本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的方程来求解。
可降阶的高阶微分方程前面介绍了五种标准类型的一阶方程及其求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数腥当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用降阶法求解，一般都没有初等解法，
以二阶方程
0),,,( yyyxF 为例展开讨论重点讨论能将二阶导数解出的情况
),,( yyxfy
如果我们设法作变量代换把它从二阶降至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法来求解一,型 )( xfy
特点,右端不含 yy?,仅是 x 的函数解法,将 y? 作为新的未知函数 降阶令 yz zy 有
)( xfz 变量可分离的一阶方程积分 1)( cdxxfz
即 1)( cdxxfy
再积分 21])([ cxcdxdxxfy
对 n 阶方程同理 )()( xfy n?
令 )1( nyz )( xfz
积分得 1)1( )( cdxxfy n
如此连续积分 n 次即得原方程的含有 n个任意常数的通解一般情况 ),,,( )1()()( nkn yyxfy?
特点,.,,)1( kyyy?及不显含未知函数解法,zy k?)(令
.,)()()1( knnk zyzy则
).,,,( )1()( knkn zzxfz?
z 的 (n-k)阶方程
,z求得,)( 次连续积分将 kzy k?
可得通解,
例 1 xy s in)4(?
解 1c o s cxy
21s in cxcxy
32
2
12
1co s cxcxcxy
43
2
2
3
1 2
1
6
1s i n cxcxcxcxy
例 2,0)4()5( 的通解求方程 yxy
解 ),()4( xPy?设 )()5( xPy
代入原方程,0 PPx ）（?P
解线性方程,得 xCP 1?,1)4( xCy?即两端积分,得,2
1
2
2
1 CxCy
,261 2 0 54233251 CxCxCxCxCy
原方程通解为 54233251 dxdxdxdxdy
二,型 ),( yxfy
特点,右端不含 y
解法,降阶令 py py 代入原方程得
),( pxfdxdp? 若已求得其通解为
),( 1cxp 回代 py 得
),( 1cxdxdy 变量可分离的一阶方程积分得 21 ),( cdxcxy?
例 3 解方程 3,1,2)1( 002 xx yyyxyx
解 令 py xppx 2)1( 2
分离变量得 2
1
2
x
x
p
dp
12 ln)1l n (ln cxp
即 )1( 21 xcp )1( 2
1 xcy
由 得30xy 31?c
)1(3 2xy 23 3 cxxy
由 11
20 cy x
故 133 xxy
解方程 2)(1 yy
解 pypy令 21 pdxdp
dxpdp 21
1a r c t a n cxp
即 )t a n( 1cxp
dxcxy )t a n ( 1
21 )c o s (ln ccx
例 4
三,型 ),( yyfy
特点,右端不含 x
降阶解法：
令 pdxdyy dxdpy
由复合函数求导法则得
dx
dy
dy
dp
dx
dpy
dy
dpp?
代入原方程得 ),( pyfdy
dpp?
这是一个关于 y,p 的一阶方程若已求得它的通解为
),( 1cypy 变量可分离的一阶方程积分得
2
1 ),(
1 cxdy
cy
即得原方程的通解一般情况 ),,,( )1()()( nkn yyyfy?
特点,.x右端不显含自变量解法,)( ypy设,dydPpdxdydydpy则
,)( 22
2
2
dy
dPP
dy
PdPy,
阶方程，的代入原方程得到新函数 )1()(?nyP
求得其解为 ),,,,()(
11 nCCyyPdx
dy?
原方程通解为
,),,,(
11
n
n
CxCCy dy
例 5 解方程 3)( yyy
解 令 py dydppy
)1( 2ppdydpp
若 0?p 21 pdydp 1a r c t a n cyp
即 )t a n( 1cyp dxcy
dy?
)t a n ( 1
积分得 21 )s in (ln cxcy
即 xeccy 21 )s i n (或 12 )a r c s i n ( cecy x
若 0?p 则 cy? 包含在通解中如一方程既属于不含 x 型又属于不含 y 型则一般而言若两边可消去 p 作为不含 x 型（类型三）
来解较简单若两边不可消去 p 作为不含 y 型（类型二）
来解较简单注例 6 解方程 2 yy
解 令 yz 2 dxdzz 4
2
dxdz
)(4 12 cxz
12 cxy
2
2
3
1 )(3
4 ccxy
32
2
5
1 )(15
8 cxccxy
12 cxz
例 7,02 的通解求方程 yyy
解一 ),( ypy设,dydPpy则代入原方程得,02 PdydPPy,0)( PdydPyP即
，由 0 PdydPy,1 yCP?可得
,1 yCdxdy 原方程通解为,12 xceCy?
解二,1 2y两端同乘不为零因子
,0)(2
2
yydxdy yyy,1 yCy故从而通解为,12 xCeCy?
解三 原方程变为,
y
y
y
y
两边积分,得,
1lnlnln Cyy
，即 yCy 1
原方程通解为,12 xCeCy?
