPxQ
321
)()()(
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d x d yyPxQd x d yyPxQd x d yyPxQ
321 LLL Q d yP d xQ d yP d xQ d yP d x
L Q d yP d x
1D
2D3D
L1L
2L3L
),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
证明 (3)
若区域不止由一条闭曲线所围成,添加直线段 AB,CE,
则 D 的边界曲线由 AB,
2
L,B A,
A F C,C E,3L,EC 及 C G A 构成,
D
3L
2L
1LA
B C
E
由 (2)知
D
d x d yyPxQ )(
CEAFCBALAB 2{ C G AECL QdyPdx )(}3
2 3 1 ))(( L L L Q d yP d x
L Q d yP d x ),( 32,1 来说为正方向对 DLLL格林公式的实质,沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系,
便于记忆形式,
L
D
Q dyP dxdxdy
QP
yx,
三、简单应用
1,简化曲线积分例 1 计算?
AB
xdy,其中曲线 AB 是半径为 r 的圆在第一象限部分,
解 引入辅助曲线 L,BOABOAL
x
y
o L
A
B
应用格林公式,xQP,0 有
L
D
xdydxdy, BOABOA x d yx d yx d y
,0,0 BOOA x d yx d y由于
.41 2rd x d yx d y
D
AB
2,简化二重积分例 2 计算
D
y
dxdye
2
,其中 D 是以 )1,0(),1,1(),0,0( BAO 为顶点的三角形闭区域,x
y
o 1
1 AD
解 令 2,0 yxeQP,
则
2y
e
y
P
x
Q
,
应用格林公式,有
BOABOA
y
D
y dyxedxdye 22
10 22 dxxedyxe xOA y ).1(21 1 e
例 3 计算?
L yx
y dxxdy
22
,其中 L 为一条无重点,
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向,
解 记 L 所围成的闭区域为 D,
令 2222,
yx
xQ
yx
yP
,
则当 022 yx 时,有
y
P
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x
Q
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22
)(
.
( 1 ) 当 D?)0,0( 时,
x
y
o
L
D由格林公式知
L yx y d xxdy 022
( 2 ) 当 D?)0,0( 时,L
r
l
y
xo
1D
作位于 D 内圆周 222,ryxl,
记 1D 由 L 和 l 所围成,
应用格林公式,得
02222
lL yx
y d xxdy
yx
y d xxdy
lL yx y d xxdyyx y d xxdy 2222
dr rr 2
2222 s inc o s 2
0,2
( 其中 l 的方向取逆时针方向 )
(注意格林公式的条件 )
3,计算平面面积格林公式, L
D
Q d yP d xd x d yyPxQ )(
取,,xQyP 得 L
D
y d xx d yd x d y2
闭区域 D 的面积
L
y d xx d yA 21,
取,,0 xQP 得
L
xdyA
取,0, QyP 得
L
y d xA
例 4 计算抛物线 )0()( 2 aaxyx 与 x 轴所围成的面积,
解 )0,(aA
N
MONA 为直线 0?y,
曲线 A MO 由函数
],0[,axxaxy 表示,
L yd xxdyA 21
A M OONA yd xx d yyd xx d y 2121
A M O yd xxdy21
dxxaxdxaxaxa )()12(21 0
.614 20 adxxa a
例 5 计算星形线 所围图形的面积 3
2
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解一 用定积分如图所示由对称性，只需计算第一象限部分的面积
14SS
a
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2
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)221436522143(12 2 a 283 a
解二 用曲线积分
L
yd xx d yS 21
2
0
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2
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22 )2c o s1(
4
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2
0
2 )]4c o s1(
2
11[
8
3 dtta 2
8
3 a
四、小结
1.连通区域的概念 ;
2.二重积分与曲线积分的关系
L
D
Qd yP d xd x d yyPxQ )( —— Green公式 ;
3,格林公式的应用,
思考题若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中 L
的方向。 o x
y
A B
CD
E F
G
LD
Q d yP d xdxdyyPxQ
思考题解答由两部分组成L
o x
y
A B
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E F
G?
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