四、恰当导数方程特点
.0),,,,(,
),,,,(
)1(
)1(
n
n
yyyx
dx
d
x
yyyx
即的导数对左端恰为某一函数解法,类似于全微分方程可降低一阶
,),,,,( )1( Cyyyx n
再设法求解这个方程,
例 8,02 的通解求方程 yyy
解 将方程写成,0)(yydxd
,1Cyy故有,1 dxCy d y?即积分后得通解,212 CxCy
注意,这一段技巧性较高,关键是配导数的方程,
五、齐次方程特点,),,,,(),,,,( )()( nkn yyyxFttyyttyxF
次齐次函数k解法, z d xey可通过变换
).(,xz得新未知函数将其降阶
, z d xzey?,)( 2 z d xezzy,
,),,,( )1()( z d xnn ezzzy?
,? z d xke代入原方程并消去阶方程的得新函数 )1()(?nxz
.0),,,,( )1(nzzzxf?
例 9,)( 22 的通解求方程 yxyyyx
解, z d xey设 代入原方程,得,12 2xzxz
,1 21xCxz解其通解为原方程通解为,121 2)
1(
x
Cdx
x
C
x xeCey
补充题,
解, z d xey设 代入原方程,得,zxz
,xCz?解其通解为原方程通解为,212 xCC x d x eCey
.2 的通解求方程 yyyxyxy例 10
六、小结解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解,
思考题已知 31?y,
2
2
3 xy,
x
exy
2
3
3
都是微分方程
162222 22 xyxyxyxx
的解，求此方程所对应齐次方程的通解,
思考题解答
321,,yyy? 都是微分方程的解,
,23 xeyy,212 xyy
是对应齐次方程的解,
2
12
23
x
e
yy
yy x?
常数所求通解为122231 yyCyyCy
.221 xCeC x
练 习 题一、求下列各微分方程的通解,
1,
x
xey ； 2,
2
1 yy ；
3,yyy
3
)( ； 4,0
1
2
2
y
y
y,
二,求下列各微分方程满足所给初始条件的特解,
1,
0,1,01
11
3
xx
yyyy；
2,
1,0,0
00
2
xx
yyyay；
3,
2,1,3
00
xx
yyyy
.
三,试求
xy
的经过点 )1,0(M 且在此点与直线
1
2
x
y 相切的积分曲线,
练习题答案一,1,
32
1
2
3 CxCx
C
exey
xx
；
2,
21
)c o s(ln CCxy ；
3,
12
)a r c s i n ( CeCy
x
；
4,
xCxC
y
21
1
1
,
二,1,
2
2 xxy ； 2,)1l n (
1
ax
a
y ；
3,
4
)1
2
1
( xy,
三,1
2
1
6
1
3
xxy,
可降阶的高阶微分方程前面介绍了五种标准类型的一阶方程及其求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数腥当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用降阶法求解，一般都没有初等解法，
以二阶方程
0),,,( yyyxF 为例展开讨论重点讨论能将二阶导数解出的情况
),,( yyxfy
如果我们设法作变量代换把它从二阶降至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法来求解一,型 )( xfy
特点,右端不含 yy?,仅是 x 的函数解法,将 y? 作为新的未知函数 降阶令 yz zy 有
)( xfz 变量可分离的一阶方程积分 1)( cdxxfz
即 1)( cdxxfy
再积分 21])([ cxcdxdxxfy
对 n 阶方程同理 )()( xfy n?
令 )1( nyz )( xfz
积分得 1)1( )( cdxxfy n
如此连续积分 n 次即得原方程的含有 n个任意常数的通解一般情况 ),,,( )1()()( nkn yyxfy?
特点,.,,)1( kyyy?及不显含未知函数解法,zy k?)(令
.,)()()1( knnk zyzy则
).,,,( )1()( knkn zzxfz?
z 的 (n-k)阶方程
,z求得,)( 次连续积分将 kzy k?
可得通解,
例 1 xy s in)4(?
解 1c o s cxy
21s in cxcxy
32
2
12
1co s cxcxcxy
43
2
2
3
1 2
1
6
1s i n cxcxcxcxy
例 2,0)4()5( 的通解求方程 yxy
解 ),()4( xPy?设 )()5( xPy
代入原方程,0 PPx ）（?P
解线性方程,得 xCP 1?,1)4( xCy?即两端积分,得,2
1
2
2
1 CxCy
,261 2 0 54233251 CxCxCxCxCy
原方程通解为 54233251 dxdxdxdxdy
二,型 ),( yxfy
特点,右端不含 y
解法,降阶令 py py 代入原方程得
),( pxfdxdp? 若已求得其通解为
),( 1cxp 回代 py 得
),( 1cxdxdy 变量可分离的一阶方程积分得 21 ),( cdxcxy?
例 3 解方程 3,1,2)1( 002 xx yyyxyx
解 令 py xppx 2)1( 2
分离变量得 2
1
2
x
x
p
dp
12 ln)1l n (ln cxp
即 )1( 21 xcp )1( 2
1 xcy
由 得30xy 31?c
)1(3 2xy 23 3 cxxy
由 11
20 cy x
故 133 xxy
解方程 2)(1 yy
解 pypy令 21 pdxdp
dxpdp 21
1a r c t a n cxp
即 )t a n( 1cxp
dxcxy )t a n ( 1
21 )c o s (ln ccx
例 4
三,型 ),( yyfy
特点,右端不含 x
降阶解法：
令 pdxdyy dxdpy
由复合函数求导法则得
dx
dy
dy
dp
dx
dpy
dy
dpp?
代入原方程得 ),( pyfdy
dpp?
这是一个关于 y,p 的一阶方程若已求得它的通解为
),( 1cypy 变量可分离的一阶方程积分得
2
1 ),(
1 cxdy
cy
即得原方程的通解一般情况 ),,,( )1()()( nkn yyyfy?
特点,.x右端不显含自变量解法,)( ypy设,dydPpdxdydydpy则
,)( 22
2
2
dy
dPP
dy
PdPy,
阶方程，的代入原方程得到新函数 )1()(?nyP
求得其解为 ),,,,()(
11 nCCyyPdx
dy?
原方程通解为
,),,,(
11
n
n
CxCCy dy
例 5 解方程 3)( yyy
解 令 py dydppy
)1( 2ppdydpp
若 0?p 21 pdydp 1a r c t a n cyp
即 )t a n( 1cyp dxcy
dy?
)t a n ( 1
积分得 21 )s in (ln cxcy
即 xeccy 21 )s i n (或 12 )a r c s i n ( cecy x
若 0?p 则 cy? 包含在通解中如一方程既属于不含 x 型又属于不含 y 型则一般而言若两边可消去 p 作为不含 x 型（类型三）
来解较简单若两边不可消去 p 作为不含 y 型（类型二）
来解较简单注例 6 解方程 2 yy
解 令 yz 2 dxdzz 4
2
dxdz
)(4 12 cxz
12 cxy
2
2
3
1 )(3
4 ccxy
32
2
5
1 )(15
8 cxccxy
12 cxz
例 7,02 的通解求方程 yyy
解一 ),( ypy设,dydPpy则代入原方程得,02 PdydPPy,0)( PdydPyP即
，由 0 PdydPy,1 yCP?可得
,1 yCdxdy 原方程通解为,12 xceCy?
解二,1 2y两端同乘不为零因子
,0)(2
2
yydxdy yyy,1 yCy故从而通解为,12 xCeCy?
解三 原方程变为,
y
y
y
y
两边积分,得,
1lnlnln Cyy
，即 yCy 1
原方程通解为,12 xCeCy?
四、恰当导数方程特点
.0),,,,(,
),,,,(
)1(
)1(
n
n
yyyx
dx
d
x
yyyx
即的导数对左端恰为某一函数解法,类似于全微分方程可降低一阶
,),,,,( )1( Cyyyx n
再设法求解这个方程,
例 8,02 的通解求方程 yyy
解 将方程写成,0)(yydxd
,1Cyy故有,1 dxCy d y?即积分后得通解,212 CxCy
注意,这一段技巧性较高,关键是配导数的方程,
五、齐次方程特点,),,,,(),,,,( )()( nkn yyyxFttyyttyxF
次齐次函数k解法, z d xey可通过变换
).(,xz得新未知函数将其降阶
, z d xzey?,)( 2 z d xezzy,
,),,,( )1()( z d xnn ezzzy?
,? z d xke代入原方程并消去阶方程的得新函数 )1()(?nxz
.0),,,,( )1(nzzzxf?
例 9,)( 22 的通解求方程 yxyyyx
解, z d xey设 代入原方程,得,12 2xzxz
,1 21xCxz解其通解为原方程通解为,121 2)
1(
x
Cdx
x
C
x xeCey
补充题,
解, z d xey设 代入原方程,得,zxz
,xCz?解其通解为原方程通解为,212 xCC x d x eCey
.2 的通解求方程 yyyxyxy例 10
六、小结解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解,
思考题已知 31?y,
2
2
3 xy,
x
exy
2
3
3
都是微分方程
162222 22 xyxyxyxx
的解，求此方程所对应齐次方程的通解,
思考题解答
321,,yyy? 都是微分方程的解,
,23 xeyy,212 xyy
是对应齐次方程的解,
2
12
23
x
e
yy
yy x?
常数所求通解为122231 yyCyyCy
.221 xCeC x
练 习 题一、求下列各微分方程的通解,
1,
x
xey ； 2,
2
1 yy ；
3,yyy
3
)( ； 4,0
1
2
2
y
y
y,
二,求下列各微分方程满足所给初始条件的特解,
1,
0,1,01
11
3
xx
yyyy；
2,
1,0,0
00
2
xx
yyyay；
3,
2,1,3
00
xx
yyyy
.
三,试求
xy
的经过点 )1,0(M 且在此点与直线
1
2
x
y 相切的积分曲线,
练习题答案一,1,
32
1
2
3 CxCx
C
exey
xx
；
2,
21
)c o s(ln CCxy ；
3,
12
)a r c s i n ( CeCy
x
；
4,
xCxC
y
21
1
1
,
二,1,
2
2 xxy ； 2,)1l n (
1
ax
a
y ；
3,
4
)1
2
1
( xy,
三,1
2
1
6
1
3
xxy,
